2020中考数学一轮复习专题讲座视图与投影

一轮复习专题讲座视图与投影

1 专题概述

视图与投影内容包括三视图、立体图形的平面展开图、平行投影、中心投影等基本常识性知识，这是新课标中新增的内容，也是近年中考命题的必考内容．有关这部分内容的试题，主要以选择、填空题为主，分值约占3%～5%，着重考查对一些基本概念、基本思想的理解，一般难度不大．

2 基础知识回顾

一、三视图

1．物体的三视图是指：主视图，________，_________．

2．画物体的三视图时，应注意“主俯长对正，主左高______，俯左宽______”．

3．常见几何体的展开与折叠是平面图形与几何体表面之间的相互转化的过程，是我们研究几何体的方法之一．

二、平行投影

1．太阳光线可以看成_________光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影．

2．在太阳光下，同一时刻的两物体的影子方向是_______的(填“相同”或“相反”)，并且同一时刻的物高和影子成_______比．

3．物体在太阳光照射的不同时刻，不仅影子的长短在_____，而且影子的方向也在________．根据不同时刻影长的变换规律，以及太阳东升西落的自然规律，可以判断时间的先后顺序．

三、中心投影

1．灯光的光线可以看成是从一点发出的（即为点光源），像这样的光线所形成的投影称为__________．

2．灯光的光线是有共同端点的一束射线，所以灯光的光线是_______的．（填“平行”或“相交”）

3．中心投影光源的确定：分别过每个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，这两条直线的_________即为光源的位置．

3 考题例析

考点一三视图

例1（2009·广东中山）如图1所示几何体的主（正）视图是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

分析：从物体正前方看到的图形叫做正视图．解决此类的问题，首先约定前后称为行，左右称为列，上下称为层．从主视图可以看出列层数，左视图可以看出行层数，俯视图可以看出行列数；由实物图我们可以判定该物体是1行3列最高为2层的立体图形，因此选择B ．

点评：本题型考察了生活中的立体图形及三视图的相关知识及空间中图形的识别能力，这是三视图知识点中最基本的题型，也是中考常考的题型，同学们要熟练掌握．

例2 (2009·福建宁德)如图2所示几何体的左视图是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

分析：这是一个简单的组合体，从左侧看时，大长方体是看得见的，其视图画成实线，而中空的小正方体是看不见的，其轮廓应用虚线表示，所以只有C 符合，选C ．

点评：画简单组合体的三视图时，看得见的轮廓用实线，而看不见的轮廓用虚线，要注意区分．

例3．（2009·四川凉山州）一个正方体的平面展开图如图3所示，将它折成正方体后“建”字对面是（ ）

A ．和

B ．谐

C ．凉

D ．山

分析：判断两个面是不是为对面的根据是：展开图的对面之间不能有公共边或公共顶点．由图形可以判定与“建”字有公共边的有设、凉、谐、和四个字，所以“建”字的对面为“山”．选．D ．

点评：本题考查正方体的侧面展开图等知识，解决这类问题，可以通过动手折叠得出正确答案，也可以直接根据展开图进行分析，找出相对的三组面，进而得到问题的答案．

考点二 平行投影

例4．（2009·湖北孝感）小华拿着一块木板在阳光下做投影实验，这块正方形木板在地面上形成的投影不可能是

建 设

和 谐 凉

山

图2

分析：正方形的对边是

平行且相等的，又因太阳光线是平行的，所以在太阳光下做投影时，原物体中平行的边投影后仍是平行的，显然A （梯形两腰不平行）是不可能的，选A ．

点评：原平行的线在平行投影下仍是平行的．

例5．已知，如图4，AB 和DE 是直立在地面上的两根立柱．AB =5m ，某一时刻AB 在阳光下的投影BC =3m ．

（1）请你在图4中画出此时DE 在阳光下的投影；

（2）在测量AB 的投影时，同时测量出DE 在阳光下的投影长为6m ，请你计算DE 的长．

分析：（1）AB 在阳光下的投影是BC ，那么连接AC 即是太阳光线的方向，因太阳光线是平线的，所以只需要过点D 作DF//AC ，即可画出同一时刻DE 在阳光下的投影；第（2）小题，可利用太阳光下同一时刻物高与影长成正比，列式计算得到结果．

解：（1）如图5，连接AC ，过点D 作DF //AC ，交直线BC 于点F ，线段EF 即为DE 的投影．

（2）因太阳光下同一时刻物高与影长成正比

53

,.6

AB BC DE EF DE ∴

=∴= ∴DE =10（m ）．

点评：太阳光下同一时刻物高与影长成正比，实质就是相似三角形知识的应用．比如本题中，∵AC //DF ，∴∠ACB =∠DFE ，又∵∠ABC =∠DEF =90°∴△ABC ∽△DEF ． AB BC

DE EF

∴

=

． 考点三 中心投影

例6（2009·甘肃庆阳）如图6，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A 处径直走到B 处这一过程中，他在地上的影子（ ）

A ．逐渐变短

B ．先变短后变长

C ．先变长后变短

D ．逐渐变长

分析：小亮A 处走向路灯下时，影子由长变短，当他正好处在路灯下时，其影子长为0，然后他继续向B 处走，影子将由短变长，所以在小亮由A 处径直走到B 处这一过程中，他在

A

E

D

C 图4

B

A

E

D

C

B

F

地上的影子是先变短后变长，选B ．

点评：在中心投影中，物体离光线越远，影子越长，当物体正好处在光源下方时，影子长为0．

例7如图7，请根据两棵树的影子画出小明在同一时刻的影子．（用线段表示）

分析：本题应首先判断两棵树的影子是太阳光形成的还是在灯光下形成的，而判断的方法是看他们的光线是否相交，如果光线相交，则为灯光下形成的；如果光线平行，则为太阳光下平行的，如图10，其实由两棵树的影子做出它们的光线，结果两光线是相交的，所以它们的影子是灯光下形成的，交点即为光源，由此可做出小明在灯光下形成的影子．

解：如图8，线段CD 就是小明的影子．

点评：中心投影的光线是相交的，其交点处即为光源位置． 4 新题解读

题型一 根据三视图进行几何体的相关计算

例1（2009·山东济宁）一个几何体的三视图如图1所示，那么这个几何体的侧面积是

A ． 4π B．6π C． 8π D． 12π

分析：由三视图可知，该物体是圆柱，由图中数据可知，此圆柱的底面圆的直径是2，圆柱的高是3，而圆柱的侧面展开图是矩形，所以其侧面积等于（π×2）×3=6π，选B ．

点评：本题设计巧妙，把三视图、几何体的侧面积计算巧妙地综合在一起，可谓别具匠心．解答这类题的关键是，先根据所给的三视图判定物体形状，再

根据图中所标的尺寸（已知数据）计算该物体的侧面积

例2 （2009·浙江衢州）一个几何体的三视图如图2所示，它的俯视图为菱形．请写出该几何体的形状，并根据图中所给的数据

小明 图7

图8

小明

主视图

俯视图

左视图

4cm

3cm

8cm

求出它的侧面积．

分析：该几何体的形状是直四棱柱(也可说成直棱柱，四棱柱，棱柱)．由三视图知，棱柱底面菱形的对角线长分别为4cm ，3cm ． ∴ 菱形的边长为

5

2

cm ，棱柱的侧面积=

52

×8×4=80(cm 2

)． 点评：本题由三视图推断物体形状是问题获得有效转化的关键，只有确定了该物体是直四棱柱，才可进一步发现底面菱形的对角线，进而将问题转化为菱形的一个基本问题进行求解．

题型二 视线与盲区的情境考查

例3 (2009·福建宁德)图3（1）表示一个正五棱柱形状的高大建筑物，图3（2）是它的俯视图．小健站在地面观察该建筑物，当他在图3（2）中的阴影部分所表示的区域活动时，能同时看到建筑物的三个侧面，图中∠MPN 的度数为（ ）

A ．30o

B ．36o

C ．45o

D ．72o

分析：由题意，正五棱柱的俯视图应该是一个正五边形，于是图中

也就是正五边形不相邻两边的夹角，根据正五边形的每一个内角为108 o，可以在△PAB 中求出∠MPN 的对顶角∠APB 为36o，即选B ．

点评：从上面的求解来看，发现正五边形并善于利用正五边形的性质进行求解，使得问题沿着正确的方向不断前进．另外，图（2）中的△PAB 是三个内角分别为36o、72o、72o（有资料上称这样的三角形为“黄金三角形”），同学们应该积累这样的常见图形及性质，也是提高解题速度的关键．

题型三 平行投影与中心投影的建模考查

例4 (2009·江西改编)小军和小玉在操场上玩耍，小玉突然高兴地对小军说“我踩到你的‘脑袋’了”，如图4中表示小军和小玉的位置．

（1）请画出此时小玉在阳光下的影子； （2）若知小军身高是1.60米，小军与小玉间的距离为2米，而小玉的影子长为1.75米，求小玉

的身高？ 图4 图5

解：（1）注意太阳光线是平行光线，由题意小军在阳光下的影子正好落在小玉的脚上，用AB 代表小军，CD 代表小玉（如图5），则BD 即是小军的影长．由此可画出光线AD ，再利用平行线可得到小玉在阳光下的影子为DE ．

M N P

（1）

（2）

（2）由AD ∥CE ，易知△ABD ∽△CDE ， ∴AB ∶BD =CD ∶DE ，即1.6∶2=CD ∶1.75， ∴CD =1.4（米），即小玉的身高是1.4米．

点评：视图与投影问题一般都以选择或选择题直接考查，而解答题一般不直接考查，更多的时候是投影问题与相似形综合在一起考查综合问题，在平行投影中，同一时刻下物体的长度与影长成正比，这是解这一类题的常用方法．此外，解读题意后，能迅速将问题构建出相似形的模型是很重要的．

例5 如图7，路灯（P 点）距地面8米，身高1．6米的小明从距路灯的底部（O 点 ）20米的A 点，沿OA 所在的直线行走14米到B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？

分析：这道题将中心投影与相似三角形的性质融合在一起，形成一道综合题．利用△MAC 和

△MOP 的相似可以求出MA 的值，再利用△NBD 和△NOP 可以求出NB 的值，

解：90MAC MOP ∠=∠=o Q ，AMC OMP ∠=∠，

MAC MOP ∴△∽△．MA AC

MO OP

∴

=

， 即

1.6

208

MA MA =

+．解得5MA =． 同样由NBD NOP △∽△可求得 1.5NB =． 所以，小明的身影变短了3．5米．

点评：本题是以路灯为题材，精心编拟了一道研究人在灯光下行走过程中影长变化规律的试题．物体在灯光下所形成的投影为中心投影，中心投影时同一物体在不同位置的影长是不同的，解决投影有关题目，其最重要的是确定投影中心，构造相似三角形根据相似比即可求出未知量． 4 跟踪练习

1． 如图1所示的几何体的主视图．．．

是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

图1

2． 如图2所示零件的左视图是（ ）

3． 小明在操场上练习双杠，在练习的过程中他发现地上双杠在两横杠的影子是（ ）

A ．相交

B ．平行

C ．垂直

D ．无法确定

4． 星期天小川和他爸爸到公园散步，小川身高是160cm ，在阳光下他的影长为80cm ，爸爸

身高180cm

，则此时爸爸的影长为＿＿＿＿cm ．．

5． 如图，为了测量学校旗杆的高度，小东用长为

3．2的竹竿做测量工具．移动竹竿、旗

杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m ，与旗杆相距22m ，则旗杆的高为__________m ．

6． 如图4是由四个相同的小立方体组成的立体图的主视图和左视图，那么原立体图形可能

是图形中的 （把你认为正确的序号都填上）

7． 确定图中路灯灯泡的位置，并画出小赵在灯光下的影子；

8． 某数学课外实验小组想利用树影测量树高．他们在同一时刻测得一身高为1.5m 的同学

影长为1.35m ，因为大树靠近一幢建筑物，影子不全在地面上（如图10），他们测得地面部分的影长 3.6BC =m ，墙上影长 1.8CD =m ，求树高AB ．

图

正面 图2

主视图 左视图

图4

A ．

B ．

C ．

D ．

① ② ③ ④

A

B

C

D

E

·

9． 如图12，小明在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部

刚好接触到路灯AC 的底部，且测得影子AP=6m ，当他向前再步行19m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部，已知小明同学的身高是1．5m ，路灯BD 的高度是7．5m ，求路灯AC 的高度．

N 图12

A

B

C

M Q D

参考答案

1．B ； 2．D ； 3．B ； 4．90； 5．12； 6．①②④；

7．解：如图，线段AB 即为小赵的影子

8．解：延长AD 交BC 的延长线于点E ，如图1．根据同一时刻物高与影长成正比，得

1.51.35AB BE CD CE :=:=:，

即 1.8 1.51.35AB BE CE :=:=:． 所以， 1.8 1.35 1.621.5CE ?=

=， 3.6 1.62 5.22BE =+=，

所以， 5.22 5.81.35

AB ?1.5==（米）．

9． 解： ∵MP BD ∥，∴APM ABD △△∽．

∴

MP AP BD AB =，∴ AB

5.765.1=

，∴AB=30 ∴BQ=30-AP-PQ=30-6-19=5（ｍ）

同理BQN △△BAC ∽，∴

QN BQ

AC AB

=

∴

30

5

5.1=

AC ，∴AC=9（m ） 答：路灯AC 的高度是9m ．