2020届福建省晋江市(安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学四校)高三上学期期中考试数学(理试题

安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学

2019年高三上学期期中考试联考试卷

考试科目：理科数学满分：150分时间：120分钟命题者：连春蔚

审核者：苏灿强

周彩瑛

唐群海

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一．选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{121}M

x x =-<-≤,2{680}N x x x =-+<,则M N = (

)

A.（2,3]

B.（2,3）

C.[1,4）

D.（1,4）

2.已知i 为虚数单位，268i

z i

+=

-，设z 是z 的共轭复数,则在复平面内z 对应的点位于()

A.第一象限

B.

第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3."034"2

<+-x x 的一个充分不必要条件是（

）

A.3

2<

4

1<

3

1<

4

2<

y x π

=+上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）

，得到的曲线的对称轴方程为(

)

A.3()808k x k Z ππ=-

+∈ B.3()202k x k Z ππ=

+∈C.3()

808

k x k Z ππ=+∈ D.3()

802

k x k Z ππ

=-+∈5.图中的4片叶子由曲线2

y x =与曲线2

y x =围成,则毎片叶子的面积为(

)

A.

1

6

B.

36

C.

13

D.

23

6.设等差数列}{n a 的前n 项和为S n ，若111-=a ，664-=+a a 则当S n 取最小值时，n 等于（）

A ．

6B ．7

C ．8

D ．9

7.设四边形ABCD 为平行四边形，4,6==AD AB ，若点N M ,满足,3MC BM =,2NC DN =则

NM AM ?等于（）A．20B．15C．9D．6

8.已知数列}{n a 中，6321==a a ，，n n n a a a -=++12，，则2019a 等于（

）．

A．3

B．3

-C．6

D．6

-9.函数()()sin 2,02f x A x A π???

?

=+≤

> ??

?

部分图象如图所示，且()()0f a f b ==，对不同的[]12,,x x a b ∈，若()()12f x f x =，有()123f x x +=，则（

）

A．()f x 在5,1212ππ??

-

???上是减函数B．()f x 在5,1212ππ??

-

???上是增函数C．()f x 在5,36ππ??

??

?

上是减函数D．()f x 在5,36ππ??

??

?

上是增函数10.已知定义在上的函数()f x 满足()(2)f x f x =-，且()f x 的图象关于点（3,0）对称，

当12x ≤≤时,3()2log (43)f x x x =++，则1609

()2

f =(

)A.-4

B.4

C.-5

D.5

11.若函数3

2

()2(0)f x x ax a =-<在6,23a a +??

???

上有最大值，则a 的取值范围为()

A.[—4,0)

B .(,4]

-∞- C.[2,0)

- D.(,2]

-∞-12.用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[3]3=，[1.2]1=，[ 1.3]2-=-.已知数列{}n a 满足11a =，

2

1n n n a a a +=+，则122016111

[

...]111

a a a +++=+++()

A．1B．2016

C.2017

D．0

第Ⅱ卷（非选择题

共90分）

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置.

13.已知向量→

→b a ，

的夹角为0

120，,且，2=a

722=-b a ，则b =.

14.若=+=-=+<<-<

<)2

cos(,33)24cos(,31)4cos(,02,20βαβπαπβππα则

15.正项等比数列{}n a 中,存在两项,(,)m n a a m n N *∈使得2116m n a a a =,且7652a a a =+，

则125m n

+的最小值为16.已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，其导函数/()f x 满足/()

()()1

xf x f x xf x x +<+对

(0,)x ∈+∞恒成立，且(1)2f =，则不等式(1)(1)2x f x x ++<+的解集是

。

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2

n S n =，数列{}n b 为等比数列，且11b =，48b =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}n c 满足n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．

18.在ABC ?中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且满足cos 20cos B a b

C c

-++=．（Ⅰ）求角C 的值；

（Ⅱ）若2b =，AB 边上的

中线CD =

，求ABC ?的面积．

19.如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=?,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的

点,CD BE =O 为BC 的中点.将ADE ?沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,

其中A O '=

.

(Ⅰ)证明:A O '⊥平面BCDE ;

(Ⅱ)求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.

.

C

O B

D

E

A C

D

O

B

E

'

A 图1

图2

20.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的离心率为12，点3(1,2M 在椭圆C 上.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）已知()2,0P -与()2,0Q 为平面内的两个定点，过点()1,0的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值.

21.已知函数2

()2cos f x x ax b x =++在点(,())22f ππ处的切线方程为34

y π=

．（Ⅰ）求a ，b 的值，并讨论()f x 在0,

2π??

????

上的增减性；（Ⅱ）若12()()f x f x =，且120x x π<<<，求证：12

'()02

x x f +<．（参考公式：cos cos 2sin

sin

22

θ?θ?

θ?+--=-）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22选修4-4:坐标系与参数方程选讲

在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为αα

α

(sin cos 2???=+=r y r x 为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴

的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为3)6

sin(=+

π

θρ，且曲线C1与C2只有一个公共点.

（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；

（Ⅱ）己知曲线C1上两点A ，B 满足4

π

=

∠AOB ，求AOB ?面积的最大值.23.选修4-5:不等式选讲

已知函数()()2

231f x a x a x =+--.

（Ⅰ）当2a =时，求不等式()2f x >的解集；

（Ⅱ）若对一切实数x 都有()2f x ≤，求实数a 的取值范围.

C D

O

x E

'

A 向量法图y

z

B

2019年高三上学期期中考试联考试卷理科数学参考答案

一．选择题

CDAB

CACA

BCBD

二．填空题2

9

356

>x 三，解答题

17..解：（Ⅰ）∵数列{}n a 的前n 项和2

n S n =，

∴当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-．……………2分当1n =时，111a S ==满足上式，故21n a n =-（*

n N ∈）．

……………4分

又数列{}n b 为等比数列，设公比为q ，∵11b =，3418b b q ==，∴2q =．

……………5分∴1

2

n n b -=（*

n N ∈）．

……………7分（Ⅱ）2121n n n b n c a b ==-=-．

……………9分

123n n

T c c c c =++++L 1

2

(21)(21)(21)n

=-+-++-L 1

2

(222)n

n =+++-L 2(12)

12

n

n -=--．

所以122n n T n +=--．……………12分

18.解：()cos 210cos B a b

C c

-++=

，由正弦定理得：cos 2sin sin 0cos sin B A B

C C

-++=，...........3分即()cos sin cos 2sin sin 0B C C A B ?+-+=，

从而()sin 2sin cos 0B C A C +-=，即：sin 2sin cos 0A A C -=，...........6分又ABC 中，sin 0A >，故1cos 2C =

，得3

C π=...........7分()2由()

12CD CA CB =+ ，

...........9分

得：()

2

213222cos604

a a =++??? ，从而2a =或4(a

=-舍)，...........11分故11

sin 22sin6022

ABC S ab C =

=???=

(12)

分

19.(Ⅰ)在图1中,易得3,OC AC AD

===连结,OD

OE ,在OCD ?中,由余弦定理可得

OD

=……1分

由翻折不变性可知A D '=,

所以2

2

2

A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,

……2分理可证A O OE '⊥,……

3分又OD OE O = ,……4分所以A O '⊥平面BCDE .

……

5分(Ⅱ)向量法:以

O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -如图所示,……

6分

则(A ',()0,3,0

C -,()

1,2,0D -

所以(CA '= ,(1,DA '=-

设(),,n x y z =

为平面A CD '的法向量,则

00n CA n DA ?'?=??'?=

??

,即30

20

y x y ?

+=??-++=??,解得y x z =-?

??=??,令1x =,得(1,

n =- ……9分由(Ⅰ)知,(OA '=

为平面CDB 的一个法向量,……11分

所以cos ,5

n OA n OA n OA '

?'==

=

'

,……12分

20（1）解：（1）∵

1

2

c a =，∴2a c =，..........1分

椭圆的方程为22

22143x y c c +=，将31,2?? ???代入得22

191412c c +=，∴21c =，..........3分∴椭圆的方程为22

143

x y +=．

..........4分

（2）设l 的方程为1x my =+，联立22

1,43

1,x y x my ?+

=???=+?

消去x ，得(

)

2

2

34690m y my ++-=，设点()11,A x y ，()22,B x y ，

有122634m y y m -+=+，12

29

34

y y m -=+，..........6分

有()

22

12134

m AB m +==+，点P

()2,0-到直线l

()2,0Q 到直线l

从而四边形APBQ 的面积(

)

2

22121123434m S m m +=?=

++（或121

2

S PQ y y =

-）..........8分

令t =，1t ≥，

有2

2431t S t =+24

13t t =+，设函数()13f t t t =+，()21

'30f t t

=->，所以()f t 在[)1,+∞上单调递增，有134t t

+≥，故22424

6

1313t S t t t

==≤++

，..........12分所以当1t =，即0m =时，四边形APBQ 面积的最大值为6．

21.解：（Ⅰ）由题意知'()22sin f x ax b x =+-，∴'()0,23(),2

4f f πππ?=????=??解得1,1,a b π?=-???=?........2分

故21

()2cos f x x x x π

=-

+，2

'()2sin f x x x π

=-

-．

当02x π≤≤时，'()f x 为减函数，且'()02

f π

=，∴'()0f x >，()f x 为增函数........4分

（Ⅱ）由12()()f x f x =，得2

2

1

2

11222cos 2cos x x x x x x π

π

-+=-

+，

所以121212121

2()()()cos cos 0x x x x x x x x π

--

+-+-=，

两边同除以12x x -，得12

1212

cos cos 1

2()0x x x x x x π

--

++

=-，

........6分

所以121212122sin

sin 1

222()0x x x x

x x x x π

+---

++

=-,令12

02x x x +=

，得1200122sin sin

2220x x x x x x π

---=-，得12

00

12

2sin sin 222x x

x x x x π--=-．........8分

因为2'()2sin x

f x x π

=-

-，

所以1212

000000

1212

2sin sin

sin 2

22'()2sin sin sin (1)2

x x x x

x f x x x x x x x x x π

--=-

-=

-=?---，......10分

因为

1221

1221sin

sin 2222x x x x

x x x x --=--，又21(0,)22x x π-∈，易知21210sin 22x x x x --<<，所以12

12sin 2102

x x x x --<-，又0(0,)x π∈，所以0sin 0x >，故0

'()0f x <，得12'()02x x f +<．......12分

22．解：(1)曲线2C

的极坐标方程为1

sin(sin cos 3622

πρθρθρθ+

=+=，将sin ,cos y x ρθρθ==代入上式可得2C

直角坐标方程为1

322

y x +=，

即60x +

-=，所以曲线2C 为直线．

------------------------2分

又曲线1C 是圆心为(2,0),半径为||r 的圆，因为圆1C 与直线1C 恰有一个公共点，所以|26|

||22

r -=

=，------------3分

所以圆1C 的普通方程为2240x y x +-=，-----------4分

把222,cos x y x ρρθ+==代入上式可得1C 的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=.------------------------------------------5分

(2)由题意可设()2121(,),0,0,4(),B A πθρρρθρ+

>>，4

2(ππθ-∈-----------6

分

121||sin cos 2444MON S OA OB ππρρθθ???

===+ ??

?uu r uu u r ‖--------7分

()21cos 2sin 24cos sin cos 422θθθθθ+??

=-=- ?

?

?224πθ?

?=++ ??

?------------------------------------------------8分

所以当cos 214πθ?

?

+

= ??

?

时，AOB ?

的面积最大，且最大值为2+.-------10分23.（1）当2a =时，不等式()2f x >即为412x x +->，

当1x ≥时，3

4125x x x +->?>

，故1x ≥；-------2分当01x ≤<时，14123x x x -+>?>，故1

13x <<；

-------3分当0x <时，1

4125

x x x --+>?<-.

-------4分

综上，不等式()2f x >的解集为11,,53

????-∞-?+∞ ? ??

???

；.-------5分

（2）由题意可得()max 2f x ≤.

当1x ≥时，()()

2

2332f x a a x a =+-+-；

当0x ≤时，()()

2

2332f x a a x a =-+--+，

因为()max f x 存在，故223031a a a +-≤?-≤≤.-------7分

当01x <<时，()()

2

2323f a a x x a =-++-，

故()()()2

max

0232212f a f x f a ?=-≤?≤??=≤??

，求得a ≤≤-------9分综上实数a

的取值范围是????..

-------10分