第二讲 相反数与绝对值(教师版)

第二讲相反数与绝对值

一.知识梳理

1.相反数的概念

2.相反数的表示方法以及性质判定

3.有理数多重符号的化简

4.绝对值的概念

5.绝对值的性质

6.利用绝对值比较大小

二.课堂例题精讲与随堂演练

知识一：相反数的概念

（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数，如－1999与1999互为相反数。

（2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。如5与－5是互为相反数。

（3）0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。

（4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。

例15的相反数是( )

A.－5

B. 5

C.

D.

难度分级：A级

分析与解答: 根据相反数的概念，5的相反数是－5，易知本题选A

例2下列判断不正确的有（）

①互为相反数的两个数一定不相等；②互为相反数的数在数轴上的点一定在原点的两边；③所有的有理数都有相反数；④相反数是符号相反的两个点．

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

难度分级：B级

分析与解答:根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，易知本题选C

随堂演练：

A级

1.写出下列各数的相反数：

52

6,8, 3.9,,,100,0

211

---

B级

2.－7的相反数的倒数是（）

知识二：相反数的表示

在一个数的前面添上“－”号就成为原数的相反数。若表示一个有理数，则的相反数表示为－。在一个数的前面添上“＋”号仍与原数相同。例如，＋7＝7，特别地，＋0＝0，－0＝0。

若互为相反数，则，反之若，则互为相反数。

例3下面说法中正确的是（）

C ．－a 的相反数是正数；

D ．两个表示相反意义的数是相反数． 难度分级：A 级

分析与解答 互为相反的数应是数字相同，符号不同的数．A 中的两个数是互为倒数，它们不是互为相反数，要注意区别相反数与倒数；B 中的两个数的符号不同，数字相同，

8

1

＝0.125，所以它们是互为相反数；C 中的－a 不一定是负数，若a 是负数，则－a 是正数，正数的相反数是负数；D 中要注意区别相反数和相反意义的量，在数轴上互为相反数是在原点两旁，并且与原点距离相等的两个数，相反意义的量则不同，如向东行40米和向西行50米是相反意义的量，不是相反数．根据分析，A .C .D 均错，只有B 对， ∴选B 随堂演练： A 级 3. 填空

B 级

4. 若4-=a ，则________=-a ．若3.2+=a ，则_________=-a ；若1=-a ，则_____=a ；若2-=-a ，则_____=a ；如果a a =-，那么_____=a ．

知识三：多重符号化简

（1）相反数的意义是简化多重符号的依据。如

是－1的相反数，而－1的相反数为＋1，所以

。

（2）多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。如果“－”号是奇数个，则结果为负；如果是偶然数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。

例4 化简下列各数：

(1)－(＋3)； (2)－(－2)； (3)－[－(－5)]； (4)－[－(＋5)]； (5)－(－m)； (6)＋(－a)； (7)－(a －b)； (8)－(a ＋b)． 难度分级：B 级

分析与解答 在一个数前面加上“＋”号，所得数还是原来的数；在一个数前面加上“－”号，表示求这个数的相反数．如：(1)题表示求＋3的相反数；(2)题表示求－2的相反数；(3)题表示求－5的相反数的相反数；(6)题表示仍为－a 自身；(7)题表示求a －b 的相反数．

(1)－(＋3)＝－3； (2)－(－2)＝＋2；

(3)－[－(－5)]＝－(＋5)＝－5； (4)－[－(＋5)]＝－(－5)＝＋5； (5)－(－m)＝m ； (6)＋(－a)＝－a ； (7)－(a －b)＝－a ＋b ＝b －a ； (8)－(a ＋b)＝－a －b ． 随堂演练： A 级

5. 化简下列各数的符号：()____6=+-，()____3.1=--，()[]____3=-+-．

B 级

6. 下列各对数中，互为相反数的有 （ ）

(－1)与＋(－1)，＋(＋1)与－1，－(－2)与＋(－2)， ＋[－(＋1)]与－[＋(－1)]，－(＋2)与－(－2)，??

?

??-

-31与??

?

??+

+31． A ．6对

B ．5对

C ．4对

D ．3对

知识三：绝对值的定义

1．绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．

2．绝对值的几何定义：在数轴上表示一个数的点离开原点的距离，叫做这个数的绝对值．

例5求8，－8，3，－3，1

4

，－

1

4

，0的绝对值．

难度分级：A级

分析与解答：利用绝对值的代数定义

8＝8 ，8-＝8 ，3＝3，3-＝3 ，

1 4＝

4

1

，

1

4

-＝

4

1

，0＝0，

例6 绝对值为4的有理数一定是（）

A. ±4

B. 4

C.－4

D. 2

难度分级：B级

分析与解析:求绝对值等于4的数用绝对值几何定义比较直观，绝对值等于4的整数即在数轴上到原点距离等于4的整数点表示的数，故本题选A

随堂演练:

A级

7.－2的绝对值是（）

A．2 B．－2 C．±2 D．

8.判断：

①符号相反的数互为相反数；（）

②符号相反且绝对值相等的数互为相反数；（）

③一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右；（）

④在数轴上，到原点的距离等于2的数是2；（）

⑤一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；（）

⑥绝对值等于本身的数只有0。（）

B级

9.若a与2 互为相反数，则|a＋2|等于( )

A. 0

B.－2

C.2

D. 4

知识四：绝对值的主要性质

难度分级：C级

分析与解答：对于有理数a，有三种情况，可为正数.负数和０.当a为正数时，a是它本身，所以a

a

＝

a

a

＝１；当a为负数时，a是它的相反数，所以a

a

＝1

a

a

-

=-；当a为0时，a为0，但分母为零，没有

意义.

当a>0时，a

a

＝1；当a<0时，

a

a

＝－1；当a＝0时，

a

a

无意义.

随堂演练：

A级

10.一个数的绝对值是正数，则这个数是（）

A.正数；

B.不等于零的有理数；

C.任意有理数；

D.非负数.

B级

11.如果a＜0，那么（）

A.｜a｜＜0

B.－（－a）＞0

C.｜a｜＞0

D.－a＜0

12.若a>0，则│a│＝_______；若a<0，则│a│＝_______；若a＝0，则│a│＝_______.

知识五：利用绝对值比较大小

1．两个负数大小的比较，因为两个负数在数轴上的位置关系是：绝对值较大的负数一定在绝对值较小的负数左边，所以，两个负数，绝对值大的反而小.

比较两个负数的方法步骤是：

（1）先分别求出两个负数的绝对值； （2）比较这两个绝对值的大小；

（3）根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确的判断． 2．两个正数大小的比较，与小学学习的方法一致，绝对值大的较大 例9 比较下列各组数的大小

（1）│－3│与│－8│ （2）4与－5 （3）0与3 （4）－7和0 （5）0.9和1.2 难度分级：A 级

分析与解答：由以上各组数的大小比较可见：正数都大于0，0都大于负数，正数都大于负数．

（1）│－3│__<__│－8│ （2）4__>___－5 （3）0___<__3 （4）－7___<__0 （5）0.9__<__1.2 例10 比较下列各对数的大小，并用数轴表示： 83(1)(1) ; (2); (3)(0.3) .217------1

和-(+2)和和-3

难度分级：B 级

分析与解答：①比较两个负数的大小又多了一种方法，即：两个负数，绝对值大的反而小．②异号的两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑先比较它们的绝对值．

解：（1） > (2) > (3) < 数轴（略）

随堂演练： A 级

13. 比较－2，－

21

，0，0.02的大小，正确的是（ ） A . －2<－21<0<0.02 B . －21

<－2<0<0.02

C . －2<－21<0.02<0

D . 0<－2

1

<－2<0.02

14. 下列各式中，正确的是（ ）

A . －16->0

B . 2.0>2.0

C . 74-

>7

5

- D . 6-<0

三．课后检测：

A 级：

1．判断题

（1）－3是相反数 （ ） （2）－7和7是相反数 （ ）

（3）－a 的相反数是a ，它们互为相反数 （ ） （4）符号不同的两个数互为相反数 （ ） 2．分别写出下列各数的相反数，并把它们在数轴上表示出来． 1，－2，0，4.5，－2.5，3

3． (1) －5.8是 _____ 的相反数， ______的相反数是－（＋3）

（2）正数的相反数是__________，负数的相反数是 ______， 的相反数是它本身． 4．下列说法正确的是 （ ） A ．－5是相反数

B ．32-与2

3

互为相反数

C ．－4是4的相反数

D ．

1

2

是2的相反数 5. 相反数等于-5的数是___________________，倒数等于-1

5

的数是______________，绝对值等于5的数是____________________

6．在横线上填上适当的“>”，“<”或“＝” （1）-

-355

3

； （2） 2.5_____ 2.25---；

（3）0.25_____2.5-； （4）---+||||33

B 级：

7. a 的相反数是 _______ ，a －b 的相反数是 _____ 。

8．若a 、b 表示有理数，且b a -=，那么在数轴上表示数a 与数b 的点到原点的距离______ (填序号)．

①表示数a 的点到原点的距离较远 ②表示数b 的点到原点的距离远

③一样远 ④无法比较

9．下列说法中正确的是 （ ）

A ．符号相反的两个数是相反数

B ．任何一个负数都小于它的相反数

C ．任何一个负数都大于它的相反数

D ．0没有相反数

10．在数轴上表示出153141

2

.，，各数及它们的相反数。

11．下列四组有理数的大小比较正确的是（ ） A . -

>-1213

B . -->-+||||11

C .

121

3

<

D . -

>-1213

12．如果a 表示一个有理数，那么下面说法正确的是（ ）

A . -a 是负数

B . ||a 一定是正数

C . ||a 一定不是负数

D . ||-a 一定是负数 13．比较－7

8

和－67的大小，并写出比较过程．

C 级：

14. 有理数x 、y 在数轴上对应点如图所示：

(1)在数轴上表示x -、y -；

(2)试把、y 、0、x -、y -这五个数从大到小用“＞”号连接起来．

15. 将有理数：－（－4），0，－│－31

2

│，－│＋2│， －（－3），表示到数轴上，并用“〈”把它们连接起来

随堂演练答案： 1.

2. A

3. （1）9

7,721-

-， （2）80.5 （3）31

4. 4， －2.3， －1， 2， 0

5. －6， 1.3， 3

6. C 7 A

8 (1)×(2) √ (3) × (4) ×(5) √ (6) × 9 A

10.B 11. C 12. a －a 0 13. A

14. C

课后检测答案：

1. (1)×，(2)×，(3) √，(4)×

2.

4.5

2.5

-2.5-4.5

-1

-2

-3

-4

1

2

3

4

3. （1） 5.8 ，3 （2）负数，正数，0

4. C

5. 5，－5，,5±

6. (1) > ，(2) ＝ ，(3) < ，(4) ＝;

7. –a ，b －a ， 8， ③， 9，C 10.

11.D ， 12.C 13.解：,7676,8787=-=-Θ且7687>，7

6

87-<-∴ 14.

x y y x ->>>->0

12

-12

314

1.5

-1.5

-3144

32

1

-4

-3

-2

-1

y

x

-y

-x O

-2

-3-4

1

234

1

-

<

-

-

)3

2

(

-

<

(-)4

3

-

-

+

<

<

2