培优训练资料讲解

培优训练

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27.坐标系中，点O为坐标原点，直线y=2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，四边形ABCO是平行四边形，直线y= -x+m经过点C，交x轴于点D。

（1）求m的值；

（2）点P（0，t）是线段OB上的一个动点（点P不与O，B两点重

合），过点P作x轴的平行线，分别交AB，OC，DC于点E，F，G。设线段EG的长为d，求d与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，点H是线段OB上一点，连接BG交OC于点

M，当以OG为直径的圆经过点M时，恰好使∠BFH=∠ABO，求此时t的值及点H的坐标。

解：（1）方法一：如图27-1∵y=2x+4

交x轴和y轴于A、B

∴A（-2,0） B（0,4）

∴OA=2 OB=4

∵四边形ABCO是平行四边形

∴BC=OA=2

过点C做CK⊥x轴于K

则四边形BOKC是矩形

∴OK=BC=2 CK=OB=4

∴C（2,4）

代入y= -x+m得4= -2+m ∴m=6……………………..1分

（2）如图27-2 延长DC 交y 轴于N 分别过点E 、G 作x 轴的垂线 垂足分别是R 、Q

则四边形ERQG 、四边形POQG 、四边形EROP 是矩形

∴ER=PO=GQ=t ∵tan ∠BAO=OA OB AR ER = ∴24=AR t ∴AR=t 2

1……..1分 ∴OD=ON=6 ∴∠ODN=45° ∵tan ∠ODN=QD GQ

∴DQ=t ………………….1分

又∵AD=AO+OD=2+6=8 ∴EG=RQ=8-

t 21-t=8-t 23 ∴d= -t 2

3+8……………1分 （0＜t ＜4）………………..1分

（3）解：如图27-3 ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB ∥OC ∴∠

ABO=∠BOC

∵BP=4-t ∴tan ∠ABO=

BP EP =tan ∠BOC=21 ∴EP=2-

2t ∴PG=d-EP=6-t ………………1分 ∵以OG 为直径的圆经过点M

∴∠OMG=90°………..1分 ∵∠OPG=90° ∠MFG=∠PFO

∴∠BGP=∠BOC ∴tan ∠BGP=

PG BP =tan ∠BOC=21 ∴2

164=--t t 解得：t=2…………………1分 ∵∠BFH=∠ABO=∠BOC ∠OBF=∠FBH ∴△BHF ∽△BFO

∴

BO

BF BF BH 即BO BH BF ?=2 ∵OP=2 ∴PF=1 BP=2 ∴522=+=PF BP BF ∴5=BH ×4 ∴BH=4

5 ∴HO=4-45=4

11 ∴H （0，4

11）……………1分 27. （2012黑龙江省哈尔滨市，28，10分）已知：在△ABC 中，∠

ACB=90°，点P 是线段AC 上一点，过点A 作AB 的垂线，交BP 的延长线于点M ，MN ⊥AC 于点N ，PQ ⊥AB 于点Q ，AQ=MN 。

（1）如图1，求证：PC=AN ；

（2）如图2，点E 是MN 上一点，连接EP 并延长交BC 于点K ，点D 是AB 上一点，连接DK ，∠DKE=∠ABC ，EF ⊥PM 于点H ，交BC 延长线于点F ，若NP=2，PC=3，CK:CF=2:3，求DQ 的长。

解：（1）证明：如图28-1 ∵BA ⊥AM MN ⊥AP ∴∠BAM=∠

ANM=90°

∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°

∴∠PAQ=∠AMN ……………………1分

∵PQ ⊥AB MN ⊥AC ∴∠PQA=∠ANM=90°

∵AQ=MN ∴△AQP ≌△MNA …………………1分

∴AN=PQ AM=AP ∴∠AMB=∠APM

∵∠APM=∠BPC ∠BPC+∠PBC=90°

∠AMB+∠ABM=90° ∴∠ABM=∠PBC ………………..1分

∵PQ ⊥AB PC ⊥BC ∴PQ=PC …………………..1分

∴PC=AN ……………………..1分

（2）解：如图28-2 ∵NP=2 PC=3 ∴由（1）知PC=AN=3

∴AP=NC=5 AC=8 ∴AM=AP=5

∴AQ=MN=422=-AN AM …………………….1分

∵∠PAQ=∠AMN ∠ACB=∠ANM=90° ∴∠ABC=∠MAN ∴tan ∠ABC=tan ∠MAN=

34=AN MN ∵tan ∠ABC=BC AC ∴BC=6………………….1分 ∵NE ∥KC ∴∠PEN=∠PKC 又∵∠ENP=∠KCP

∴△PNE ∽△PCK ∴

PC

NP CK NE = ∵CK:CF=2:3 设CK=2k 则CF=3k ∴322=k NE k NE 3

4=过N 作NT ∥EF 交CF 于T 则四边形NTFE 是平行四边形 ∴NE=TF=k 34 ∴CT=CF-TF=3k-k 34=k 35 ∵EF ⊥PM ∴∠BFH+∠HBF=90°=∠BPC+∠HBF ∴∠BPC=∠BFH

∵EF ∥NT ∴∠NTC=∠BFH=∠BPC

∵tan ∠NTC= tan ∠BPC=2=PC BC ∴tan ∠NTC=2=CT NC ∴CT=k 35=25 ∴k=2

3………………..1分 ∴CK=2×2

3=3 BK=BC-CK=3 ∵∠PKC+∠DKE=∠ABC+∠BDK ∠DKE=∠ABC ∴∠BDK=∠PKC

tan ∠PKC=

1=KC

PC ∴tan ∠BDK=1 过K 作KG ⊥BD 于G ∵tan ∠BDK=1 tan ∠ABC=3

4 ∴设GK=4n 则BG=3n GD=4n ∴BK=5n=3 ∴n=53 ∴BD=4n+3n=7n=521……………..1分 ∵AB=22BC AC +=10 AQ=4 ∴BQ=AB-AQ=6

∴DQ=BQ-BD=6-

521=5

9………………………..1分 （2012?吉林）如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=2cm ，

AC=4cm ．动点P 从点A 出发，沿AB 方向以1cm/s 的速度向

点B 运动，动点Q 从点B 同时出发，沿BA 方向以1cm/s 的速

度向点A 运动．当点P 到达点B 时，P ，Q 两点同时停止运动，

以AP 为一边向上作正方形APDE ，过点Q 作QF ∥BC ，交AC 于

点F ．设点P 的运动时间为ts ，正方形和梯形重合部分的面积为

Scm 2．

（1）当t=1s 时，点P 与点Q 重合；（2）当t=4/5s 时，点D

在QF 上；（3）当点P 在Q ，B 两点之间（不包括Q ，B 两点）

时，求S 与t 之间的函数关系式．

解：（1）当点P 与点Q 重合时，AP=BQ=t ，且AP+BQ=AB=2， ∴t+t=2，解得t=1s ，（2）当点D 在QF 上时，如答图1所示，此时AP=BQ=t ．

∵QF ∥BC ，APDE 为正方形，∴△PQD ∽△ABC ，

∴DP ：PQ=AC ：AB=2，则PQ=1/2

DP=1/2 AP=t ．

由AP+PQ+BQ=AB=2，得t+1/2t+t=2，解得：t=4/5

（3）当P 、Q 重合时，由（1）知，此时t=1；

当D 点在BC 上时，如答图2所示，此时AP=BQ=t ，

BP=1/2t ，求得t=4/3s ，

进一步分析可知此时点E 与点F 重合；

当点P 到达B 点时，此时t=2．

因此当P 点在Q ，B 两点之间（不包括Q ，B 两点）时，其

运动过程可分析如下：①当1＜t ≤4/3时，如答图3所示，

此时重合部分为梯形PDGQ ．此时AP=BQ=t ，

∴AQ=2-t ，PQ=AP-AQ=2t-2；

易知△ABC ∽△AQF ，可得AF=2AQ ，EF=2EG ．

∴EF=AF-AE=2（2-t）-t=4-3t，EG=1/2 EF=2-3/2t，

∴DG=DE-EG=t-（2-3/2t）=5/2t-2．

S=S梯形PDGQ=1/2（PQ+DG）?PD

=1/2[（2t-2）+（5/2t-2）]?t=9/4t2-2t；

②当4/3＜t＜2时，如答图4所示，此时重合部分为一个多边

形．

此时AP=BQ=t，∴AQ=PB=2-t，易知△ABC∽△AQF∽△PBM∽△

DNM，可得AF=2AQ，PM=2PB，DM=2DN，∴AF=4-2t，

PM=4-2t．又DM=DP-PM=t-（4-2t）=3t-4，

∴DN=1/2（3t-4）．

S=S正方形APDE-S△AQF-S△DMN=AP2-1/2AQ?AF-1/2 DN?DM=t2-

1/2（2-t）（4-2t）-1/2×1/2 （3t-4）×（3t-4）=-9/4t2+10t-8．

综上所述，当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，S与t之间的函数关系式为：

S=9/4 t2-2t(1＜t≤4/3)或S=-9/4 t2+10t-8(4/3＜t＜2)

（1）当点P与点Q重合时，此时AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=2，由此列一元一次方程求出t的值；（2）当点D在QF上时，如答图1所示，此时AP=BQ=t．由相似三角形比例线段关系可得

PQ=1/2t，从而由关系式AP+PQ+BQ=AB=2，列一元一次方程求出t的值；

（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，运动过程可以划分为两个阶段：

①当1＜t≤4/3

时，如答图3所示，此时重合部分为梯形PDGQ．先计算梯形各边长，然后利用梯形面积公式求出S；

②当4/3＜t＜2时，如答图4所示，此时重合部分为一个多边形．面积S由关系式

“S=S正方形APDE-S△AQF-S△DMN”求出

．