论正态分布的重要地位和应用

论正态分布的重要地位

和应用

Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

本科毕业论文（设Array计）

题目：论正态分布的重要地位和应用

学部：工学部

学生姓名：王梅影

年级：2011级

专业班级：信息与计算科学

指导教师：赵姣珍职称：讲师

完成时间：2015/5/15

中国·贵州·贵阳

成果声明

本人的毕业论文是在贵州民族大学人文科技学院赵姣珍老师的指导下独立撰写并完成的。毕业论文没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。

论文作者签名：

日期年月日

摘要：正态分布是一种最常见的连续型随机变量的分布,是概率论中最重要的一中分布.在理论上和实际生活中正态分布具有重要地位，数理统计中的正态分布是很多重要问题的解决的基础，在理论研究中占有举足轻重的地位.本文首先针对正态分布这一理论研究与实际应用都占有重要地位的概率分布展开分析研究，从其基本概念出发，然后分析其特性以及各种应用价值，最后通过一系列研究给出正态分布具有重大作用的理论依据.

关键词：正态分布标准正态分布方差标准差

Abstract: The normal distributionis the most common distribution of acontinuous random variablewhether in theoretical research orpractical application. It occupiespride of placein that ithas awideapplication in the field . It cansolve many important problemsin the mathematical statisticswhich based on the normal distribution forthe normal distribution,soin theory to studythe normal paper analysis the normal probability distributionaccording to thetheoretical research and practical application which occupy an important position in many science fields from the basicconcept,analysis andapplication value of itscharacteristics.The theoretical basisis giventhrough a series ofstudies onthe normal distributionhas a significant role.

Key words: The normal distribution Standard distribution Thecurve Standard deviation

1绪论

研究背景

随机现象存在于自然界和人类生活中的每一个角落，因此概率论在现实中的应用非常之广泛，而在概率论中的最主要的一个分支就是正态分布（Normal distribution），正态分布不仅在金融、精算以及保险等新型领域中占有重要地位，而且对于医学、物理学、生物学等领域的影响也是不可忽略的.

正态分布又被称为高斯分布，正态分布在统计学科、数学领域、自然生物领域都有着极其关键作用的概率分布.我们假设连续性随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2).μ决定了正态分布的期望值，其标准差σ决定了分布的幅度.由于正态分布的曲线也称为钟形曲线.在日常的学习研究之中，标准正态分布，它是μ = 0,σ = 1的正态分布.

正态分布是我们生活中不可或缺的一部分，如果能够充分理解它，它能够带来的利益也是无法估量的.作为新时代的大学生，很好地掌握正态分布的原理并能够将其运用于社会生活中，是我们的一个任务，为此对正态分布进行系统的学习和研究.

研究目的

正态分布是统计方法的理论中最为基础的部分，是不以人类的意志而转移的统计规律，具有统一的函数表达式.

正态分布在实际生活中，存在着很多服从正态分布的例子,.比如测量产品的误差、产品质量的测量，农业作物的产量等.

服从正态分布的随机变量应用非常之广.没有任何一种随机变量可以相比较.所以，我们需要对正态分布进行深入广泛的研究.为了能够更好地掌握正态分布，让其能够更好地被应用生活之中，为人类谋取更多的福利，对其在理论和应用方面进行了系统的研究以求进一步的了解正态分布的奥秘.

研究现状

正态分布概念首先由数学家De Moivre发现引入并提出，然后直到1809年，德国数学家Gauss将其应用于自然科学的广泛研究，因此又被称作高斯分布.正态分布最早是通过进行误差分析而发现的.进入近代统计时代，拉普拉斯首次提出了概率论的古典定义，把概率论的理论作为基本理论，再次进行了中心极限定理的证明，进一步完善了观测误差论，在前人的基础上进行了一次伟大的改革.19世纪50年代凯特莱运用大量的概率论原理对自然和社会现象进行测量，然后统计出大数据，这些数据反映出来的规律可以体现事物的变化，甚至可以预测未来事件发生的可能性.随后凯特莱有对正态曲线进行了拓展，高尔顿对正态分布进行了创新.

19世纪起，以马尔可夫和切比雪夫为代表的数学家通过引入随机变量的盖帘，建立了随机变量的独立性和非独立性的标准，提出了收敛到正态分布的充要条件.到达20世纪，通过哥赛特，费歇尔等人的努力，小样本理论诞生了，正态分布的地位得到了进一步的巩固.20世纪后，统计学家在实验中获得的数据越来越精确，由统计分析得到的结论得到了普遍认可.

研究意义

正态分布具有极其广泛的实际应用背景，在人们的各种生产生活以及科学实验当中，有大量的随机变量的概率分布特性都可以近似的用正态分布来描述.当我们描述

某一件事或者某一个要达到的目标时，大部分的个体所发挥出来的特性都能够很好地服从正态分布.这也就是说，对于大量的个体的特性统计分析，可以尝试利用正态分布来估量.

除此之外，正态分布也可应用到解决现实生活问题，产品质量管理、人体生理的特征及学生的综合素质等多领域都可以用正态分布进行研究.

因此，正态分布作为一种最常见的连续型随机变量的分布，不仅在概率论和数理统计的理论研究中有重要地位，而且在实际应用上也有着重要研究价值.充分研究正态分布在理论和应用中的重要定位，可以让我们充分学习到正态分布的理论知识，站在前人的肩膀上获得最好的研究成果.有利于在今后的研究中少走弯路，为今后研究打好基石.

2 正态分布相关知识介绍

正态分布的概念

正态分布又被称作高斯（Gauss ）分布或常态分布.正态分布曲线的两边低，中央是高峰，逐渐下降至两侧，左右呈现对称的，曲线不与横轴相交.

设连续型随机变量ξ的密度函数为:

()()2

221

σμπ

σ?--

x e

x ()x -∞<<+∞

(其中μσ、是常数,且 0σ>,μ为所研究的正太总体平均值,σ为标准差,x 为随机抽

取得正态分布中的样本值).则称随机变量ξ服从参数为μσ、的正态分布,记作

()2,~σμξN ，正态分布密度函数的图形如下图所示，这条曲线应称作“正态分布曲

线”.

图2-1 正态密度曲线分布图

正态分布曲线特性

对上式（）进行一定的数学计算处理：对式（）求导，可得：

)(21

)(2

22)(3

μπ

?σμ-?-

='--

x e

x x （）

令()0='x ?,则有x μ=,即当x μ=时, ()x ?有极大值max ()2x ?σπ

对式（）求导有:

()()()[]

σμπ

?σμ--?=

''--

x e

x x

令()0=''x ?,则有()2

2x μσ-= ,即曲线在:x μσ=±可以看到拐点，而且有两个.

表2-1 正态曲线的特性表

0 - - -

0 - -

- 0

曲线

凹

拐点

凸

极大值凸

拐点凹

对正态分布整体特性做了一定的介绍之后，下面对参数当μ和σ的意义进行阐释，当它们确定后，正态曲线就几乎能够得到了完全的确定.μ和σ 不同，μ的大小决定曲线的“高”、“矮”、“胖”、“瘦”，如果μ不变，改变σ，则曲线在x 轴上的位置不变，形状会变化，σ愈小，曲线愈“高瘦”；σ越大，曲线越“矮胖”，如图2-3所示；如果σ不变，改变μ，那么曲线形状不变，只在x 轴上平行移动如图2-2所示：

图2-2 正态曲线的特性图图2-3 正态曲线的密度函数图

我们从几何的角度对上图进行分析，在上图中，μ是高斯曲线取得极大值的横坐标、σ是曲线中拐点横坐标与极大值坐标μ间的距离，也能够说σ是凸、凹曲线的连接点在横坐标轴的位置；

从物理的角度对上图进行分析，在上图中，μ是正态曲线与x 轴之间所构成的平面图形重心的横坐标.在计量学科中，μ是被测量的随机变量的真值，σ是表征随机变量对象测量值分散特性的一个评价尺度因素.在数理统计学科中，μ被称为数学期望也就是平均值，σ是随机变量的标准偏差.当σ的值越小，说明观测值落在μ所在横坐标左右范围的概率越大，观测值较集中，测量精度相对较高；σ的值越大，说明观测值落在μ所在横坐标左右范围内的概率越小，观测值较分散，测量精度偏低.

综上所述，正态分布的参数μ代表着随机变量样本观测值的集中的趋势,参数σ反映了随机变量样本观测值的分散程度.

标准正态分布

称1,0==σμ的正态分布为标准正态分布，将1,0==σμ代入式可以得到：

()2

221x e

x -

? ()x -∞<<+∞

式为标准正态分布的密度函数，服从标准正态分布的随机变量()2,~σμξN

通过对概率论的学习告诉我们，标准正态分布的分布函数(也叫概率分布函数)为：

()()()()dt e

dt t x P x P x F t x x 2

221-

∞

-∞

?==<<∞-=<=π

?ξξ

通常用()x Φ表示标准正态分布的分布函数，即：

()()()()dt e

dt t x P x P x t x x

∞

-∞

-??=

=<<∞-=<=Φπ

?ξξ

取不同的x 的值，式的几何意义是在区间(),x -∞内正态曲线与x 轴之间所围曲边梯形的面积,如图所示,

图2-4 标准正态分布的分布函数图

这也是将“正态分布表”称作“正态概率曲线下的面积”的道理.

由于密度函数()x ?可以在整个x 轴上取值，密度函数性质得: 即迎合了正态曲线的一个性质：线与x 轴所围面积为l.

3 正态分布的应用

正态分布应用实例

3.1.1 正态分布在生产中的应用

正态分布实际应用很广，在很多产品生产及科学实验中，随机变量的概率分布特性都可以近似的用正态分布来描述.对于大量的个体的特性统计分析，可以尝试利用正态分布来估量.

例有一种螺纹量规平均可使用5年,其标准差为年.假设螺纹量规的使用寿命服从正态分布,试求以下概率:1)使用期不到4年;2)使用期超过6年.

解设量规使用期为随机变量ξ,由题意知()28.0,5~N ξ,本题求()()46P P ξξ<>和 1) 根据公式有:

()()()44544 1.250.10560.8P P μξξσ--????

<=-∞<<=Φ=Φ=Φ-= ? ?????

或由公式可得

()()()()4045054040.80.81.25 6.250.105600.1056P P μμξξσσ----????????

<=<<=Φ-Φ=Φ-Φ ? ? ? ?

????????=Φ--Φ-=-=,

2) 根据公式有

()()()6561611 1.2510.89440.10560.8P P ξξ-??

>=-≤=-Φ=-Φ=-= ???

例某车间加工一批轴,其直径服从正态分布,平均直径μ=l0mm ,标准差σ=mm .规定直径在(10±mm 范围内为合格品.求:1)不合格品的概率;2)合格品的概率.

解设这批轴的直径为随机变量ξ,由题意知()015.0,10~N ξ.03.10>ξ和97.9<ξ为不合格品.

1) ()()()9.97109.9710.03110.030.015不合格P P P P ξξξ-??

=<+>=Φ+-≤?? ?????

2) ()10.03109.97109.9710.030.0150.015合格P P ξ--????

=<<=Φ-Φ ? ?????

()()()2222120.9772510.9545=Φ-Φ-=Φ-=?-=,

或 110.04550.9545P P =-=-=合格不合格. 即

975.002.0=??

? ??Φd .

3.1.2正态分布在日常生活中的应用

在自然界以及人类自然生活中,很多的实践经验证实，正态分布这种随机变量的概率分布的应用是十分广泛的，十分常见.例如：人的身高、体重、生物的生理尺寸等外观评估指标.随机测量误差指标等，都能够看作是近似服从的正态分布. （1）已知某条件下的概率,求参数和

例有一群男子,4％的身高在m 608.1以下,有52％在m 608.1到m 753.1之间.若身高成正态分布,求这一分布的平均值和标准差.

解由题意得:

()()???

???

?=+=??? ??-Φ=<=??? ??-Φ=<56

.052.004.0753.1753.104.0608..1608.1σμξσμξP P , 由概率值和反查正态分布表得: ??

???=--=-15

.0753.175.1608.1σμσμ

化为:

?=--=+-015.0753.10

75.1608.1σμσμ, 解得:

()()

?==m m 742.1076.0μσ, 即这群男子平均身高为m 742.1,标准差为mm 076.0.

(2)已知 , 和区问(a,b)内的变量数,求总变量数

例某天中午一餐厅所有顾客吃饭用的钱服从正态分布,平均数为元,标准差为元.这天中午有420人吃午饭用了元或更多,问一共来了多少顾客

解 ()()()5793.04207.012.012.174.85.815.815.8=-=-Φ-=??

??-Φ-=≤-=>ξξP P

故总顾客数为: 7255793.0420=÷=ξ(人).

3.1.3正态分布在销售分类中的应用

例某水果重量成正态分布,现进行分级,20％为小的,55％为中等,15％为大，10％为特大.所有水果平均重量为g ,标准差为60g ,求中等水果的下限与上限的重量.

解由题意知,中等水果下限下x 以下的概率为,上限为上x 以下的概率为 +=,于是有: 反查正态分布表得:

即中等水果下限重量为191g ,上限为282g .

3.1.4正态分布在工作学习中的应用

正态分布不仅是概率论与数理统计的一种基本研究工具，也可以将它应用到解决考试成绩与学生综合素质研究的现实生活问题当中.

例某公司对职工进行基本理论考试,决定给14％的人以优.由以往经验知考试成绩成正态分布,平均分数为80分,标准差为14分,问职工至少考多少分方能得优

解设至少考x 分方能得优,由题意:

()()14.0148011=??

??-Φ-=<-=≥x x P x P ξξ，

86.014.011480=-=??

??-Φx . 反查正态分布表得:

08.114

=-x ，

故

9508.11780=?+=x (分)

即考生至少得95分方能得优.

3.1.5 正态分布在仪器测量中的应用

正常情况下测量（或实验）误差服从正态分布（或近似正态）分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指标. 可以制定参考值范围. （1）已知 ,及各范围内的概率,求某范围的上、下限

例用某量具测量±d)mm 这一尺寸.已知测量值平均数为mm ,标准差为mm ,测量值服从正态分布.要使测量值的95％都在公差范围内,问d 值应定为多少

解本题是求概率为的尺寸范围.设测得的值为随机变量ξ,则()202.0,26.5~N ξ.由题意得

() 5.26 5.26 5.26 5.265.26 5.260.020.02210.95

0.020.020.02d d P d d d d d ξ+---????-<<+=Φ-Φ ? ?

????

??????=Φ-Φ-=Φ-= ? ? ???????

，

反查正态分布表得:

96.102

.0=d

，故有

mm 0392.002.096.1=?=σ.

（2）用标堆差确定所需测量次教

例用某仪器测一尺寸L,已知该仪器标准差 m μδ1=,尺寸允许的测量极限误差

m μδ4.1±=,问测量一次能否达到要求

解因δ=<3σ=3,故测量一次达不到精度要求,应进行多次测量,

由式得

559.44.1332

2≈=??

??=??? ??≥δσn ，

可见,至少要测量5次.

正态分布的应用价值

正态分布理论有很多重要的理论和应用价值：

（1）估计频数分布，一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式即可估计任意取值范围内频数比例.

（2）制定参考值范围. （3）质量控制.

（4）制定医学参考值范围:医学现象中，如同质群体的身高、红细胞数，及实验中的，呈现为正态或近似正态分布；有些指标虽服从，但经数据转换后的新变量可服从正态或近似正态分布，可按正态分布规律处理.

总结

正态分布不仅是概率论与数理统计的一种基本研究工具，也可以将它应用到解决一些现实生活问题当中.医学遗传分析、考试成绩与学生综合素质研究以及质量管理和控制等诸多领域都可以利用正态分布进行研究.

正态分布是统计方法的理论中最为基础的部分，具有统一的函数表达式.正态分布在实际应用中也扮演着不可或缺的角色.在自然界和社会中，存在着很多服从或近

似服从正态分布的例子，如测量产品的误差、各类质量指标的测量，经济学中的股票价格走向的估计，生物学中农业作物收获量的猜测等等.

服从正态分布的随机变量应用之广是任何一种随机变量不可比拟的.为此，对正态分布进行更深入更广泛的研究也是必不可少的.为了能够更好地掌握正态分布，让其能够更好地被应用生活之中，为人类谋取更多的福利，对其在理论和应用方面进行了系统的研究以求进一步的了解正态分布的奥秘.

参考文献

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[10] 李逢高着.概率统计应用与提高[M].科学出版社，2005.

[11] 朱燕堂等着.应用概率统计方法[M].西北工业大学出版社，1997.

致谢

在历时三个月时间的努力下，我终于顺利写完了毕业论文.在这篇充满奋斗的历程中，带给我的学习生涯无限的激情和收获.

在我的论文的写作的过程中，虽然遇到了一些困难和阻碍，不过感谢在同学和老师的帮助下我都度过了.不管是在图书馆收集查找资料还是借阅书籍文献的时候，图书馆的老师都给了我许许多多的帮助.

在此，我要特别感谢我的论文指导老师——赵姣珍老师，感谢她在论文写作这三个月期间对我进行了无微不至的帮助，一次一次不厌其烦的为我进行论文的修正与改

进，如果没有赵老师的悉心指导，我想我也将不会顺利的完成我的论文.同样我向所有指导过以及帮助过我的老师们表示最由衷的感谢！同时，我也要感谢本论文所引用的众多学者的着作，若没有这些学者的研究成果的启发和引导帮助，我也将无法完成我的论文.我还要感谢我的同学和朋友们，是你们给我打气给我鼓励，还给予我有价值的论文相关资料，在论文的排版及撰写过程中给予我的支持与热情的帮助！最后，由于我的专业学术水平有限，所写论文也许有些许不足，诚恳殷切地希望老师们和同学们能够给予我批评与指正！谢谢！

正态分布的性质及实际应用举例

华北水利水电学院正态分布的性质及实际应用举例课程名称：概率论与数理统计专业班级：电气工程及其自动化091班成员组成：姓名：邓旗学号： 2 姓名：王宇翔学号：1 姓名：陈涵学号：2 联系方式： 2012年5月24日

1 引言：正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。本文就从正态分布的实际性质应用举例等各个方面进行简单阐述并进行探讨，使同学们能够对所掌握的知识有更清楚地认识。 2 研究问题及成果：正态分布性质； 3原则及标准正态分布；实际应用举例说明摘要：正态分布是最重要的一种概率分布。正态分布概念是由德国数学家与天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学研究，故此正态分布又称高斯分布。在许多实际问题中遇到的随机变量都服从或近似服从正态分布：在生产中，产品的质量指标，如电子管的使用寿命，电容器的电容量，零件的尺寸。铁水含磷量，纺织品的纤度和强度等一般都服从正态分布。在测量中，如大地测量，天平称量物体，化学分析某物之中某元素的含量等，测量结果一般服从正态分布。在生物学中，同一群体的某种特性指标，如某地同龄儿童的身高，体重，肺活量，在一定条件下生长的农作物的产量等一般服从正态分布。在气象学中，某地每年7月份的平均气温，平均温度以及降水量等一般也服从正态分布。总之。正态分布广泛存在于自然现象，社会现象以及生产，科学技术的各个领域中。本文就从正态分布的实际性质应用举例等各个方面进行简单阐述并进行探讨，使同学们能够对所掌握的知识有更清楚地认识。关键词：正态分布 The nature of the normal distribution and the example of practical application

几种重要的概率分布

1、均匀分布（uniform）定义：设连续型随机变量X的分布函数为F(x)=(x-a)/(b-a),a≤x≤b 则称随机变量X服从[a,b]上的均匀分布,记为X~U[a,b]. 若[x1,x2]是[a,b]的任一子区间,则P{x1≤x≤x2}=(x2-x1)/(b-a) 这表明X落在[a,b]的子区间内的概率只与子区间长度有关,而与子区间位置无关,因此X落在[a,b]的长度相等的子区间内的可能性是相等的,所谓的均匀指的就是这种等可能性. 在实际问题中,当我们无法区分在区间[a,b]内取值的随机变量X取不同值的可能性有何不同时,我们就可以假定X服从[a,b]上的均匀分布若随机变量X的密度函数为则称随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布。记作X~U(a,b). 均匀分布的分布函数为

图像如下图所示：均匀分布的数学期望E(X)=1/(2*(b+a))，方差为D(X)=1/(12*(b-a)2)。 2、正态分布如果连续型随机变量X的密度函数为

其中，-∞

3.F分布 F分布定义为: 设X、Y为两个独立的随机变量，X服从自由度为k1的>2分布，Y服从自由度为k2的>2 分布，这2 个独立的>2分布被各自的自由度除以后的比率这一统计量的分布。即：上式F服从第一自由度为k1，第二自由度为k2的F分布 F分布的性质 1、它是一种非对称分布； 2、它有两个自由度，即n1 -1和n2-1，相应的分布记为F（n1 –1，n2-1），n1 –1通常称为分子自由度，n2-1通常称为分母自由度； 3、F分布是一个以自由度n1 –1和n2-1为参数的分布族，不同的自由度决定了F 分布的形状。 4、F分布的倒数性质：Fα,df1,df2=1/F1-α,df1,df2 密度函数表达式

论正态分布的重要性和意义(优.选)

论正态分布的重要性和意义一、正态分布的概论正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个位置参数为、尺度参数为的概率分布，且其概率密度函数为则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布，记作，读作服从，或服从正态分布。二、正态分布的重要性正态分布是概率统计中最重要的一种分布。其重要性我们可以从以下两方面来理解：（1）一方面。正态分布是自然界最常见的一种分布。一般说来.若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布。例如，产品尺寸是一类典型的总体。对于成批生产的产品.如果生产条件正常并稳定，即工艺、设备、技术、操作、原料、环境等可以控制的条件都相对稳定.而且不存在产生系统误差的明显因素。那么，产品尺寸的总体分布就服从正态分布。又如测量的误差,炮弹落点的分布,人的生理特征的量:身高.体重等,农作物的收获量等等.都服从或近似服从正态分布。（2）另一方面.正态分布具有许多良好的性质.很多分布可以用正态分布来近似描述.另外.一些分布又可以通过正态分布来导出.因此在理论研究中正态分布也十分重要。正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种

正态分布的概念

1. 正态分布的概念随机变量X 的概率密度2()2(),()x f x x μσ--=-∞<<+∞，称X 服从正态分布，记作),(~2σμN X 。标准正态分布(0,1)N ，其概率密度22 (),()x x x ?- =-∞<<+∞，分布函数为 2 2 ()t x x e dt φ- -∞ = 。 2. 设 ) ,(~2σμN X ，则 {}x P X x μφσ-?? ≤= ? ?? ， {}b a P a X b μμφφσσ--???? <≤=- ? ????? ，()x φ的数值有表可查，特别有 (0)0.5,()1,()1()x x φφφφ=+∞=-=-。 3. 设),(~2σμN X ，则2(),()E X D X μσ==。 4. 设),(~2σμN X ，则),(~22σμb b a N bX a Y ++=)0(≠b 。若),(~211σμN X ，),(~2 22σμN Y ，X 与Y 相互独立，则 ),(~2 22121σσμμ+++N Y X 。若12,,,n X X X 相互独立，),,2,1)(,(~2n i N X i i i =σμ，则 ∑∑∑===n i n i n i i i i n i i i c c c c c N X c 1 1 21221 )(,(~为常数），，， σμ 5. 二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，记作），，，，（），（γσσμμ222121~N Y X ，其中12(),() E X E Y μμ==， 2212(),()D X D Y σσ==，(,)r R X Y =。设(,)X Y 服从二维正态分布，则X 与Y 相互独立的充分必要条件是0r =。 6. 当n 充分大时，独立同分布的随机变量12,,,n X X X 的和1n i i X =∑近似服从正态分布2(,)N n n μσ。特别是当n 充分大时，若相互独立的随机变量12,,,n X X X 都服从“0-1”分

正态分布在实际生活中的应用

《概率论与数理统计》论文正态分布在实际生活中的应用

正态分布在实际生活中的应用摘要：正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。其密度函数为：)2/()(2221)(σμπ σ--=x e x f ，由μ、σ决定其性质。生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；还有智力测试、填报志愿等问题。关键词：正态分布实际应用预测正文：正态分布（normal distribution ）又名高斯分布（Gaussian distribution ），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。正态分布的密度函数：)2/()(2221)(σμπσ--= x e x f ? f(x)为与x 对应的正态曲线的纵坐标高度； ? μ为总体均数即数学期望决定了其图像位置 ? σ为总体标准差决定了分布的幅度； ? π为圆周率，即； ? e 为自然对数的底，即。我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。服从正态分布的变量的频数分布由μ、σ完全决定，他还具有如下特征： 1、集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。 2、对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。

3、均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。 4、正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ，可记作N（μ，σ）：均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。 5、u变换：为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。正态分布以X=μ为对称轴，左右完全对称。正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于μ。 6、σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。也称为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，σ越小，曲线越瘦高。 7、3σ原则：P（μ-σ

概率论中几种常用重要分布

概率论中几种常用的重要的分布摘要：本文主要探讨了概率论中的几种常用分布，的来源和他们中间的关系。其在实际中的应用。关键词 1 一维随机变量分布随机变量的分布是概率论的主要内容之一，一维随机变量部分要介绍六中常用分布，即( 0 －1) 分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布．下面我们将对这六种分布逐一地进行讨论．随机事件是按试验结果而定出现与否的事件。它是一种“定性”类型的概念。为了进一步研究有关随机试验的问题，还需引进一种“定量”类型的概念，即，根据试验结果而定取什么值（实值或向量值）的变数。称这种变数为随机变数。本章内将讨论取实值的这种变数—— 一维随机变数。定义1.1 设X 为一个随机变数，令 ()([(,)])([]),()F x P X x P X x x =∈-∞=-∞ +∞. 这样规定的函数()F x 的定义域是整个实轴、函数值在区间[0,1]上。它是一个普通的函数。成这个函数为随机函数X 的分布函数。有的随机函数X 可能取的值只有有限多个或可数多个。更确切地说：存在着有限多个值或可数多个值12,,...,a a 使得 12([{,,...}])1P X a a ∈= 称这样的随机变数为离散型随机变数。称它的分布为离散型分布。【例1】下列诸随机变数都是离散型随机变数。（1）X 可能取的值只有一个，确切地说，存在着一个常数a ,使([])1P X a ==。称这种随机变数的分布为退化分布。一个退化分布可以用一个常数a 来确定。（2）X 可能取的值只有两个。确切地说，存在着两个常数a ，b ，使 ([{,}])1P X a b ∈=.称这种随机变数的分布为两点分布。如果([])P X b p ==，那么，([])1P X a p ===-。因此，一个两点分布可以用两个不同的常数,a b 及一个在区间（0,1）内的值p 来确定。特殊地，当,a b 依次为0,1时，称这两点分布为零-壹分布。从而，一个零-壹分布可以用一个在区间（0，1）内的值p 来确定。（3）X 可能取的值只有n 个：12,...,a a （这些值互不相同），且，取每个i a 值

正态分布的概念和特征

第一节正态分布的概念和特征一、正态分布的概念由表1.1的频数表资料所绘制的直方图，图3.1（1）可以看出，高峰位于中部，左右两侧大致对称。我们设想，如果观察例数逐渐增多，组段不断分细，直方图顶端的连线就会逐渐形成一条高峰位于中央（均数所在处），两侧逐渐降低且左右对称，不与横轴相交的光滑曲线图3.1（3）。这条曲线称为频数曲线或频率曲线，近似于数学上的正态分布（normal distribution）。由于频率的总和为100%或1，故该曲线下横轴上的面积为100%或1。图3.1频数分布逐渐接近正态分布示意图为了应用方便，常对正态分布变量X作变量变换。（3.1）该变换使原来的正态分布转化为标准正态分布 (standard normal distribution)，亦称u分布。u被称为标准正态变量或标准正态离差（standard normal deviate）。二、正态分布的特征： 1．正态曲线（normal curve）在横轴上方均数处最高。

2．正态分布以均数为中心，左右对称。 3．正态分布有两个参数，即均数和标准差。是位置参数，当固定不变时，越大，曲线沿横轴越向右移动；反之，越小，则曲线沿横轴越向左移动。是形状参数，当固定不变时，越大，曲线越平阔；越小，曲线越尖峭。通常用表示均数为，方差为的正态分布。用N（0，1）表示标准正态分布。 4．正态曲线下面积的分布有一定规律。实际工作中，常需要了解正态曲线下横轴上某一区间的面积占总面积的百分数，以便估计该区间的例数占总例数的百分数（频数分布）或观察值落在该区间的概率。正态曲线下一定区间的面积可以通过附表1求得。对于正态或近似正态分布的资料，已知均数和标准差，就可对其频数分布作出概约估计。查附表1应注意：①表中曲线下面积为-∞到u的左侧累计面积；②当已知μ、σ和X时先按式（3.1）求得u值，再查表，当μ、σ未知且样本含量n足够大时，可用样本均数和标准差S分别代替μ和σ，按式求得u 值，再查表；③曲线下对称于0的区间面积相等，如区间（-∞，-1.96）与区间（1.96，∞）的面积相等，④曲线下横轴上的总面积为100%或1。正态分布曲线下有三个区间的面积应用较多，应熟记：①标准正态分布时区间（-1,1）或正态分布时区间（μ-1σ,μ+1σ）的面积占总面积的68.27%；②标准正态分布时区间（-1.96,1.96）或正态分布时区间（μ-1.96σ,μ+1.96σ）的面积占总面积的95%；③标准正态分布时区间（-2.58,2.58）或正态分布时区间（μ-2.58σ,μ+2.58σ）的面积占总面积的99%。如图3.2所示。图3.2 正态曲线与标准正态曲线的面积分布

几种常见的分布

一、常见数据类型在正式的解释分布之前，我们先来看一看平时遇到的数据。数据可大致分为离散型数据和连续型数据。离散型数据离散型数据顾名思义就是只取几个特定的值。例如：当你掷骰子的时候，结果只有1,2,3,4,5,6，不会出现类似1.5,2.5。连续型数据在一个给定的范围内，连续型数据可以取任意值。这个范围可以是有限的或者是无穷的。例如：一个人的体重或者身高，可以取值54kg,54.4kg,54.33333kg等等都没有问题。下面就开始介绍分布的类型。二、分布类型伯努利分布（Bernoulli Distribution）首先从最简单的分布开始，伯努利分布实际上是一个听起来最容易理解的分布。伯努利分布一次实验有两个可能的结果，比如1代表success及0代表failure。随机变量X X一个取值为1并代表成功，成功概率为p p，一个取值为0表示失败，失败概率为q q或者说1?p1?p。这里，概率分布函数为p x(1?p)1?x px(1?p)1?x，其中x∈(0,1)x∈(0,1)，我们也可以写成如下形式： P(x)={1?p，p，x=0x=1P(x)={1?p，x=0p，x=1 成功和失败的概率没必要相同，也就是没必要都是0.5，但是这俩概率加和应该为1，比如可以是下面的图：

这个图就是p(success)=0.15，p(failure)=0.85p(success)=0.15，p(failure) =0.85。下面说一下随机变量的期望，一个分布的期望就是这个分布的均值。服从伯努利分布的随机变量X X的期望值就是： E(X)=1?p+0?(1?p)=p E(X)=1?p+0?(1?p)=p 服从伯努利分布的随机变量的方差是： V(X)=E(X2)?[E(X)]2=p?p2=p(1?p)V(X)=E(X2)?[E(X)]2=p?p2=p(1?p) 还有许多伯努利分布的例子，比如说明天是否会下雨，今天会不会去健身，明天乒乓球比赛是不是会赢。均匀分布（Uniform Distribution）当你掷骰子的时候，结果出现1到6中的任何一个，而任何一个结果出现的概率都是相同的，这就是均匀分布最原始的雏形。你可能看出来了，与伯努利分布不同的是，这n n个出现的结果的概率都是相同的。一个随机变量X X为均匀分布是指密度函数如下： f(x)=1b?a?∞

论正态分布的重要性和意义

论正态分布的重要性和意义文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-

炮弹落点的分布,人的生理特征的量:身高.体重等,农作物的收获量等等.都服从或近似服从正态分布。（2）另一方面.正态分布具有许多良好的性质.很多分布可以用正态分布来近似描述.另外.一些分布又可以通过正态分布来导出.因此在理论研究中正态分布也十分重要。正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）。从理论上看，正态分布具有很多良好的性质，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t 分布、F分布等。三、正态分布的意义正态分布的意义在于它的应用领域。 ⒈估计频数分布一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式即可估计任意取值范围内频数比例。 ⒉制定参考值范围 ⑴正态分布法适用于服从正态（或近似正态）分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指标。

论正态分布的重要地位和应用

论正态分布的重要地位和应用 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

本科毕业论文（设Array计）题目：论正态分布的重要地位和应用学部：工学部学生姓名：王梅影年级：2011级专业班级：信息与计算科学指导教师：赵姣珍职称：讲师完成时间：2015/5/15 中国·贵州·贵阳

成果声明本人的毕业论文是在贵州民族大学人文科技学院赵姣珍老师的指导下独立撰写并完成的。毕业论文没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。论文作者签名：日期年月日

先给出正态分布的定义,再对其重要性和意义进行阐述

正态分布，也称“常态分布”，又名高斯分布，最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。若随机变量X 服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N（μ，σ^2）。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ=0，σ=1时的正态分布是标准正态分布。正态分布是一种概率分布。正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）。

论正态分布的重要地位和应用2要点

学部：工学部学生姓名：王梅影学号：2011070102021 年级：2011级专业班级：信息与计算科学指导教师：赵姣珍职称：讲师完成时间：2015/5/15 中国·贵州·贵阳

目录摘要 (1) Abstract (2) 1绪论 (3) 1.1研究背景 (3) 1.2研究目的 (3) 1.3研究现状 (4) 1.4研究意义 (4) 2 正态分布相关知识介绍 (5) 2.1正态分布的概念 (5) 2.2正态分布曲线特性 (5) 2.3 标准正态分布 (8) 3 正态分布的应用 (9) 3.1 正态分布应用实例 (9) 3.1.1 正态分布在生产中的应用 (9) 3.1.2正态分布在日常生活中的应用 (10) 3.1.3正态分布在销售分类中的应用 (11) 3.1.4正态分布在工作学习中的应用 (12) 3.1.5 正态分布在仪器测量中的应用 (12) 3.2 正态分布的应用价值 (14) 总结 (15) 参考文献 (16) 致谢 (17)

正态分布的概念及表和查表方法

正态分布概念及图表正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A·棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P·S·拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ= 0,σ= 1时的正态分布是标准正态分布。目录 1历史发展 2定理 3定义 ?一维正态分布 ?标准正态分布 4性质 5分布曲线 ?图形特征 ?参数含义 6研究过程 7曲线应用 ?综述 ?频数分布 ?综合素质研究 ?医学参考值

历史发展正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成。后来到1837年，海根（G.Hagen）在一篇论文中正式提出了这个学说。其实，他提出的形式有相当大的局限性：海根把误差设想成个数很多的、独立同分布的“元误差”之和，每只取两值，其概率都是1/2，由此出发，按狄莫佛的中心极限定理，立即就得出误差（近似地）服从正态分布。拉普拉斯所指出的这一点有重大的意义，在于他给误差的正态理论一个更自然合理、更令人信服的解释。因为，高斯的说法有一点循环论证的气味：由于算术平均是优良的，推出误差必须服从正态分布；反过来，由后一结论又推出算术平均及最小二乘估计的优良性，故必须认定这二者之一（算术平均的优良性，误差的正态性）为出发点。但算术平均到底并没有自行成立的理由，以它作为理论中一个预设的出发点，终觉有其不足之处。拉普拉斯的理论把这断裂的一环连接起来，使之成为一个和谐的整体，实有着极重大的意义。定理由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x 的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。将一般正态分布转化成标准正态分布。若服从标准正态分布，通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。故该变换被称为标准化变换（标准正态分布表：标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X（当前值）范围内的面积比例）。

正态分布在生活中的应用

正态分布在生活中的应用摘要：正态分布和概率论在统计学中占有非常重要的地位，它广泛存在于自然现象、生产、生活以及科技领域，本文运用正态分布理论对现实生活中的一些问题进行详细解答。在概率论与数理统计中，最重要的分布就是正态分布。正态分布的重要性在于：实际生活中有许多随机变量服从或近似服从正太分布（如一个人群中成年男子的身高、体重，工件的测量误差，气象学中的温度、湿度等）；正态分布的密度函数与分布函数具有许多良好的性质；正态分布是许多分布的极限分布；正态分布在数理统计中的基础作用等。所以，许多实际问题与理论问题的解决，都离不开正态分布。一、安排座位数量问题某学院有学生1600人，午餐时间到学院食堂就餐人数最多，约占学生人数的3/4，问学院食堂最多安排多少座位，使空座位超过100个的概率不超过解：设X表示午餐时就餐人数，则X～B(1600,3/4)，np=1200，npq=300，近似地有X～ N(1200,300).设应安排N个座位，因为(N-100-1200)/ √300～N(0,1)，则 P(X≤N-100)≈Φ[(N-100-1200)/√300]≤ 查表得Φ（）=，故有（N-1300）/√300 ≤ 从而有N≤，即最多安排1259个座位。二、学生考试问题某专业招收研究生20名，其中有10名免费，报考人数为1000人，考试满分为500分。经过考试后才知道此专业考试总平均成绩为μ=300分，如果招收研究生的分数线确定为350分，试问，现在某人考360分，他有没有可能被录取为免费生解：研究生考试成绩X～N(μ,σ2)，由已知μ=300，而σ未知。研究生考试分数超过350分的考生频率应该近似等于事件(X≥350)的概率，所以有P(X≥350)=20/1000=，即P(X<350)=，即Φ（（350-300）/σ）= 查标准正态分布表Φ=≈ 所以取50/σ = ，解得σ=50/ 此人能否被录取为免费生，需估计一下他的排名，也就是算一下分数高于360分的概率，

正态分布在实际生活中的应用

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《概率论与数理统计》论文正态分布在实际生活中的应用

正态分布在实际生活中的应用摘要：正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的分布，在的许多方面有着重大的影响力。其密度函数为：)2/()(2221)(σμπ σ--=x e x f ，由μ、σ决定其性质。生产与实验中很多的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗度、口径、长度等指标；还有智力测试、填报志愿等问题。关键词：正态分布实际应用预测正文：正态分布（normal distribution ）又名（Gaussian distribution ），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的分布，在的许多方面有着重大的影响力。则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。正态分布的密度函数：)2/()(2221)(σμπ σ--=x e x f ? f(x)为与x 对应的正态曲线的纵坐标高度； ? μ为总体均数即数学期望决定了其图像位置 ? σ为总体标准差决定了分布的幅度； ? π为圆周率，即； ? e 为自然对数的底，即。我们通常所说的是μ = 0,σ = 1的正态分布。服从正态分布的变量的频数分布由μ、σ完全决定，他还具有如下特征： 1、集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。

2、对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。 3、均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。 4、正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ，可记作N（μ，σ）：均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。 5、u变换：为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。正态分布以X=μ为，左右完全对称。正态分布的均数、、相同，均等于μ。 6、σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。也称为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，σ越小，曲线越瘦高。 7、3σ原则：P（μ-σ

几种重要的分布习题

第四章几种重要的分布习题一、填空题 1. 设随机变量),2(~P B ξ，若9 5)1(=≥ξP ，则=P 。 2.设ξ服从参数为λ的泊松分布且已知{}{}32===ξξP P ，则{}==1ξP 。 3 .设随机变量ξ在[1，6]上服从均匀分布，则=≤)3(ξP 。 4. 设随机变量ζ~)1,0(N ,12+=ζη , 则 η服从。 5 .设随机变量),1(~p B ξ，且9 2=ξD ,则ξ的概率函数为________ 6. 一颗均匀骰子重复投掷10次，设ξ表示点3出现的次数，则ξ服从参数为________的________分布，ξ的概率函数为______)(==k P ξ，10次中点数3出现________次 7 .设随机变量ξ服从一区间上的均匀分布，且3 1,3==ξξD E ，则ξ的概率密度为________，______)2(==ξP ，______)31(=<<ξP 8. 设随机变量ξ服从参数为2的指数分布，η服从参数为4的指数分布，则_____)32(2=+ηξE 9 .若随机变量），25.01(~N ξ，则ξ2的概率密度函数为________ 10.设随机变量），2(~σμξN ，则23 -=ξη服从参数为________的正态分布二、选择题 1.设随机变量ηξ,相互独立，且都服从泊松分布，又知3,2==ηξE E ，则)()(2=+ηξE A 2 B 30 C 26 D 5 2. 如果随机变量ξ服从（）上的均匀分布，则34,3= =ξξD E A [0,6] B [1,5] C [2,4] D [-3,3] 3.设随机变量），2(~σμξN ，且)()(c P c P >=≤ξξ，则)(=c

正态分布的现实应用

正态分布的现实应用摘要：连续型随机变量中，最重要的分布就是正态分布。本文将就正态分布在教育、医学、气象、林分等几个不同领域中的应用展开探讨，并得出正态分布在生活中广泛存在的结果。并且，根据得到的一些现象，我们可以知道理应服从正态分布的现象分布会不一定符合正态分布，这其中有很多的影响因素。关键词：正态分布教育医学降雨林分正态分布是最重要的一种概率分布。德国数学家高斯率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称。这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布。从理论上看，正态分布具有很多良好的性质，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式即可估计任意取值范围内频数比例。适用于服从正态分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指标。为了控制实验中的测量误差，常以作为上、下警戒值，以作为上、下控制值。这样做的依据是：正常情况下测量误差服从正态分布。正态分布是许多统计方法的理论基础。检验、方差分析、相关和线性回归等多种统计方法均要求分析的指标服从正态分布。许多统计方法虽然不要求分析指标服从正态分布，但相应的统计量在大样本时近似正态分布，因而大样本时这些统计推断方法也是以正态分布为理论基础的教育统计学统计规律表明，学生的智力水平，包括学习能力，实际动手能力等呈正态分布。因而正常的考试成绩分布应基本服从正态分布。考试分析要求绘制出学生成绩分布的直方图，以“中间高、两头低”来衡量成绩符合正态分布的程度。其评价标准认为：考生成绩分布情况直方图，基本呈正态曲线状，属于好，如果略呈正或负的态状，属于中等，如果呈严重偏态或无规律，就是差的。生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。从概率统计规律看，“正常的考试成绩分布应基本服从正态分布”是正确的。但是必须考虑人与物的本质不同，以及教育的有所作为可以使“随机”受到干预，用曲线或直方图的形状来评价考试成绩就有失偏颇。现在许多教育专家已经通过实践论证，教育是可以大有作为的，可以做到大多数学生及格，而且多数学生可以得高分，考试成绩曲线是偏正态分布的。但是长期受到“中间高、两头低”标准的影响，限制了教师的作为，抑制了多数学生能够学好的信心。这是很大的误会。通常正态曲线有一条对称轴。当某个分数或分数段的考生人数最多时，对应曲线的最高点，是曲线的顶点。该分数值在横轴上的对应点与顶点连接的线段就是该正态曲线的对称轴。考生人数最多的值是峰值。我们注意到，成绩曲线或直方图实际上很少对称的，称之为峰线更合适。某些医学现象，如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量，以及实验中的随机误差，呈现为正态或近似正态分布；有些指标虽服从偏态分布，但经数据转换后的新变量可服从正态或

正态分布的实际应用问题

正态分布的实际应用问题例5 (2019·黄冈模拟)某市高中某学科竞赛中，某区4000名考生的竞赛成绩的频率分布直方图如图所示． (1)求这4 000名考生的平均成绩x (同一组中数据用该组区间中点值作代表)； (2)认为考生竞赛成绩z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ，σ2分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差s 2，那么该区4000名考生成绩超过84.81分(含84.81分)的人数大约为多少？ (3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市参赛考生成绩的情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过．．．84.81分的考生人数为ξ，求P (ξ≤3)．(精确到0.001) 附：①s 2＝204.75，204.75＝14.31； ②z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ