六年级奥数几何-平面部分.学生版

平面几何部分

知识点拨

一、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图12::S S a b =

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD

BCD S S =△△；

反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△

E

D

C

B

A

E

D

C

B A

图⑴ 图⑵

三、蝴蝶定理

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造

模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①2213::S S a b = ②22

1324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2

a b +．

b

a

S 2S 1D

C B

A S 4

S 3S 2

S 1

O D

C

B A A B

C D O

b a

S 3

S 2S 1

S 4

四、相似模型

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型

G

F E A

B

C

D

A

B C

D

E

F G

①

AD AE DE AF

AB AC BC AG

===

； ②2

2

:ADE ABC S S AF AG =△△：．

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．

相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、燕尾定理

在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ??=． 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ?和ACO ?的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着

广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

典型例题

【例 1】 如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．

【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？

_ H

_

G

_F

_

E

_

D

_

C

_

B

_ A _

A

_

B

_

C

_

D

_

E

_ F

_

G

_

H

_ A _ B

_ G

_ C _ E _ F

_ D

_ A _ B

_ G

_ C

_ E

_ F

_ D

O F E

D C B A

【例 2】长方形ABCD的面积为362

cm，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？

E

【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积．

【例 3】如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，8

AD=，四边形EFGO的面积

AB=，15

为．

B

【巩固】如图，长方形ABCD的面积是36，E是AD的三等分点，2

=，则阴影部分的面积为．

AE ED

B

【例 4】 已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，

求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC

)

B

【例 5】 如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，

右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．

G

F

E D

C B

A

【例 6】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘

米，求ABC △的面积．

E

D

C

B

A

【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三

角形ABC 的面积是多少？

E

D

C

B

A

【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积

是甲部分面积的几倍？

乙

甲

E D C

B

A

【例 7】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，

:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．

E

D

A

【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面

积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．

H

G

A

B C

D E

F

【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？

D

C

B

13

13

12

12

【例 10】 如图所示，ABC ?中，90ABC ∠=?，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC ?外作正方形ACDE ，

中心为O ，求OBC ?的面积．

【例 11】 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=?，AC 、BD 交于O ．已

知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．

【例 12】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，

BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？

F

E

A

B

D

C

【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于

点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．

F

E

D C

B

A

【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方

厘米?

x y y x A

B

C

D E F

G

E D C

B

A

【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面

积的1

3

，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．

A

B

C D

O

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？

B

【例 15】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、

4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．

O

G

F

E

D

C

B

A

【例 16】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方

形ABCD 的面积．

A

B

C

D E

F G

【例 17】如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点．求图中阴影部分的面积．

C

B

A

【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米．

A

B C

D

E

F

【例 18】已知ABCD是平行四边形，:3:2

BC CE ，三角形ODE的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是

平方厘米．

B

【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．

【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分

的面积是 平方厘米．

B

【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余

下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．

?

8

5

2O A B

C

D

E

F

【例 20】 如图，ABC ?是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的

面积48，:1:3AK KB =，则BKD ?的面积是多少？

B

【例 21】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中

点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m

n

，那么，()m n +的值等

于 ．

B

E

E

【例 22】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，

则::ADE

DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．

E

G

F A D C

B

【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．

A E

D C

B

【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，

AD DF FM MP PB ====，则

::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形 ．

【例 23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F 是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF

与BE 相交于点G ，求ABG S △

G

F

A

E

D

C

B

【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF 交EC 于M ，求BMG

?的面积．

M

H

G

F E D C

B

A

Q E G

N

M

F P A D C B

【例 25】如图，ABCD为正方形，1cm

AM NB DE FC

====且2cm

MN=，请问四边形PQRS的面积为多少？

C

A

【例 26】如右图，三角形ABC中，:4:9

BD DC=，:4:3

CE EA=，求:

AF FB．

O

F

E

D C

B

A

【巩固】如右图，三角形ABC中，:3:4

BD DC=，:5:6

AE CE=，求:

AF FB.

O

F

E

D C

B

A

【巩固】如右图，三角形ABC中，:2:3

BD DC=，:5:4

EA CE=，求:

AF FB.

O

F

E

D C

B

A

【例 27】如右图，三角形ABC中，:::3:2

AF FB BD DC CE AE

===，且三角形ABC的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE的面积为________，三角形GHI的面积为______．

I

H

G

F

E

A

【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC

的面积．

I

H G F

E

D

C

B

A

【巩固】如图，ABC ?中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ?的面积是阴影三角形面积的

倍．

B

【巩固】如图在ABC △中，

1

2

DC EA FB DB EC FA ===,求

GHI ABC △的面积△的面积的值． I

H

G F

E

D

C

B

A

【例 28】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分，请写出

这9部分的面积各是多少?

G

F

E D C

B

A

【巩固】如图，ABC 的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点，那么四边形

JKIH 的面积是多少？

K J

I H

A

B

C D E

F G

【例 29】 右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与

BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？

N M G

A B

C

D E

F

【例 30】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面

积

.

G

C

B

A

【例 31】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形

面积

.

G

C

B

A