学程 动量守恒定律2

1

学程动量守恒定律

一．动量守恒定律

例1.如图甲所示，光滑水平面上有A、B两物块，已知A物块的质量m A=1kg.初始时刻B静止，

A以一定的初速度向右运动，之后与B发生碰撞并一起运动，它们的位移—时间图象如图乙所示（规

定向右为位移的正方向），则物块B的质量为多少？

二、动量守恒条件：

1、

2、

3、

例2、如图所示的装置中，木块B与水平桌面间的接触是光滑的，子弹A沿水平方向射入木块

后留在木块内，将弹簧压缩到最短．现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象（系统），则此系

统在从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中( )

A．动量守恒、机械能守恒B．动量不守恒、机械能不守恒

C．动量守恒、机械能不守恒D．动量不守恒、机械能守恒

练习1．如图所示，光滑的水平地面上有一上表面水平的小车C，A、B两物体的质量mA >mB，

中间用一段轻绳相连接并有一被压缩的轻质弹簧，A、B、C均处于静止状态.若细绳被剪断后，A、B

滑离C之前，A、B在C上向相反方向滑动，设A与C、B与C之间的摩擦力大小分别用f1、f2表示，

用P表示A、B和弹簧组成的系统，用Q表示A、B、C和弹簧组成的系统.关于A、B在C上滑动的过

程，下列说法中正确的是( )

A．若f1＝f2，则P和Q动量均不守恒

B．若f1＝f2，则P动量守恒，Q动量不守恒

C．若f1≠f2，则P动量守恒，Q动量守恒

D．若f1≠f2，则P动量不守恒，但Q动量守恒

练习2、抛出的手雷在最高点时水平速度为10m/s，这时忽然炸成两块，其中大块质量300g仍按

原方向飞行，测得其速度为50m/s，另一小块质量为200g，求它的速度的大小和方向。

例3、南京模拟)如图所示,将质量为m1的铅球以大小为v0、仰角为θ的初速度抛入一个装有砂

子的总质量为M的静止的砂车中,砂车与水平地面间的摩擦可以忽略.求:

(1)铅球和砂车的共同速度;

(2)铅球和砂车获得共同速度后,砂车底部出现一小孔,砂子从小孔中流出,

当漏出质量为m2的砂子时砂车的速度

练习3. 如图所示，质量为M的小车和车上站着的一个质量为m的人一起以速度v0在光滑水平

地面上向右匀速运动，当人以相对地的速度u向左水平跳出后，车的速度大小v为(

)

三、经典模型

1、人船模型

例4、如图，质量为m的人站在质量为M，长为L的静止小船的右端，

小船的左端靠在岸边。当他向左走到船的左端时，船左端离岸多远？

模型特征总结：

练习4、在距离地面高h处的气球上站有一人，人和气球的质量分别为m和M，

开始两者均静止，人要沿绳安全的滑到地面上，绳至少多长？

练习5、在光滑水平面上有一质量为M的斜劈，斜劈斜面与水平面的夹角为θ，斜面长为L，

斜劈的顶端有一质量为m的小球，当小球滑到斜劈的低端时，求斜劈后退的距离。

2、子弹打木块模型

例5、如图所示，质量为M的木块放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以初速度v0水平射向

木块，设木块没有被射穿且子弹受到的阻力f恒定，求

（1）木块的最大速度；

（2）木块的最短水平长度；

（3）木块的速度达到最大时，子弹射入木块的深度与木块的位移之比；

（4）子弹与木块相对运动过程系统产生的内能。

模型特征总结：

2

练习6、质量为m1=0.5kg 的小木块以水平速度为v1=30m/s 滑上一个静止在光滑地面上的平板车，如图所示，平板车的质量m2=2.0kg ，若木块没有滑出平板车，它们之间的动摩擦因数为μ=0.3，求 （1）求整个系统损失的机械能；（2）这一过程所经历的时间。

练习7、1919年卢瑟福用α粒子轰击一个静止的7

14N 核发现质子。上面的

核反应可以用下面的模型来认识。运动α粒子撞击一个静止的714

N 核，它们暂时形成一个整体（复合

核），随即复合核迅速转化成一个质子和一个原子核，已知复合核发生转化需要1.19MeV ，要想发生该核反应，入射的α粒子的动能至少为多少？

3、球槽模型

例题6、如图所示，有一半径为R 的半球形凹槽P ，放在光滑的水平地面上，一面紧靠在光滑墙壁上，在槽口上有一质量为m 的小球，由A 点静止释放，沿光滑的球面滑下，经最低点B 又沿球面上升到最高点C ，经历的时间为t ，B 、C 两点高度差为0.6R ，求： (1)小球到达C 点的速度。(2)在t 这段时间里，竖墙对凹槽的冲量

模型特征总结：

练习8、带有

4

1光滑圆弧轨道、质量为M 的滑车静止置于光滑水平面上，如图

所示．一质量为m 的小球以速度v 0水平冲上滑车，当小球上行再返回，并脱离滑车时，以下说法可能正确的是

A 、小球一定沿水平方向向左做平抛运动

B 、小球可能沿水平方向向左做平抛运动

C 、小球可能做自由落体运动

D 、小球可能水平向右做平抛运动

练习9、如图所示，在光滑的水平面上放置一质量为m 的小车，小车上有一半径为R 的

4

1光滑的弧形轨道，设有一质量为m 的小球，以v 0的速度，方向水平向左沿圆

弧轨道向上滑动，达到某一高度h 后，又沿轨道下滑，试求h 的大小及小球刚离开轨道时的速度．

练习10．如图，光滑水平地面上有一质量为M 的小车，车上表面水平且光滑，车上装有半径为R 的光滑四分之一圆环轨道，圆环轨道质量不计且与车的上表面相切，质量为m 的小滑块从跟车面等高的平台以v 0的初速度滑上小车（v 0足够大，以至滑块能够滑过与环心O 等高的b 点），试求： （1）滑块滑到b 点瞬间小车的速度；

（2）滑块从滑上小车至滑到环心O 等高的b 点过程中，车的上表面和环的弹力共对滑块做了多少功; （3）小车所能获得的最大速度．

练习11、如图所示，在光滑的水平杆上套者一个质量为m 的滑环，滑环上通过一根不可伸缩的轻绳悬吊着质量为M 的物体（可视为质点），绳长为L 。将滑环固定时，给物块一个水平冲量，物块摆起后刚好碰到水平杆，若滑环不固定，仍给物块以同样的水平冲量，求物块摆起的最大高度和杆的最大压力。

4、双振子模型

例7、如图所示，滑块A 、B 的质量分别为m 1与m 2，m 1＜m 2，由轻质弹簧相连接置于水平的气垫导轨上，用一轻绳把两滑块拉至最近，使弹簧处于最大压缩状态后绑紧。两滑块一起以恒定的速率v 0向右滑动。突然轻绳断开。当弹簧伸至本身的自然长度时，滑块A 的速度正好为0。求：

(1)绳断开到第一次恢复自然长度的过程中弹簧释放的弹性势能Ep ； (2)在以后的运动过程中，滑块B 是否会有速度为0的时刻?试通过定量分析证明你的结论

模型特征总结：

练习12、如图所示，光滑水平面上，质量为2m 的小球B 连接着轻质弹簧，处于静止；质量为m 的小球A 以初速度v 0向右匀速运动，接着逐渐压缩弹簧并使B 运动，过一段时间，A 与弹簧分离，设小球A 、B 与弹簧相互作用过程中无机械能损失，弹簧始终处于弹性限度以内。求当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能E ． 5、多体模型

例题8、如图所示，光滑水平面上有A 、B 两小车，质量分别为 m A =20㎏，m B =25㎏。以初速度v 0=3m/s 向右运动，B 车原静止，且B 车右端放着物块C ，C 的质量为 m C =15㎏。A 、B 相撞且在极短时间内连接在一起，不再分开。已知C 与B 水平表面间动摩擦因数为μ=0.20，B 车足够长，求C 沿B 上表面滑行的长度。

模型特征总结：

练习13、.用轻质弹簧相连的质量均为2 kg 的A 、B 两物块都以v=6 m/s 的速度在光滑的水平地面上运动,弹簧处于原长,质量为4 kg 的物块C 静止于前方,如图所示,B 与C 碰撞后二者粘在一起运动,求:

(1)当弹簧的弹性势能最大时物块A 的速度多大? (2)弹性势能的最大值是多少?

m A B

3 学程 碰撞与反冲

一、 碰撞： 1、类型 ：

弹性碰撞： 非弹性碰撞： 完全非弹性碰撞(子弹打木块)

2、特点

（1）作用时间极短，内力远大于外力，总动量总是守恒的。

（2）碰撞过程中，总动能不增。因为没有其它形式的能量转化为动能。

（3）碰撞过程中当两物体碰后速度相等时，即发生完全非弹性碰撞时，系统动能损失最大。 （4）碰撞过程中，两物体产生的位移可忽略。 3、判定碰撞可能性问题的分析思路 （1）判定系统动量是否守恒。

（2）判定物理情景是否可行，如追碰后，前球动量不能减小，后球动量在原方向上不能增加；追碰后，后球在原方向的速度不可能大于前球的速度。（运动合理）

（3）判定碰撞前后动能是不增加。

例1、（碰撞判断）质量相同的两个小球在光滑水平面上沿连心线同向运动，球1的动量为7 kg ·m/s ，球2的动量为5 kg ·m/s ，当球1追上球2时发生碰撞，则碰撞后两球动量变化的可能值是 A.Δp 1= -1 kg ·m/s, Δp 2=1 kg ·m/s B.Δp 1= -1 kg ·m/s, Δp 2=4 kg ·m/s C.Δp 1= -9 kg ·m/s, Δp 2=9 kg ·m/s D.Δp 1= -12 kg ·m/s, Δp 2=10 kg ·m/s

练习1.质量为M 的物块以速度v 运动，与质量为m 的静止物块发生正碰，碰撞后两者的动量正好相等，两者质量之比M/m 可能为( )

A.2

B.3

C.4

D.5

练习2、如图所示，在光滑水平面的左侧固定一竖直挡板，A 球在水平面上静止放置．B 球向左运动与A 球发生正碰，B 球碰撞前、后的速率之比为3：1，A 球垂直撞向挡板，碰后原速率返回。两球刚好不发生第二次碰撞。A 、B 两球的质量之比为 ，A 、B 碰撞前、后两球总动能之比为 。

例2、（弹性碰撞）已知A 、B 两个弹性小球，质量分别为m1,m2，B 物体静止在光滑的平面上，A 以初速度v0与B 物体发生弹性正碰，求碰后A 物体速度为v1和B 物体速度v2的大小和方向。 解析：

弹性碰撞模型特征总结：

练习3.如图所示，物体A 静止在光滑的水平面上，A 的左边固定有轻质弹簧，与A 质量相等的物体B 以速度v 向A 运动并与弹簧发生碰撞，A 、B 始终沿同一直线运动，则A 、B 组成的系统动能损失最大的时刻是( ) A. A 开始运动时 B. A 的速度等于v 时 C. B 的速度等于零时 D. A 和B 的速度相等时

练习4、如图，在足够长的光滑水平面上，物体A 、B 、C 位于同一直线上，A 位于B 、C 之间。A 的质量为m ，B 、C 的质量都为M ，三者都处于静止状态，现使A 以某一速度向右运动，求m 和M 之间满足什么条件才能使A 只与B 、C 各发生一次碰撞。（设物体间的碰撞都是弹性的）

练习5、一固定的光滑斜面倾角为θ=30°，斜面长为L ．从斜面顶端无初速释放一质量为m 的小球A ，同时另一质量为m 的小球B 从斜面底端以某一初速度沿斜面向上运动，已知两球都可看成质点，碰撞为正碰且碰撞时无机械能损失，重力加速度为g ．问：

（1）要使碰撞后A 球恰好能够回到斜面顶端，则B 球的初速度v0多大？

（2）若A 球从斜面顶端、B 球从斜面底端都以（1）中求出的初速度v0作为各自的初速度而相向运动，要使两球碰撞后同时回到各自的出发点，则A 球出发比B 球要晚的时间△t 是多少？

1. 如图，质量分别为M 、m （M>>m ）的母子球从高h 处下落。试证明：大球与地面相碰后，小球从大球顶反弹的最大高度为。

★练习6、在一种新的“子母球”表演中，让同一竖直线上的小球A 和小球B ，从距水平地面高度为ph （p ＞1）和h 的地方同时由静止释放，如图所示。球A 的质量为m ，球B 的质量为3m 。设所有碰撞都是弹性碰撞，重力加速度大小为g ，忽略球的直径、空气阻力及碰撞时间。（1）求球B 第一次落地时球A 的速度大小；

（2）若球B 在第一次上升过程中就能与球A 相碰，求p 的取值范围；

（3）在（2）情形下，要使球A 第一次碰后能到达比其释放点更高的位置，求p 应满足的条件。

例3、（完全非弹性碰撞）质量为m 的子弹，以水平初速度v 0射向质量为M 的长方体木块。 （1）设木块可沿光滑水平面自由滑动，子弹留在木块内，木块对子弹的阻力恒为f ，求弹射入木块的深度L 。并讨论：随M 的增大，L 如何变化？

（2）设v 0=900m/s ，当木块固定于水平面上时，子弹穿出木块的速度为v 1=100m/s 。若木块可沿光滑水平面自由滑动，子弹仍以v 0=900m/s 的速度射向木块，发现子弹仍可穿出木块，求M/m 的取值范围（两次子弹所受阻力相同）。

4

完全非弹性碰撞模型特征总结：

练习7、如图，三个质量相同的滑块A 、B 、C ，间隔相等地静置于同一水平轨道上。现给滑块A 向右的初速度v 0，一段时间后A 与B 发生碰撞，碰后AB

分别以0

1

8v 、034v 的速度向右运动，B

再与C

发生碰撞，碰后B 、C 粘在一起向右运动。滑块A 、B 与轨道间的动摩擦因数为同一恒定值。两次碰撞时间极短。求B 、C 碰后瞬间共同速度的大小。

练习8、滑块a 、b 沿水平面上同一条直线发生碰撞；碰撞后两者粘在一起运动；经过一段时间后，从光滑路段进入粗糙路段。两者的位置x 随时间t 变化的图像如图所示。求： （ⅰ）滑块a 、b 的质量之比；

（ⅱ）整个运动过程中，两滑块克服摩擦力做的功与因碰撞而损失的机械能之比。

练习9、如图所示，光滑水平面上停放一个木箱和小车，木箱质量为m ，小车和人总质量为M ，M ∶m =4∶1, 人以速率v 沿水平方向将木箱推出，木箱被挡板以原速反弹回来以后，人接住木箱再以同样大小的速度v 第二次推出木箱，木箱又被原速反弹……，问人最多能推几次木箱？

二、反冲

反冲 ：

例4、光滑的水平面上静止一辆质量为M 的炮车，当炮车水平发射一枚质量为m 的炮弹，炮弹出口时有1E 的火药能量释放，其中有E 2的能量转化为系统的内能，求炮弹和炮车的动能各为多少？ 解析：

反冲模型（人船）特征总结：

练习10. 如图所示，A 、B 两小车间夹一压缩了的轻质弹簧，且置于光滑水平面上，用手抓住小车使其静止，下列叙述正确的是：（ ）

A ．两手先后放开A 、

B 时，两车的总动量大于将A 、B 同时放开时的总动量 B ．先放开左边的A 车，后放开右边的B 车，总动量向右

C ．先放开右边的B 车，后放开左边的A 车，总动量向右

D ．两手同时放开A 、B 车，总动量为零

练习11、如图所示，带有光滑的半径为R 的圆弧轨道的滑块静止在光滑的水平面上，此滑块的

质量为M ，一个质量为m 的小球静止从A 点释放，当小球从滑块B 处水平飞出时，求滑块的动能。 解析：

爆炸类问题

例5、抛出的手雷在最高点时水平速度为10m/s ，这时忽然炸成两块，其中大块质量300g 仍按原方向飞行，其速度测得为50m/s ，另一小块质量为200g ，求它的速度的大小和方向

练习12、如图所示，在光滑水平桌面上，物体A 和B 用轻弹簧连接，另一物体C 靠在B 左侧未连接，它们的质量分别为m A =0.2kg ，m B =m C =0.1kg 。现用外力将B 、C 和A 压缩弹簧，外力做功为7.2J ，弹簧仍在弹性限度内然后由静止释放。试求：弹簧伸长最大时弹簧的弹性势能；弹簧从伸长最大回复到自然长度时，A 、B 速度的大小。

★练习13、在光滑水平地面上有一凹槽A ，中央放一小物块B .物块与左右两边槽壁的距离如图所示，L 为1.0 m ，凹槽与物块的质量均为m ，两者之间的动摩擦因数μ为0.05.开始时物块静止，凹槽以v 0＝5 m/s 初速度向右运动，设物块与凹槽槽壁碰撞过程中没有能量损失，且碰撞时间不计，g 取10 m/s 2.求：

(1)物块与凹槽相对静止时的共同速度；

(2)从凹槽开始运动到两者相对静止物块与右侧槽壁碰撞的次数；

(3)从凹槽开始运动到两者刚相对静止所经历的时间及该时间内凹槽运动的位移大小．