新人教版中考数学复习教案

20XX年中考数学复习教案

第一章实数与中考

中考要求及命题趋势

1.正确理解实数的有关概念；

2.借助数轴工具，理解相反数、绝对值、算术平方根等概念和性质；

3.掌握科学计数法表示一个数，熟悉按精确度处理近似值。

4.掌握实数的四则运算、乘方、开方运算以及混合运算

5.会用多种方法进行实数的大小比较。

中考将继续考查实数的有关概念，值得一提的是，用实际生活的题材为背景，结合当今的社会热点问题考查近似值、有效数字、科学计数法依然是中考命题的一个热点。实数的四则运算、乘方、开方运算以及混合运算，实数的大小的比较往往结合数轴进行，并会出现探究类有规律的计算问题。

应试对策

牢固掌握本节所有基本概念，特别是绝对值的意义，真正掌握数形结合的思想，理解数轴上的点与实数间的一一对应关系，还要注意本节知识点与其他知识点的结合，以及在日常生活中的运用。

第一讲实数的有关概念

【回顾与思考】

知识点：

有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值

课标要求：

1．使学生复习巩固有理数、实数的有关概念．

2．了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。

3．会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小

4．画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小。

考查重点：

1．有理数、无理数、实数、非负数概念；

2．相反数、倒数、数的绝对值概念；

3．在已知中，以非负数a2、|a|、 a (a≥0)之和为零作为条件，解决有关问题。实数的有关概念

(1)实数的组成

{}

?????????????????????????????????正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数 (2)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规

定的三要素缺一个不可)，实数与数轴上的点是一一对应的。数轴上任一点对应的数总大

于这个点左边的点对应的数，

(3)相反数

实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反数是零)．

从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称．

(4)绝对值

??

???<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a

从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离

(5)倒数

实数a(a ≠0)的倒数是a

1(乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；零没有倒数． 【例题经典】

理解实数的有关概念

例1 ①a 的相反数是-15

,则a 的倒数是_______． ②实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示:0a b

则化简│b-a │+2()a b -=______．

③（20XX 年泉州市）去年泉州市林业用地面积约为10200000亩,用科学记数法表示为约

______________________．

【点评】本大题旨在通过几个简单的填空，让学生加强对实数有关概念的理解．

例2.(-2)3与-23( )．

(A)相等 (B)互为相反数 (C)互为倒数 (D)它们的和为16

分析：考查相反数的概念，明确相反数的意义。答案：A

例3.-3的绝对值是 ；-321 的倒数是 ；9

4的平方根是 ． 分析：考查绝对值、倒数、平方根的概念，明确各自的意义，不要混淆。

答案：3，-2/7，±2/3

例4.下列各组数中，互为相反数的是 ( )D

A ．-3与3

B ．｜-3｜与一31

C ．｜-3｜与31

D ．-3与2(-3)

分析：本题考查相反数和绝对值及根式的概念

掌握实数的分类

例1 下列实数227、sin60°、3

π、（2）0、3.14159、-9、（-7）-2、8中无理数有（ ）个

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【点评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断．

第二讲 实数的运算

【回顾与思考】

知识点：

有理数的运算种类、各种运算法则、运算律、运算顺序、科学计数法、近似数与有效

数字、计算器功能鍵及应用。

教学目标:

1． 了解有理数的加、减、乘、除的意义，理解乘方、幂的有关概念、掌握有理

数运算法则、运算委和运算顺序，能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方和简单

的混合运算。

2． 了解有理数的运算率和运算法则在实数运算中同样适用，复习巩固有理数的

运算法则，灵活运用运算律简化运算能正确进行实数的加、减、乘、除、乘方运算。

3． 了解近似数和准确数的概念，会根据指定的正确度或有效数字的个数，用四

舍五入法求有理数的近似值（在解决某些实际问题时也能用进一法和去尾法取近似

值），会按所要求的精确度运用近似的有限小数代替无理数进行实数的近似运算。

4 了解电子计算器使用基本过程。会用电子计算器进行四则运算。

考查重点：

1． 考查近似数、有效数字、科学计算法；

2． 考查实数的运算；

3． 计算器的使用。

实数的运算

(1)加法

同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；

异号两数相加。取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

任何数与零相加等于原数。

(2)减法 a-b=a+(-b)

(3)乘法

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．即

??

????-?=)(0),(||||),(||||为零或异号同号b a b a b a b a b a ab

(4)除法 )0(1≠?=b b

a b a

(5)乘方

个

n n a aa a = (6)开方 如果x 2＝a 且x ≥0，那么a ＝x ； 如果x 3=a ，那么x a =3

在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减．有括号时，先算括号里面．

3．实数的运算律

(1)加法交换律 a+b ＝b+a

(2)加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)

(3)乘法交换律 ab ＝ba ．

(4)乘法结合律 (ab)c=a(bc)

(5)分配律 a(b+c)=ab+ac

其中a 、b 、c 表示任意实数．运用运算律有时可使运算简便．

【例题经典】

例1、（宝应 ）若家用电冰箱冷藏室的温度是4℃，冷冻室的温度比冷藏室的温度

低22℃，则冷冻室的温度（℃）可列式计算为 A ． 4―22 ＝－18 Ｂ．22－4＝18

Ｃ． 22―（―4）＝26 Ｄ．―4―22＝－26

点评：本题涉及对正负数的理解、简单的有理数运算，试题以应用的方式呈现，同时

也强调“列式”，即过程。选（A ）

例2．我国宇航员杨利伟乘“神州五号”绕地球飞行了14周，飞行轨道近似看作圆，

其半径约为6．71×103千米，总航程约为(π取3．14，保留3个有效数字) ( )

A ．5．90 ×105千米

B ．5．90 ×106千米

C ．5．89 ×105千米

D ．5．89×106千米

分析：本题考查科学记数法 答案：A

例3.化简273

-的结果是( )．

(A)7-2 (B) 7+2 (C)3(7-2) (D)3(7+2)

分析：考查实数的运算。答案：B

例4.实数a 、b 、c 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有( )．

①b+c>0②a+b>a+c ③bc>ac ④ab>ac

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

分析：考查实数的运算，在数轴上比较实数的大小。答案：C

例5 （20XX 年成都市）计算：-1

13-?? ???

+（-2）2×（-1）0-│-12│． 例6.校学生会生活委员发现同学们在食堂吃午餐时浪费现象十分严重，于是决定写

一张标语贴在食堂门口，告诫大家不要浪费粮食．请你帮他把标语中的有关数据填上．(已

知1克大米约52粒)

如果每人每天浪费1粒大米，全国13亿人口，每天就要大约浪费 吨大

米

分析：本题考查实数的运算。答案：25

例7.阳阳和明明玩上楼梯游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，玩着玩着两人发

现：当楼梯的台阶数为一级、二级、三级……逐步增加时，楼梯的上法数依次为：1，2，

3，5，8，13，21，．．．…(这就是著名的斐波那契数列)．请你仔细观察这列数中的规律

后回答：上10级台阶共有 种上法．

分析：归纳探索规律：后一位数是它前两位数之和

答案：89

例8.观察下列等式(式子中的“!”是一种数学运算符号)

1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，…， 计算：!

98!100= ． 分析：阅读各算式，探究规律，发现100！=100*99*98！答案：9900

第二章 代数式与中考

中考要求及命题趋势

1、掌握整式的有关知识，包括代数式，同类项、单项式、多项式等；

2、熟练地进行整式的四则运算，幂的运算性质以及乘法公式要熟练掌握，灵活运用；

3、熟练运用提公因式法及公式法进行分解因式 ；

4、了解分式的有关概念式的基本性质；

5、熟练进行分式的加、减、乘、除、乘方的运算和应用。

中考整式的有关知识及 整式的四则运算仍然会 以填空 、选择和解答题的形式出

现，乘法公式、因式分解正逐步渗透到综合题 中去进行考查 数与似的应用题 将是今后

中考的一个热点。分式 的概念及 性质，运算仍是考查 的重点。特别注意 分式的应用

题 ，即要 熟悉背景 材料，又要从实际问题中抽象出数学模型。

应试对策

掌握整式 的有关概念及 运算法则，在运算过程中注意 运算顺序，掌握运算规律，

掌握乘法 公式并能灵活运用，在实际问题中，抽象的代数式以及代数式的应用题值得重

视。要掌握并灵活运用分式的基本性质，在通分和约分 时 都要注意分解因式知识的应

用。化解 求殖题，一要注意 整体思想，二要注意解题技巧，对于分式的应用题，要能

从实际问题中抽象出数学模型。

第一讲 整 式

【回顾与思考】

知识点

代数式、代数式的值、整式、同类项、合并同类项、去括号与去括号法则、幂的运

算法则、整式的加减乘除乘方运算法则、乘法公式、正整数指数幂、零指数幂、负整数

指数幂。

教学目标:

1、 了解代数式的概念，会列简单的代数式。理解代数式的值的概念，能正确地

求出代数式的值；

2、 理解整式、单项式、多项式的概念，会把多项式按字母的降幂（或升幂）排

列，理解同类项的概念，会合并同类项；

3、 掌握同底数幂的乘法和除法、幂的乘方和积的乘方运算法则，并能熟练地进

行数字指数幂的运算；

4、 能熟练地运用乘法公式（平方差公式，完全平方公式及（x+a ）

(x+b)=x 2+(a+b)x+ab ）进行运算；

5、 掌握整式的加减乘除乘方运算，会进行整式的加减乘除乘方的简单混合运算。

考查重点

1．代数式的有关概念．

(1)代数式：代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字

母连结而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．

(2)代数式的值；用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果p 叫做代数式的值．

求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．

(3)代数式的分类

2．整式的有关概念

(1)单项式：只含有数与字母的积的代数式叫做单项式．

对于给出的单项式，要注意分析它的系数是什么，含有哪些字母，各个字母的指数分别是什么。

(2)多项式：几个单项式的和，叫做多项式

对于给出的多项式，要注意分析它是几次几项式，各项是什么，对各项再像分析单项式那样来

分析

(3)多项式的降幂排列与升幂排列

把一个多项式技某一个字母的指数从大列小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂

排列

把—个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺斤排列起来，叫做把这个多项式技这个字母升幂

排列，

给出一个多项式，要会根据要求对它进行降幂排列或升幂排列．

(4)同类项

所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类顷．

要会判断给出的项是否同类项，知道同类项可以合并．即x b a bx ax )(+=+ 其中的X 可以代表单项式中的字母部分，代表其他式子。

3．整式的运算

(1)整式的加减：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连

接．整式加减的一般步骤是：

(i)如果遇到括号．按去括号法则先去括号：括号前是“十”号，把括号和它前面的

“+”号去掉。括号里各项都不变符号，括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号

去掉．括号里各项都改变符号．

(ii)合并同类项： 同类项的系数相加，所得的结果作为系数．字母和字母的指数不

变．

(2)整式的乘除：单项式相乘(除)，把它们的系数、相同字母分别相乘(除)，对于只

在一个单项式(被除式)里含有的字母，则连同它的指数作为积(商)的一个因式相同字母

相乘(除)要用到同底数幂的运算性质：

),,0()

,(是整数是整数n m a a a a n m a a a n m n m n m n m ≠=÷=?-+

多项式乘(除)以单项式，先把这个多项式的每一项乘(除)以这个单项式，再把所得的

积(商)相加．

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把

所得的积相加．

遇到特殊形式的多项式乘法，还可以直接算：

.

))((,2)(,

))((,

)())((332222222b a b ab a b a b ab a b a b a b a b a ab x b a x b x a x ±=+±+±=±-=-++++=++

(3)整式的乘方

单项式乘方，把系数乘方，作为结果的系数，再把乘方的次数与字母的指数分别相

乘所得的幂作为结果的因式。

单项式的乘方要用到幂的乘方性质与积的乘方性质：

)()(),

,()(是整数是整数n b a ab n m a a n n n mn n m ==

多项式的乘方只涉及

.222)(,

2)(2222222ca bc ab c b a c b a b ab a b a +++++=+++±=±

【例题经典】

代数式的有关概念

例1、(日照市)已知－1＜b ＜0， 0＜a ＜1，那么在代数式a －b 、a+b 、a+b 2、a 2+b

中，对任意的a 、b ，对应的代数式的值最大的是（ ） (A) a+b (B) a －b (C) a+b 2 (D) a 2+b

评析：本题一改将数值代人求值的面貌，要求学生有良好的数感。选（B ）

同类项的概念

例1 若单项式2a m+2n b n-2m+2与a 5b 7是同类项，求n m 的值．

【点评】考查同类项的概念，由同类项定义可得25,227m n n m +=??-+=?

解出即可

例2（05宝应）一套住房的平面图如右图所示，其中

卫生

间、厨房的面积和是（ ）

A ．4xy Ｂ． 3xy Ｃ．2xy Ｄ．xy

评析：本题是一道数形结合题，考查了平面图形的面积的计算、合并同类项等知识，同

时又隐含着对代数式的理解。选（B ）

幂的运算性质

例1（1）a m ·a n =_______（m ，n 都是正整数）；

（2）a m ÷a n =________（a ≠0，m ，n 都是正整数，且m>n ），特别地：a 0=1（a ≠0），a -p =1p a

（a ≠0，p 是正整数）；

（3）（a m ）n =______（m ，n 都是正整数）；（4）（ab ）n =________（n 是正整数）

（5）平方差公式：（a+b ）（a-b ）=_________．（6）完全平方公式：（a ±b ）2=__________．

【点评】能够熟练掌握公式进行运算.

例3.下列各式计算正确的是( )．

(A)(a 5)2=a 7 (B)2x -2=x

21 (c)4a 3·2a 2=8a 6 (D)a 8÷a 2=a 6

分析：考查学生对幂的运算性质及同类项法则的掌握情况。答案：D

例3.下列各式中，运算正确的是 ( )

A ．a 2a 3=a 6

B ．(-a+2b)2=(a-2b)2

c ．b a b

a b a +=++122(a+b≠O) D ．31)31(2-=- 分析：考查学生对幂的运算性质 答案：B

例4、(泰州市)下列运算正确的是

A ． 532a a a =+;

B ．(－2x)3=－2x 3 ;

C ．(a －b)(－a ＋b)=－a 2－2ab －b 2 ;

D ．2832+=

评析：本题意在考查学生幂的运算法则、整式的乘法、二次根式的运算等的掌握情况。

选 （D ）

整式的化简与运算

例5 计算：9xy·(-3

1x 2y)= ； （20XX 年江苏省）先化简，再求值：

[（x-y ）2+（x+y ）（x-y ）]÷2x 其中x=3，y=-1．5．

【点评】本例题主要考查整式的综合运算，学生认真分析题目中的代数式结构，灵活运

用公式，才能使运算简便准确．

第二讲 因式分解与分式

【回顾与思考】

因式分解

知识点：

因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式（十字

相乘法、求根）、因式分解一般步骤。

教学目标：

理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，掌

握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法，能把简单多项式分解因式。

考查重点与常见题型：

考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。重点考查的分式提取

公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。习题类型以填空题为多，也有选

择题和解答题。

因式分解知识点

多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一

个因式都不能再分解为止．分解因式的常用方法有：

(1)提公因式法

如多项式),(c b a m cm bm am ++=++

其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．

(2)运用公式法，即用

))((,

)(2),)((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=- 写出结果．

(3)十字相乘法

对于二次项系数为l 的二次三项式,2q px x ++ 寻找满足ab=q ，a+b=p 的a ，b ，如

有，则);)((2b x a x q px x ++=++对于一般的二次三项式),0(2≠++a c bx ax 寻找满足

a 1a 2=a ，c 1c 2=c,a 1c 2+a 2c 1=

b 的a 1，a 2，

c 1，c 2，如有，则).)((22112c x a c x a c bx ax ++=++ (4)

分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进

行．

分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前

面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号.

(5)求根公式法：如果),0(02≠=++a c bx ax 有两个根X 1，X 2，那么

).)((212x x x x a c bx ax --=++

【例题经典】

掌握因式分解的概念及方法

例1、分解因式：

①x 3-x 2=_______________________;

②（20XX 年绵阳市）x 2-81=______________________;

③（20XX 年泉州市）x 2+2x+1=___________________;

④a 2-a+14

=_________________; ⑤（20XX 年湖州市）a 3-2a 2+a=_____________________.

【点评】运用提公因式法，公式法及两种方法的综合来解答即可。

例2.把式子x 2-y 2-x —y 分解因式的结果是 ．．

分析：考查运用提公因式法进行分解因式。答案：(x+y)(x-y-1)

例3.分解因式：a 2—4a+4=

分析：考查运用公式法分解因式。答案：(a-2)2

分 式

知识点:

分式，分式的基本性质，最简分式，分式的运算，零指数，负整数，整数，整数指数

幂的运算

教学目标：

了解分式的概念，会确定使分式有意义的分式中字母的取值范围。掌握分式的基本性

质，会约分，通分。会进行简单的分式的加减乘除乘方的运算。掌握指数指数幂的运算。

考查重点与常见题型:

1．考查整数指数幂的运算，零运算，有关习题经常出现在选择题中，如：下列运算正确

的是（ ）

（A ）-40 =1 (B) (-2)-1= 12

(C) (-3m-n )2=9m-n (D)(a+b)-1=a -1+b -1

2.考查分式的化简求值。在中考题中，经常出现分式的计算就或化简求值，有关习题多

为中档的解答题。注意解答有关习题时，要按照试题的要求，先化简后求值，化简要认

真仔细，如：

化简并求值：

x (x-y)2 . x 3-y 3x 2+xy+y 2 +(2x+2x-y

–2),其中x=cos30°,y=sin90°

知识要点

1．分式的有关概念

设A 、B 表示两个整式．如果B 中含有字母，式子B

A 就叫做分式．注意分母

B 的值不

能为零，否则分式没有意义

分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分

化简

2、分式的基本性质

,M B M A B A ??= M B M

A B A ÷÷

=（M 为不等于零的整式）

3．分式的运算

(分式的运算法则与分数的运算法则类似)． bd bc ad d c b a ±=± (异分母相加，先通分)；;

;bc ad c d b a d c b a bd ac

d c b a =?=÷=? .)(n n

n b a

b a =

4．零指数 )0(10≠=a a

5．负整数指数 ).,0(1

为正整数p a a a p p ≠=-

注意正整数幂的运算性质 n

n n mn n m n m n m n m n m b a ab a a a a a a a a a ==≠=÷=?-+)(,

)(),0(,

可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m 、 n 可以是O 或负整数．

熟练掌握分式的概念：性质及运算

例4 （1）若分式2

3

3x x -+的值是零，则x=______．

【点评】分式值为0的条件是：有意义且分子为0．

（2）同时使分式2568x x x -++有意义，又使分式223(1)9x x

x ++-无意义的x 的取值范围是（

）

A ．x ≠-4且x ≠-2

B ．x=-4或x=2

C ．x=-4

D ．x=2

（3）如果把分式2x y

x +中的x 和y 都扩大10倍，那么分式的值（ ）

A ．扩大10倍

B ．缩小10倍

C ．不变

D ．扩大2倍

例5：化简(22+--x x

x x

)÷x x

-24的结果是 ．

分析：考查分式的混合运算，根据分式的性质和运算法则。答案：-21

+x

例6.已知a=321

+，求a a a a a a a -+---+-222

1

2121的值．

分析：考查分式的四则运算，根据分式的性质和运算法则，分解因式进行化简。

答案：a=2-3<1，原式=a-1+=3．

例7.已知|a-4|+9-b =0，计算22222b a ab a b ab

a --?+的值

答案：由条件，得a-4=0且b-9=0 ∴a=4 b=9

原式=a 2/b 2

当a=4，6=9时，原式=16/81

例8.计算(x —y+y x xy -4)(x+y-y

x xy +4)的正确结果是( ) A y 2-x 2 B.x 2-y 2 c ．x 2-4y 2 D ．4x 2-y 2

分析：考查分式的通分及四则运算。答案：B

因式分解与分式化简综合应用

例1、（20XX 年常德市）先化简代数式：22121111

x x x x x -??+÷ ?+--??，然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值． 【点评】注意代入的数值不能使原分式分母为零，否则无意义．

例2、（05 河南）有一道题“先化简，再求值：4

1)4422(22-÷-++-x x x x x ，其中3-=x 。”小玲做题时把“3-=x ”错抄成了“3=x ”，但她的计算结果也是正确的，请你解释

这是怎么回事？

点评：化简可发现结果是42+x ，因此无论3-=x 还是3-=x 其计算结果都是7。 可

见现在的考试特别重视应用和理解。

第三讲 数的开方与二次根式

【回顾与思考】

〖知识点〗

平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、

同类二次根式、二次根式运算、分母有理化

〖教学目标〗

1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和

算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）；

2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同

类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范

围将二次根式化简；

3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的

分母有理化。

内容分析

1．二次根式的有关概念

(1)二次根式

式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O ．

(2)最简二次根式

被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，

叫做最简二次根式．

(3)同类二次根式

化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．

2．二次根式的性质 ).0;0();

0;0();

0(),0(||);

0()(22>≥=≥≥?=???<-≥==≥=b a b a b a b a b a ab a a a a a a a a a

3．二次根式的运算

(1)二次根式的加减

二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合

并．

(2)三次根式的乘法

二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=?b a ab b a

二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次

根式互为有理化因式．

(3)二次根式的除法

二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，

把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．

〖考查重点与常见题型〗

1.考查平方根、算术平方根、立方根的概念。有关试题在试题中出现的频率很高，

习题类型多为选择题或填空题。

2.考查最简二次根式、同类二次根式概念。有关习题经常出现在选择题中。

3.考查二次根式的计算或化简求值，有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选

择题和中档解答题中出现的较多。

【例题经典】

理解二次根式的概念和性质

例 1 （1）（20XX 年南通市）式子2x

x -有意义的x 取值范围是

________．

【点评】从整体上看分母不为零，从局部看偶次根式被开方数为非

负．

（2）已知a 为实数，化简31

a a a ---．

【点评】要注意挖掘其隐含条件：a<0．

掌握最简二次根式的条件和同类二次根式的判断方法

例2（20XX 年海淀区）下列根式中能与3合并的二次根式为（ ）

A ．3

24.12..182B C D

【点评】抓住最简二次根式的条件，结合同类二次根式的概念去解

决问题．

掌握二次根式化简求值的方法要领

例3 （20XX 年长沙市）先化简，再求值:

若a=4+3，b=4-3，求a

b

a a

b a b --+．

【点评】注意对求值式子进行变形化简约分，再对已知条件变形整

体代入．

第三章 方程（组）

中考要求及命题趋势

一元 一次方程与一元 一次方程组是初中有关方程的基础，在各地中考题 中，多数

以填空 、选择和解答题的形式出现，大多考查 一元一次方程及一次方程组的概念和解

法，一般占5%左右。方程和方程组的应用题是中考的必考题，考查学生建模能力和分析

问题和解决问题的能力，以贴进生活的题目为主。占10%左右。

中考将继续考查概念和解法这些基础知识，类型仍以选择、填空为主，也可能出现

解答题，有时也会 与一次函数、一次不等式相结合出题。一元二次方程是二次函数的一

种特殊 形式，两者有着密切的关系，实验区各地中考题主要以填充、选择、解答题、综

合题的形式考查一元二次方程的概念、解法，一般占5%左右。20XX 年中考将继续以考

查概念和解法为主，形式基本相同。新课标中分式方程以简化，只考查了化为一元一次

方程的分式方程。大多以填空、解答题出现，以考查解法为主，一般占3%左右。20XX

年中考将以考查解法为主，题型仍不会变。方程和方程组的应用题是中考的必考题，近

几年主要考查学生建模能力和分析问题、解决问题的能力，以贴近生活的题目为主。一

般占10%左右。20XX 年中考仍将以生活应用题为出题方向，或者与函数综合出题。

应试对策

要弄清一元一次方程及二元一次方程组的定义，方程（组）的解（整数解）等概念。

要熟练掌握一元一次方程，二元一次方程组的解法。

要弄清一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系。

要弄清一元二次方程的定义，ax +bx+c=0(a 0),a,b,c 均为常数，尤其a 不为零要

切记。

要弄清一元二次方程的解的概念。

要熟练掌握一元二次方程的几种解法，如因式分解法、公式法等，弄清化一元二次

方程为一元一次方程的转化思想。

要加强 一元二次方程与二次函数之间的综合的训练。

让学生理解化分式方程为整式方程的思想。

熟练掌握解分式方程的方法。

让学生学会行程、工程、储蓄、打折销售等基本类型应用题的分析。

让学生掌握生活中问题的数学建模的方法，多做一些综合性的训练。

知识点：

等式及基本性质、方程、方程的解、解方程、一元一次方程、一元二次方程、简单的高次方程

课程程标准：

理解方程和一元一次方程、一元二次方程概念；

理解等式的基本性质，能利用等式的基本性质进行方程的变形，掌握解一元一次方程的一般步骤，能熟练地解一元一次方程；

会推导一元二次方程的求根公式，理解公式法与用直接开平方法、配方法解一元二次方程的关系，会选用适当的方法熟练地解一元二次方程；

了解高次方程的概念，会用因式分解法或换元法解可化为一元一次方程和一元二次方程的简单的高次方程；

体验“未知”与“已知”的对立统一关系。

内容分析：

1．方程的有关概念

含有未知数的等式叫做方程．使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解(只含有—个未知数的方程的解，也叫做根)．

2．一次方程(组)的解法和应用

只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为零的方程，叫做一元一次方程．

解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化成1．

3.一元二次方程的解法

(!)直接开平方法

形如(mx+n)2=r(r≥o)的方程，两边开平方，即可转化为两个一元一次方程来解，这种方法叫做直接开平方法．

(2)把一元二次方程通过配方化成

(mx+n)2=r(r≥o)

的形式，再用直接开平方法解，这种方法叫做配方法．

(3)公式法

通过配方法可以求得一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)

的求根公式：a ac

b

b

x

2

4 2-

±

-

=

用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．

(4)因式分解法

如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的左边可以分解为两个一次因式的积，那么根据两个因式的积等于O，这两个因式至少有一个为O，原方程可转化为两个一元一次方程来解，这种方法叫做因式分解法．

〖考查重点与常见题型〗

考查一元一次方程、一元二次方程及高次方程的解法，有关习题常出现在填空题和

选择题中。

第一讲 一次方程（组）及应用

【回顾与思考】

【例题经典】

掌握一元一次方程的解法步骤

例1 解方程：x-1222

3x x -+=- 【点评】按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，五步进行

掌握二元一次方程组的解法

例2 （20XX 年枣庄市）已知方程组2,4ax by ax by +=??-=?的解为2,1.x y =??=?，求2a-3b 的值．

【点评】将2,1.x y =??=?代入原方程组后利用加减法解关于a ，b 的方程组．

例3、（安徽）某电视台在黄金时段的2min 广告时间内，计划插播长度为15s 和30s

的两种广告，15s 广告每播1次收费0.6万元，30s 广告每播1次收费1万元。若要求每

种广告播放不少于2次。问：

⑴两种广告的播放次数有几中安排方式？

⑵电视台选择哪种方式播放收益较大？

点评：本题只能列出一个二元一次方程，因此需要学生对二元一次方程的解有深刻

的理解。体现了“从知识立意向能力立意转变”的新命题理念。

解：（1）设15s 广告播放x 次，30s 广告播放y 次。

15x+30y=120 而x,y 均为不小于2的正整数，

∴???==24y x 或 ???==32y x

（2）方案1 4.4万元；方案2 4.2万元。

一次方程的应用

例1．下图是学校化学实验室用于放试管的木架，在每层长29 cm 的

木条上钻有6个圆孔，每个圆孔的直径均为2．5 cm ．两端与圆孔边缘及

任何相邻两孔边缘之间的距离都相等并设为X cm ，则x 为 ( )

A ．2

B ．2．15

C ．2．33

D ．2．36

分析：考查列一元一次方程并解方程

答案：A

例2（20XX 年吉林省）据某统计数据显示，在我国的664座城市中，按水资源情况

可分为三类：暂不缺水城市，一般缺水城市和严重缺水城市，其中，暂不缺水城市数比

严重缺水城市数的4倍少50座，一般缺水城市是严重缺水城市数的2倍，求严重缺水城

市有多少座？

【点评】一元一次方程或二元一次方程组都可解答此题．

例3.小红家春天粉刷房间，雇用了5个工人，干了10天完成；用了某种涂料150升，

费用为4800元；粉刷的面积是150m2．最后结算工钱时，有以下几种方案：

方案一：按工算，每个工30元； (1个工人干1天是一个工)；

方案二：按涂料费用算，涂料费用的30％作为工钱；

方案三：按粉刷面积算，每平方米付工钱12元．

请你帮小红家出主意，选择方案 付钱最合算(最省)．

分析：考查方程和方程的应用，方案一：5*10*30+4800=6300元 方案二：

4800*30%=1440元，方案三：12*150=1800元

答案：方案二

第二讲 一元二次方程及应用

【回顾与思考】

【例题经典】

1、掌握一元二次方程的解法

例1 解方程：

（1）3x 2+8x-3=0；（2）9x 2+6x+1=0；（3）x-2=x （x-2）；（4）x 2-25x+2=0

例2.用换元法解方程(x-x 1)2-3x+x 3+2=0时，如果设x-x

1=y ，那么原方程可转化为( )D (A)y 2+3y+2=O (B)y 2—3y-2=0 (C)y 2+3y-2=0 (D)y 2-3y+2=0

分析：考查用换元法解方程 答案：D

例3.若关于x 的方程x 2+px+1=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则p 的值

是 ．

分析：一个实数的倒数是它的本身，这个实数是±1

答案：±2

例4.关于x 的一元二次方程02=++c bx x 的两根为11=x ，22=x ，则c bx x ++2分解因

式的结果为_________________________；

分析：考查一元二次方程和分解因式的综合。将x1、x2的值代入方程求出b 、c

答案：(x-1)(x-2)

2、会判断一元二次方程根的情况

例1 不解方程判别方程2x 2+3x-4=0的根的情况是（ ）

A ．有两个相等实数根；

B ．有两个不相等的实数根；

C ．只有一个实数根；

D ．没有实数根

【点评】根据b 2-4ac 与0的大小关系来判断

例2 已知一元二次方程x 2-4x+k=0有两个不相等的实数根

(1) 求k 的取值范围;

(2) 如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2-4x+k=0与x 2+mx-1=0有一个相

同的根，求此时m 的值. 点评：本题考查了解一元二次方程的解法、根的判别式、不

等式的整数解等知识点。

3、一元二次方程的应用

例3 （20XX 年包头市）某印刷厂1?月份印刷了书籍60?万册，?第一季度共印刷了

200万册，问2、3月份平均每月的增长率是多少？

【点评】设2、3月份平均每月的增长率为x ，即60+60（1+x ）+60（1+x ）2=200

第三讲 分式方程及应用

【回顾与思考】

〖知识点〗

分式方程、二次根式的概念、解法思路、解法、增根

〖课标要求〗工资

了解分式方程、二次根式方程的概念。掌握把简单的分式方程、二次根式方程转化

为一元一次方程、一元二次方程的一般方法，会用换元法解方程，会检验。

内容分析

1．分式方程的解法

(1)去分母法

用去分母法解分式方程的一般步骤是：

（i)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；

(ii)解这个整式方程；

(iii)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的

根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去.

在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入员简公分母.

(2)换元法

用换元法解分式方程，也就是把适当的分式换成新的未知数，求出新的未知数后求出原来的未知

数．（选学）

2．二次根式方程的解法

(1)两边平方法

用两边平方法解无理方程的—般步骤是：

(i)方程两边都平方，去掉根号，化成有理方程；

(ii)解这个有理方程；

(iii)把有理方程的根代入原方程进行检验，如果适合，就是原方程的根，如果不适合，就是增

根，必须舍去．

在上述步骤中，两边平方是关键，验根必须代入原方程进行．

(2)换元法

用换元法解无理方程，就是把适当的根号下台有未知数的式子换成新的未知数，求出新的未知数

后再求原来的未知数．

〖考查重点与常见题型〗

考查换元法解分式方程和二次根式方程，有一部分只考查换元的能力，常出现 在

选择题中另一部分习题考查完整的解题能力，习题出现在中档解答题中。

【例题经典】

理解分式方程的有关概念

例1 指出下列方程中，分式方程有（ ）

①21123x x -=5 ②223x x -=5 ③2x 2-5x=0 ④5252

x x -+3=0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

【点评】根据分式方程的概念，看方程中分母是否含有未知数．

掌握分式方程的解法步骤

例2 解方程：

（1）（20XX 年成都市）11262213x x

=---； （2）（20XX 年绍兴市）3511

x x =-+。 【点评】注意分式方程最后要验根。

例3.解方程：062)2(2=--+-x

x x x 分析：考查解分式方程 答案： x 1=3，x 2=4/3都是原方程的根

例4（1）、用换元法解分式方程3x x 2－1 ＋x 2－13x ＝3时，设3x x 2－1

＝y ，原方程变形为（ ）

（A ）y 2－3y ＋1＝0（B ）y 2＋3y ＋1＝0（C ）y 2＋3y －1＝0（D ）y 2－y ＋3＝0

（2）、用换元法解方程x 2＋8x ＋x 2＋8x －11 ＝23，若设y ＝x 2＋8x －11 ，则原方程

可化为（ ）

（A ）y 2＋y ＋12＝0（B ）y 2＋y －23＝0（C ）y 2＋y －12＝0（D ）y 2＋y －34=0

分式方程的应用

例5（20XX 年长春市）某服装厂装备加工300套演出服，在加工60套后，采用了新技术，

使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用9天完成任务，?求该厂原来每天加工多少

套演出服．

【点评】要用到关系式：工作效率＝工作量工作时间

。 例6某公路上一路段的道路维修工程准备对外招标，现有甲、乙两个工程队竞标，竞标

资料上显示：若由两队合做，6天可以完成，共需工程费用10 200元；若单独完成此项

工程，甲队比乙队少用5天．但甲队每天的工程费用比乙队多300元，工程指挥部决定

从这两个队中选一个队单独完成此项工程，若从节省资金的角度考虑，应该选择哪个工

程队?为什么?

解：设甲队每天费用为a 元，乙队每天费用为b 元，则

(a+b)×6=10200 a-b=300解：设甲队独做需x 天完成，则乙队独做(x+5)天完成．

由题意，列方程．6

15x 1x 1=++ 整理得x 2-7x-30=O ．解之得x 1=10，x 2=-3．

经检验x 1'x2都是原方程的根，但x 2=-3不合题意舍去．

∴甲队独做需10天完成，

乙队独做需15天完成． 解之得a=1000 b=700

所以甲队独做的费用为1000×10=10 000(元)，

乙队独做的费用为700×15=10 500(元)．

∵10 500>10 000．

．若从节省资金的角度考虑，应选择甲工程队．

例7为满足用水量不断增长的需求，昆明市最近新建甲、乙、丙三个水厂，这三个水厂

的日供水量共计11．8万立方米，其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的3倍，丙

水厂的日供水量比甲水厂日供水量的一半还多1万立方米．

(1)求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米?

(2)在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走600吨土石，运输公司派出A 型、B 型两

种载重汽车，A 型汽车6辆、B 型汽车4辆，分别运5次，可把土石运完；或者A 型汽车

3辆、B 型汽车6辆，分别运5次，也可把土石运完．那么每辆A 型汽车、每辆B 型汽车

每次运土石各多少吨?(每辆汽车运土石都以标准载重量满载)

解：(1)设甲水厂的日供水量是x 万立方米，则乙水厂的日供水量是3x 万立方米，丙水

厂的日供水量是(x/2+1)万立方米．

由题意得：x+3x+x/4+1=11．8 解得：x=2．4

答：甲水厂日供水量是2．4万立方米，乙水厂日供水量是7．2万立方米，丙水厂日

供水量是2．2万立方米．

(2)每辆A 型汽车每次运土石lO 吨、每辆B 型汽车每次运土石15吨．

第四讲 列出方程(组)解应用题

〖知识点〗