湖北省仙桃中学2020-2021学年高二下学期期中数学(文)试题

湖北省仙桃中学2020-2021学年高二下学期期中数学（文）

试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下面是一个22?列联表：

1y

2y 总计 1x

a 21 73 2x

2 25 27 总计

b

46 100 其中,a b 处应填的值分别为

A ．52,54

B ．54,52

C ．94,146

D ．146,94

2．经过点P (2，－2)且与双曲线C ：2

212

x y -=有相同渐近线的双曲线方程是( ) A ．22

142

x y -= B ．22124y x -= C ．22

124x y -= D ．22142

-=y x 3．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是

A ．1a b +＞

B ．1a b -＞

C ．22a b ＞

D ．33a b ＞ 4．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：

班组与成绩统计表

则随机变量K 2的观测值约为（ ）

A ．0.600

B ．0.828

C ．2.712

D ．6.004

5．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ）

A ．82n -

B ．62n -

C ．82n +

D ．62n +

6．下面说法正确的是（ ）

A ．命题“0x R ?∈，使得20010x x ++≥”的否定是“x R ?∈，使得210x x ++≥”

B ．实数x y >是22x y >成立的充要条件

C ．设,p q 为简单命题，若“p q ∨”为假命题，则“p q ?∧?”也为假命题

D ．命题“若0α=，则cos 1α=”的逆否命题为真命题

7．设()1f x x =，则()()lim x a f x f a x a

→--等于（ ） A ．1a - B ．2a

C ．21a -

D ．21a

8．椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另

一个焦点.假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为22

143

x y +=，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程不可能为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8

9．中心在坐标原点的双曲线C 的两条渐进线与圆22(2)3x y -+=相切，则双曲线的离心率为（ ）

A ．2

B

C

D ．2 10．如图所示，5组数据(),x y 中去掉()3,10D 后，下列说法错误的是( )

A ．残差平方和变大

B ．相关系数r 变大

C ．相关指数2R 变大

D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变

强 11．已知直线1y x =-+与双曲线221ax by +=（0a >，0b <）交于A ，B 两点，

且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为2

-，则a b 的值为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 12．已知()11x f x e =-+，若函数2()[()](2)()2g x f x a f x a =+--有三个零点，则

实数a 的取值范围是

A ．(2,1)--

B ．(1,0)-

C ．(0,1)

D ．(1,2)

二、填空题

13．若函数()f x 的导函数为()f x '，且3()2(2)f x f x x '=+，则(2)f '=_______． 14．如图所示，

椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，,A B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，当

FB AB ⊥，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄

金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于___________.

15．已知13a =,133n n n a a a +=

+,试通过计算2a ,3a ,4a ,5a 的值,推测出n a =______________.

16．有公共焦点F 1，F 2的椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，点A 为两曲线的一个公共点，且满足∠F 1AF 2＝90°，则

22

1211e e +的值为_______．

三、解答题

17．已知:p 方程22192x y m m +=-表示焦点在x 轴上的椭圆，:q 双曲线2215x y m -=的离

心率e ∈?.

（1）若椭圆22192x y m m +=-的焦点和双曲线22

15x y m

-=的顶点重合，求实数m 的值； （2）若“p q ∧”是真命题，求实数m 的取值范围．

18．某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量

之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温()°

C x 与该小卖部的这种饮料销量y （杯），得到如下数据：

（1）若先从这五组数据中抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；

（2）请根据所给五组数据，求出y 关于x 的线性回归方程???y

bx a =+； （3）根据（1）中所得的线性回归方程，若天气预报1月16日的白天平均气温()7C ?，请预测该奶茶店这种饮料的销量.

（参考公式：1

21()()?()n i

i i n

i

i x x y y b x x ==--=-∑∑，??a

y bx =-） 19．如图，在三棱锥P ABC -中，正三角形PAC 所在平面与等腰三角形ABC 所在平面互相垂直，AB BC =，O 是AC 中点，OH PC ⊥于H .

（1）证明：PC ⊥平面BOH ；

（2

）若OH OB ==，求三棱锥A BOH -的体积.

20．已知椭圆C

的两焦点分别为12(F F -、，其短半轴长为1. （1）求椭圆C 的方程；

（2）设不经过点(0,1)H 的直线2y x t =+与椭圆C 相交于两点,M N .若直线HM 与HN 的斜率之和为1，求实数t 的值.

21．已知函数()ln ,0a x f x a x

=≠. （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；

（2）若不等式()11f x x

≤-恒成立，求a 的值. 22．对于定义在区间D 上的函数()f x ，若存在正整数k ，使不等式

()1f x k k <<恒成立，则称()f x 为()D k 型函数.

（1）设函数()f x a x =，定义域[][]3,1

1,3D =--.若()f x 是()3D 型函数，求实

数a 的取值范围； （2）设函数()2

x g x e x x =--，定义域()0,2D =.判断()g x 是否为()2D 型函数，并给出证明.

（参考数据：278e <<）

参考答案

1．A

【解析】

根据列联表可知四个变量间的关系，在每一行中，前两个数字的和等于最后一个数字，在每一列中，前两个数字的和等于最后一个数字，据此即可求解，所以由列联表可知，2173

a+=，2

a b

+=，即52

a=，54

b=．故选A．

2．B

【分析】

设所求的双曲线方程是

2

2

x

-y

2

=k，由点P（2，﹣2）在双曲线方程上，求出k值，即得所求

的双曲线方程．【详解】

由题意知，可设所求的双曲线方程是

2

2

x

-y

2

=k，

∵点P（2，﹣2）在双曲线方程上，

所以

2

2

2

--2

2

（）=k，∴k=﹣2，

故所求的双曲线方程是

22

1 24

y x

-=，

故选B．

【点睛】

本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，解题的关键是根据渐近线

方程相同设所求的双曲线方程是

2

2

x

-y

2

=k，属于基础题．

3．A

【解析】

试题分析：由，但无法得出，A满足；由、均无法得出，不满足“充分”；由，不满足“不必要”.

考点：不等式性质、充分必要性.

4．A

【解析】

试题分析：本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．

解：由列联表我们易得：

a=11，b=34，c=8，d=37

则K2=

=

=0.6004≈0.60

故选A

点评：若要推断的论述为H：“X与Y有关系”，可以利用独立性检验来考查两个变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度．具体的做法是，由表中的数据算出随机变量K2的值，K2=．K2的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大．

5．D

【分析】

由图形间的关系可以看出，每多出一个小金鱼，则要多出6根火柴棒，则火柴棒的个数组成了一个首项是8，公差是6的等差数列，写出通项，求出第n项的火柴根数即可．

【详解】

由图形间的关系可以看出，每多出一个小金鱼，则要多出6根火柴棒，第一个图中有8根火柴棒组成，第二个图中有8+6个火柴棒组成，第三个图中有8+2×6个火柴组成，以此类推：组成n个系列正方形形的火柴棒的根数是8+6（n﹣1）∴第n个图中的火柴棒有6n+2．

故选D．

【点睛】

本题考查归纳推理，考查等差数列的通项，解题的关键是看清随着小金鱼的增加，火柴的根

数的变化趋势，属于基础题．

6．D

【分析】

通过特称命题的否定判断A 的正误；充要条件判断B 的正误；复合命题的真假判断C 的正误；逆否命题的真假判断D 的正误；

【详解】

解：对于A ，命题“0x R ?∈，使得20010x x ++≥”的否定是“x R ?∈，使得

210x x ++<”，不满足特称命题的否定形式，所以A 不正确．

对于B ，由实数x y >无法得到22x y >，如0x =，1y =-时，22x y <，不满足条件，故

x y >不是22x y >充要条件，所以B 不正确；

对于C ，设p ，q 为简单命题，若“p q ∨”为假命题，可能两个命题都是假命题，则“p q ?∧?”为真命题，所以C 不正确．

对于D ，命题“0α=，则cos 1α=”的逆否命题为真命题，因为原命题是真命题，所以D 正确．

故选：D ．

【点睛】

本题考查命题的真假的判断，充要条件以及命题的否定四种命题的逆否关系，属于基础题．

7．C

【解析】()()2

1111lim lim lim lim ()x a x a x a x a f x f a a x x a x a x a x a xa ax a →→→→---===-=----. 考点：瞬时变化率.

8．B

【分析】

先根据椭圆的标准方程求出2a =,1c =,再根据光线路径分三种情况讨论即可得出结果.

【详解】

解: 由题意可得24a =,23b =, 2221c a b =-=,

所以2a =,1c =.

①若光线从椭圆一个焦点沿x 轴方向出发到长轴端点(较近的)再反射,

则所经过的路程为()22a c -=,

②若光线从椭圆一个焦点沿x 轴方向出发到长轴端点(较远的)再反射,

则所经过的路程为()26a c +=.

③若光线从椭圆一个焦点沿非x 轴方向出发,

则所经过的路程为48a =

故选:B

【点睛】

本题考查椭圆的基本性质,考查椭圆的反光镜问题,考查长半轴与半焦距之间的基本关系,属于中档题.

9．D

【详解】

圆（x ﹣2）2+y 2＝3的圆心为（2，0）

，

设切线方程为y ＝kx ，

=

解得k

可得双曲线的渐近线的方程为 y

，

①当焦点在x 轴上时双曲线22

22x y a b

-=1的渐近线方程为y ＝±b a x ，

即有b a =

e c a ====2； ②当焦点在y 轴上时，双曲线22

22y x a b

-=1的渐近线方程为y ＝±a b x ，

即有a b =

e 3

c a ====． 故选：D ．

10．A

【分析】

由散点图知，去掉(3,10)D 后，y 与x 的线性相关加强，由相关系数r ，相关指数2R 及残差平方和与相关性的关系得出选项．

【详解】

解：由散点图知，去掉(3,10)D 后，y 与x 的线性相关加强，且为正相关，

所以r 变大，2R 变大，残差平方和变小．

故选A ．

【点睛】

本题考查刻画两个变量相关性强弱的量：相关系数r ，相关指数2R 及残差平方和，属于基础题．

11．A

【解析】

试题分析：联立221{1

y x ax by =-++=，得()2210a b x bx b +-+-=，设()11,x y A ，()22,x y B ，则122b x x a b +=+，1212211a y y x x a b +=-+-+=+，所以AB 中点为,b a a b a b ?? ?++??

，其

与原点所在直线的斜率为2

a

a a

b b b a b

+==-+．故应选A ． 考点：1、直线双曲线的位置关系；2、直线的斜率及韦达定理.

12．A

【分析】

本道题将零点问题转化成交点个数问题，利用数形结合思想，即可．

【详解】

()()()()()20g x f x f x a =-+=有三个零点，()20f x -=有一个零点，故

()0f x a +=，有两个零点，代入()f x 的解析式，得到11x e a -=--，构造新函数 ()()1,1x h x e m x a =-=--，绘制这两个函数的图像，如图可知

因而()m x 介于A,O 之间，建立不等关系011a <--<，解得a 的范围为()2,1--，故选

A ．

【点睛】

本道题考查了函数零点问题，难度加大．

13．12-

【分析】

根据题意，求出函数的导数可得f ′（x ）＝2f '（2）+3x 2，令x ＝2可得f ′（2）＝2f '（2）+12，变形可得答案．

【详解】

根据题意，f （x ）＝2f '（2）x +x 3，

则f ′（x ）＝2f '（2）+3x 2，

当x ＝2时，有f ′（2）＝2f '（2）+12，

变形可得：f ′（2）＝﹣12；

故答案为﹣12．

【点睛】

本题考查函数导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．

14. 【解析】

分析：根据类比推理可得“黄金双曲线”应满足FB AB ⊥，其中F 为左焦点，A,B 分别为双曲线的右顶点和虚轴的上顶点，然后求得,,A B F 的坐标后根据题意得到,,a b c 的关系式，

解方程可得离心率．

详解：根据“黄金椭圆”的性质是FB AB ⊥，可得“黄金双曲线”也满足这个性质． 如图，设“黄金双曲线”的方程为22

221(0,0)x y a b a b

-=>>，

则(,0),(0,),(,0)A a B b F c -，

(,),(,)FB c b AB a b ==-，

∵FB AB ⊥，

∴20FB AB ac b ?=-=，

∴222ac b c a ==-，

∴210e e --=，

解得e =

或e =， ∴黄金双曲线”的离心率e

． 点睛：本题考查类比推理和双曲线离心率的求法，解题的关键是得到“黄金双曲线”的特征，得到相关点的坐标后将这一特征转化为,,a b c 的关系式，构造出关于离心率的方程，解方程可得所求，解题时要注意双曲线的离心率大于1这一条件．

15．3n

； 【分析】 根据递推公式133n n n a a a +=

+计算出2a ,3a ,4a ,5a 的值,从而推测出n a 的值. 【详解】

解: 已知13a =,133

n n n a a a +=+

,

12133333332

a a a ?===++, 2323

33321333

32a a a ?

====++ 34333133134

a a a ?===++ 4543

3334335

34

a a a ?

===++ 由此可猜想3n a n

=. 故答案为: 3n 【点睛】

本题考查数列的性质和应用,考查递推公式求数列的解析式,解题时要认真审题,自习解答,注意递推公式的合理应用.

16．2

【分析】

可设P 为第一象限的点，|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n ，运用椭圆和双曲线的定义，可得m ，n ，再由勾股定理，结合离心率公式，化简可得所求值．

【详解】

解：可设A 为第一象限的点，|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n ，

由椭圆的定义可得m +n ＝2a ，

由双曲线的定义可得m ﹣n ＝2a '

可得m ＝a +a '，n ＝a ﹣a '，

由∠F 1AF 2＝90°，可得

m 2+n 2＝（2c ）2，

即为（a +a '）2+（a ﹣a '）2＝4c 2，

化为a 2+a '2＝2c 2， 则22

22'a a c c

+=2，

即有22

1211e e +=2． 故答案为2．

【点睛】

本题考查椭圆和双曲线的定义和离心率公式，考查勾股定理和化简整理的运算能力，属于中档题．

17．（1）43m =

；（2）2.53m <<. 【解析】

试题分析：（1）椭圆的，双曲线的顶点，两个量相等后解得；（2）分别求两个命题为真时的取值范围，因为

为真命题，所以命题都是真命题，求交集.

试题解析：（1）由，得43m =； （2）据题意有，p 与q 同时为真，

若p 真，则920m m ->>，解得03m <<，

若q 真时，则350,

225m m +><<，解得2.55m <<， 当p 真、q 真时，03{2.55

m m <<<<， ∴实数的取值范围是2.53m <<．

考点：1.命题；2.椭圆和双曲线的几何性质.

18．（1）

25

（2） 2.14?y x =+（3）该奶茶店这种饮料的销量大约为19杯 【分析】

（1）根据题意列举出从5组数据中选取2组数据共有10种情况,每种情况都是可能出现的,满足条件的事件包括的基本事件有4种.根据等可能事件的概率做出结果.（2）根据所给的数据,先求出x ,y 的平均数,即求出本组数据的样本中心点,根据最小二乘法求出线性回归方程的系数,写出线性回归方程.（3）利用线性回归方程,x 取7,即可预测该奶茶店这种饮料的销量.

【详解】

解:（1）设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A ,

所有基本事件(),m n （其中,m n 为1月份的日期数）有：

()11,12,()11,13,()11,14,()11,15,()12,13,()12,14,()12,15,()1314,,()13,15,()1415,,共有10种.

事件A 包括的基本事件有()11,12,()12,13,()1314,,()1415,共4种.

所以()42105

P A =

=所求. （2）由数据,求得91012118105x ++++==,2325302621255y ++++==. 由公式,求得? 2.1b

=,??4a y bx =-=, 所以y 关于x 的线性回归方程为 2.14?y

x =+. （3）当7x =时, 2.1741.?87y

=?+=, 所以该奶茶店这种饮料的销量大约为19杯.

【点睛】

本题主要考查概率以及线性回归方程的相关知识,是基础题.

19．（1）详见解析（2）

12 【分析】

（1）先证明BO ⊥平面PAC ，得到BO PC ⊥，结合已知OH PC ⊥，证得PC ⊥平面BOH .（2）将所求A BOH V -转化为B HOC V -，利用（1）的结论得到三棱锥的高为OB ，由此计算得三棱锥的体积.

【详解】

解：（1）∵AB ＝BC ，O 是AC 中点，

∴BO ⊥AC ，

又平面PAC ⊥平面ABC ，

且BO ?平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC ＝AC ，

∴BO ⊥平面PAC ，

∴BO ⊥PC ，

又OH ⊥PC ，BO ∩OH ＝O ，

∴PC ⊥平面BOH ；

（2）∵△HAO 与△HOC 面积相等，

∴A BOH B HAO B HOC V V V ---==,

∵BO ⊥平面PAC ,∴13

B HO

C OHC V S OB -?=?,

∵OH =,∠HOC=30°∴1HC =,

∴12OHC S CH OH ?=?=

∴1132

B OCH V -=

=,即12A BOH V -=. 【点睛】 本题主要考查线面垂直的证明，考查三棱锥体积的求法，属于中档题.

20．(1) 2

219

x y +=；(2)3. 【分析】

（1）根据题干条件得到a,b,c 进而得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆方程得到二次方程，k HM +k HN ()()12121241x x t x x x x +-+=

，代入韦达定理,整理可得到结果. 【详解】

（1）椭圆C

的两焦点分别为(

)()

12F F -、，

c=短半轴长为1,b=1,222

a b c =+ ,故得到曲线C 的方程为：2

219x y +=； （2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 由222119

y x x y =+???+=??，消去y 得， 37x 2+36tx +9（t 2﹣1）＝0，

由△＝（36t ）2﹣4×37×9（t 2﹣1）＞0，

t <<，

又直线y ＝2x +t 不经过点H （0，1），

且直线HM 与HN 的斜率存在，

∴t ≠±1，

又212123699,3737

t t x x x x -+==，， ∴k HM +k HN ()()12121212124111x x t x x y y x x x x +-+--=+=＝4411

t t -=+， 解得t ＝3，

故t 的值为3.

【点睛】

本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 21．（1）见解析；（2）1.

【分析】

（1）a ＝1时，f （x ）＝

ln x x ，f ′（x ）＝21ln x x -，令f ′（x ）＝2

1ln x x -＝0，解得x ＝e .通过列表可得函数f （x ）的单调递区间及其极值.（2）由题意可得：x ＞0，由不等式()11f x x ≤-恒成立，即x ﹣1﹣alnx ≥0恒成立.令g （x ）＝x ﹣1﹣alnx ≥0，g （1）＝0，x ∈（0，+∞）.g ′（x ）＝1﹣

a x ＝x a x -.对a 分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出. 【详解】

（1）a ＝1时，f （x ）＝

ln x x ，f ′（x ）＝21ln x x -， 令f ′（x ）＝

21ln x

-＝0，解得x ＝e .

可得函数f （x ）的单调递增区间为（0，e ），单调递减区间为（e ，+∞），可得极大值为f （e ）＝1e

，为极小值.

（2）由题意可得：x ＞0，由不等式()11f x x

≤-恒成立，即x ﹣1﹣alnx ≥0恒成立. 令g （x ）＝x ﹣1﹣alnx ≥0，g （1）＝0，x ∈（0，+∞）.

g ′（x ）＝1﹣a x ＝x a x

-. ①若a ＜0，则函数g （x ）在（0，+∞）上单调递增，又g （1）＝0，∴x ∈（0，1）时，g （x ）＜0，不符合题意，舍去.

②若0＜a ＜1，则函数g （x ）在（a ，+∞）上g ′（x ）＞0，即函数g （x ）单调递增，又g

（1）＝0，∴x ∈（a ，1）时，g （x ）＜0，不符合题意，舍去.

③若a ＝1，则函数g （x ）在（1，+∞）上g ′（x ）＞0，即函数g （x ）单调递增，x ∈（a ，

1）时，g ′（x ）＜0，函数g （x ）单调递减.

∴x ＝1时，函数g （x ）取得极小值即最小值，又g （1）＝0，∴x ＞0时，g （x ）≥0恒成立.

③若1＜a ，则函数g （x ）在（0，a ）上g ′（x ）＜0，即函数g （x ）单调递减，又g （1）＝0，∴x ∈（1，a ）时，g （x ）＜0，不符合题意，舍去.

综上可得：a ＝1.

【点睛】

对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．

22．（1）1,13?? ???（2）()g x 是()2D 型函数；证明见解析

【分析】

（1）由()f x a x =是()3D 型函数,得到133

a x <<在[][]3,11,3--?上恒成立,再由x 的取值范围为[]1,3,能求出a 的取值范围.（2）()g x 是()2D 型函数.证明如下：①先证明

()2g x <.方法1：记()22x x x h x e

++=,02x <<.由()()2

2131240x x x x x h x e e ??-+ ?--+??'==<,()h x 在()0,2上为减函数,求出()2g x <成立.

方法2：记()22x m x e x x =---,02x <<.()()21x

n x m x e x '==--,()0n x '=,得ln 2x =, ()0,ln 2x ∈,推导出()2g x <.

【详解】

解:（1）因为()f x a x =是()3D 型函数, 所以133

a x <<在[][]3,11,3--?上恒成立, 又x 的取值范围为[]1,3,所以min max 31,11,33a x a x ???<=? ? ????????>= ?? ????

所以a 的取值范围为1,13?? ???

.

（2）()g x 是()2D 型函数.证明如下：①先证明()2g x <. 方法1：记()22x x x h x e

++=,02x <<. 所以()()2

2131240x x

x x x h x e e ??-+ ?--+??'==<, 所以()h x 在()0,2上为减函数, 所以()()2821h x h e >=>,所以221x x x e

++>. 即22x e x x --<,所以()2g x <成立.

方法2：记()2

2x m x e x x =---,02x <<. 记()()21x n x m x e x '==--,则()2x

n x e '=-, 令()0n x '=,所以ln 2x =,

当()0,ln 2x ∈时,()0n x '<；当()ln 2,2x ∈时,()0n x '>,