利用空间向量解立体几何完整

利用空间向量解立体几何(完整版)

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向量法解立体几何

引言

立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。

基本思路与方法

一、基本工具

1.数量积： cos a b a b θ?=

2.射影公式：向量a 在b 上的射影为

a b

b

? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系

线线平行?两线的方向向量平行

线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系

线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离

点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的

距离为222212121()()()PQ x x y y z z =-+-+-u u u r

2.点线距离

求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ，

则向量PQ u u u r

在法向量(),n A B =上的射影

PQ n n

?u u u r =

002

2

Ax By C A B

+++

即为点P 到l 的距离. 3.点面距离

求点()00,P x y 到平面α的距离：

方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ u u u r

，

计算平面α的法向量n ，

计算PQ u u u r

在α上的射影，即为点P 到面α的距离.

四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面）

线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角

求线面夹角的步骤：

① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角； ②再求其余角，即是线面的夹角. 3.面面夹角（二面角）

若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.

实例分析

一、运用法向量求空间角

向量法求空间两条异面直线a, b 所成角θ，只要在两条异面直线

a, b 上各任取一个向量''AA BB u u u r u u u r 和，则角<','AA BB u u u r u u u r

>=θ或π-θ，因为

θ是锐角，所以cos θ=''

''

AA BB AA BB ??u u u r u u u r u u u r u u u r , 不需要用法向量。

1、运用法向量求直线和平面所成角

设平面α的法向量为n r

=（x, y, 1)，则直

线AB 和平面α所成的角θ的正弦值为

sin θ= cos(2

π

-θ) = |cos| =

AB AB n n

??u u u r r u u u r r 2、运用法向量求二面角

设二面角的两个面的法向量为12,n n u r u u r ，则<12,n n u r u u r >或π-<12,n n u r u u r

>是所求角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定<12,n n u r u u r >

α

n

A

是所求，还是π-<12,n n u r u u r

>是所求角。

二、运用法向量求空间距离

1、求两条异面直线间的距离 设异面直线

a 、

b 的公共法向量为(,,)n x y z =r

，

在a 、b 上任取一点A 、B ，则异面直线a 、b 的距离

d =AB ·cos ∠BAA ＇

=||

||

AB n n ?u u u r r r

略证：如图，EF 为a 、b 的公垂线段，a ＇

为过F 与a 平行的直线，

在a 、b 上任取一点A 、B ，过A 作AA

＇//

EF ，交a ＇于A

＇

，

则?ˉ

//AA n u u u u r r ，所以∠BAA ＇=<,BA n u u u r r >（或其补角）

∴异面直线a 、b 的距离d =AB ·cos ∠BAA ＇=||

||

AB n n ?u u u r r r *

其中，n r

的坐标可利用

a 、

b 上的任一向量,a b r r

（或图中的,AE BF u u u r u u u r ），

及n r

的定义得

0n a n a n b n b ??⊥?=?????⊥?=???

?r r r r

r r r r

① 解方程组可得n r 。

2、求点到面的距离 求A

点到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =r

，在α

内任取一点B ，则A 点到平面α的距离为d =||

||

AB n n ?u u u r r

r ，n r 的坐标由n r 与

平面α内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所

n

r

述, 若方程组无解，则法向量与XOY 平面平行，此时可改设(1,,0)n y =r

，

下同）。

3、求直线到与直线平行的平面的距离 求直线a

到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =r

，在

直线a 上任取一点A ，在平面α内任取一点B ，则直线a 到平面α的

距离d = ||

||

AB n n ?u u u r r r

4、求两平行平面的距离

设两个平行设平面α、β的公共法向量法为(,,1)n x y =r

，在平面α、

β内各任取一点A 、B ，则平面α到平面β的距离d = ||

||

AB n n ?u u u r r r

三、证明线面、面面的平行、垂直关系

设平面外的直线a 和平面α、β，两个面α、β的法向量为12,n n u r u u r

，

则

1a//a n α?⊥u r 1a a//n α⊥?u u r

12////n n αβ?u r u u r 12n n αβ⊥?⊥u r u u r

四、应用举例：

例1：如右下图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB= FB=1. (1) 求二面角C —DE —C 1的正切值; (2) 求直线EC 1与FD 1所成的余弦值.

解：（I ）以A 为原点，1,,AB AD AA u u r u u u r u u u r

分别为x 轴，y 轴,z 轴的正向

建立空间直角坐标系，

则D(0,3,0)、D 1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、

C 1(4,3,2)

于是，11(3,3,0),(1,3,2),(4,2,2)DE EC FD =-==-u u u r u u u r u u u r

设法向量(,,2)n x y =r

与平面C 1DE 垂直，则有

13301320n DE x y x y x y z n EC ⊥-=??==-++=⊥??

?

?????

r u u u r

r

u u u r

11111(1,1,2),

(0,0,2),

1010226cos 3

||||114004

2tan 2

n AA CDE n AA C DE C n AA n AA θθθ∴=--=∴--?-?-?+?===

?++?++∴=

Q Q r u u u r

r u u u r

r u u u r

u r u u u u r 向量与平面垂直与所成的角为二面角的平面角

（II ）设EC 1与FD 1所成角为β，则

11

2

2

2

2

2

2

111(4)3222

21cos 14

||||

132(4)22

EC FD EC FD β??-+?+?===

?++?-++u u u r u u u r u u u u

r u u u r

例2：如图，已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠DAB=600，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中点。

（1）证明平面PED ⊥平面PAB ； （2）求二面角P-AB-F 的平面角的余弦值 证明：（1）∵面ABCD 是菱形，∠DAB=600，

∴△ABD 是等边三角形，又E 是AB 中点，连结BD ∴∠EDB=300，∠BDC=600，∴∠EDC=900，

如图建立坐标系D-ECP ，设AD=AB=1，则PF=FD=1

2，ED=3

2

， ∴ P （0，0，1），E （

32，0，0），B （32，1

2

，0） ∴PB u u u r =（32，1

2

，-1），PE u u u r = （32，0，-1），

平面PED 的一个法向量为DC u u u r

=（0，1，0） ，设平面PAB 的法向量为n r

=（x, y, 1)

由

31

31

2(,,1)(,,1)01022

22

3330(,,1)(

,0,1)01022

x y x y x n PB n PE y x y x ????-=--=??

?=⊥??????????

?⊥?????=?-=-=?????

r u u u r

r u u u

r

∴n r =（2

3

, 0, 1)

∵DC u u u r ·n r =0 即DC u u u r ⊥n r

∴平面PED ⊥平面PAB

（2）解：由（1）知：平面PAB 的法向量为n r =（2

3

, 0, 1), 设平面

FAB 的法向量为n r

1=（x, y, -1)，

由（1）知：F （0，0，12），FB u u u r =（32，12，-1

2

），FE u u r = （32，0，

-1

2

），

由

11311

311

1(,,1)(,,)00222

222

331310(,,1)(

,0,)002222

x y x y x n FB n FE y x y x ???-?-=-+=??

?=-⊥??????????

?⊥?????=-?-=+=????

?

r u u u r

r u u u r

∴n r 1=（-1

3

, 0, -1)

∴二面角P-AB-F 的平面角的余弦值cos θ= |cos

1>|

=11

n 5714n n n ?=?r r r r

例3：在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中

心，点P 在棱CC 1上，且CC 1=4CP.

(Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；

(Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ； (Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离. 解: (Ⅰ)如图建立坐标系D-ACD 1, ∵棱长为4

∴A （4，0，0），B （4，4，0），P （0，4，1）

∴AP uuu r = (-4, 4, 1) , 显然DC u u u r

=（0，4，0）

为平面BCC 1B 1的一个法向量

∴直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角θ的正弦值sin θ= |cos

,

DC u u u r

>|=

222

16433

33

4414=

++? ∵θ为锐角，∴直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角θ为arcsin

433

33

(Ⅲ) 设平面ABD 1的法向量为n r

=（x, y, 1)，

∵AB uuu r =（0，4，0），1AD u u u u r =（-4，0，4）

由n r ⊥AB uuu r ，n r ⊥1AD u u u u r 得0

440y x =??-+=?

∴ n r =（1, 0, 1)，

∴点P 到平面ABD 1的距离 d = 32

2AP n n

?=u u u r r

r

例4：在长、宽、高分别为2，2，3的长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是底面中心，求A O 与B C 的距离。

解：如图，建立坐标系D-ACD 1，则O （1，1，0），A 1

（2，2，3），C （0，2，0）

∴1

(1,1,3)AO =--u u u r 1(2,0,3)B C =--u u u r 11(0,2,0)A B =u u u u r 设A 1O 与B 1C 的公共法向量为(,,1)n x y =r

，则

113(,,1)(1,1,3)0302(,,1)(2,0,3)0230

32

x n AO x y x y x y x n B C y ?=-??⊥?--=-+-=?????????

???--=--=⊥?????=??r u u u r r u u u r

∴ 33(,,1)22

n =-r

∴ A 1O 与B 1C 的距离为

d =()1122330,2,0,,122||332211||11331222A B n n ???- ????===????-++ ? ?????

u u u u r r r 例5：在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点，求A 1到面BDFE 的距离。

解：如图，建立坐标系D-ACD 1，则B （1，1，0），A 1（1，0，1），E （12

，1，1）

∴(1,1,0)BD =--u u u r 1

(,0,1)2BE =-u u u r 1(0,1,1)A B =-u u u r

设面BDFE 的法向量为(,,1)n x y =r

，则

(,,1)(1,1,0)0021

12(,,1)(,0,1)01022

x y x y n BD x y x y x n BE ?--=--=???⊥=????

???????=-?-=-+=⊥???????r u u u r r u u u r ∴ (2,2,1)n =-r

∴ A 1到面BDFE 的距离为d =()()()1220,1,12,2,1|||3|

13||221

A B n n -?-?-===+-+u u u r r

r A

B

C

D

A 1

B 1

D 1

C 1

O

F

E

A

B

C

D

A 1

B 1

D 1

C 1

五、课后练习:

1、如图,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1, AB=1,AA1=2,点E为CC1中点,

点F为BD1中点. （1）证明EF为BD1与CC1的公垂线; （2）求

点D1到面BDE的距离.

2、已知正方形ABCD，边长为1，过D作PD⊥平面ABCD，且PD=1，

E、F分别是AB和BC的中点，（1）求D到平面PEF的距离；（2）求

直线AC到平面PEF的距离

1

A

1

B

1

C

1

D

3、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=4，BC=3，CC 1=2（如图） （1）求证：平面A 1BC 1//平面ACD 1； （2）求（1）中两个平行平面间的距离； （3）求点B 1到平面A 1BC 1的距离。

4、如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC . （Ⅰ）证明：SE=2EB ；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .

D C

C1

A

A1

B

B1

D1