中考数学四边形经典题目及答案

1．如图，正方形ABCD和正方形A′OB′C′是全等图形，则当正方形A?′OB′C′绕正方形

ABCD的中心O顺时针旋转的过程中．（1）四边形OECF的面积如何变化．

（2）若正方形ABCD的面积是4，求四边形OECF的面积．

解：在梯形ABCD中由题设易得到：

△ABD是等腰三角形，且∠ABD=∠CBD=∠ADB=30°．

过点D作DE⊥BC，则DE=1

2

BD=23，BE=6．

过点A作AF⊥BD于F，则AB=AD=4．

故S梯形ABCD=12+43．

2．如图，Y ABCD中，O是对角线AC的中点，EF⊥AC交CD于E，交AB于F，问四边形AFCE 是菱形吗？请说明理由．

解：四边形AFCE是菱形．

∵四边形ABCD是平行四边形．

∴OA=OC，CE∥AF．

∴∠ECO=∠FAO，∠AFO=∠CEO．

∴△EOC≌△FOA，∴CE=AF．

而CE∥AF，∴四边形AFCE是平行四边形．

又∵EF是垂直平分线，∴AE=CE．

∴四边形AFCE是菱形．

3．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，?垂足分别为E、F．求证：（1）△BDE≌CDF．（2）△ABC是直角三角形时，四边形AEDF是正方形．

19．证明：（1）,90D BC BD CD

DE AB DF AC BED CFD B C ?=??

⊥⊥?∠=∠=???∠=∠?

是的中点?

△BDE ≌△CDF ．

（2）由∠A=90°，DE ⊥AB ，DF ⊥AC 知：

AEDF BED CFE DE DF ?

??????=?

四边形是矩形矩形AEDF 是正方形．

4．如图，Y

ABCD 中，E 、F 为对角线AC 上两点，且AE=CF ，问：四边形EBFD 是平行四边形吗？为什么？

解：四边形EBFD 是平行四边形．在

Y ABCD 中，连结BD 交AC 于点O ，

则OB=OD ，OA=OC ．又∵AE=CF ，∴OE=OF ．

∴四边形EBFD 是平行四边形．

5．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ．现将A ，C 重合，使纸片

折叠压平，设折痕为EF ，试求AF 的长和重叠部分△AEF 的面积．

【提示】把AF 取作△AEF 的底，AF 边上的高等于AB ＝3．

由折叠过程知，EF 经过矩形的对称中心，FD ＝BE ，AE ＝CE ＝AF ．由此可以在 △ABE 中使用勾股定理求AE ，即求得AF 的长．

【答案】如图，连结AC ，交EF 于点O ，

由折叠过程可知，OA ＝OC ，

∴ O 点为矩形的对称中心．E 、F 关于O 点对称，B 、D 也关于O 点对称． ∴ BE ＝FD ，EC ＝AF ，

由EC 折叠后与EA 重合， ∴ EC ＝EA ．

设AF ＝x ，则BE ＝FD ＝AD －AF ＝4－x ，AE ＝AF ＝x ． 在Rt △ABE 中，由勾股定理，得

AB 2＋BE 2＝AE 2，即 32＋(4－x ) 2＝x 2．

解得 x ＝

825． ∴

S △AEF ＝21×3×825＝1675（cm 2

）

故AF 的长为825cm ，△AEF 的面积为16

75cm 2

．

6．如图，E 是矩形ABCD 的边AD 上一点，且BE ＝ED ，P 是对角线BD 上任意一点，PF ⊥BE ，PG ⊥AD ，垂足分别为F 、G ．求证：PF ＋PG ＝AB ．

【提示】延长GP 交BC 于H ，只要证PH ＝PF 即可，所以只要证∠PBF ＝∠PBH ． 【答案】∵ BE ＝DE ，

∴ ∠EBD ＝∠EDB ．

∵ 在矩形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴ ∠DBC ＝∠ADB ， ∴ ∠EBD ＝∠CBD ． 延长GP 交BC 于H 点． ∵ PG ⊥AD ， ∴ PH ⊥BC ．

∵ PF ⊥BE ，P 是∠EBC 的平分线上．

∴ PF ＝PH ．

∵ 四边形ABHG 中，

∠A ＝∠ABH ＝∠BHG ＝∠HGA ＝90°． ∴ 四边形ABHG 为矩形， ∴ AB ＝GH ＝GP ＋PH ＝GP ＋PF 故 PF ＋PG ＝AB ．

7．已知：如图，以正方形ABCD 的对角线为边作菱形AEFC ，B 在FE 的延长线上．

求证：AE 、AF 把∠BAC 三等分．

【提示】证出∠CAE ＝30°即可．

【答案】连结BD ，交AC 于点O ，作EG ⊥AC ，垂足为G 点．

∵ 四边形AEFC 为菱形， ∴ EF ∥AC ． ∴ GE ＝OB ．

∵ 四边形ABCD 为正方形， ∴ OB ⊥AC ，

∴ OB

GE ，

∵ AE ＝AC ，OB ＝

21BD ＝2

1

AC ， ∴ EG ＝2

1

AE ，

∴ ∠EAG ＝30°．

∴ ∠BAE ＝15°．

在菱形AEFC 中，AF 平分∠EAC ， ∴ ∠EAF ＝∠FAC ＝

2

1

∠EAC ＝15° ∴ ∠EAB ＝∠FAE ＝∠FAC ． 即AE 、AF 将∠BAC 三等分．

8．如图，已知M 、N 两点在正方形ABCD 的对角线BD 上移动，∠MCN 为定角，

连结AM 、AN ，并延长分别交BC 、CD 于E 、F 两点，则∠CME 与∠CNF 在M 、 N 两点移动过程，它们的和是否有变化？证明你的结论．

【提示】BD 为正方形ABCD 的对称轴，

∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠4，

用∠1和∠2表示∠MCN 以及∠EMC ＋∠FNC ． 【答案】∵ BD 为正方形ABCD 的对称轴，

∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠4，

∴ ∠EMC ＝180°－∠1－∠3＝180°－2∠1． 同理 ∠FNC ＝180°－2∠2．

∴ ∠EMC ＋∠FNC ＝360°－2（∠1＋∠2）． ∵ ∠MCN ＝180°－（∠1＋∠2）， ∴ ∠EMC ＋∠FNC 总与2∠MCN 相等．

因此∠EMC ＋∠FNC 始终为定角，这定角为∠MCN 的2倍．

9．如图（1），AB 、CD 是两条线段，M 是AB 的中点，S △D M C 、S △D A C 和S △D B C 分别

表示△DMC 、△DAC 、△DBC 的面积．当AB ∥CD 时，有

S △DMC

＝

2

DBC

DAC S S ??+ ①

（1）如图（2），若图（1）中AB ∥CD 时，①式是否成立？请说明理由． （2）如图（3），若图（1）中AB 与CD 相交于点O 时，S △DMC 与S △DAC 和S △DBC 有何种相等关系？证明你的结论．

图（1） 图（2） 图（3）

【提示】△DAC ，△DMC 和△DBC 同底CD ，通过它们在CD 边上的高的关系，来确定它们面积的关系． 【答案】（1）当AB ∥CD 时，①式仍成立．

分别过A 、M 、B 作CD 的垂线，AE 、MN 、BF 的垂足分别为E 、N 、F ． ∵ M 为AB 的中点，

∴ MN ＝2

1

（AE ＋BF ）． ∴ S △DAC ＋S △DBC ＝21DC ·AE ＋21DC ·BF ＝21

DC ·（AE ＋BF ）＝2 S △DMC ．

∴ S △DMC ＝2

DAC

DBC S S ??-

（2）对于图（3）有S △DMC ＝

2

DAC

DBC S S ??-．

证法一：∵ M 是AB 的中点，S △ADM ＝S △BDM ，S △ACM ＝S △BCM ，

S △DBC ＝S △BDM ＋S △BCM ＋S △DMC ， ① S △DAC ＝S △ADM ＋S △ACM －S △DMC ②

①－②得：S △DBC －S △DAC ＝2 S △DMC

∴ S △DMC ＝

2

DAC

DBC S S ??-．

证法二：如右图，过A 作CD 的平行线l ，MN ⊥l ，垂足为N ，BE ⊥l ，垂足为E ．设A 、M 、B 到CD 的距离分别h 1、h 0、h 2．则MN ＝h 1＋h 0，BE ＝h 2＋h 1．

∵ AM ＝BM ， ∴ BE ＝2 MN ．

∴ h 2＋h 1＝2（h 1＋h 0），

∴ h 0

＝

21

2h h -． ∴ S △DMC ＝2

DAC

DBC S S ??-．

10．已知：如图，△ABC 中，点O 是AC 上边上一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，

MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． （1）求证EO ＝FO ．

（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？证明你的结论．

【提示】（1）证明OE ＝OC ＝OF ；

（2）O 点的位置首先满足四边形AECF 是平行四边形，然后证明它此时也是矩形． 【答案】（1）∵ CE 平分∠BCA ，

∴ ∠BCE ＝∠ECO ． 又 MN ∥BC ，

∴ ∠BCE ＝∠CEO ． ∴ ∠ECO ＝∠CEO ． ∴ OE ＝OC ． 同理 OC ＝OF ． ∴ OE ＝OF ．

（2）当点O 运动到AC 边的中点时，四边形AECF 是矩形，证明如下： ∵ OE ＝OF ，又O 是AC 的中点， 即 OA ＝OC ，

∴ 四边形AECF 是平行四边形．

∵ CE 、CF 分别平分∠BCA 、∠ACD ，且∠BCA ＋∠ACD ＝180°，

∴ ∠ECF ＝∠ECO ＋∠OCF ＝2

1

（∠BCA ＋∠ACD ）＝90°． ∴ □AECF 是矩形．