经济预测与决策2(研究生)
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经济预测与决策（二） 经济预测与决策（
湖南大学经贸学院 博士、 许和连 博士、 教 授
第四章 曲线趋势预测法
第一节 直线趋势模型预测法
一、直线趋势模型
直线趋势模型为：
yt = a + bt (4.1.1)
式中：t——时间变量；yt ——预测值；a,b——模型参 数
二、直线趋势模型的识别
设：某一经济变量 yt 的时间序列为{ yt } , t = 1, 2?, n; n为样本 容量。 方法一：绘制 yt 的散点图（或称时序图），若散点图 方法一 形近似于一条直线，则初步判断该时间序列可以选用 直线趋势模型进行预测。 方法二：可用阶差法识别。根据模型（4.1.1）可知， 方法二 其一阶差分：
? ? ?yt = yt ? yt ?1 = ( a + bt ) ? ? a + b ( t ? 1) ? = b ? ?
为一个常数，计算给定的时间序列的一阶差分，若一 阶差分近似为一个常数时，则可以选择直线趋势模型 进行预测。
三、直线趋势模型的参数估计
（一）最小二乘法 最小二乘法的基本思想是：使误差平方和
Q = ∑ ( yt ? yt ) = ∑ ( yt ? a ? bt )
2 t ?1 n 2
达到最小，从而得到参数a和b的估计值。 由极值原理，获得参数估计式如下：
n∑ tyt ? ∑ t ∑ yt ?b = 2 n∑ t 2 ? ( ∑ t ) ? ? ? ∑ yt ? b ∑ t = y ? bt ?a = n n ?
（二）折扣最小二乘法 折扣最小二乘法的基本思想是：对误差平方进行指数折 扣加权后，使其总和达到最小，即 2 ? Q = ∑ α n ?1 ( yt ? yt ) → min, 其中a为折扣系数，且00,a >0,0
当t=0时， yt =
1 K +a
lim ； yt =
1 K
ln K ? ln a 1 ? , ? ? ln b 2K ? ?
且该曲线关于拐点对称。 （2）模型识别 ） 模型的特点：其倒数一阶差分的环比为一常数。 （3）模型的参数估计 ） 将模型两边取倒数，得：
1 = K + abt ? yt
若令
y t′ =
1 ? yt
，则上式变为： yt = K + abt
可见，Logistic曲线模型的倒数正是修正指数曲线模型 的形式。因此，依照修正指数曲线模型参数估计的三 和法，可得b,a 和K的计算公式：
1 1 ?∑2 ? ∑3 y yt t ? b= 1 1 ? ? ∑1 ∑2 y ? yt t ? ? ? 1 1 ? b ?1 ? a = ?∑ 2 ? ∑1 ? ? yt yt ? b ( b n ? 1) ? ? ? 1 bn ? ? K = 1? ? ∑ 1 ? ab ? ? n? yt b ?1? ? ? ? ?
第五章 马尔科夫预测法
第一节 马尔科夫链及转移概率
一、随机过程
定义5-1 设 是随机试验E的样本空间，T为时间参数空 定义 间。若对每一时刻 t ∈，都有定义在 上的随机变量 T
Z (t, e) t ∈ {为一随 T } Z (t, e) 与之对应，则称依赖于t的一组随机变量 机过程，简记为 Z (t ) , t ∈T . 例5-1 设Z(t)是某市电话局在时间t内收到的呼叫次数， t ∈ T =[0, 24]，则 Z ( t ) , t ∈ T . 是一随机过程。 例5-2 设Z(t)是北京市在一天内t时刻的温度，∈ T =[0, 24]， t Z ( t是一随机过程。 ) , t ∈T . 则
t 例5-3 设Z(t)是第t个交易日收盘时的上证指数， ∈ T ={1， 2，3，…}，则 Z ( t ) , t ∈ T .是随机过程。 例5-4 在一系列掷硬币的试验中，记
1, 第t次出现正面 Z (t ) ? ?0,第t次出现反面
t 则Z(t)， ∈ T ={1，2，3，…}是一随机过程。
由于随机变量与时间参数空间T都有连续与离散之分，所以随 机过程可分为如下四类： 1．连续型随机过程：随机变量Z(t)与时间T都是连续的。如例 ．连续型随机过程： 5-2。 2．离散型随机过程：随机变量是离散的，时间是连续的。如， ．离散型随机过程： 例5-1。 3．连续随机序列：随机变量是连续的，时间是离散的。如例 ． 连续随机序列： 5-3。 4．离散随机序列：随机变量与时间都是离散的。如例5-4。 ．离散随机序列：
二 马尔科夫链
马尔科夫链是指具有无后效性的时间序列。所谓无后效 马尔科夫链 性是指序列将来处于什么状态，只与它现在所处的状态 有关，而与它过去处于什么状态无关。无后效性可用条 件概率表示。 定义5-2 设时间序列 Zt , t ∈ T的状态空间S是一整数集，若对 定义 i S中的任意n个整数：, j, i1 , i2 ?in?2 和T中任意n个整数 0 ≤ t1 < t 2 < ?t n 都有： P Zt = j Zt =i1, Zt =i2,? t =i = P Zt = j Zt =i Z 则称时间序列是马尔科夫链。而条件概率 p{Z t = j Z t = i} 称 为由tn-1时刻之状态i到tn时刻之状态j的状态转移概率，记 为 pij (t n?1 , t n )
{
n
1
n
n?1
} {
n
n?1
}
n
n ?1
定义5-3 若对任意 t ∈ T 和任意自然数k，马尔科夫链的转 定义 移概率 pij (t , t + k ) = pij (0, k ) ，则称pij (0, k ) 为由状态i经k步到 状态j的转移概率，简称k步状态转移概率，记为pij (k ) 。
三．转移概率矩阵及其性质
定义5-4 设马尔科夫链 Zt , t ∈ T 的状态空间为 定义 则称由一步转移概率 pij (i, j = 1,2,……, n) 构成的n阶方阵
P = ( pij )n×n ? p11 p12 ? p1n ? ?p p ?p ? 2n ? = ? 21 22 ? ? ? ? ? ? p n1 p n 2 ? p nm ?
，
为一步状态转移概率矩阵。
一般地，由k步转移概率 pij (k ), (i, j = 1,2,? n ) 构成的n阶方阵
p(k ) = ( pij (k ))n×n ? p11 (k ) p12 (k )? p1n (k ) ? ? p p (k )? p (k ) ? 2n ? = ? 21 22 ? ? ? ? ? pn1 (k ) pn 2 (k )? pnn (k )? ?
为k步状态转移概率矩阵 性质5-1 设 P = ( pij )n×n是马尔科夫链的一步转移概率矩阵， 性质 则：（1） pij
≥ 0, j = 1,2,? , n; i = 1,2,? n ； n （2）∑ pij = 1, i = 1,2,?, n 。 j =1 性质5-2 设 P = ( pij )n×n 与P(k ) = ( pij (k ))n×n 分别为马尔科夫链 性质 的一步和k步转移概率矩阵，则：
P(k ) = P k , k = 1,2,3, ?
即k步转移概率矩阵恰好等于一步转移概率矩阵的k次幂。
例5-7 为了了解顾客对A、B、C三种不同品牌洗衣粉的 购买倾向，市场调查小组进行了购买倾向调查。在本 月购买A、B、C品牌的顾客中分别调查了100人、150 人、和120人。了解他们下月的购买倾向。调查结果用 矩阵表示如下： 1A 2B 3C
1A ?40 30 30? 2B ?60 30 60? ? ? 3C ?60 3 30? ? ?
其中，第一行表示在本月购买A品牌100人中有40人在 下月仍打算购买A品牌，而打算转向购买B和C品牌的 人数都是30。第二行与第三行类同。要求： （1）写出状态转移概率矩阵。 （2）求购买C品牌的顾客矩阵在未来第二个月购买A 品牌和B品牌的概率。
第二节 概率向量与概率矩阵
定义5-5 如果一个行向量的元素都是非负的，且各元素 定义 之和等于1，则称此向量为概率向量。 如果一个方阵的每一行向量都是概率向量，则称此方 阵为概率矩阵。 性质5-3 如果同阶方阵 A = (aij )n×n 与 B = (bij )n×n 都 是概率 性质 矩阵，则 C = AB = (cij )n×n 也是概率矩阵。即概率矩阵的 乘积为概率矩阵。
定义5-6 马尔科夫链在初始时刻的概率分布 定义
Z0 p
1 2 … n
p10 p0 ? 2 p0 n
0 0 p (0 ) = p10 , p2 , ? pn
( 称为初始分布，记为 布为 1 2 … n Z
t
) ；在 t时刻的概率分
p
p1t
t p2 ?
t pn
t t 称为马尔科夫链在t时刻的绝对分布。记为 p t = ( p1t , p2 ,? pn ) 定理5-1 马尔科夫链在t时刻的绝对分布等于初始分布与t 定理 步转移概率矩阵的乘积，即
( p , p ,? p ) = ( p
t 1 t 2 t n
0 1
0 0 , p 2 , ? p n P (t )
)
例5-8 马尔科夫链的一步转移概率矩阵为：
0.4 0.3 0.3? P = ?0.6 0.3 0.1? ? ? ?0.6 0.1 0.3? ? ?
（1）若初始分布为（02,0.2,0.6），求t=1时的绝对分布。 （2）若初始分布为（0.5,0.25,0.25），求马尔科夫链在任 一时刻t的绝对分布。 例5-9 设马尔科夫链的转移概率矩阵为：
u1 ?u P=? 1 ?? ? ?u1 u2 ? un ? u2 ? un ? ? ? ? ?? ? u2 ? un ?
0 0 ) 初始分布为 p 0 = ( p10 , p2 , ? pn。求马尔科夫链在任一时刻的
绝对分布。
定义6-7 设P为马尔科夫链的一步转移概率矩阵。如果 定义 存在概率向量u=(u1, u2, …，un)使得uP=u，则称u为P 的固定概率向量，或称为P的固定点（或均衡点）。 如果马尔科夫链的转移概率矩阵P的所有行向量都等 于同一向量u，则称P是由u构成的稳态矩阵。
二、正规概率矩阵
定义6-8 设P是马尔科夫链的一步转移
概率矩阵，如 定义 果存在自然数k，使得Pk的所有元素都是正数，则称P 为正规概率矩阵。 例6-10 试判断下列哪些矩阵是正规概率矩阵，哪些 不是. ?1 1 1?
1 0 0 ? (1) P = ?0 1 0 ? ? ? ?0 0 1 ? ? ?
2 ? 2 (2) p = ? ?5 ? ?1 ?4 ? 3 1 5 1 2 4? ? 2? 5? ? 1? 4? ?
0.2 0.6 0.2 ? (3) p = ? 0.1 0.8 0.1? ? ? ?0.6 0.3 0.1? ? ?
第三节 马尔科夫在经济预测等方 面的应用
一、市场占有率的预测
所谓市场占有率，是指在某地区消费某种产品的居民中， 使用某一品牌的居民所占的比率。如果假设在某地区经 营的某种产品有n个品牌A1, A2, …，An, 并假设消费者消 费这n种品牌的产品具有马尔科夫链的特征，那么，用马 尔科夫链的基本原理和基本方法可以对这n种品牌的市场 占有率作出预测。具体步骤如下： 第一步， 第一步，进行市场调查 1．在全体消费此种产品的消费者中，调查目前购买n种 品牌的消费者各占的比率，获得初始分布 0 0 p 0 = ( p10 , p2 ,? pn )
2．调查在n种品牌之间消费者的流动情况，获得转移频 数矩阵，进而获得转移概率矩阵P。 比如，在被调查的目前使用第i种品牌的ni 个消费者中， 在下一时刻将有nij个消费j品牌。于是转移频数矩阵为。
N = ( nij )
n×n
用ni去除矩阵N的第i行各元素就得到了转移概率矩阵 n ij P = ( pij ) 其中 p ij = ni ( j = 1, 2,? , n; i = 1, 2,? , n ) n×n 第二步，预测未来第k时刻的市场占有率。计算初始分布 p0与k步转移概率矩阵P(k)的乘积，就可得到未来第k时刻 的绝对分布，即第k时刻的市场占有率：
k k 0 0 p k = ( p1k , p2 ,? pn ) = ( p10 , p2 ,? pn ) p ( k )
第三步，预测均衡状态下的市场占有率。如果转移概率 矩阵P是正规矩阵，那么P有惟一的固定点u = ( u1 , u 2 ,?un ) ， 于是，在市场最终达到均衡状态下，各种品牌的最终市 场占有率将分别为 u1 , u2 ,? , un
应用举例 例 5-13 在北京地区销售的鲜牛奶主要由三个厂家提供。 分别用1，2，3表示。去年12月份对2000名消费者进行 了调查。购买厂家1，2和3产品的消费者分别为800， 600和600。同时，得到的转移频数矩阵为：
1 1 N =2 3 2 3 ?320 240 240 ? ?360 180 60 ? ? ? ?360 60 180 ? ? ?
其中第一行表示，在12月份购买厂家1产品的800个消 费者中，有320名消费者继续购买厂家1的产品。转向 购买厂家2和3产品的消费者都是240人。N的第二行与 第三行的含义同第一行。 （1）试对三个厂家1~7月份的市场占有率进行预测。 （2）试求市场处于均衡状态时，各厂家的市场占有率。
二、人力资源预测
采用马尔科夫链的基本原理和基本方法可以对一个单位 的人力资源的流动情况进行分析和研究，并对未来该单 位人力
资源的结构进行预测。 例5-14 某高校为编制师资发展规划，需要预测未来教师 队伍的结构。现在对教师状况进行如下分类：青年，中 年，老年和流退（流失或退休）。根据历史资料，各类 教师（按一年为一期）的转移概率矩阵为；
青 ? 0.8 0.15 0.05 0 ? 中 ? 0.75 0.2 0.05 0 ? ? ? P= 0 0.8 0.2 ? 老 ? 0 ? ? 0 0 1 ? 流退 ? 0
目前青年教师400人，中年教师360人，老年教师300人。 试分析3年后教师的结构以及保持编制不变，3年内应进 多少硕士和博士毕业生充实教师队伍。
三、期望利润预测
1．利润矩阵 ． 定义5-9 设市场状态空间为S={1，2，…，n}，转移概率 定义 矩阵为 P = ( pij )n×n 。当市场由状态i转移至状态j时，厂家的 利润为 π ij ( i, j = 1, 2,? , n ) ，则称由 π ij ( i, j = 1, 2,? , n )构成的n 阶方阵
∏ = (π )
ij
n×n
π 11 π 12 ? π 1n ? 1n ?π π 22 ? π 2 n ? 21 ? =? ? ? ? ? ? ? ? ? π n1 π n 2 ? π nn ? ?
为利润矩阵。
2．期望利润预测公式。设 vi ( k ) 为从状态i开始，经过k步 转移到各状态所获得的期望利润，i=1, 2, …，, n。记：
T
v ( k ) = ( v1 ( k ) , v2 ( k ) ,? vn ( k ) ) , k = 0,1, 2,? 并规定v(0)=0. 由数学期望的定义知，当k=1时 vi (1) = π i1 pi1 + π i 2 pi 2 + ? + π in pin v ) 当k>1时，i ( k 等于由状态i开始，经一步转移到各状态获得 期望利润vi (1)再加上以一步转移后所到达的各个状态j再经 k-1步转移到各状态所获得的期望利润 v j ( k ? 1) 的数学期望 n 即： vi ( k ) = vi (1) ∑ v j ( k ? 1) pij = vi (1) + ( pi1 , pi 2 ,? pin ) v ( k ? 1) j =1 ? v ( k ) ? ? v (1) ? ? p p ? p ? ? v ( k ? 1) ? 于是
? ? ? v2 ( k ) ? ?v2 (1) ? ? p21 = +? v( k ) = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? vn ( k ) ? ?vn (1) ? ? pn1 ? ? ? ? ?
i 1 11 12
p22 ? pn 2
? ? p2n ? ?v2 ( k ? 1) ? ? = v (1) + P ? v ( k ? 1) ? ? ? ?? ? ? ?? ? pnn ? ?vn ( k ? 1) ? ? ?
1n
i
此式给出了市场由一种状态开始，经k步转移到达各种状 态时，生产厂家的期望利润构成的向量v(k)的递推公式。
例5-15 设一生产厂家的产品每月市场状态有畅销和滞销 两种，用1表示畅销，用2表示滞销。假设从畅销到畅销 可获利30万元；从畅销转为滞销将可获利10万元；从滞 销转为畅销可获利20万元；从滞销到滞销将亏损10万元。 现有30个月的市场销售记录。如表6-3所示。 表5-3 30个月的市场销售状态 个月的市场销售状态
月份 1 2 1 3 2 18 1 4 2 19 2 5 1 20 2 6 1 21 1 7 2 22 1 8 2 23 2 9 2 24 1 10 1 25 1 11 2 26 2 12 2 27 2 13 1 28 2 14 1 29 1 15 2 30 1
市场 1 状态 月份
16 17 2
市场 1 状态
（1）求销售市场状态转移概率矩阵。 （2）分别预测下个月和未来3个月的期望利润。
四、马尔科夫链在其他方面的应
用举例
（一）项目选址问题 例5-16 某汽车维修公司在北京市有甲、乙、丙3个维修厂。 由于公司注重对员工的技术培训，树立顾客至上、信誉 第一的理念，采用先进的管理模式，所以公司在本行业 具有良好的形象，形成了一定规模的、稳定的客户群。 对客户的调查显示，客户在甲、乙、丙3个维修厂之间的 转移概率矩阵为：
甲 ? 0.8 0.2 0 ? P = 乙 ?0.2 0 0.8? ? ? 丙 ?0.2 0.2 0.6 ? ? ?
由于资金的原因，公司目前打算只对其中的一个维修厂 进行改造，并扩大规模。试分析应选择哪个维修厂。
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