8.设矩阵????
? ??-1240011b a 的特征值为1,2,3,求a ,b 。
9.已知矩阵????
? ??=0011100b a A 有三个线性无关的特征向量,问a 与b 应满足何种关系?
10.已知????? ??-=211ξ是矩阵????
? ??=312212a a b A 的一个特征向量,求a ,b 和ξ对应的特征值。
11.已知2-=λ是????? ??---=2214013b a A 的特征值,????
? ??-=21c a 是1-A 的特征值0λ对
应的特征向量,求a ,b ,c ,0λ的值。
12.设3阶矩阵A 的特征值为1-,0,1,与之对应的特征向量分别为
T a a a )2,3,(1++=a ,T a a )1,1,2(2+--=a ,T a )1,2,1(3-=a 。 若还有025
3308108
5=++-a a a ,求a 与A 。
13.设????
? ??=a 11121112A 是可逆矩阵,T b )1,,1(=a 是A 的伴随矩阵*A 的特征向量,且λ是a 对应的特征值,求a ,b ,λ。
14.已知3阶矩阵A 的特征值为1,1-,2,求矩阵???
? ??--1*1
)(2A O O A 的特征值。 15.设A 是n 阶矩阵,且每行元素之和均为a 。证明:
(1)a =λ是A 的特征值,T )1,,1,1( 是对应的特征向量;
(2)当A 可逆且0≠a 时,分别求1-A 和A A 321--的各行元素之和。
16.设A 是对合矩阵,即满足I A =2的方阵。证明:
(1)A 的特征值只能是1或1-;
(2)若A 的特征值全为1,则I A =。
17.已知4阶矩阵)(ij a =A 有二重特征值0,且1是A 的单重特征值,求A 的特征多项式||I A λ-。
18.设)(ij a =A 是n 阶方阵。证明:若A 的每行元素的绝对值之和小于1,则A 的特征值的模小于1。
19.设n 阶矩阵)(ij a =A 的特征值为n λλλ,,,21 ,证明:
∑∑∑====n i n
j ji ij n i i a a 1112λ
。 20.设A 是n 阶矩阵。证明:若每个非零n 维列向量都是A 的特征向量,则A 是数量矩阵,即n k I A =(k 是数)。
21.(1)设A 是n m ?矩阵,B 是m n ?矩阵,且n m ≥。证明:
||||BA I AB I -=--n n m m λλλ;
(2)设i a (n i ,,2,1 =,3≥n )为实数,满足021=+++n a a a ,求矩阵
??????
? ??+++++++++=111111111221
2221212121n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a
A 的特征值。 21.设????
? ??---=00
0a c a b c b A ,证明O A A =+++)(2223c b a 。
§2 方阵的相似化简
1.判断下列矩阵是否能与对角矩阵相似。若相似,求出可逆矩阵P ,使得AP P 1-为对角矩阵:
(1)????? ??--=314020112A ; (2)????
? ??-=100010211A 。
2.设
????? ??=5000100011A , ????? ??=5001100112A , ????
? ??=5000101012A 。
(1) 说明1A ,2A 和3A 有相同特征值;
(2) 判别1A ,2A 和3A 之间的相似关系。
3.设方阵????? ??-=11322002x A 与????
? ??-=y 00020001B 相似,求x ,y 。
4.已知3阶方阵A 有特征值1,1,3,与之相对应的特征向量分别为
T )0,1,2(1=a ,T )1,0,1(2-=a ,T )1,1,0(3=a ,
求矩阵A 。
5.已知3阶方阵A 有特征值1,2,3,与之相对应的特征向量分别为
T )1,1,1(1=a ,T )4,2,1(2=a ,T )9,3,1(3=a 。
设T )3,1,1(=b 。
(1) 将b 用1a ,2a ,3a 线性表示;
(2) 求b A n (1≥n )。
6.已知????? ??-=111ξ是矩阵????
? ??---=2135212b a
A 的特征向量。 (1)求a ,b 及ξ所对应的特征值;
(2)问A 是否能对角化?
7.已知0是矩阵????
? ??---+=2142214k k
k A 的特征值。 (1)求k 的值;(2)问A 能否对角化?
8.已知矩阵????
? ??---=5334111b a
A 有3个线性无关的特征向量,且2=λ是A 的二重特征值。
(1) 求a ,b 的值;
(2) 求可逆矩阵P 使得AP P 1-为对角矩阵。
9.设????
? ??=001010100B 。若矩阵A 与B 相似,求rank +-)2(I A rank )(I A -。 10.已知????
? ??=60028022a A 相似于对角矩阵Λ,求常数a ,并找出可逆矩阵P ,使得ΛAP P =-1。
11.已知????? ??=010100002A ,????
? ??--=260010001B ,试判断A 与B 是否相似,若相似,求出可逆矩阵P ,使得AP P B 1-=。
12.设????
? ??---=112020
021A ,求100A 。 13.设1,0<???-+=+-=++,
)1(,)1(11n n n n n n y q px y qy x p x ,1,0=n 。 求数列}{n x 和}{n y 的通项公式。
14.设A ,B 都是n 阶矩阵,且A 可逆,证明AB 与BA 相似。
15.已知n 阶方阵A 满足O I A A =+-652,证明:A 可对角化。
16.设A ,B ,C ,D 都是n 阶矩阵。证明:若A 与B 相似,C 与D 相似,则???
? ??C A 与???
? ??D B 相似。 17.设A ,B ,C 都是n 阶矩阵,且A ,B 各有n 个不同特征值。记|
|)(I A λλ-=f 为A 的特征多项式。证明:若)(B f 可逆,则
???
? ??=B O C A M 相似于对角矩阵,其中O 为n 阶零矩阵。
18.设A ,B 都是n 阶非零矩阵,且O A A =+2,O B B =+2,O AB =与O BA =至少有一个成立。证明:(1)1-=λ必是A 和B 的特征值;
(2)若1a ,2a 分别是A 和B 对应于1-的特征向量,则1a ,2a 线性无关。