最新第8章 §8.6.2-2 三个变量的卡诺图化简习题2与答案 -10-2

第8章 §8.6.2-2 三个变量的卡诺图化简习题2与答案

（一）考核内容

1、第8章掌握逻辑运算和逻辑门；掌握复合逻辑运算和复合逻辑门；掌握逻辑函数的表示方法；掌握逻辑代数的基本定理和常用公式；掌握逻辑函数的化简方法。

8.6.2 -2逻辑函数的卡诺图化简法一、三个逻辑变量的卡诺图化简 1、三个逻辑变量最小项的定义

如最小项C B A 对应的变量取值为000，它对应十进制数为0。因此，最小项C B A 的编号为m 0，如最小项C B A 对应的取值为100，C B A 变量编号为m 4，其余最小项的编号以此类推。 2、最小项的编号

三个逻辑变量A 、B 、C 的逻辑函数的最小项有8个．将逻辑变量A 、B 、C 都赋值1；逻辑变量A B C 、、都赋值0．将赋值后对应项的值，为二进制数换算成为十进制数，为该项的下标．列表如下：

一般地， n 个逻辑变量，可以构成2n 个最小项．利用真值表可以验证，最小项具有下面的性

质（以三个自变量为例）：

(1) n 个变量的全部最小项之和为1．即 012345671m m m m m m m m +++++++=．

(2) 任意两个最小项的积恒为0。.

如：46()()()00m m ABC ABC A A C C BB AC =?=??=?=

(3)只有一个因子不同的两个最小项，叫做逻辑相邻的最小项．可以消去一个因子，合并成一项．例如 67()1m m ABC ABC AB C C AB AB +=+=+=?=．

3、最小项表达式

任意一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和形式，叫做最小项表达式（“与?或”表达式）．例如247()f A B C ABC ABC ABC m m m =++=++，，．

例如：

是一个三变量的最小项表达式，它也可以简写为

)6,5,4(),,(654∑=++=m m m m C B A F

为了获得函数的最小项表达式，首先要将逻辑函数展开成“逻辑和”与“逻辑积”的形式（“与?或”表达式），然后将因子不足的项进行配项补足。 4、相邻最小项

若两个最小项只有一个变量为互反变量，其余变量均相同，则这样的两个最小项为逻辑相邻，并把它们称为相邻最小项，简称相邻项。例如三变量最小项ABC 和C AB ，其中的C 和C 为互反变量，其余变量AB 都相同，故它们是相邻最小项。显然两个相邻最小项相加可以合并为一项，消去互反变量，如:AB C C AB C AB ABC =+=+)(

如图所示，为三变量和卡诺图。在卡诺图的行和列分别标出变量及其状态。变量状态的次序是00，01，11，10，而不是二进制递增的次序00，01，10，11。这样排列是为了使任意两个相邻最小项之间只有一个变量改变，满足相邻性，小方格也可用二进制数对应于十进制数编号。

AB C B A C B A C B A F ++=),,(

二、三个逻辑变量的卡诺图

三变量的最小项表达式，它也可以简写为

)7,6,5,4,3,2,1,0(),,(76543210∑=+++++++=m m m m m m m m m C B A F

三个逻辑变量的卡诺图为： BC BC

00 01 11 10 A

0 0m 1m 3m 2m A 1

【例题2.1】用卡诺图化简，三变量逻辑函数

2.1 2.2

C Y = A Y =

【例题2.2】用卡诺图化简，Y ABC BC ABC =++ 3、卡诺图法化简逻辑函数的一般步骤 3.1 将逻辑函数化为最小项表达式

当逻辑函数不是最小项表达式时，可以用配项法将逻辑函数化为最小项表达式。这样才可以填入卡诺图并用卡诺图法化简。

逻辑函数Y ABC BC ABC =++的卡诺图表示

分析首先将逻辑函数用最小项表达式表示，然后画出卡诺图．

解 Y ABC BC ABC =++

()ABC A A BC ABC =+++

ABC ABC ABC =++

在三个逻辑变量的卡诺图中，将m 5、m 6、m 2对应的小方格中填入“1”，其余位置填入“0”（如图），得到已知函数卡诺图．

3.2 由最小项表达式画出卡诺图

)6,5,2(),,(∑=m C B A F

3.3 画圈，合并相邻的最小项

相邻最小项用矩形圈圈起来，称为卡诺圈。画卡诺圈所遵循的规则为：（1）必须包含所有的最小项；

（2）按照从小到大顺序，先圈孤立的“1”，即先圈孤立的最小项，再圈只能两个组合的，再圈只能四个组合的，依此类推；

每个卡诺圈内包含最小项的数目应是2的幂，1项，2项、4项或8项等，2n

个相邻的最小项之和

可以合并成一个“与”项，并消去i 个因子。（3）圈的圈数要尽可能少(与项总数要少)；

（4）圈要尽可能大(与项含的因子最少)，不论是否与其他圈相重，也要尽可能地画大，相重是指同一块区域可以重复圈多次，但每个圈至少要包含一个尚未被圈过的1。

按照上面规则，圈出上面给出的卡诺图中可以合并的最小项。

3.4 由卡诺图写出最简与-或表达式

在圈出的合并项所处位置上，若某变量的取值有0也有1，则该变量被消去，否则该变量被保留，并按0为反变量，1为原变量的原则写成一个“与”项。也就是根据卡诺图的性质合并相邻最小项，并消去变量。有几个卡诺圈就有几个“与”项，而后把这些“与”项“或”起来，就得到给定逻辑函数的最简“与-或”表达式了。C B C B A Y +=

§8.6.2-2 三个逻辑变量的卡诺图化简自测题

一、填空题

1、最小项C B A 对应的变量取值为000，它对应十进制数为0。因此，最小项C B A 的编号为0m ，

2、最小项C B A 对应的取值为100，C B A 变量编号为4m 。

3、三个逻辑变量A 、B 、C 的逻辑函数的最小项有8个。

4、若两个最小项只有一个变量为互反变量，其余变量均相同，则这样的两个最小项为逻辑相邻，并把它们称为相邻最小项，简称相邻项。

5、三变量最小项ABC 和C AB ，其中的C 和C 为互反变量，其余变量AB 都相同，故它们是相邻最小项。

6、三变量卡诺图，在卡诺图的行和列分别标出变量及其状态。变量状态的次序是00，01，11，10，而不是二进制递增的次序00，01，10，11。这样排列是为了使任意两个相邻最小项之间只有一个变量改变，满足相邻性，小方格也可用二进制数对应于十进制数编号。

7、BC A C B A C B A C B A m C B A F +++==∑)3,2,1,0(),,( 8、C AB C B A C B A m C B A F ++==

∑)6,5,4(),,(

9、ABC C B A BC A m C B A F ++==

∑)7,4,3(),,(

10、三变量的最小项表达式，它也可以简写为

)7,6,5,4,3,2,1,0(),,(76543210∑=+++++++=m m m m m m m m m C B A F

三个逻辑变量的卡诺图为： BC BC

00 01 11 10 A

0 0m 1m 3m 2m A

二、综合题

1、用卡诺图化简下列逻辑函数为最简“与或”式

1.1

1.2

B A Y +=

C B A Y +=

1.3 1.4

C A Y += C A Y =

1.5 1.6

B A B

C Y += C B A Y ++=

1.7

BC C A Y +=

2、用卡诺图化简下列逻辑函数为最简“与或”式

2.1用卡诺图化简逻辑函数 C B A B A C B A Y ++=

解：C B A C B A BC A C B A C B A C C B A C B A C B A B A C B A Y +++=+++=++=)(

B A

C B Y +=

2.2 C B A BC A B A Y ++=

解：C B A BC A C B A C B A C B A BC A C C B A C B A BC A B A Y +++=+++=++=)(

C C Y B +A =

2.3 )7,6,5,3(),,(∑=

m C B A F

BC AB AC Y ++=

2.4 Y A ABC ABC =++．

解 ()Y A BC BC BC BC ABC ABC =+++++ABC ABC ABC ABC ABC ABC =+++++

ABC ABC ABC ABC ABC ABC =+++++012357m m m m m m =+++++．

C A Y +=

*3、卡诺图化简，答案不唯一

C A B A C B Y ++=

C B B A C A Y ++=