不等关系与绝对值不等式及习题
不等式和基本不等式
一．知识梳理
1.实数大小的比较方法
(1)作差法：a>b ?a-b>0，a
(),,
a b a b,.>>>?>
2a 0b 01b
a a
11a b b b
作商法当时
2.不等式的性质
(1)性质1:如果a>b,那么b
(4)性质4:如果a>b,c>0,那么ac>bc;，如果a>b,c<0,那么ac
推论3:如果a>b>0,那么a n >b n (n 为正整数). 推论4:如果a>b>0,那么n
n
b
a
11? (n 为正整数).
3.含有绝对值不等式
(1)定理:对任意实数a 和b,有|a+b|≤|a|+|b|,其中等号成立的条件为ab ≥0.
说明:①定理中的b 以-b 代替,则有|a-b|≤|a|+|b|.，其中等号成立的条件为ab ≤0. ②对任意实数a 和b,有||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b|. (2)绝对值不等式的解法
解含有绝对值的不等式,关键在于利用绝对值的意义,设法去掉绝对值符号,把它转化为一个或几个普通不等式或不等式组,常用的方法有定义法、平方法、公式法等. 4.平均值不等式
定理1:对任意实数a,b,有a 2+b 2≥2ab(当且仅当a=b 时取“=”号).
定理
2;,,""),
.
+≥==a b
a b a b 2
对任意两个正数有
当且仅当时取号即两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值 定理3:对任意三个正数a,b,c,有a 3+b 3+c 3≥3abc(当且仅当a=b=c 时取“=”号
).
:,,""),
.++≥===a b c 4a b c a b c 3
定理对任意三个正数有
当且仅当时取号即三个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值
二．典例分析
题型一 比较两个数的大小
,∈≠
1a R a a 例设且的大小
点评:比较两个实数的大小,可以用作差法或作商法,若含有未知字母,注意分类讨论. 练习1: 已知a,b,c ∈R +,且b 题型二 绝对值三角不等式定理的应用 对于绝对值三角不等式定理：|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |，要从以下两个方面深刻理解： (1)两端的等号成立的条件在解题时经常用到，特别是用此定理求函数的最大(小)值时． (2)该定理可以推广为|a ＋b ＋c |≤|a |＋|b |＋|c |，也可强化为||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，它们经常用于含绝对值的不等式的推证． 例2 （1）f (x )＝|3－x |＋|x －2|的最小值为________． （2）若不等式|x-a|+|x-2|≥1对任意实数x 均成立,则实数a 的取值范围是________. 练习2 已知f(x)=|x-1|+|2x+3|.若f(x)≥m 对一切x ∈R 都成立,求实数m 的取值范围; (1)形如|x＋a|±|x－b|≥c不等式的解法常用零点分段讨论法，其步骤为： ①求零点；②划分区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值． (2)上述不等式也可用|x－a1|±|x－a2|的几何意义去求解集． 例3解下列不等式： (1)|x－1|<2；(2)|x2－1|>3；(3)|x2－2x＋4|>2x；(4)4|x＋6|<3－2x. （5）2|x|+|x-1|<2 例4已知函数f(x)＝|2x＋1|－|x－3|.(1)解不等式f(x)≤4； (2)若存在x使得f(x)＋a≤0成立，求实数a的取值范围． 例5 若|a-b|>c,|b-c| 点评:绝对值不等式|a|-|b|≤|a ±b|≤|a|+|b|的几何意义是:三角形任意两边之差小于第三边,三角形任意两边之和大于第三边,在运用时注意等号成立的条件. a a a 4:x ,y ,z ,:x 2y 3z a 369 <<<+-<练习已知求证 题型五 利用不等式求最值 111 .1a,b,c ,a 2b c 1,_____a b c ++=++例6（）已知都是正数且则的最小值是 2 2 11x,y ,x y _____.2y 2x ???? +++ ? ?? ???（2）若是正数则的最小值是 练习5:θ为锐角,求y=sin θcos 2θ的最大值. ( ]22 t t 2 .a t 0,2,a ( )t 9t 12141A.,1 B.,1 C., .,6136136D +≤≤∈+?????????????????????例7若不等式 在上恒成立则的取值范围是 1 6:x a 51x , x a ________. + >-+练习不等式对于一非零实数均成立则实数的取值范围是 三高考回顾 例8(2010·新课标全国卷，理)(本小题满分10分)设函数f(x)＝|2x－4|＋1. (1)画出函数y＝f(x)的图像； (2)若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围． 例9 (2010·福建卷，理)已知函数f(x)＝|x－a|. ①若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值； ②在①的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围． 四 家庭作业一、选择题 1（2011年重庆理高考题7）已知a ＞0，b ＞0，a+b=2，则y= 14a b +的最小值是 A ．72 B ．4 C ． 9 2 D ．5 2.（2011年全国高考大纲理3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 A ．1a b +＞ B ．1a b -＞ C ．22 a b ＞ D ．33 a b ＞ 3（2011年上海高考题理15）若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是 A ．22 2a b ab +> B ．a b +≥ C ． D 11a b +> D ．2b a a b +≥ 4.设a>0,b>0,下列不等式中不成立的是 2222 b a A. 2 B.a b 2ab a b b a 112C.a b D.2a b a b a b +≥+≥+≥++≥++ 5.设a,b,c 是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立的是 2211 A.a b a c b c B.a a a a 1 C.a b a b -≤-+-+ ≥+-+≥≤-6.函数y=|x+1|-|x-1|的最大值是( ) A.1 B.2 C.-2 D.不存在 7.设a,b ∈R,a 2+2b 2=6,则a+b 的最小值为 7 A. 3 D.2 --- 8.不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为( ) A.(,2][2,) .(,1][2,) .(,2][3,) .(,3][2,) B C D -∞-+∞-∞-+∞-∞-+∞-∞-+∞ 9.设a>1,方程|x+log a x|=|x|+|log a x|的解是( ) A.0≤x ≤1 B.x ≥1 C.x ≥a D.0 x 110.(2009)1________.x 2 +≥+广东不等式 的实数解为 11.若5-x>7|x+1|与不等式ax 2+bx-2>0同解,而|x-a|+|x-b|≤k 的解集为空集,则k 的取值范围为________. 12.设正数a,b,c,d 满足a+d=b+c,且|a-d|<|b-c|,则ad 与bc 的大小关系是________. 三、解答题 22 1 13.x,y ,x y,:2x 2y 3x 2xy y >+ ≥+-+已知均为正数且求证 14.(2009·宁夏海南)如图,O 为数轴的原点,A,B,M 为数轴上三点,C 为线段OM 上的动点,设x 表示C 与原点的距离,y 表示C 到A 距离4倍与C 与B 的距离的6倍的和. (1)将y 表示成x 的函数; (2)要使y 的值不超过70,x 应该在什么范围内取值、 答案： 练习1解:ab-(ac+bc)=a(b-c)-bc,∵b 例2（1）解析：∵|3－x |＋|x －2|≥|3－x ＋(x －2)|＝1，∴f (x )min ＝1.，答案：1 （2）解析:由题得|x-a|+|x-2|≥|(x-a)-(x-2)|=|a-2|,∴|a-2|≥1,解得a ∈(-∞,1]∪ 例3 【思路分析】 这四个小题分别代表四个基本类型．【解析】 (1)原不等式等价于－2 －2x ＋4<－2x 或②x 2 －2x ＋4>2x.解①得无解，解②得x ≠2. ∴原不等式的解集为{x|x ∈R 且x ≠2}． (4)原不等式等价于－14(3－2x) 4 (3－2x)． 即??? ?? 4x ＋24>2x －3， 4x ＋24<3－2x. 解之得－272 2 . ∴原不等式的解集为? ????? x|－272 例4 练习3 ()()():, (),,, ,x (,),,,. =+--+≤?? =+-=+< ?? =-+-<- ??? f x 2x x 1f x 3x 1x 0 f x 2x x 1x 10x 13x 1111y 22122x x 12133解析设作出函数的图象用数形结合法解不等式其图象如图 它与直线交于点和所以不等式的解集是 例5 证明:由|a-b|>c,|b-c| 例6 （1） （2） 2 22 2 1111111 :x y x y x2y4, 2y2x22x2y22x2y 1 1 x y 2y2y 1 x,x y. 2x 1 y 2y ?????? ?? +++≥+++≥+= ? ? ? ? ? ?? ?????? ? +=+ ? ? ? === ? ? ? = ? ? 解析 当即 练习5： 224222 222 3 max 1 :y sin cos2sin cos cos 2 12sin cos cos4 () 2327 2sin2cos2sin,y θθθθθ θθθ θθθ == ++ ≤= === 解 当且仅当即 此时 例7 答案:B 练习6 1 :x2,a512,4a6 x +≥-+<<< 解析因为所以解得 例8 【解析】(1)由于f(x)＝ ?? ? ??－2x＋5，x<2， 2x－3，x≥2， 则函数y＝f(x)的图象如图所示． (2)由函数y＝f(x)与函数y＝ax的图象可知，当且仅当 a ≥1 2或a<－2时，函数y ＝f(x)与函数y ＝ax 的图象有交点．故 不等式f(x)≤ax 的解集非空时，a 的取值范围为(－∞，－2)∪[1 2 ，＋∞)． 例9【解析】 解法一 ①由f(x)≤3得|x －a|≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3. 又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x ≤5}，所以 ? ?? ?? a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2. ②当a ＝2时，f(x)＝|x －2|.设g(x)＝f(x)＋f(x ＋5)，于是 g(x)＝|x －2|＋|x ＋3|＝???? ? －2x －1，x ＜－3；5，－3≤x ≤2； 2x ＋1，x ＞2. 所以当x ＜－3时，g(x)＞5； 当－3≤x ≤2时，g(x)＝5； 当x ＞2时，g(x)＞5. 综上可得，g(x)的最小值为5. 从而，若f(x)＋f(x ＋5)≥m 即g(x)≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]． 解法二 ①同解法一．②当a ＝2时，f(x)＝|x －2|.设g(x)＝f(x)＋f(x ＋5)．由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x －3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)得，g(x)的 最小值为5.从而，若f(x)＋f(x ＋5)≥m 即g(x)≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围是(－ ∞，5]．家庭作业 答 1，【答案】C 2，【答案】A 3，答案:D ， 4.答案:D 5，1 :C a b 2,a b 0a b -+ ≥-<-解析选项当时不成立.答案:C ,6，解析:|x+1|-|x-1|≤|x+1-x+1|=2,故选B. 7 ，22 a b :1,a ,b ,63 a b 3sin().a b 3,C θθθθθ?+===∴+==++-解析由已知得令即的最小值为故选, 8，答案:D 9，解析:由题可知x 与log a x 同号,,又x>0,∴log a x ≥0,∵a>1,∴x ≥1. 答案:B 10，3:(,2)2,2 ??-∞-?-- ?? ? 答案, 11.解析:不等式5-x>7|x+1|的解集为{x|-2 12，解析:由0≤|a-d|<|b-c|,∴(a-d)2<(b-c)2,,∴(a+d)2-4ad<(b+c)2-4bc,∵a+b=b+c, ∴-4ad<-4bc,∴ad>bc. 13， , 14，解:(1)y=4|x-10|+6|x-20|,0≤x ≤30. ()4x 106x 2070, 2,x 0x 30..x . ?-+-≤? ≤≤? ∈依题意满足解不等式组其解集为[9,23]所以 不等关系与基本不等式同步练习题（一） （时间：120分钟 满分：150分） A.基础卷 一、选择题（5×8=40分） 1．函数)2(2 1 >-+ =x x x y 的最小值为( ) A. 2 B ． 3 C ． 4 D ．23 2．不等式0)31(>-x x 的解集是（ ） A ．)31,(-∞ B ． )31,0()0,( -∞ C ． ),31(+∞ D ．)3 1,0( 3．已知,R b a ∈、且0>ab ，则下列不等式不正确的是( ) A ．b a b a ->+ B ．b a b a +<+ C ．b a ab +≤2 D ． 2≥+b a a b 4．已知无穷数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，则有（ ） Ａ． 8 6 64a a a a ≤ Ｂ． 8664a a a a < Ｃ．8664a a a a > Ｄ．8664a a a a ≥ ５．已知01,0<<-> Ｂ．a ab ab >>2 Ｃ．2 ab a ab >> Ｄ．a ab ab >>2 ６.已知,1117,32-≤<-<≤-y x 则1 2 -y x 的取值范围是（ ） Ａ．??? ??-- 92,43 Ｂ．??? ??-0,43 Ｃ．??? ??-0,21 Ｄ．??? ??-0,43 ７．若 ,11 <++b a a b 则b a 与中必（ ） Ａ．一个大于１，一个小于１ Ｂ．两个都大于１ Ｃ．两个都小于１ Ｄ．两个的积小于１ 8．已知,,d c b a >>则（ ） Ａ． d b c a ->- Ｂ． c b d a > Ｃ．a d b c ->- Ｄ．bd ac > 第三章不等式 必修5 3.1 不等关系与不等式 一、教学目标 1.通过具体问题情境，让学生感受到现实生活中存在着大量的不等关系； 2.通过了解一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的相关内容； 3.理解比较两个实数（代数式）大小的数学思维过程. 二、教学重点： 用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值. 三、教学难点： 使用不等式（组）正确表示出不等关系. 四、教学过程： （一）导入课题 现实世界和生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系我们知道，两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，等等.人们还经常用长与短，高与矮，轻与重，大与小，不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系. 在数学中，我们用不等式来表示这样的不等关系. 提问： 1.“数量”与“数量”之间存在哪几种关系？(大于、等于、小于). 2.现实生活中，人们是如何描述“不等关系”的呢？（用不等式描述） 引入知识点： 1.不等式的定义：用不等号<、>、≤、≥、≠表示不等关系的式子叫不等式. 2.不等式a b ≥的含义. 不等式a b ≥应读作“a 大于或者等于b ”，其含义是指“或者a >b ，或者a =b ”，等价于“a 不小于b ，即若a >b 或a =b 之中有一个正确，则a b ≥正确. 3.实数比较大小的依据与方法. （1）如果a b -是正数，那么a b >；如果a b -等于零，那么a b =；如果a b -是负数，那么a b <.反之也成立，就是（a b ->0?a >b ；a b -=0?a =b ；a b -<0?a §3.1不等式与不等关系 【教学目标】 1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质； 2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法； 3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。 【教学重点】 用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。 【教学难点】 用不等式（组）正确表示出不等关系。 【教学过程】 1.课题导入 在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不等式来表示不等关系。 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。 2.讲授新课 1）用不等式表示不等关系 引例1：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是： 40v ≤ 引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示 2.5%2.3% f p ≤??≥? 问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。 问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售 第10课 绝对值不等式 ◇考纲解读 ①理解不等式a b a b a b -≤+≤+ ②掌握解绝对值不等式等不等式的基本思路，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式； ◇知识梳理 1.绝对值的意义 ①代数意义：___,(0)___,(0)___,(0)a a a a >??= =?? 时， |()|f x a >?____________； |()|f x a - 例2. 解不等式125x x -++> 变式1：12x x a -++<有解，求a 的取值范围 变式2：212x x a -++<有解，求a 的取值范围 变式3：12x x a -++>恒成立，求a 的取值范围 ◇能力提升 1.（2008湛江二模）若关于x 的不等式||2x a a -<-的解集为{}42|< 不等关系与不等式 【学习目标】 1．了解不等式(组)的实际背景． 2．掌握比较两个实数大小的方法． 3．掌握不等式的八条性质． 【学法指导】 1．不等关系广泛存在于现实生活中，应用不等式(组)表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言” 转化成“数学语言”，是用不等式知识解决实际问题的第一步．只需根据题意建立相应模型，把模型中的量具体化即可． 2．作差法是比较两个数(或式)大小的重要方法之一，可简单概括为“三步一结论”，其中关键步骤“变形”要彻底，当不能“定号”时注意分类讨论． 3．不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据，应用时每步都要做到等价变形． 一、知识温故 a－b＞0?； a－b＝0?； a－b＜0?. 3．常用的不等式的基本性质 (1)a>b?b a(对称性)； (2)a>b，b>c?a c(传递性)； (3)a>b?a＋c b＋c(可加性)； (4)a>b，c>0?ac bc；a>b，c<0?ac bc； (5)a>b，c>d?a＋c b＋d； (6)a>b>0，c>d>0?ac bd； (7)a>b>0，n∈N，n≥2?a n b n； (8)a>b>0，n∈N，n≥2?n b. 二、经典范例 问题探究一实数比较大小 问题1(实数比较大小的依据) 在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左 边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示可以看出a，b之间具有以下性质： 如果a－b是正数，那么； 如果a－b是负数，那么； 如果a－b等于零，那么. 以上结论反过来也成立，即a－b＞0?a＞b；a－b＜0?a＜b；a－b＝0?a＝b. 问题2(作差法比较实数的大小) 向一杯a克糖水中加入m克糖，糖水变得更甜了．你能把这一现象用一个不等式表示出来吗？并证明你的结论． 问题探究二不等式的基本性质 问题3在实数大小比较的基础上，可以给出不等式八条基本性质的严格证明．证明时，可以利用前面的性质推证后续的性质． 请同学们借助前面的性质证明性质6： 如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd. §7.1不等关系与不等式 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a 1，则a >b .( × ) (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( × ) (4)a >b >0，c >d >0?a d >b c .( √ ) (5)若ab >0，则a >b ?1a <1 b .( √ ) 题组二 教材改编 2．若01且2a <1， ∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2????a －122＋12<12. 即a <2ab <1 2 ， 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝1 2 ， 即a 2＋b 2>1 2 ， a 2＋ b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)， 又2b －1>0，b －1<0，∴a 2＋b 2－b <0， ∴a 2＋b 2b >0，c 高一数学必修5不等式与不等关系主要知识点 1.不等关系 两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;a 3.一元二次不等式恒成立情况小结： 2 0ax bx c ++>（0a ≠）恒成立?00a >???+表示直线上方的平面区域；y kx b <+表示直线下方的平面区域． 说明：（1）y kx b ≥+表示直线及直线上方的平面区域； y kx b ≤+表示直线及直线下方的平面区域． （2）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线． 5.基本不等式： (1).如果R b a ∈,，那么ab b a 22 2≥+． (2). ≤2 a b +(0,0)a b >>． （当且仅当b a =时取“=”） 不等关系与不等式（第一课时） 一、教学任务分析 1、感受不等关系的普遍存在 通过一系列的具体情境，使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系。 2、利用不等式（组）表示实际问题中的不等关系 通过具体问题情境，让学生学习如何利用不等式（组）研究及表示不等关系，进一步理解不等式（组）刻画不等关系的意义和价值。 3、初步掌握运用作差比较法比较实数和代数式的大小。 二、教学重点和难点 重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）刻画不等关系的意义和价值。 难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。 三、教学基本流程 四、教学情景设计 1、引入：章头图及古诗《题西林壁》引入，介绍不等量关系也是自然界中存在的基本数量关系，它们在现实世界和日常生活中大量存在，在数学研究和数学应用中也起着重要的作用，也正是实际问题的需要我们要研究不等量关系。介绍本章将要研究表示不等量关系的不等式的基本知识。 设计意图：使学生体会不等关系的普遍存在，了解学习不等式的意义。 2、创设情境，让学生感受生活中的不等关系。 师：多媒体出示情景：（1）交通标志(限速、限高、限宽)；（2）商家打折海报（一折起、低至几折）；（3）产品含量指标。问：表示什么含义？怎么表示其中的不等关系？ 生：分析各种不等关系，口答并尝试用不等式（组）表示。 师：引导学生准确表述，给出不等式定义，板书学生口答的各问题中不等式（组）。 设计意图：进一步让学生感受生活中的不等关系，知道用不等式（组）表示这种不等关系。 3、知识探究一：具体情境中如何用不等式研究及表示不等关系。 师：多媒体出示问题1（销售收入问题）、2（实际安排生产问题）。 学生：独立思考后，与本组同学交流讨论结果。完成后交流展示，小组代表板书结果，并说明式子的含义。 师：点评学生结果，找有不同结果的小组讲解不同方法或补充，引导学生分析比较。 设计意图：问题方式给出，强化学生的问题意识，使学生在具体问题情境中经历如何利用不等式研究及表示不等关系。小组合作探究，使学生交流对于问题的认识。展示不同结果，使学生认识思考问题严谨性和不同角度。师最后介绍两问题中反映的生产要求如何解决，是本章后续章节会解决的问题。激发学生学习欲望，体会数学知识与生活的密切相关。 4、知识探究二：比较实数和代数式大小的方法——作差法。 生：结合学案上知识探究二中所填结果，与同组学生交流结论。 师：提问引导学生表述：要比较两数或代数式大小，可以让两数或两式相减，比较结果和0的大小。若结果大于0，则前者大于后者；若……。 设计意图：让学生分析作差法具体做法，明确这种比较大小的方法如何运用。 5、课堂练习：作差法比较代数式的大小。 生：可独立完成，也可与同组同学交流，在规定时间完成。 师：巡视，指导学生疑难处，找完成好的两生板演结果，并让板演学生讲解。点评学生思路，进一步总结作差法中变形结果的形式： 不等式与不等关系 考纲要求 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2.了解不等式(组)的实际背景. 考情分析 1.从高考内容上来看，不等关系、不等式的性质及应用 是命题的热点． 2.着重突出考查对不等式性质的灵活运用，有时与充要性的判断交汇命题，体现了化归转化思想，难度中、 低档． 3.考查题型多为选择、填空题. 教学过程 基础梳理 一、实数大小顺序与运算性质之间的关系 a － b ＞0? ；a －b ＝0? ； a －b ＜0? . 二、不等式的基本性质 1.对称性a >b ? 2.传递性a >b ，b >c ? 3.可加性a >b ? 4.可乘性 a >b c >0? ， ? ?? a > b c <0? 5.同向可加性 ? ?? a > b c > d ? 6.同向同正可乘性 ? ?? a > b >0 c > d >0? 7.可乘方性a >b >0? (n ∈N ，n ≥2) 8.可开方性a >b >0? (n ∈N ，n ≥2) 两条常用性质 ① a ＞b ，ab ＞0?1a ＜1 b ② 若a ＞b ＞0，m ＞0，则b a ＜b ＋m a ＋m ； 双基自测 1．若x ＋y >0，a <0，ay >0，x －y 的值为 ( ) A ．大于0 B ．等于0 C ．小于0 D ．不确定 2．(教材习题改编)已知a ，b ，c 满足c ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2 含有绝对值的不等式·典型例题分析 例1 求下列函数的定义域和值域： 分析利用绝对值的基本概念． 解 (1)x+|x|≠0，即|x|≠-x．∴x＞0． ∴定义域为(0，+∞)，值域为(0，+∞)． (2)|x|≥x，x∈R．|x|-x≥0，∴y∈[0，+∞)． (3)x+|x|＞0，x∈R+．y∈R． 画出函数图象如图5-17所示．不难看出，x∈R，y∈[-1，1]． 说明本例中前三个易错，第四个要分析写出函数表达式，并画出函数图象，此法在求值域时常用． 例2 解不等式|x+1|＞|2x-3|-2． 将不等式中的绝对值符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式(组)，再去求解．去绝对值符号的关键是找零点(使绝对值等于零的那个数所对应的点)，将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论． (1)当x≤-1时原不等式化为-(x+1)＞-(2x-3)-2． ∴x＞2与条件矛盾，无解． 综上，原不等式的解为{x|0＜x＜6}． 注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏． 例3 解不等式|x2-4|＜x+2． 分析解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法： 二是根据绝对值的性质：|x|＜a?-a＜x＜a，|x|＞a?x＞a或x＜-a，因此本题有如下两种解法． ∴2≤x＜3或1＜x＜2 故原不等式的解集为{x|1＜x＜3}． 解法二原不等式等价于-(x+2)＜x2-4＜x+2 例4 求使不等式|x-4|+|x-3|＜a有解的a的取值范围． 分析此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便． 解法一将数轴分为(-∞，3]，[3，4]，(4，+∞)三个区间 当3≤x≤4 时，得(4-x)+(x-3)＜a，即a＞1； a 6 Ｂ． Ｃ． Ｄ． ６.已知 - 2 ≤ x < 3,-17 < y ≤ -11, 则 的取值范围是（ ） Ａ． -? 3 2 ? ? 3 ? ? 1 ? ?3,- ? Ｂ． - ,0 Ｃ． - ,0 Ｄ． - ,0 ? ??Ａ． a - c > b - d Ｂ． a 不等关系与基本不等式同步练习题（一） （时间：120 分钟 满分：150 分） A.基础卷 一、选择题（5×8=40 分） 1．函数 y = x + 1 ( x > 2) 的最小值为( x - 2 ) A. 2 B ． 3 C ． 4 D ． 3 2 2．不等式 x (1 - 3x) > 0 的解集是（ ） 1 1 1 1 A ． (-∞, ) B ． (-∞,0) (0, ) C ． ( ,+∞) D ． (0, ) 3 3 3 3 3．已知 a 、b ∈ R, 且 ab > 0 ，则下列不等式不正确的是( ) A ． a + b > a - b B ． a + b < a + b C ． 2 ab ≤ a + b D ． b a + ≥ 2 a b 4．已知无穷数列 { n }是各项均为正数的等差数列，则有（ ） Ａ． a 4 ≤ a 6 a a ５．已知 a < 0,-1 < b < 0 ，则 a, ab, ab 2 的大小关系是（ ） Ａ． a > ab > ab 2 Ｂ． ab 2 > ab > a Ｃ． ab > a > ab 2 Ｄ． ab > ab 2 > a x 2 y - 1 ? ? 4 9 ? ? 4 ? ? 2 ? ? 4 ? ７．若 ab + 1 a + b < 1, 则 a 与 b 中必（ ） Ａ．一个大于１，一个小于１ Ｂ．两个都大于１ Ｃ．两个都小于１ Ｄ．两个的积小于１ 8．已知 a > b , c > d , 则（ ） b > Ｃ． c - b > d - a Ｄ． ac > bd d c 绝对值不等式练习题 绝对值的不等式 一、选择题（8分×6=48分） 1.不等式243x 的整数解的个数为 ( ) A 0B 1C 2D 大于2 2.函数22x x y 的定义域是 ( ) A ]2,2[B ),2[]2,(C ),1[]1,(D ) ,2[3.设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为 ( ) A ．a ＝1，b ＝3 B ．a ＝－1，b ＝3 C ．a ＝－1，b ＝－3 2 3 ,21 .b a D 4.若两实数y x,满足0xy ,那么总有 ( ) A y x y x B y x y x C y x y x D.x y y x 5.已知,b c a 且,0abc 则 ( ) A c b a B b c a C c b a D c b a 6.)(13)(R x x x f ,当b x 1有),,(4)(R b a a x f 则b a,满足 ( ) A 3a b B 3b a C 3a b D 3 b a 二、填空题（8分×2=16分） 7.不等式x x 512的解集是 8.不等式x x x x 11的解集是 三、解答题（18分×2=36分） 9.解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x 10．已知a x x x f |2||1|)(，（1）当5a 时，求)(x f 定义域； （2）若)(x f 的定义域为R ，求a 的取值范围。附加题：（10分×2=20分） 1.若不等式|1|75x x 与不等式022bx ax 同解，而k b x a x ||||的解集为非，求实数k 的取值范围 2.当10x 时,比较)1(log x a 与)1(log x a 的大小.)1,0(a a 第一课时：不等式关系与不等式 知识点一 不等关系 思考 限速40km /h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km /h ，用不等式如何表示？ 答案 v ≤40. 梳理 试用不等式表示下列关系： (1)a 大于b a ＞b (2)a 小于ba b ?a －b >0；a ＝b ?a －b ＝0； a b ?b b ，b >c ?a >c (传递性)； 第三节.不等关系与基本不等式 基本不等式 (3)a >b ?a ＋c >b ＋c (可加性)； (4)a >b ，c >0?ac >bc ；a >b ，c <0?ac 不等关系与不等式 课题：不等关系与不等式（二） 课型：新授课 1．知识与技能 （1）使学生掌握常用不等式的基本性质； （2）会将一些基本性质结合起来应用. （3）学习如何利用不等式的有关基本性质研究不等关系； 教学目标 2．过程与方法 以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等 式的有关基本性质研究不等关系； 3.情感、态度与价值观 通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情 境、实际背景的的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学 生学习方式，提高学习质量。 教学重点理解不等式的性质及其证明 教学难点利用不等式的基本性质证明不等式 批注教学过程： 一、复习提问 1．比较两实数大小的理论依据是什么？ 2．“作差法”比较两实数的大小的一般步骤. 3．初中我们学过的不等式的基本性质是什么? 基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的 方向不变. 基本性质2 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变. 基本性质3 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变. 其数学含义： （1）若a＞b，则a＋c＞b＋c，a－c＞b－c； （2）若a ＞b ，c ＞0，则ac ＞bc ， c a ＞c b ；（3）若a ＞b ， c ＜0，则ac ＜bc ，c a ＜c b ..二、新授 常用的不等式的基本性质 （1）a b b a , （对称性） （2）c a c b b a >?>>, （传递性） （3）c b c a b a +>+?>, （可加性） （4）,0a b c ac bc >>?>；,0a b c ac bc >?>>>>0,0（同向不等式的可乘性） （6）n n n n b a b a n N n b a >>?>∈>>,1,,0 （可乘方性、可开方性）例1：已知0,0,a b c >><求证：c c a b >例2：如果30＜x ＜42，1６＜y ＜24，求x ＋y ，x －2y 及 y x 的取值范围.∵30＜x ＜42，1６＜y ＜24 ∴－4８＜－2y ＜－32， ∴30＋1６＜x ＋y ＜42＋24 即4６＜x ＋y ＜６６； ∴30－4８＜x －2y ＜42－32 即－1８＜x －2y ＜10； .8 2145,16 422430<<< 不等关系与不等式 编稿：张希勇 审稿：李霞 【学习目标】 1．了解实数运算的性质与大小顺序之间的关系； 2．会用差值法比较两实数的大小； 3．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题. 【要点梳理】 要点一、符号法则与比较大小 实数的符号： 任意x R ∈，则0x >（x 为正数）、0x =或0x <（x 为负数）三种情况有且只有一种成立. 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：0,00a b a b >>?+>； 0,00a b a b <>?>； 0,00a b ab < ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言：0,00a b ab >?>； ②0b a b a -,a b =,a b <三种关系有且只有一种成立. 要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系.它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据.要点二、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： (1) 对称性：a>b b (2)传递性：a>b, b>c a>c ? (3) 可加性：a b a c b c >?+>+ (c ∈R) (4) 可乘性：a>b ，?? ????>bc ac c bc ac c bc ac c 000运算性质有： (1)可加法则：,.a b c d a c b d >>?+>+ (2) 可乘法则：,a b>0c d>0a c b d>0>>??>? (3)可乘方性：*0,0n n a b n N a b >>∈?>> (4) 可开方性：a b 0,n N ,n 1+>>∈>?>要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据. 要点三、比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式a 、b ，可以作差a b -后比较a b -与0的关系，进一步比较a 与b 的大小. ①0b a b a ->?>； ②0b a b a -?>； ②1b a a b b 且b>c ，则a>c （实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量. 利用函数的单调性比较大小 若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小. 作差比较法的步骤： 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”； 第三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于0； 最后下结论. 要点诠释：概括为：“三步一结论”.这里“定号”是目的，“变形”是关键过程. 典型例题一 例1 解不等式2321-->+x x 分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念? ??<-≥=)0()0(a a a a a ，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论． 解：令01=+x ，∴ 1-=x ，令032=-x ，∴2 3=x ，如图所示． （1）当1-≤x 时原不等式化为2)32()1(--->+-x x ∴2>x 与条件矛盾，无解． （2）当2 31≤ <-x 时，原不等式化为2)32(1--->+x x ． ∴ 0>x ，故2 30≤ 当4>x 时，得a x x <-+-)3()4(，即27+< a x ，有解的条件为42 7>+a ∴1>a ． 以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为1>a ． 解法二：设数x ，3，4在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，如图，由绝对值的几何定义，原不等式a PB PA <+的意义是P 到A 、B 的距离之和小于a ． 因为1=AB ，故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于（等于1），即134≥-+-x x ，故当1>a 时，a x x <-+-34有解． 典型例题三 例3 已知),0(,20,2M y a b y M a x ∈ε<-<ε<-，求证ε<-ab xy ． 分析：根据条件凑b y a x --,． 证明：ab ya ya xy ab xy -+-=- ε=ε?+ε?<-?+-≤-+-=a a M M b y a a x y b y a a x y 22)()(． 说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法． 典型例题四 例4 求证 b a a b a -≥-22 分析：使用分析法 证明 ∵0>a ，∴只需证明b a a b a -≥-222，两边同除2 b ，即只需证明 b a b a b b a -≥-2222 2，即 b a b a b a -≥-22)(1)( 当1≥b a 时，b a b a b a b a -≥-=-222)(1)(1)(；当1 《不等关系与不等式》教案 【教学目标】 1．掌握比较两个实数大小的方法——差值比较法，理解不等关系的传递性，能够运用比较实数大小的方法比较两实数的大小 2．通过对具体问题的分析，培养学生的分析归纳能力,培养学生代数变形的能力，提高学生解决实际问题的能力 3．通过问题情境，激发学生的学习动机和好奇心理，使其主动参与交流活动。通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立的优良心理品质。通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度 【重点难点】 重点：比较实数大小的方法． 难点：1.比较实数大小方法中的代数变形； 2.比较实数大小方法的实际应用 【教学方法】体验法、合作讨论法 【教学过程】 (一)创设情境 泰山旺季门票原价为180元，现推出两套优惠方案(两人以上集体购票时可选择以下任一种方案) 优惠方案A：买全票一张，则其余票可享受八折优惠； 优惠方案B：按团体购票，一概优惠30元. 为了使门票花费最少，请各位同学发动你们的智慧想一想该选择哪种方案？ 教师：5-7人，由学生先对多种情况进行讨论。 合作交流：同桌讨论合作完成下列表格（作业纸） （学生思考演算并请学生回答结果） 由此我们知道在实际的生活中经常会碰到比较大小的问题，这就是我们这节课所要学习的1.2节比较大小（板书课题同时幻灯片出示课题）继续就上述情境提问：对于人数确定的情况，两个具体的实数我们很容易比较大小，如果人数不确定呢，又该如何比较大小？ 若设人数为n，记采用方案A的费用为) f，采用方案B的费用 (n 为) n g150 (= n ) f，n g，则36 =n 144 (n ) (+ 接着我们要比较就是这两个代数式子的大小，我们该怎么办呢？（学生思考） 对于这两个式子来说，它们有以下的三种大小关系： g n n >n ? n - f g n f ) ( ) > 6 ( ? ) ) (< ( n g n =n ? g - f n n f ( ( ) = ) 6 ) (= ? ( ) g n 1 不等关系与不等式 知识回顾 一、不等式性质： 1.a ＞b ? b ＜a .(反身性) 2.a ＞b ，b ＞c =>a ＞c .(传递性) 3.a ＞b ? a+c ＞b+c.(平移性) 4.a ＞b ，c ＞0 => ac ＞bc ； a ＞ b ， c ＜0 => ac ＜bc .(伸缩性) 5.a ＞b ≥0 => ，n ∈N ，且n ≥2.(乘方性) 6.a ＞b ≥0 => a ＞nb ，n ∈N ，且n ≥2.(开方性) 7.a ＞b ，c ＞d => a+c ＞b+d.(叠加性) 8.a ＞b ≥0，c ＞d ≥0 => ac ＞bd .(叠乘性) 二、如果a －b 是正数，则a >b ；如果a >b ，则a －b 为正数； 如果a －b 是负数，则a ?->=?-=,求证: b m b a m a +> + 2.若0x y <<，试比较()()22x y x y +-与()()22x y x y -+的大小； 2 3.已知1260a <<，1536b <<，求12a b -及 a b 的取值范围； 1.若0a b <<，则下列结论不正确的是 .A 22a b < .B 2ab b < .C 2b a a b +> .D a b a b -=- 2.设,(,0)a b ∈-∞，则“a b >”是“11a b a b - >- ”成立的 .A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不 必要条件 3.下列不等式：()1 232()x x x R +≥∈， () 2553223 (,)a b a b a b a b R +≥+∈， () 322 2(1)a b a b +≥--．其中正确的个数为 .A 0 .B 1 .C 2 .D 3 4.已知,,a b c 满足c b a <<，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是 .A ab ac > .B c b a ()-<0 .C cb ab 22< .D 0)(<-c a ac 5.若, a b c R a b ∈>、、，则下列不等式成立的是 . A b a 11< .B 22b a > . C 1 1 2 2 +> +c b c a .D ||||c b c a > 6.若0a >，0b >，则不等式1b a x -< <等价于 .A 10x b - <<或10x a << .B 11x a b -<< .C 1x a <-或1x b > .D 1x b <-或1x a > 7.若集合{|23}A x x =-≤≤，{|14}B x x x =<->或，则集合A B 等于 A ．{}|34x x x ≤>或 B ．{}|13x x -<≤ C ．{}|34x x ≤< D ．{}|21x x -≤-< 8．若0a b a >>>-，0c d <<，则下列命题：()1ad bc >；() 20a b d c +<； ()3a c b d ->-；()4()()a d c b d c ->-中能成立的个数是 .A 1 .B 2 .C 3 .D 4不等关系与基本不等式同步练习题
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