【压轴卷】高中三年级数学下期末模拟试题含答案(1)

【压轴卷】高中三年级数学下期末模拟试题含答案(1)

一、选择题

1．如图所示的圆锥的俯视图为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

2．若复数2

1i

z =-，其中i 为虚数单位，则z = A ．1+i

B ．1?i

C ．?1+i

D ．?1?i

3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．$0.4 2.3y x =+ B ．$2 2.4y x =- C ．$29.5y x =-+ D ．$0.3 4.4y x =-+

4．若圆与圆22

2:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ）

A ．21

B ．19

C ．9

D ．-11

5．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是

A ．

13

B ．

12

C ．23

D ．56

6．若,αβv

v 是一组基底,向量γv =x αu v +y βu v (x,y ∈R),则称(x,y)为向量γv 在基底αu v ,βu v 下的坐标,

现已知向量αu v 在基底p u v =(1,-1), q v =(2,1)下的坐标为(-2,2),则αu v 在另一组基底m u v

=(-1,1), n v

=(1,2)下的坐标为( )

A ．(2,0)

B ．(0,-2)

C ．(-2,0)

D ．(0,2)

7．命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（ ） A ．假设至少有一个钝角

B ．假设至少有两个钝角

C ．假设三角形的三个内角中没有一个钝角

D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 8．设,a b R ∈，“0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

9．函数()()sin 22f x x π????

=+<

??

?

的图象向右平移

6

π

个单位后关于原点对称，则函数

()f x 在,02π??

-????

上的最大值为（）

A ．3-

B ．

3 C ．

12

D ．12

-

10．如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点.若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是

A ．3

B ．2

C 3

D 2

11．在等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ?=（ ） A ．4

B ．16

C ．8

D ．32

12．已知双曲线C ：()22

2210,0x y a b a b

-=>>的焦距为2c ，焦点到双曲线C 的渐近线的

距离为

3

2

c ，则双曲线的渐近线方程为（） A ．3y x =

B ．2y x =

C ．y x =±

D ．2y x =±

二、填空题

13．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23

π

的扇形，则此圆锥的高为________cm .

14．已知圆台的上、下底面都是球O 的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为

2，4，则球O 的表面积为__________．

15．双曲线22

221x y a b

-=(0a >，0b >)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直

线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则a=_______________. 16．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，3c =，2C B =，则

ABC V 的面积为______．

17．若45100a b ==，则122()a b

+=_____________．

18．已知向量a r 与b r 的夹角为60°，|a r |=2，|b r |=1，则|a r

+2 b r |= ______ .

19．34

3

31654

+log log 8145

-??

+= ???

________. 20．()sin 5013=o

o

________________.

三、解答题

21．设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛

物线2

2(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为1

2

. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直

线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为

6

，求直线AP 的方程. 22．如图在三棱锥-P ABC 中， ,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 的中点，已知

,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===.

求证：（1）直线//PA 平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC .

23．某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式： 方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试 方式二：周六一天培训4小时，周日测试

公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如表：

第一周 第二周 第三周 第四周 甲组 20 25 10 5 乙组

8

16

20

16

()1用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间(精确到0.1)，并据此判断

哪种培训方式效率更高？

()2在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这

6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率．

24．在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点

A ，

B 的极坐标分别为()

π42，，5π

224?? ??

?，，曲线C 的方程为r ρ=（0r >）． （1）求直线AB 的直角坐标方程；

（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值．

25．已知函数()1f x ax lnx =--，a R ∈．

(Ⅰ)讨论函数()f x 的单调区间；

(Ⅱ)若函数()f x 在1x =处取得极值，对()0,x ?∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数

b 的取值范围．

26．如图，在几何体111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥底面ABC ，四边形11A ACC 是正方形，1l //B C BC ，Q 是1A B 的中点，1122,

3

AC BC B C ACB π==∠=

（I ）求证：1//QB 平面11A ACC （Ⅱ）求二面角11A BB C --的余弦值.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】

找到从上往下看所得到的图形即可． 【详解】

由圆锥的放置位置，知其俯视图为三角形．故选C. 【点睛】

本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，本题容易误选B ，属于

基础题.

2．B

解析：B 【解析】 试题分析：22(1i)1i,1i 1i (1i)(1i)

z z +=

==+∴=---+，选B. 【考点】复数的运算，复数的概念

【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一.

3．A

解析：A 【解析】

试题分析：因为与正相关，排除选项C 、D ，又因为线性回归方程恒过样本点的中心

，故排除选项B ；故选A ．

考点：线性回归直线.

4．C

解析：C 【解析】

试题分析：因为()()2

2

226803425x y x y m x y m +--+=?-+-=-,所以

250m ->25m ?<且圆2C 的圆心为()3,4,25m -根据圆与圆外切的判定(圆

心距离等于半径和)可得

()()

22

3040125m -+-=-9m ?=,故选C.

考点：圆与圆之间的外切关系与判断

5．C

解析：C 【解析】

试题分析：将4种颜色的花种任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为2

3

，选C. 【考点】古典概型

【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答中的常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.

6．D

解析：D 【解析】 【分析】

【详解】

由已知αu r

=-2p u r +2q r =(-2,2)+(4,2)=(2,4), 设αu r =λm u r +μn r

=λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ),

则由224λμλμ-+=??+=?解得02λμ=??=?

∴αu r =0m u r +2n r ,∴αu r

在基底m u r , n r 下的坐标为(0,2). 7．B

解析：B 【解析】

用反证法证明数字命题时，应先假设要证的命题的否定成立，而要证命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，所以应假设三角形的内角至少有两个钝角，故选B ．

8．B

解析：B 【解析】 【分析】 【详解】

当a=0时，如果b=0，此时0a bi +=是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果

a bi +已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0，因此是必要条件，故选B

【考点定位】

本小题主要考查的是充分必要条件，但问题中又涉及到了复数问题，复数部分本题所考查的是纯虚数的定义

9．B

解析：B 【解析】 【分析】

由条件根据函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得

3πφk π-+=，k z ∈，由此根据||2?π

<求得?的值，得到函数解析式即可求最值． 【详解】

函数()()sin 22f x x π????

=+< ??

?

的图象向右平移6π

个单位后， 得到函数sin 2sin 263ππy x φx φ??????=-

+=-+ ? ?????????

的图象， 再根据所得图象关于原点对称，可得3

π

φk π-

+=，k z ∈，

∵||2?π<

，∴3π

?=，()sin 23πf x x ??=- ??

?，

由题意,02x ??

∈-

????

π，得42,333πππx ??-∈--????，

∴21,32πsin x ??

?-∈-?

??

???，

∴函数()sin 23πf x x ?

?=- ??

?在区间,02π??-???? 故选B ． 【点睛】

本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，考查了正弦函数最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值，属于基础题．

10．B

解析：B 【解析】 【分析】 【详解】

M N Q ，是双曲线的两顶点，M O N ，，将椭圆长轴四等分

∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍 Q 双曲线与椭圆有公共焦点，

∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2

故答案选B

11．B

解析：B 【解析】

等比数列的性质可知2

26416a a a ?==,故选B .

12．A

解析：A 【解析】 【分析】

利用双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦点到渐近线的距离为2

c ，求出a ，b 的

关系式，然后求解双曲线的渐近线方程． 【详解】

双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦点(),0c 到渐近线0bx ay +=，

可得：22

3

c a b =

+，可得32

b c =，3b a =，则C 的渐近线方程为3y x =±．

故选A ． 【点睛】

本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出,a b 的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.

二、填空题

13．【解析】【分析】设此圆的底面半径为高为母线为根据底面圆周长等于展开扇形的弧长建立关系式解出再根据勾股定理得即得此圆锥高的值【详解】设此圆的底面半径为高为母线为因为圆锥的侧面展开图是一个半径为圆心角为 解析：

42

3

【解析】 【分析】

设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出r ，再根据勾股定理得22h l r =- ，即得此圆锥高的值． 【详解】

设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，

因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为2

3

π的扇形, 所以2l =，得24233r l πππ=

?= ,解之得23

r =， 因此,此圆锥的高2

222242cm 332h l r ??=-=-= ???

，

故答案为:2

3

． 【点睛】

本题给出圆锥的侧面展开图扇形的半径和圆心角，求圆锥高的大小，着重考查了圆锥的定义与性质和旋转体侧面展开等知识，属于基础题．

14．【解析】【分析】本道题结合半径这一条件利用勾股定理建立等式计算半径即可【详解】设球半径为R 球心O 到上表面距离为x 则球心到下表面距离为

6-x 结合勾股定理建立等式解得所以半径因而表面积【点睛】本道题考查 解析：80π

【解析】 【分析】

本道题结合半径这一条件，利用勾股定理，建立等式，计算半径，即可。 【详解】

设球半径为R ，球心O 到上表面距离为x ，则球心到下表面距离为6-x,结合勾股定理，建立等式()2

22224+6x x +=-，解得4x =，所以半径222220R x =+= 因而表面积2480S R ππ== 【点睛】

本道题考查了球表面积计算方法，难度中等。

15．2【解析】试题分析：因为四边形是正方形所以所以直线的方程为此为双曲线的渐近线因此又由题意知所以故答案为2【考点】双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中渐近线是其独特的一种性质也是考查的重点内容

解析：2 【解析】

试题分析：因为四边形OABC 是正方形，所以45AOB ∠=?，所以直线OA 的方程为

y x =，此为双曲线的渐近线，因此a b =，又由题意知22OB =，所以22222(22)a b a a +=+=，2a =．故答案为2．

【考点】双曲线的性质

【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.

求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为

的形式，当

，

，

时为椭圆，当

时为双曲线.

16．【解析】【分析】由已知利用正弦定理二倍角的正弦函数公式可求的值根据同角三角函数基本关系式可求的值利用二倍角公式可求的值根据两角和的正弦函数公式可求的值即可利用三角形的面积公式计算得解【详解】由正弦定 解析：

157

16

【解析】 【分析】

由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cos B 的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用二倍角公式可求sin C ，cos C 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sin A 的值，即可利用三角形的面积公式计算得解．

【详解】

2b =Q ，3c =，2C B =，

∴由正弦定理sin sin b c B C =，可得：23

sin sin B C

=，可得：

233sin sin22sin cos B B B B

==，

∴可得：3cos 4B =

，可得：sin B ==，

∴可得：sin sin22sin cos C B B B ===，21

cos cos22cos 18C B B ==-=，

()13sin sin sin cos cos sin 484816

A B C B C B C ∴=+=+=?+?=

，

11sin 2322S bc A ∴=

=??=

．

． 【点睛】

本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

17．【解析】【分析】根据所给的指数式化为对数式根据对数的换地公式写出倒数的值再根据对数式的性质得到结果【详解】则故答案为【点睛】本题是一道有关代数式求值的问题解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质属于基 解析：2

【解析】 【分析】

根据所给的指数式，化为对数式，根据对数的换地公式写出倒数的值，再根据对数式的性质，得到结果． 【详解】

45100a b ==Q ，

4log 100a ∴=，5log 100b =，

10010010012

log 42log 5log 1001a b

∴+=+==，

则1222a b ??

+=

??

? 故答案为2 【点睛】

本题是一道有关代数式求值的问题，解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质，属于基础题．

18．【解析】【分析】【详解】∵平面向量与的夹角为∴∴故答案为点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式(2)常用来求向量的模

解析：【解析】 【分析】 【详解】

∵平面向量a r 与b r 的夹角为060，21a b ==r r ， ∴021cos601a b ?=??=r r .

∴2a b +====r r

故答案为

点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．

(2) a =r 常用来求向量的模．

19．【解析】试题分析：原式=考点：1指对数运算性质 解析：

278

【解析】

试题分析：原式=34

4

332542727log log 134588

-?

?

??+?=+=

?? ?

?????

?

考点：1.指对数运算性质.

20．【解析】【分析】利用弦化切的运算技巧得出然后利用辅助角二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果【详解】原式故答案为：【点睛】本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值在计算时要结合角之间的关系选择 解析：1

【解析】 【分析】

利用弦化切的运算技巧得出(

)

sin 50sin 501an10+=o

o

o

利用辅助角、二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果.

【详解】 原式

()2sin 1030sin50

2sin 40cos 40sin50cos10cos10+===

o o o o o o

o o

()sin 9010sin80cos101cos10cos10cos10-====o o

o o o o o . 故答案为：1. 【点睛】

本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值，在计算时要结合角之间的关系选择合适的公式化简计算，考查计算能力，属于中等题.

三、解答题

21．（Ⅰ）2

2

413

y x +=， 24y x =.（Ⅱ）330x +-=，或330x -=.

【解析】

试题分析：由于A 为抛物线焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12

，则1

2a c -=，又椭

圆的离心率为

1

2

，求出,,c a b ，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则(1,0)A ，设直线AP 方程为设1(0)x my m =+≠，解出P Q 、两点的坐标，把直线AP 方程和椭圆方程联立解出B 点坐标，写出BQ 所在直线方程，求出点D 的坐标，最后根据APD △的面积为

m ，得出直线AP 的方程. 试题解析：（Ⅰ）解：设F 的坐标为(),0c -.依题意，

12c a =，2p a =，1

2

a c -=，解得1a =，12c =

，2p =，于是222

34

b a

c =-=. 所以，椭圆的方程为2

2

413

y x +=，抛物线的方程为24y x =.

（Ⅱ）解：设直线AP 的方程为()10x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点

21,P m ??-- ???，故21,Q m ??- ???.将1x my =+与2

2

413

y x +=联立，消去x ，整理得

()

2

23460m

y my ++=，解得0y =，或2634

m

y m -=

+.由点B 异于点A ，可得点

222

346,3434m m B m m ??-+- ?++??

.由21,Q m ?

?- ???，可学*科.网得直线BQ 的方程为

()222623*********m m x y m m m m ??--+????-+-+-= ? ? ?++??????，令0y =，解得2

2

2332m x m -=+，故2

223,032m D m ??- ?+??.所以2222

23613232m m AD m m -=-=++.又因为APD V 的面积为2，故

2

2162232m m m ??=+，整理得2320m -+=，解得m =m =.

所以，直线AP 的方程为330x -=，或330x -=. 【考点】直线与椭圆综合问题

【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键. 22．(1)证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】

（1）本题证明线面平行，根据其判定定理，需要在平面DEF 内找到一条与PA 平行的直线，由于题中中点较多，容易看出//PA DE ，然后要交待PA 在平面DEF 外，DE 在平面DEF 内，即可证得结论；（2）要证两平面垂直，一般要证明一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，由（1）可得DE AC ⊥，因此考虑能否证明DE 与平面ABC 内的另一条与AC 相交的直线垂直，由已知三条线段的长度，可用勾股定理证明DE EF ⊥，因此要找的两条相交直线就是,AC EF ，由此可得线面垂直. 【详解】

（1）由于,D E 分别是,PC AC 的中点，则有//PA DE ，又PA ?平面DEF ，DE ?平面DEF ，所以//PA 平面DEF ．

（2）由（1）//PA DE ，又PA AC ⊥，所以DE AC ⊥，又F 是AB 中点，所以

1

32DE PA =

=，142

EF BC ==，又5DF =，所以222DE EF DF +=，所以DE EF ⊥，,EF AC 是平面ABC 内两条相交直线，所以DE ⊥平面ABC ，又DE ?平

面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC ． 【考点】

线面平行与面面垂直． 23．（1）方式一（2）35

【解析】 【分析】

（1）用总的受训时间除以60，得到平均受训时间.由此判断出方式一效率更高.（2）利用分层抽样的知识，计算得来自甲组2人，乙组4人.再利用列举法求得“从这6人中随机抽

取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率”. 【详解】

解:（1）设甲乙两组员工受训的平均时间分别为1t 、2t ，则

120525*********

1060t ?+?+?+?==（小时）

28416820121616

10.960

t ?+?+?+?=

≈（小时）

据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为10小时和10.9小时，因

1010.9<，据此可判断培训方式一比方式二效率更高；

（2）从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人, 则这6人中来自甲组的人数为：6

10230

?=， 来自乙组的人数为：

6

20430

?=， 记来自甲组的2人为：a b 、；来自乙组的4人为：c d e f 、、、，则从这6人中随机抽取 2人的不同方法数有：()()()()(),,,,,,,,,a b a c a d a e a f ，()()()(),,,,,,,b c b d b e b f ，

()()(),,,,,c d c e c f ，()()(),,,,,d e d f e f ，共15种，

其中至少有1人来自甲组的有：()()()()(),,,,,,,,,a b a c a d a e a f ，()()()(),,,,,,,,b c b d b e b f

共9种，故所求的概率93155

P ==. 【点睛】

本题主要考查平均数的计算，考查分层抽样，考查古典概型的计算方法，属于中档题.

24．（1）340x y -+=；（2）5

【解析】 【分析】

（1）求得()04A ，

，()22B --，，问题得解． （2）利用直线AB 和曲线C 相切的关系可得：圆心到直线A B 的距离等于圆的半径r ，列方程即可得解． 【详解】

（1）分别将()π42A ，，()

5π4B ，转化为直角坐标为

()04A ，，()22B --，， 所以直线AB 的直角坐标方程为340x y -+=． （2）曲线C 的方程为r ρ

=（0r >），其直角坐标方程为222x y r +=．

又直线A B 和曲线C 有且只有一个公共点，即直线与圆相切， 所以圆心到直线A B 的距离等于圆的半径r .

又圆心到直线A B

=r 的值为5

．

【点睛】

本题主要考查了极坐标与直角坐标互化，还考查了直线与圆相切的几何关系，考查计算能力及点到直线距离公式，属于中档题．

25．(1) 当0a ≤时，()f x 的单调递减区间是(0,)+∞，无单调递增区间；当0a >时，()f x 的单调递减区间是10,

a ?

? ???，单调递增区间是1,a ??

+∞ ???

(2) 211b e -≤ 【解析】 【分析】 【详解】

分析：（1）求导()f x '，解不等式()0f x '>，得到增区间，解不等式()0f x '<，得到减区间；

（2）函数f （x ）在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f （x ）≥bx ﹣2?1+

1

x

﹣lnx x ≥b ，构造函数g （x ）=1+1x

﹣lnx

x ，g （x ）min 即为所求的b 的值 详解：

（1）在区间()0,∞+上， ()11

ax f x a x x

-'=-

=， 当0a ≤时， ()0f x '<恒成立， ()f x 在区间()0,∞+上单调递减； 当0a >时，令()0f x '=得1x a

=， 在区间10,a ??

???

上，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 在区间1,a ??

+∞

???

上，()0f x '>，函数()f x 单调递增. 综上所述：当0a ≤时， ()f x 的单调递减区间是()0,∞+，无单调递增区间；

当0a >时，()f x 的单调递减区间是10,a ?? ???，单调递增区间是1,a ??

+∞ ???

（2）因为函数()f x 在1x =处取得极值， 所以()10f '=，解得1a =，经检验可知满足题意 由已知()2f x bx ≥-，即1ln 2x x bx --≥-， 即1ln 1+

x

b x x

-≥对()0,x ?∈+∞恒成立，

令()1ln 1x g x x x

=+-， 则()222

11ln ln 2x x g x x x x -='--

-=， 易得()g x 在(2

0,e ??上单调递减，在)

2,e ?+∞?上单调递增，

所以()()2

2

min 11g x g e

e ==-，即2

1

1b e -≤.

点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：

（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；

（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为

min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;

（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x > 26．（1）详见解析；（2）431. 【解析】 【分析】

（1）连接1AC ，1A C 交于M 点，连接MQ ，则四边形11A ACC 是正方形，点M 是1AC 的中点，推导出四边形11B C MQ 是平行四边形，从而11B Q C M P ，由此能证明1B Q P 平面

11A ACC ．

（2）以C 为原点，CB ，1CC 分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角11A BB C --的平面角的余弦值． 【详解】

证明：（1）如图所示，连接1AC ，1A C 交于M 点，连接MQ ． 因为四边形11A ACC 是正方形，所以点M 是1AC 的中点， 又已知点Q 是1A B 的中点，所以MQ BC P ，且1

2

MQ BC =

， 又因为11B C BC ∥，且112BC B C =，所以11MQ B C P ，且11MQ B C =， 所以四边形11B C MQ 是平行四边形，故11B Q C M P ， 因1B Q ?平面11A ACC ，1C M ?平面11A ACC ， 故1B Q P 平面11A ACC ．

（2）如图所示，以C 为原点，1,CB CC 分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系， 不妨设1122AC BC B C ===，

则()

3,1,0A

-，()

13,1,2A -，()0,2,0B ，()10,1,2B ， 所以()

113,2,0B A =-u u u u r ，()10,1,2B B =-u u u r

．

设平面11A BB 的法向量为(),,m x y z =u r

，

则111·0·0m B A m B B ?=??=??u u u u v v u u u v v 即32020

x y y z ?-=??-=??，取4x =，则()

4,23,3m =u r 平面1CBB 的一个法向量()1,0,0n =r ，所以431cos ,3131m n m n m n

===u r r

u r r g u r r g ．

故二面角11A BB C --的平面角的余弦值为

431

31

．

【点睛】

线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.