[专升本类试卷]河北专接本数学(多元函数积分学)模拟试卷4.doc
[专升本类试卷]河北专接本数学(多元函数积分学)模拟试卷4
一、选择题
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。
1 已知二次积分I=∫01dy∫0y f(x,y)dx,变换积分次序后I=( ).
(A)I=∫01dx∫01f(x,y)dy;
(B)I=∫01dx∫x1f(x,y)dy;
(C)I=∫01dx∫0x f(x,y)dy;
(D)I=∫01dx∫—x x f(x,y)dy.
2 顶点坐标为(0,0),(1,0),(1,1)的三角形面积可表示为( ).
(A)∫01dy∫0y dx;
(B)∫01dy∫01dx;
(C)∫01dx∫0y dy;
(D)∫01dx∫0x dy.
3 设D:一π≤x≤π,0≤y≤1,则二重积分
=( ).
4 已知I=,其中D是由直线y=1,x=2及y=x所围成的区域,则I=( ).(A)1;
(B)9/8;
(C)8/7;
(D)2.
5 设D是平面区域x2+y2≤R2,则二重积分=( ).
(A)∫02πdθ∫0R f(x,y)rdr;
(B)∫02πdθ∫0R f(rcosθ,rsinθ)dr;
(C)∫02πdθ∫0r f(rcos~,rsinO)rdr;
(D)∫02πdθ∫0R f(rcosθ,rsinθ)rdr;
二、填空题
6 设L是从点(0,0)到点(1,1)的有向线段,则曲线积分∫L ydX+xdy=__________.
7 设D是由,x2+y2=π2,x2+y2=4π2所围成的区域,则
=__________.
8 设D由y=x2,y2=x所围,则二重积分f(x,y)da化为直角坐标系下的两种次序的二次积分分别为_________.
9 设D由0≤x≤1,一1≤y≤1确定,则二重积分=__________.
10 设D由曲线x=y2+1,直线x=0,y=0与y=1所围成的闭区域,则二重积分
的值为__________.
三、综合题
11 计算二重积分,其中D由y=x,x=2,xy=1所围成.
12 求,其中D是由y2=x,y=x一2所围的区域。
13 计算二重积分,其中D由y=2x,y=x,x=2,x=4所围成.
14 利用极坐标计算.
15 计算二重积分e x+y dxdy,其中D:0≤x≤1,0≤y≤1.
16 (y2一x)dxdy,其中D是由直线y=2,y=x以及y=2x所围的区域。
17 计算二重积分(x2+y)dσ,其中D由y=x2,y2=x所围成。
18 ye xy dxdy,其中D是由xy=1以及x=2,y=1所围的区域。
19 设I=,交换积分次序并计算积分值I。
20 计算二重积分siny2dxdy,其中D是由直线x=1,y=2及y=x一1所围成的区域。
21 计算二重积分,其中D为圆x2+y2=a2所包围的第一象限的区域。
22 计算二重积分,其中积分区域D:π2≤x2+y2≤4π2.
23 计算二重积分,其中D为圆x2+y2=1所包围的区域.
24 计算.
25 计算二重积分.
河北专接本数学考试真题
河北省2011年普通高校专科接本科教育选拔考试 《数学(一)》(理工类)试卷 (考试时间60分钟) (总分100分) 说明:请将答案填写答题纸的相应位置上,填在其它位置上无效. 一、 单项选择题 (本大题共10小题, 每小题3分, 共30分. 在每小题给出的四个备选项中, 选出一个正确的答案, 并将所选项前面的字母填写在答题纸的相应位置上, 填写在其它位置上无效) 1.设函数()1x f x e =-,则[(0)]f f =( ). A .0 B .1 C.1- D.e 2.设210 ()2030x x x f x x x ?-==??>? ,则下列等式正确的是( ). A. 0 lim ()2x f x →= B. 0 lim ()1x f x -→=- C. 0 lim ()3x f x + →= D. 0 lim ()3x x f x →= 3.设1234,,,αααα是4个三维向量,则下列说法正确的是( ). A. 1234,,,αααα中任一个向量均能由其余向量线性表示 B. 1234,,,αααα的秩≤3 C. 1234,,,αααα的秩=3 D. 1234,,,αααα中恰有3个向量能由其余向量线性表示 4.曲线3 (2)2y x =++的拐点是( ). A. (0,2)- B. (2,2)- C. (2,2)- D. (0,10) 5.已知2sin 0x y y -+=,则 00 x y dy dx ==的值为( ). A. 1- B. 0 C. 1 D. 1 2 6.下列级数发散的是( ).
A. 23 23888-999 +-+L B. 2233111111()()()232323++++++L C. 13+L D. 111133557+++???L 7.微分方程x y dy e dx +=的通解为( ). A.x y C -= B. x y e e C += C. x y e e C -+= D. x y e e C -+= 8.若'()()F x f x =,则 (ln ) (0)f x dx x x >? 为( ). A.()F x C + B. (ln )F x C + C. (ln )f x C + D. 1()f C x + 9.若A 为n 阶方阵,则kA =( ),其中k 为常数. A. kA B. k A C. 2k A D. n k A 10.3 000100010?? ? ? ??? =( ). A. 000000100?? ? ? ??? B. 000100000?? ? ? ??? C. 000000010?? ? ? ??? D. 000000000?? ? ? ??? 二、 填空题 (本大题共5小题, 每小题4分, 共20分. 将答案填写在答题纸的相应位置上, 填写在其它位置上无效) 11.设1 sin 0()00 (1)1x x e x x f x k x x x ?+? ==??>?++? 在0x =处连续,则k = . 12.经过点(2,5,1)- 且与平面4230x y z -+-=垂直的直线方程为 . 13.由sin y x =,直线2 x π =及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转所形成的旋转体的体积 是 . 14.幂级数2 1 (2)!(!)n n n x n ∞ =∑的收敛半径为 .
多元函数微分学知识点梳理
第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道:多元函数的一些基本概念(n 维空间,n 元函数,二重极限,连续等);理解:偏导数;全微分. 2、重要定理 (1)二元函数中,可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 (2)(二元函数)极值的必要、充分条件 二、基本计算 (一) 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算(计算),(00y x f x ') (1)先代后求法 ),(00y x f x '=0),(0x x y x f dx d = (2)先求后代法(),(00y x f x '=00),(y y x x x y x f ==') (3)定义法(),(00y x f x '=x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000)(分段函数在分段点处的偏导数) 2、偏导函数的计算(计算(,)x f x y ') (1) 简单的多元初等函数——将其他自变量固定,转化为一元函数求导 (2) 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则(画树形图,写求导公式) (3) 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法:(地位平等)直接法:方程两边同时对或求导(地位不平等) 注:若求隐函数的二阶导数,在一阶导数的基础上,用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示,以及求导顺序 (二) 全微分的计算 1、 叠加原理
第十七章多元函数微分学习题课
第十七章 多元函数微分学习题课 一 疑难问题与注意事项 1.(,)z f x y =在),(000y x P 可微的等价定义: 1)0000(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y o ρ?=+?+?-=?+?+,0 () lim 0o ρρρ →=; 2)00000 [(,)(,)] lim 0x y z f x y x f x y y ρρ →?-?+?=; 3), y x y B x A z ?+?+?+?=?βα()() ()() ,0,0,0,0lim lim 0x y x y αβ??→??→= =. 2.求(,)f x y 在00(,)x y 处的偏导数方法小结: 答 1)利用定义求(主要适用于分段函数的分段点处的偏导数): 0000000 (,)(,) (,)lim x x f x x y f x y f x y x ?→+?-=?, 0000000 (,)(,) (,)lim y y f x y y f x y f x y y ?→+?-=?. 2)转化为一元函数的导数: ()0 000,(,)x x x df x y f x y dx ==,() 000,(,)y y y df x y f x y dy == . 例如,2(,)(f x y x y =+-(1,1)x f . 解 () ()211 ,1(1,1)2x x x d x df x f dx dx ==== =. 3)先求偏导函数,在代值,即 ()0 00(,)(,),x x x y f x y f x y =,0 00(,) (,)(,)y y x y f x y f x y =. 3.求(,)z f x y =(初等函数不含分段点)的偏导函数方法小结: 答 1)求 z x ??,把y 当常数,对x 求导,求z y ??,把x 当常数,对y 求导. 2)运用轮换性,若在(,)z f x y =中,把x 换成y , y 换成x ,(,)z f x y =不变,则称(,)z f x y =关于x 和y 具有轮换性.若已经求出 z x ??,只要在z x ??把x 换成y , y 换成x ,
【免费下载】河北专接本数学真题及答案数二
河北省2013年普通高校专科接本科教育选拔考试《数学(二)》(考试时间60分钟)(总分100分)说明:请将答案填写答题纸的相应位置上,填在其它位置上无效.一、 单项选择题 (本大题共10小题, 每小题3分, 共30分. 在每小题给出的四个备选项中, 选出一个正确的答案, 并将所选项前面的字母填写在答题纸的相应位置上, 填写在其它位置上无效)1.函数 )A. B. C. D. (),2-∞()0,+∞(]0,2()0,22. 对于函数,以下结论中正确的是( )A. x=0 是第一类间断点,x=2 是第二类间断点B. x=0 是第二类间断点,x=2 是第一类间断点 C. x=0 是第一类间断点,x=2 也是第已类间断点D. x=0 是第二类间断点,x=2 也是第二类间断点3. 下列等式中正确的是( )A. B. C. D. 0tan lim 1x x x →=1lim sin 0x x x →∞=0lim(1)x x x e →+=1lim(1x x e x →∞-=4. 设,则当时( )()8,()2f x x g x =-=-A. 与是等价无穷小 B. 比高阶的无穷小 ()f x ()g x ()f x ()g x C. 是的低阶无穷小 D. 与为同阶但不等价的无穷小 ()f x ()g x ()f x ()g x 5. 曲线在处的法线的斜率为( )2ln y x =+x e =A. B. C. D. e e -1e -1e --6. 函数的极值点的个数是( )233()2f x x x =-A. 0 B. 1 C. 2 D. 37. 设,则( )()tan f x dx x C =+?2(arctan )1f x dx x =+?A. B. C. D. arctan x C +2tan(1)x C ++21(arctan )2f x C +x C +
用MATLAB算多元函数积分
用MATLAB 计算多元函数的积分 三重积分的计算最终是化成累次积分来完成的,因此只要能正确的得出各累次积分的积分限,便可在MA TLAB 中通过多次使用int 命令来求得计算结果。但三重积分的积分域Ω是一个三维空间区域,当其形状较复杂时,要确定各累次积分的积分限会遇到一定困难,此时,可以借助MATLAB 的三维绘图命令,先在屏幕上绘出Ω的三维立体图,然后执行命令 rotate3d on ↙ 便可拖动鼠标使Ω的图形在屏幕上作任意的三维旋转,并且可用下述命令将Ω的图形向三个坐标平面进行投影: view(0,0),向XOZ 平面投影; view(90,0),向YOZ 平面投影; view(0,90),向XOY 平面投影. 综合运用上述方法,一般应能正确得出各累次积分的积分限。 例11.6.1计算zdv Ω ???,其中Ω是由圆锥曲面222z x y =+与平面z=1围成的闭区域 解 首先用MA TLAB 来绘制Ω的三维图形,画圆锥曲面的命令可以是: syms x y z ↙ z=sqrt(x^2+y^2); ↙ ezsurf(z,[-1.5,1.5]) ↙ 画第二个曲面之前,为保持先画的图形不会被清除,需要执行命令 hold on ↙ 然后用下述命令就可以将平面z=1与圆锥面的图形画在一个图形窗口内: [x1,y1]=meshgrid(-1.5:1/4:1.5); ↙ z1=ones(size(x1)); ↙ surf(x1,y1,z1) ↙ 于是得到Ω的三维图形如图:
由该图很容易将原三重积分化成累次积分: 111zdv dy -Ω=???? 于是可用下述命令求解此三重积分: clear all ↙ syms x y z ↙ f=z; ↙ f1=int(f,z.,sqrt(x^2+ y^2),1); ↙ f2=int(f1,x,-sqrt(1- y^2), sqrt(1- y^2)); ↙ int(f2,y,-1,1) ↙ ans= 1/4*pi 计算结果为4 π 对于第一类曲线积分和第一类曲面积分,其计算都归结为求解特定形式的定积分和二重积分,因此可完全类似的使用int 命令进行计算,并可用diff 命令求解中间所需的各偏导数。 例11.6.2用MATLAB 求解教材例11.3.1 解 求解过程如下 syms a b t ↙ x=a*cos(t); ↙ y=a*sin(t); ↙ z=b*t; ↙ f=x^2 +y^2+z^2; ↙ xt=diff(x,t); ↙ yt=diff(y,t); ↙ zt=diff(z,t); ↙ int(f*sqrt(xt^2 +yt^2+zt^2),t,0,2*pi) ↙ ans= 2/3*( a^2 +b^2)^1/2*a^2*pi+8/3*( a^2 +b^2)^1/2*b^2*pi^3 对此结果可用factor 命令进行合并化简: factor (ans ) ans= 2/3*( a^2 +b^2)^1/2*pi*(3* a^2 +4*b^2*pi^2) 例11.6.3用MATLAB 求解教材例11.4.1 解 求解过程如下 syms x y z1 z2↙ f= x^2 +y^2; ↙ z1=sqrt(x^2 +y^2); ↙ z2=1; ↙ z1x=diff(z1,x); ↙ z1y=diff(z1,y); ↙ z2x=diff(z2,x); ↙ z2y=diff(z2,y); ↙
河北省专接本考试真题 2019高等数学一
河北省2019年普通高校专科接本科教育选拔考试 《高等数学(一)》(考试时间60分钟)(总分100分) 一、 单项选择题 (本大题共10小题, 每小题3分, 共30分. 在每小题给出的四个备选项中, 选出一个正确的答案, 并将所选项前面的字母填写在答题纸的相应位置上) 1.函数)1ln(4)(2-+-=x e x x f 的定义域为( ). A .[]2,2- B.(]2,0 C.[)2,0 D. ()2,2- 2.=??? ??- →x x x 3021lim ( ) A.23 -e B.23e C.6-e D.6e 3.设)(x f 在0x 处可导,若3)()2(lim 000=--+→h h x f h x f h ,则=')(0x f ( ) A .1- B. 0 C. 1 D. 3 4. 广义积分?+∞ =+14 12dx x x ( ) A .0 B. 4π C.2π D. π 5.设矩阵??? ? ??=???? ??--=???? ??=1001,1401,5123E B A ,若()E X B A =-,则X =( ). A . ???? ??-12513 B. ???? ??-12513 C.???? ??--12 513 D.???? ??12513 6.已知)(x f 的一个原函数为x e -,则?='dx x f x )(( ) A.c e xe x x ++-- B.c e xe x x +--- C.c e xe x x ++--- D.c e xe x x +---- 7.过点)1,3,2(0P 且与向量)2,1,1(-=→a 和)1,1,0(-=→b 垂直的直线方程为( ). A .111332--=--=--z y x B.1 11332-=--=--z y x C. 111332--=-=--z y x D.111332-=--=-z y x
2018年河北省专接本数一试题及答案(word板)
普通高校专科接本科教育选拔考试 高等数学(一)试卷 (考试时间:60分钟) (总分:100分) 说明:请在答题纸的相应位置上作答,在其它位置上作答的无效. 一、单项选择题(0本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个备选项中,选出一个正确的答案,请将选定的答案填涂在答题纸的相应位置上.) 1.函数)2(3)(-+-=x In x x f 的定义域为( ).【集训营第一章原题型】. A. (2,3] B.[3,+∞) C.(-∞,2) D.[2,3) 2.设函数00 ,)21(,)(1 >≤???++=x x x e a x f x x 在0=x 处连续,则常数=a ( ).【魔鬼班卷四5题数二】. A. 1-e B.e C.1-e D.12-e 3.设)(0'x f ,)0('f 均存在,以下四式中错误的一项是( ). 【习题册第二章限时原题型】 A. 0 00') ()(lim )(0 x x x f x f x f x x --=→ B. h x f h x f x f h ) ()(lim )(000 0'-+=→ C. x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(000 0' D. x x f f x ) (lim )0(0 '→= 4.当 0→x 时,与 x tan 等价的无穷小是( ). 【保过班第二章原题型】 A. x x -2 B. x cos 1- C.x x sin 2+ D.11-+x 5.设矩阵=???? ??=-1 ,4321A A 则( ). 【保过班测试卷5原题型】 A. 21 B. 2 1 - C. 1 D. -1
(完整版)河北省专接本高数真题合集
河北省2005年专科接本科教育考试 数学(一)(理工类)试题 (考试时间:60分钟 总分:120分) 一、单项选择题(本大题共10个小题,每小题2分,共20分。在每小题给出的四个备选项中,选出一个正确的答案,并将所选项前的字母填写在答题纸的相应位置上,填写在其它位置上无效。) 1 在区间[]1,1-上,设函数)(x f 是偶函数,那么)(x f -( ) A 是奇函数 B 是偶函数 C 既不是奇函数也不是偶函数 D 不能被判定奇偶性 2 设0x ,sin 2)(),1()(2 →=+=当x x x x In x a β时,( ) A ()() x βαx 没有极限 B ()x α与()x β是等价无穷小 C ()x α与()x β是同阶无穷小 D ()x α是比()x β高阶的无穷小 3 如果函数)(x f 在点0x 处连续,并且在点0x 的某个去心邻域内)(x f >0,那么( ) A 0)(0≥x f B 0)(0>x f C 0)(0=x f D 0)(0 习题课:多元函数求偏导,多元函数微分的应用 多元复合函数、隐函数的求导法 (1) 多元复合函数 设二元函数),(v u f z =在点),(00v u 处偏导数连续,二元函数),(),,(y x v v y x u u ==在点 ),(00y x 处偏导数连续, 并且),(),,(000000y x v v y x u u ==, 则复合函数 )),(),,((y x v y x u f z = 在点),(00y x 处可微,且 ()()()() x y x v v v u f x y x u u v u f x z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00??()()()() y y x v v v u f y y x u u v u f y z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00?? 多元函数微分形式的不变性:设),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===,均为连续可微, 则将z 看成y x ,的函数,有 dy y z dx x z dz ??+??= 计算 y v v f y u u f y z x v v f x u u f x z ????+????=??????+????=??,,代人, dv v f du u f dy y v dx x v v f dy y u dx x u u f dy y v v f y u u f dx x v v f x u u f dy y z dx x z dz ??+??= ???? ????+????+???? ????+????=???? ??????+????+??? ??????+????=??+??= 我们将dv v f du u f dy y z dx x z dz ??+??=??+??= 叫做微分形式不变性。 例1 设??? ??=x y xy f x z , 3 ,求y z x z ????,。 第七章多元函数的微分学 一、多元函数微分学网络图 二、内容与要求 1.理解多元函数的概念,理解二元函数的几何意义。 2.了解二元函数的极限与连续性的概念,以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要条件和充分条件, 了解全微分形式的不变性。 4.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。 5.会求多元隐函数的偏导数。 6.理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件, 了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值, 会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题。 重点多元函数偏导数和全微分的概念,多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。用拉格朗日乘数法求条件极值,求简单多元函数的最大值和最小值,解决一些简单的应用问题。 难点多元复合函数二阶偏导数的求法。用拉格朗日乘数法求条件极值,求简单多元函数的最大值和最小值,解决一些简单的应用问题。 三、概念、定理的理解与典型错误分析 1.求多元函数极限的方法 (1)利用初等多元函数的连续性,即若是初等函数,在的定义域中,则 注:所谓的初等多元函数就是用一个数学表达式给出的解析式. (2)利用多元函数极限的四则运算。 (3)转化为一元函数的极限,利用一元函数的极限来计算. (4)对于证明或求时,感觉极限可能时零, 而直接又不容易证明或计算,这时可用夹逼定理,即而 由夹逼定理知从而 2.判断多元函数极限不存在的方法 (1)选取两条特殊的路径,而函数值的极限存在,但不相等,则不存在。 注意: 与的区别,前面两个本质是两次求一元函数的极限, 我们称为求累次极限,而最后一个是求二元函数的极限,我们称为求二重极限。 例1 而知不存在. 例2 在原点的两个累次极限都不存在,但是 由于,因此. 由例1知两个累次极限存在,但二重极限不存在,由例2知两个累次极限不存在, 但二重极限存在,但我们有下面的结论。 定理7。1 若累次极限和二重极限都存在,则三者相等。 (2)推论。若存在且不相等,则不存在。 3.求多元函数的偏导数 2.多元函数积分学 K考试内容》(数学一) 二重积分、三重积分的概念及性质二重积分与三重积分的计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林公式平面曲线积分与路径无关的条件己知全微分求原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯公式斯托克斯公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用 K考试要求》(数学一) 1 ?理解二重积分、三重积分的概念,了解重积分的性质,了解二重积分的中值定理。 2.掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标),会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。 3?理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 4.掌握计算两类曲线积分的方法。 5.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关的条件,会求全微分的原函数。 6.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系,掌握计算两类曲面积分的方法。会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分。 7.了解散度与旋度的概念,并会计算。 8.会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等)。 K考试要求』(数学二) 1.了解二重积分的概念及性质,掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)。 K考试要求》(数学三) 1.了解二重积分的概念及性质,掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)。 2.了解无界区域上较简单的广义二重积分及其计算。 K考试要求》(数学四) 同数学三 2.多元函数积分学 K知识点概述H 2. 1二重积分 基本概念:定义、基本性质 计算方法:直角坐标法(x型简单区域;y型简单区域)极坐标法(r型简单区 域;&型简单区域)一般变换法 几何应用:面积、曲顶柱体体积物理应用:质量、质心、转动惯量 2. 2三重积分 基本概念:定义、基本性质 计算方法:直角坐标法:x型简单区域;y型简单区域;z型简单区域 投影法(先定积分后二重积分) 截面法(先二重积分后定积分)柱坐标法;球坐标法;一般变换法 儿何应用:体积物理应用:质量、质心、转动惯量、引力 2. 3曲线积分 第一类曲线积分 基本概念:定义、基本性质 计算方法:参数化法 儿何应用:弧长 物理应用:质量、质心、转动惯量、引力 第二类曲线积分 基本概念:定义、基本性质计算方法:参数化法 曲线积分基本定理(曲线积分与路径无关的条件(平面情形,空间情形); 全微分的原函数;场论基本概念与计算格林公式(平面曲线积分);斯托克 斯公式(空间曲线积分)物理应用:功,环流量,通量第一类曲线积分与第二类曲线积分的联系 第8章 多元函数微分学及其应用 参考解答 1、设22 , y f x y x y x ??+=- ??? ,求(),f x y ,(),f x y xy -。 解:()()()()2 21, 1y y x y x f x y x y x y x y x y y x x y x - -??+=+-=+=+ ?+? ? + ,故得 ()2 1,1y f x y x y -=+,()()21,1xy f x y xy x y xy --=-+ 2、求下列各极限: 2242222 2220000 cos sin 1(1) lim lim lim sin 204x r r y x y r r x y r θθθ→→→→===+ 注意:在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时,θ也是变量。本题中,0r →时,2r 为无穷小量,而2 sin 2θ为有界变量,故所求极限为零。 ()00sin sin (2) lim lim 1x t y a xy t xy t →→→== 3、证明极限2 2400 lim x y xy x y →→+不存在。 证明:当2 y kx =时,()2242,1xy k f x y x y k ==++,故2 22420 lim 1y kx x xy k x y k =→=++与k 有关。可见,(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时,函数极限不同,故极限不存在。(两路径判别法) 4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性: (1)()()()222222 22 ln , 0 ,0, 0 x y x y x y f x y x y ?+++≠?=?+=?? 解: ()() ()()() ()()()2 222,0,0,0,0 lim ,lim ln lim ln 00,0x y x y t f x y x y x y t t f →→→= ++=== 故原函数在()0,0点处连续。 河北专接本数学(数一)考试大纲 河北省专接本公共课考试考试大纲—高等数学考试大纲 数一理工类 1 考试说明 一、内容概述与总要求 参加数一考试的考生应理解或了解《高等数学》中函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及《线性代数》中行列式、矩阵、线性方程组的基本概念与基本理论,掌握或学会上述各部分的基本方法;注意各部分知识结构及知识的内在联系;应具有一定的运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和抽象思维能力;能运用基本概念、基本理论和基本方法准确、简捷地计算,正确地推理证明;能运用所学知识分析并解决简单的实际问题。数学考试从两个层次上对考生进行测试,较高层次的要求为“理解”和“掌握”,较低层级的要求为“了解”和“会”。这里“理解”和“了解”两词分别是对概念、理论的高层次与低层次要求。“掌握”和“会”两词分别是对方法、运算的高层次与次层次要求。 二、考试形式与试卷结构 考试采用闭卷、笔试形式,全卷满分为100分,考试时间为60分钟。 试卷包括选择题、填空题、计算题和证明题。选择题是四选一型的单项选择题;填空题只要求直接填写结果,不必写出计算过程或推证过程;计算题、证明题均应写出文字说明、演算步骤或推证过程。 选择题和填空题分值合计为50分。计算题和证明题分值合计50分。 数一中《高等数学》与《线性代数》的分值比例约为84:16 2 考试内容和要求 一、函数、极限与连续 (一)函数 1.知识范围 函数的概念及表示方法分段函数函数的奇偶性、单调性、有界性和周期性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数简单应用问题函数关系的建立2.考试要求 (1)理解函数的概念,会求函数的定义域、表达式及函数值,会建立实际问题中的函数关系式。 (2)了解函数的简单性质,会判断函数的有界性、奇偶性、单调性、周期性。 (3)掌握基本初等函数的性质及其图形。 (4)理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。掌握将一个复合函数分解为基本初等函数或者简单函数的复合的方法。 (二)极限 1.知识范围 数列极限与函数极限的定义及其性质,函数的左、右极限,极限的四则运算,无穷小无穷大无穷小的变化 两个重要极限; 2.考核要求 (1)理解极限的概念(对极限定义中“ε—N”、“ε—δ”、“ε—M”等形式的描述不作要求),理解函数左、右极限的概念以及极限存在与左、右极限之间的关系,了解自变量趋向于无穷大时函数极限存在的充分必要条件。 (2)了解极限的性质,掌握极限的四则运算法则。 (3)理解无穷小、无穷大以及无穷小的比较(高阶、低阶、同阶和等阶)的概念,会应用无穷小与无穷大的关系、有界变量与无穷小的乘积、等价无穷小代换求极限。 (4)掌握应用两个重要极限求极限的方法。 (三)函数的连续性 1.知识范围 函数连续的概念函数的间断点初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质(最大值与最小值定理、零点存在定理) 2.考核要求 (1)理解函数连续性概念会判断分段函数在分段点的连续性。 (2)会求函数的间断点 (3)了解闭区间上连续函数的性质(最大值与最小值定理、零点存在定理),会用零点存在定理推正一些简单的命题。 (4)了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解函数在一点连续和极限存在的关系,会应用函数的连续性求极限。 二、一元函数微分学 (一)导数与微分 1.知识范围 导数与微分的概念导数的几何意义与物理意义函数的可导性与连续性的关系平面、曲线的切线和法线基本初等函数的导数导数与微分的四则运算复合函数、隐函数以及参加方程确定 第十七章多元函数微分学 教学目的:1.理解多元函数微分学的概念,特别应掌握偏导数、全微分、连续及 偏导存在、偏导连续等之间的关系;2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。 教学重点难点:本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用;难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。 教学时数:18学时 § 1 可微性 一.可微性与全微分: 1.可微性:由一元函数引入. 亦可写为, 时. 2.全微分: 例1 考查函数在点处的可微性 . P107例1 二.偏导数: 1.偏导数的定义、记法: 2.偏导数的几何意义: P109 图案17—1. 3.求偏导数: 例2 , 3 , 4 . P109—110例2 , 3 , 4 . 例5. 求偏导数. 例6. 求偏导数. 例7. 求偏导数, 并求. 例8. 求和. 解=, =. 例9 证明函数在点连续 , 并求和. 证 . 在点连续 . , 不存在 . 三.可微条件: 1.必要条件: Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微 , 和存在 , 且 . ( 证 ) 由于, 微分记为 . 定理1给出了计算可微函数全微分的方法. 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分. 例10考查函数 在原点的可微性 . [1]P110 例5 . 2.充分条件: Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在 , 且和在点处连续 . 则函数在点可微 . ( 证 ) P111 Th 3 若在点处连续, 点存在 , 则函数在点可微 . 证 . 即在点可微 . 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 . 例11 验证函数在点可微 , 但和在点处不连续 . (简证,留为作业) 证 河北省2006年专科接本科教育考试 数学(三)(管理类)试题 (考试时间:60分钟 总分:100分) 说明:请将答案填写在答题纸相应位置上,填写在其它位置上无效。 一、单项选择题(本大题共10个小题,每小题2分,共20分。在每小题给出的四个备选项中,选出一个正确的答案,并将所选项前的字母填写在答题纸的相应位置上,填写在其它位置上无效。) 1 函数x x y sin 3+-= 的定义域是 ( ) A [1,0] B [1,0)?(3,1] C [+∞,0) D [3,0] 2 下列极限正确的是 ( ) A ∞=∞→x x e lim B +∞=+→x x e 1 0lim C 1sin lim 1=→x x x D 11)1sin(lim 21=--→x x x 3 设函数)(x f 在点1=x 处可导,且2 1 )1()21(lim 0=?-?+→?x f x f x ,则=')1(f ( ) A 21 B 41- C 41 D 2 1- 4 函数3 44 1x x y +=的单调增加区间是( ) A (+∞∞-,) B (3,-∞-)?(+∞,0) C (+∞-,3) D 以上都不对 5 若x x d x df 1)()(22=,0>x ,则)(x f =( ) A C x +2 B C x +2 C C x +ln D C x +ln 2 6 =++?-dx x x 1 121sin 1( ) A 4π B 4π- C 2 π D 2π- 7 由曲线2 3x y -=和x y 2=所围成的平面图形的面积=S ( ) A ?---3 12)223(dx x x B ?---262 )32 (dy y y C ?---132 )32 (dy y y D ?---132)223(dx x x 8 设a 为常数,则级数 ∑∞ =--1 cos 1)1(n n n a ) (是( )的 A 发散 B 条件收敛 C 绝对收敛 D 收敛性与a 有关 第八讲 多元函数积分学知识点 一、二重积分的概念、性质 1、 ∑??=→?=n i i i i d D f dxdy y x f 1 0),(lim ),(δηξ ,几何意义:代表由),(y x f ,D 围成的曲顶柱体体积。 2、性质: (1)=??D dxdy y x kf ),(??D dxdy y x f k ),( (2)[]??+D dxdy y x g y x f ),(),(= ??D dxdy y x f ),(+??D dxdy y x g ),( (3)、D d x d y D =?? (4)21D D D +=,??D dxdy y x f ),(=??1),(D dxdy y x f +??2 ),(D dxdy y x f (5)若),(),(y x g y x f ≤,则≤??D dxdy y x f ),(??D dxdy y x g ),( (6)若,),(M y x f m ≤≤则MD dxdy y x f mD D ≤≤??),( (7)设),(y x f 在区域D 上连续,则至少存在一点D ∈),(ηξ,使=??D dxdy y x f ),(D f ),(ηξ 二、计算 (1) D:)()(,21x y x b x a ??≤≤≤≤ ????=) ()(21),(),(x x b a D dy y x f dx dxdy y x f ?? (2) D :)()(,21y x y d y c ??≤≤≤≤, ????=) ()(21),(),(x x d c D dy y x f dy dxdy y x f ?? 技巧:“谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围,然后通过划水平线和 垂直线的方法确定另一个变量的范围 (3)极坐标下:θθθrdrd dxdy r y r x ===,sin ,cos ????=) (0)sin ,cos ( ),(θβαθθθr D rdr r r f d dxdy y x f 三、曲线积分 1、第一型曲线积分的计算 (1)若积分路径为L :b x a x y ≤≤=),(φ,则 河北专接本考试大纲:数学(一) 导读:本文河北专接本考试大纲:数学(一),仅供参考,如果觉得很不错,欢迎点评和分享。 河北省2016年普通专科接本科教育考试 数学(一)(理工类)考试大纲 Ⅰ.考试说明 一、内容概述与总要求 数学考试是为招收理工类、财经类、管理类及农学类各专业专科接本科学生而实施的入学考试。为了体现上述不同类别各专业对专科接本科学生入学应具备的数学知识和能力的不同要求,数学考试分为数学(一)(理工类)考试、数学(二)(财经、管理、农学类)考试,每一类考试单独编制试卷。 参加数学(一)考试的考生应理解或了解《高等数学》中函数、极限、连续、一元函数、微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及《线性代数》中行列式、矩阵、线性方程组的基本概念与基本理论;掌握或学会上述各部分的基本方法;注意各部分知识的结构及知识的内在联系;应具有一定的运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和抽象思维能力;能运用基本概念、基本理论和基本方法准确、简捷地进行计算,正确地推理证明;注重数学应用能力的培养,能综合运用所学知识分析并解决较简单的实际问题。数学考试从两个层次上对考生进行测试,较高层次的要求为“理解”和“掌握”,较低层次的要求为“了解”和“会”。这里“理解”和“了解”是对概念与理论提出的要求。“掌握”和“会”是对方法、运算能力 及应用能力提出的要求。 二、考试形式与试卷结构 考试采用闭卷、笔试形式,全卷满分为100分,考试时间为60分钟。 试卷包括选择题、填空题、计算题和应用题。选择题是四选一型的单项选择题;填空题只要求直接填写结果,不必写出计算过程;计算题、应用题均应写出文字说明及演算步骤。选择题和填空题分值合计为50分。其余类型题目分值合计为50分。 数学(一)中《高等数学》与《线性代数》试题的分值比例约为84:16。 Ⅱ.考试内容与要求 一、函数、极限与连续 (一)函数 1.知识范围 函数的概念及表示法分段函数函数的奇偶性、单调性、有界性和周期性复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数简单应用问题函数关系的建立。 2.考核要求 (1)理解函数的概念,会求函数的定义域、表达式及函数值。 (2)了解函数的简单性质,会判断函数的有界性、奇偶性、单调性、周期性。 (3)掌握基本初等函数的性质及其图形。 (4)理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。掌握将一个复合函数分解为基本初等函数或者简单函数的复合的方法。 (5)会建立实际问题中的函数关系式并利用函数关系分析和解决较简单的实际问题。 第五部分 多元函数微分学(1) [选择题] 容易题1—36,中等题37—87,难题88—99。 1.设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π,则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答:C 2.二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续,偏导数存在 (B) 连续,偏导数不存在 (C) 不连续,偏导数存在 (D) 不连续,偏导数不存在 答:C 3.设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定,则当v u ≠时,=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答:B 4.设),(y x f 是一二元函数,),(00y x 是其定义域内的一点,则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续,则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在,则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在,则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微,则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答:D 5.函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31, 31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答:A 多元函数积分学总结 多元函数积分学是一元函数积分学的拓展与延伸,包括二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分。 几何意义:曲顶柱体的体积 性质:线性性质、可加性、单调性、估值性质、中值定理 计算方式:x 型、y 型、极坐标(2 2 y x +) 常见计算类型: ① 选择积分顺序:能积分、少分块 ② 交换积分顺序:确定积分区域→交换积分顺序→开始积分 ③ 利用对称性简化计算:要兼备被积函数和积分区域两个方面,不可误用。 ④ 极坐标系下的二重积分的定限:极点在积分区域内(特殊:与x 轴相切、与y 轴相切)、极点不在积分区域内 ⑤ 其他:利用几何意义、含绝对值时先去绝对值、分段函数、概率积分 了解“积不出来函数”:dx x ?)cos(2、dx e x ? -2 、dx x ? ln 1、dx x x ?sin 概率积分例题展示 证明 2 2 π = ? ∞ +-dx e x 证:令=)(x f 2 x e - ① 易证)()(x f x f -=?)(x f 为偶函数? 2 12 = ? +∞ -dx e x dx e x 2 ? +∞ ∞ -- (奇偶对称性、轮换对称性、周期性→简化计算) ② 已知dx e x ? -2 为“积不出来函数”,所以改变我们所求目标函数dx e x 2 ?+∞ ∞ --的形式 令= w dx e x 2 ? +∞ - 4 1 2 =w ? dx e x 2 ? +∞ ∞ -- 4 1= dxdx e x x ? ?+∞ ∞ -+-+∞ ∞ -) (22 (了解“积不出来函数”,增强目标意识,适当转化目标函数形式) ③ 令其中一个x 变成y ,构造2 2 y x + 2 w 4 1 = dxdy e y x ? ?+∞ ∞ -+-+∞∞ -) (22 ④ 将θcos r x =,θsin r y =带入上一步的2 w 易得),0(+∞∈r ,)2,0(π∈θ 2 w =θdrd e r r ? ?-+∞ ?π 20 2 41 = ?? +∞ -?π20 2 θd dr e r r 20 2 12 1 2dr e r ?=? +∞ -π 2021212 lim dr e b r b ?=?-+∞ →π )1(2121 2lim --=-+∞ →b b e π π4 1==?w 2π 即220π=?∞+-dx e x 成立 (极坐标系?直角坐标系,选择合适的积分次序将二重积分?二次积分,了解广义定积分) (此类积分为概率积分 b dt e b dx e t bx π 2110 2 2 ? ? ∞ +-∞ +-= = )多元函数微分学及应用(隐函数反函数)
第七章 多元函数的微分学
2多元函数积分学.docx
多元函数微分学及其应用
河北专接本数学(数一)考试大纲
数学分析教案_(华东师大版)第十七章__多元函数微分学
2006年河北专接本高等数学真题03
第八讲 多元函数积分学知识点
河北专接本考试大纲:数学(一)
多元函数微分学习题
多元函数积分学