人教中考数学综合题专题复习【平行四边形】专题解析含详细答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C 关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF．（1）求∠FDP的度数；

（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；

（3）连接AC，若正方形的边长为2，请直接写出△ACC′的面积最大值．

【答案】（1）45°；（2）BP+DP2AP，证明详见解析；（32﹣1．

【解析】

【分析】

（1）证明∠CDE＝∠C'DE和∠ADF＝∠C'DF，可得∠FDP'＝1

2

∠ADC＝45°；

（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP≌△DAP'（SAS），得BP＝DP'，从而得△PAP'是等腰直角三角形，可得结论；

（3）先作高线C'G，确定△ACC′的面积中底边AC为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C'在BD上时，C'G最大，其△ACC′的面积最大，并求此时的面积．

【详解】

（1）由对称得：CD＝C'D，∠CDE＝∠C'DE，

在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，

∴AD＝C'D，

∵F是AC'的中点，

∴DF⊥AC'，∠ADF＝∠C'DF，

∴∠FDP＝∠FDC'+∠EDC'＝1

2

∠ADC＝45°；

（2）结论：BP+DP2AP，

理由是：如图，作AP'⊥AP交PD的延长线于P'，

∴∠PAP'＝90°，

在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，∴∠DAP'＝∠BAP，

由（1）可知：∠FDP＝45°

∵∠DFP＝90°

∴∠APD＝45°，

∴∠P'＝45°，

∴AP＝AP'，

在△BAP和△DAP'中，

∵

BA DA

BAP DAP AP AP

'

=

?

?

∠=∠

?

='

?

?

，

∴△BAP≌△DAP'（SAS），∴BP＝DP'，

∴DP+BP＝PP'＝2AP；

（3）如图，过C'作C'G⊥AC于G，则S△AC'C＝1

2

AC?C'G，

Rt△ABC中，AB＝BC2，

∴AC22

(2)(2)2

+=，即AC为定值，

当C'G最大值，△AC'C的面积最大，

连接BD，交AC于O，当C'在BD上时，C'G最大，此时G与O重合，

∵CD ＝C 'D ＝2，OD ＝1

2

AC ＝1， ∴C 'G ＝2﹣1， ∴S △AC 'C ＝11

2(21)2122

AC C G '?=?-=-． 【点睛】

本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

2．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点，点F 在边BC 的延长线上，且CF AE =，连接DE ，DF ，EF . FH 平分EFB ∠交BD 于点H .

（1）求证：DE DF ⊥； （2）求证：DH DF =：

（3）过点H 作HM EF ⊥于点M ，用等式表示线段AB ，HM 与EF 之间的数量关系，并证明.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）22EF AB HM =-，证明详见解析. 【解析】 【分析】

（1）根据正方形性质， CF AE =得到DE DF ⊥.

（2）由AED CFD △△≌，得DE DF =.由90ABC ∠=?，BD 平分ABC ∠， 得45DBF ∠=?.因为FH 平分EFB ∠，所以EFH BFH ∠=∠.由于

45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=?+∠,45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=?+∠,

所以DH DF =.

（3）过点H 作HN BC ⊥于点N ，由正方形ABCD 性质，得

222BD AB AD AB =

+=.由FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，得

HM HN =.因为4590HBN HNB ∠=?∠=?，

，所以22sin 45HN

BH HN HM ===?

.

由22cos 45DF

EF DF DH =

==?

，得22EF AB HM =-.

【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD CD =，90EAD BCD ADC ∠=∠=∠=?. ∴90EAD FCD ∠=∠=?. ∵CF AE =。 ∴AED CFD △△≌. ∴ADE CDF ∠=∠.

∴90EDF EDC CDF EDC ADE ADC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=?. ∴DE DF ⊥.

（2）证明：∵AED CFD △△≌， ∴DE DF =. ∵90EDF ∠=?， ∴45DEF DFE ∠=∠=?.

∵90ABC ∠=?，BD 平分ABC ∠， ∴45DBF ∠=?. ∵FH 平分EFB ∠， ∴EFH BFH ∠=∠.

∵45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=?+∠,

45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=?+∠, ∴DHF DFH ∠=∠. ∴DH DF =.

（3）22EF AB HM =-.

证明：过点H 作HN BC ⊥于点N ，如图，

∵正方形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=?，

∴222BD AB AD AB =

+=.

∵FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，

∴HM HN =.

∵4590HBN HNB ∠=?∠=?，

， ∴22sin 45HN

BH HN HM =

==?

.

∴22DH BD BH AB HM =-=-.

∵22cos 45DF

EF DF DH =

==?

，

∴22EF AB HM =-. 【点睛】

本题考查正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数，题目难度较大，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数.

3．（1）（问题发现）

如图1，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝90°，点D 为BC 的中点，以CD 为一边作正方形CDEF ，点E 恰好与点A 重合，则线段BE 与AF 的数量关系为 （2）（拓展研究）

在（1）的条件下，如果正方形CDEF 绕点C 旋转，连接BE ，CE ，AF ，线段BE 与AF 的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）（问题发现）

当正方形CDEF 旋转到B ，E ，F 三点共线时候，直接写出线段AF 的长．

【答案】（1）2AF ；（2）无变化；（3）AF 313． 【解析】

试题分析：（1）先利用等腰直角三角形的性质得出2 ，再得出BE=AB=2，即可得出结论；

（2）先利用三角函数得出

22CA CB =，同理得出2

2

CF CE =

，夹角相等即可得出△ACF ∽△BCE ，进而得出结论；

（3）分两种情况计算，当点E 在线段BF 上时，如图2，先利用勾股定理求出

2，6，即可得出62，借助（2）得出的结论，当点E 在线段BF 的延长线上，同前一种情况一样即可得出结论．

试题解析：（1）在Rt △ABC 中，AB=AC=2，

根据勾股定理得，，

点D 为BC 的中点，∴AD=

1

2

， ∵四边形CDEF 是正方形，∴

， ∵BE=AB=2，∴

AF ，

故答案为AF ； （2）无变化；

如图2，在Rt △ABC 中，AB=AC=2，

∴∠ABC=∠ACB=45°，∴sin ∠ABC=2

CA CB =

， 在正方形CDEF 中，∠FEC=1

2

∠FED=45°，

在Rt △CEF 中，sin ∠FEC=2

CF CE =

， ∴

CF CA

CE CB

=， ∵∠FCE=∠ACB=45°，∴∠FCE ﹣∠ACE=∠ACB ﹣∠ACE ，∴∠FCA=∠ECB ，

∴△ACF ∽△BCE ，∴

BE CB

AF CA

=∴AF ， ∴线段BE 与AF 的数量关系无变化； （3）当点E 在线段AF 上时，如图2，

由（1）知，，

在Rt △BCF 中，，，

根据勾股定理得，，∴BE=BF ﹣，

由（2）知，，∴﹣1， 当点E 在线段BF 的延长线上时，如图3，

在Rt △ABC 中，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴sin ∠ABC=CA CB =

， 在正方形CDEF 中，∠FEC=1

2

∠FED=45°，

在Rt △CEF 中，sin ∠FEC=

CF CE =

，∴CF CA CE CB = ， ∵∠FCE=∠ACB=45°，∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE ，∴∠FCA=∠ECB ， ∴△ACF ∽△BCE ，∴

BE CB

AF CA

=∴AF ，

由（1）知，，

在Rt△BCF中，CF=2，BC=22，

根据勾股定理得，BF=6，∴BE=BF+EF=6+2，

由（2）知，BE=2AF，∴AF=3+1．

即：当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，线段AF的长为3﹣1或3+1．

4．菱形ABCD中、∠BAD＝120°，点O为射线CA上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与直线CD相交于点F．（1）如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，请直接写出CE，CF，CA三条段段之间的数量关系；

（2）如图②，点O在CA的延长线上，且OA＝1

3

AC，E，F分别在线段BC的延长线和线

段CD的延长线上，请写出CE，CF，CA三条线段之间的数量关系，并说明理由；（3）点O在线段AC上，若AB＝6，BO＝27，当CF＝1时，请直接写出BE的长．

【答案】（1）CA=CE+CF．（2）CF-CE=4

3

AC．（3）BE的值为3或5或1．

【解析】

【分析】

（1）如图①中，结论：CA=CE+CF．只要证明△ADF≌△ACE（SAS）即可解决问题；

（2）结论：CF-CE=4

3

AC．如图②中，如图作OG∥AD交CF于G，则△OGC是等边三角

形．只要证明△FOG≌△EOC（ASA）即可解决问题；（3）分四种情形画出图形分别求解即可解决问题.【详解】

（1）如图①中，结论：CA=CE+CF．

理由：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°∴AB=AD=DC=BC，∠BAC=∠DAC=60°

∴△ABC，△ACD都是等边三角形，

∵∠DAC=∠EAF=60°，

∴∠DAF=∠CAE，

∵CA=AD，∠D=∠ACE=60°，

∴△ADF≌△ACE（SAS），

∴DF=CE，

∴CE+CF=CF+DF=CD=AC，

∴CA=CE+CF．

（2）结论：CF-CE=4

3 AC．

理由：如图②中，如图作OG∥AD交CF于G，则△OGC是等边三角形．

∵∠GOC=∠FOE=60°，

∴∠FOG=∠EOC，

∵OG=OC，∠OGF=∠ACE=120°，

∴△FOG≌△EOC（ASA），

∴CE=FG，

∵OC=OG，CA=CD，

∴OA=DG，

∴CF-EC=CF-FG=CG=CD+DG=AC+1

3AC=

4

3

AC，

（3）作BH⊥AC于H．∵AB=6，AH=CH=3，

∴BH=33，

如图③-1中，当点O在线段AH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时．

∵OB=27，

∴OH=22

OB BH

=1，

∴OC=3+1=4，

由（1）可知：CO=CE+CF，

∵OC=4，CF=1，

∴CE=3，

∴BE=6-3=3．

如图③-2中，当点O在线段AH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时．

由（2）可知：CE-CF=OC，

∴CE=4+1=5，

∴BE=1．

如图③-3中，当点O在线段CH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时．

同法可证：OC=CE+CF，

∵OC=CH-OH=3-1=2，CF=1，

∴CE=1，

∴BE=6-1=5．

如图③-4中，当点O在线段CH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时．

同法可知：CE-CF=OC，

∴CE=2+1=3，

∴BE=3，

综上所述，满足条件的BE的值为3或5或1．

【点睛】

本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

5．点P是矩形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A，C重合），分别过点A，C向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F，点O为AC的中点．

（1）如图1，当点P 与点O 重合时，请你判断OE 与OF 的数量关系；

（2）当点P 运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立；

（3）若点P 在射线OA 上运动，恰好使得∠OEF ＝30°时，猜想此时线段CF ，AE ，OE 之间有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明．

【答案】（1）OE ＝OF ．理由见解析；（2）补全图形如图所示见解析，OE ＝OF 仍然成立；（3）CF ＝OE+AE 或CF ＝OE ﹣AE ． 【解析】 【分析】

（1）根据矩形的性质以及垂线，即可判定()AOE COF AAS ???，得出OE =OF ； （2）先延长EO 交CF 于点G ，通过判定()AOE COG ASA ???，得出OG =OE ，再根据

Rt EFG ?中，1

2

OF EG =

，即可得到OE =OF ； （3）根据点P 在射线OA 上运动，需要分两种情况进行讨论：当点P 在线段OA 上时，当点P 在线段OA 延长线上时，分别根据全等三角形的性质以及线段的和差关系进行推导计算即可． 【详解】

（1）OE =OF ．理由如下： 如图1．

∵四边形ABCD 是矩形，∴ OA =OC ．

∵AE BP ⊥，CF BP ⊥，∴90AEO CFO ∠=∠=?．

∵在AOE ?和COF ?中，AEO CFO AOE COF OA OC ∠=∠??

∠=∠??=?

，∴()AOE COF AAS ???，∴ OE =OF ；

（2）补全图形如图2，OE =OF 仍然成立．证明如下： 延长EO 交CF 于点G ．

∵AE BP ⊥，CF BP ⊥，∴ AE //CF ，∴EAO GCO ∠=∠． 又∵点O 为AC 的中点，∴ AO =CO ．

在AOE ?和COG ?中，EAO GCO AO CO AOE COG ∠=∠??

=??∠=?

，∴()AOE COG ASA ???，∴ OG =OE ，

∴Rt EFG ?中，1

2

OF EG =

，∴ OE =OF ； （3）CF =OE +AE 或CF =OE -AE ．

证明如下：①如图2，当点P 在线段OA 上时．

∵30OEF ∠=?，90EFG ∠=?，∴60OGF ∠=?，由（2）可得：OF =OG ，∴OGF ?是等边三角形，∴ FG =OF =OE ，由（2）可得：AOE COG ???，∴ CG =AE ． 又∵ CF =GF +CG ，∴ CF =OE +AE ；

②如图3，当点P 在线段OA 延长线上时．

∵30OEF ∠=?，90EFG ∠=?，∴60OGF ∠=?，同理可得：OGF ?是等边三角形，∴ FG =OF =OE ，同理可得：AOE COG ???，∴ CG =AE ． 又∵ CF =GF -CG ，∴ CF =OE -AE ．

【点睛】

本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定以及等边三角形的性质和判定，解决问题的关键是构建全等三角形和证明三角形全等，利用矩形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，根据线段的和差关系使问题得以解决．

6．问题探究

（1）如图①，已知正方形ABCD 的边长为4．点M 和N 分别是边BC 、CD 上两点，且BM ＝CN ，连接AM 和BN ，交于点P ．猜想AM 与BN 的位置关系，并证明你的结论． （2）如图②，已知正方形ABCD 的边长为4．点M 和N 分别从点B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CD 方向向终点C 和D 运动．连接AM 和BN ，交于点P ，求△APB 周长的最大值； 问题解决

（3）如图③，AC 为边长为23的菱形ABCD 的对角线，∠ABC ＝60°．点M 和N 分别从点B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CA 向终点C 和A 运动．连接AM 和BN ，交于点P ．求△APB 周长的最大值．

【答案】（1）AM ⊥BN ，证明见解析；（2）△APB 周长的最大值2；（3）△PAB 的周长最大值3． 【解析】

试题分析：根据全等三角形的判定SAS 证明△ABM ≌△BCN ，即可证得AM ⊥BN ； （2）如图②，以AB 为斜边向外作等腰直角△AEB ，∠AEB=90°，作EF ⊥PA 于E ，作

EG⊥PB于G，连接EP，证明PA+PB=2EF，求出EF的最大值即可；

（3）如图③，延长DA到K，使得AK=AB，则△ABK是等边三角形，连接PK，取PH=PB，证明PA+PB=PK，求出PK的最大值即可.

试题解析：（1）结论：AM⊥BN．

理由：如图①中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABM=∠BCN=90°，

∵BM=CN，

∴△ABM≌△BCN，

∴∠BAM=∠CBN，

∵∠CBN+∠ABN=90°，

∴∠ABN+∠BAM=90°，

∴∠APB=90°，

∴AM⊥BN．

（2）如图②中，以AB为斜边向外作等腰直角三角形△AEB，∠AEB=90°，作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，连接EP．

∵∠EFP=∠FPG=∠G=90°，

∴四边形EFPG是矩形，

∴∠FEG=∠AEB=90°，

∴∠AEF=∠BEG，

∵EA=EB，∠EFA=∠G=90°，

∴△AEF≌△BEG，

∴EF=EG，AF=BG，

∴四边形EFPG是正方形，

∴PA+PB=PF+AF+PG﹣BG=2PF=2EF，

∵EF≤AE，

∴EF的最大值=AE=2，

∴△APB周长的最大值=4+4．

（3）如图③中，延长DA到K，使得AK=AB，则△ABK是等边三角形，连接PK，取

PH=PB．

∵AB=BC，∠ABM=∠BCN，BM=CN，

∴△ABM≌△BCN，

∴∠BAM=∠CBN，

∴∠A PN=∠BAM+∠ABP=∠CBN+∠ABN=60°，

∴∠APB=120°，

∵∠AKB=60°，

∴∠AKB+∠APB=180°，

∴A、K、B、P四点共圆，

∴∠BPH=∠KAB=60°，

∵PH=PB，

∴△PBH是等边三角形，

∴∠KBA=∠HBP，BH=BP，

∴∠KBH=∠ABP，∵BK=BA，

∴△KBH≌△ABP，

∴HK=AP，

∴PA+PB=KH+PH=PK，

∴PK的值最大时，△APB的周长最大，

∴当PK是△ABK外接圆的直径时，PK的值最大，最大值为4，

∴△PAB的周长最大值=2+4．

7．小明在矩形纸片上画正三角形，他的做法是：①对折矩形纸片ABCD(AB>BC)，使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平；②沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P 处，再折出PB、PC，最后用笔画出△PBC(图1)．

（1）求证：图1中的PBC是正三角形：

（2）如图2，小明在矩形纸片HIJK上又画了一个正三角形IMN，其中IJ=6cm，

且HM=JN．

①求证：IH=IJ

②请求出NJ的长；

（3）小明发现：在矩形纸片中，若一边长为6cm，当另一边的长度a变化时，在矩形纸片上总能画出最大的正三角形，但位置会有所不同．请根据小明的发现，画出不同情形的示意图(作图工具不限，能说明问题即可)，并直接写出对应的a的取值范围．

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②12-63（3）33＜a＜43，a＞43

【解析】

分析：（1）由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；

（2）①利用“HL”证Rt△IHM≌Rt△IJN即可得；②IJ上取一点Q，使QI=QN，由

Rt△IHM≌Rt△IJN知∠HIM=∠JIN=15°，继而可得∠NQJ=30°，设NJ=x，则IQ=QN=2x、

QJ=3x，根据IJ=IQ+QJ求出x即可得；

（3）由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形即可．（1）证明：∵①对折矩形纸片ABCD(AB>BC)，使AB与DC重合，得到折痕EF

∴PB=PC

∵沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P处

∴PB=BC

∴PB=PC=BC

∴△PBC是正三角形：

（2）证明：①如图

∵矩形AHIJ

∴∠H=∠J=90°

∵△MNJ是等边三角形

∴MI=NI

在Rt △MHI 和Rt △JNI 中

MI NI

MH NJ

=??

=? ∴Rt △MHI ≌Rt △JNI （HL ） ∴HI=IJ

②在线段IJ 上取点Q ，使IQ=NQ

∵Rt △IHM ≌Rt △IJN ， ∴∠HIM=∠JIN ， ∵∠HIJ=90°、∠MIN=60°， ∴∠HIM=∠JIN=15°， 由QI=QN 知∠JIN=∠QNI=15°， ∴∠NQJ=30°，

设NJ=x ，则IQ=QN=2x ，QJ=22=

3QN NJ -x ， ∵IJ=6cm ， ∴2x+3x=6，

∴x=12-63，即NJ=12-63（cm ）． （3）分三种情况： ①如图：

设等边三角形的边长为b ，则0＜b≤6， 则tan60°3=

2

a b ， ∴3b ， ∴0＜b≤3

2

=33 ②如图

当DF与DC重合时，DF=DE=6，

∴a=sin60°

×DE=63

2

=

33，

当DE与DA重合时，a=

66

43 sin603

2

==

?，

∴33＜a＜43；

③如图

∵△DEF是等边三角形∴∠FDC=30°

∴DF=

6

43 cos303

==

?

∴a＞43

点睛：本题是四边形的综合题目，考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大．

8．已知：在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE＝2．

（1）如图①，当四边形EFGH为正方形时，求△GFC的面积；

（2）如图②，当四边形EFGH为菱形，且BF＝a时，求△GFC的面积（用a表示）；（3）在（2）的条件下，△GFC的面积能否等于2？请说明理由．

【答案】（1）10；（2）12－a；（3）不能

【解析】

解：（1）过点G作GM⊥BC于M．在正方形EFGH中，

∠HEF＝90°，EH＝EF，

∴∠AEH＋∠BEF＝90°．

∵∠AEH＋∠AHE＝90°，

∴∠AHE＝∠BEF．

又∵∠A＝∠B＝90°，

∴△AHE≌△BEF．

同理可证△MFG≌△BEF．

∴GM＝BF＝AE＝2．∴FC＝BC－BF＝10．

∴．

（2）过点G作GM⊥BC交BC的延长线于M，连接HF．

∵AD∥BC，∴∠AHF＝∠MFH．

∵EH∥FG，∴∠EHF＝∠GFH．

∴∠AHE＝∠MFG．

又∵∠A＝∠GMF＝90°，EH＝GF，

∴△AHE≌△MFG．∴GM＝AE＝2．

∴．

（3）△GFC的面积不能等于2．

说明一：∵若S△GFC＝2，则12－a＝2，∴a＝10．

此时，在△BEF中，

．

在△AHE中，

，

∴AH＞AD，即点H已经不在边AD上，故不可能有S△GFC＝2．

说明二：△GFC的面积不能等于2．∵点H在AD上，

∴菱形边EH的最大值为，∴BF的最大值为．

又∵函数S△GFC＝12－a的值随着a的增大而减小，

∴S△GFC的最小值为．

又∵，∴△GFC的面积不能等于2．

9．已知边长为1的正方形ABCD中， P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），

过点P作PE⊥PB ，PE交射线DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．

（1）当点E落在线段CD上时（如图），

①求证：PB=PE；

②在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；

（2）当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；

（3）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由．

【答案】（1）①证明见解析；②点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为2

；（2）

画图见解析，成立；（3）能，1.

【解析】

分析：（1）①过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．要证PB=PE，只需证到△PGB≌△PHE即可；②连接BD，如图2．易证△BOP≌△PFE，则有BO=PF，只需求出BO的长即可．

（2）根据条件即可画出符合要求的图形，同理可得（1）中的结论仍然成立．

（3）可分点E在线段DC上和点E在线段DC的延长线上两种情况讨论，通过计算就可求出符合要求的AP的长．

详解：（1）①证明：过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．

∵四边形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC，

∴∠GPC=∠ACB=∠ACD=∠HPC=45°．

∴PG=PH，∠GPH=∠PGB=∠PHE=90°．

∵PE⊥PB即∠BPE=90°，

∴∠BPG=90°﹣∠GPE=∠EPH．

在△PGB和△PHE中，

PGB PHE PG PH

BPG EPH ∠∠??

??∠∠?

＝＝＝， ∴△PGB ≌△PHE （ASA ）， ∴PB=PE ．

②连接BD ，如图2．

∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BOP=90°． ∵PE ⊥PB 即∠BPE=90°， ∴∠PBO=90°﹣∠BPO=∠EPF ． ∵EF ⊥PC 即∠PFE=90°， ∴∠BOP=∠PFE ． 在△BOP 和△PFE 中，

PBO EPF BOP PFE PB PE ∠∠??

∠∠???

＝＝＝ ∴△BOP ≌△PFE （AAS ）， ∴BO=PF ．

∵四边形ABCD 是正方形， ∴OB=OC ，∠BOC=90°， ∴2OB ． ∵BC=1，∴OB=22

， ∴PF=

22

． ∴点PP 在运动过程中，PF 2． （2）当点E 落在线段DC 的延长线上时，符合要求的图形如图3所示．