高中奥林匹克数学竞赛 集合

第一讲： 集 合

集合的划分反映了集合与子集之间的关系，这既是一类数学问题，也是数学中的解题策略——分类思想的基础，在近几年来的数学竞赛中经常出现，日益受到重视，本讲主要介绍有关的概念、结论以及处理集合、子集与划分问题的方法。 1．集合的概念

集合是一个不定义的概念，集合中的元素有三个特征：

（1） 确定性 设A 是一个给定的集合，a 是某一具体对象，则a 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两

者必居其一，即a ∈A 与a ?A 仅有一种情况成立。 （2） 互异性 一个给定的集合中的元素是指互不相同的对象，即同一个集合中不应出现同一个元素。 （3） 无序性

2．集合的表示方法

主要有列举法、描述法、区间法、语言叙述法。常用数集如：R Q Z N ,,,应熟记。

3．实数的子集与数轴上的点集之间的互相转换，有序实数对的集合与平面上的点集可以互相转换。对于方程、不等式的解集，要注意它们的几何意义。 4．子集、真子集及相等集

（1）A ??B A ?B 或A ＝B ； （2）A ?B ?A ?B 且A ≠B ； （3）A ＝B ?A ?B 且A ?B 。 5．一个n 阶集合（即由n 个元素组成的集合）有n

2个不同的子集，其中有n

2－1个非空子集（真子集），也有n

2－2个非空真子集。 6．集合的交、并、补运算

A I

B ={A x x ∈|且B x ∈} A Y B ={A x x ∈|或B x ∈}

I x x A ∈=|{且A x ?}

要掌握有关集合的几个运算律：

（1）交换律 A Y B ＝B Y A ，A I B ＝B I A ； （2）结合律A Y （B Y C ）＝（A Y B ）Y C ， A I （B I C ）＝(A I B )I C ；

（3）分配律 A Y （B I C ）＝（A Y B ）I （A Y C ） A I （B Y C ）＝ (A I B ) Y （A I C ）

（4）0—1律 A Y φ＝A ，A I I ＝A A Y I ＝I ，A I φ＝φ

（5）等幂律 A Y A ＝A ，A I A ＝A

（6）吸收律 A Y (A I B )＝A ，A I （A Y B ）＝A

（7）求补律 A Y A ＝I ，A I A ＝φ

（8）反演律 B A B A B A B A Y I I Y ==, 7．有限集合所含元素个数的几个简单性质 设)(X n 表示集合X 所含元素的个数 （1）)()()()(B A n B n A n B A n I Y -+=

当φ=)(B A n I 时，)()()(B n A n B A n +=Y

（2）)()()()(C n B n A n C B A n ++=Y Y

－)()()()(C B A n C B n C A n B A n I I I I I +-- 8．映射、一一映射、逆映射

（1）映射 设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中

都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B 。上述映射定义中的A 、B ，可以是点集，数集，也可以是其他集合。和A 中元素a 对应的B 中的元素b 叫做

a （在f 下）的象，a 叫做

b 的原象。A 中的任何一个元素都有象，并且象是唯一的。

（2）一一映射 设A 、B 是两个集合，f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，如果在这个映射的作

用下，对于集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象，且B 中的每一个元素都有原象，那么这

个映射叫做A 到B 上的一一映射。

（3）逆映射 设f ：A →B 是集合A 到集合B 上的一一映射，如果对于B 中的每一个元素b ，使b 在A 中

的原象a 和它对应，这样所得映射叫做映射f ：A →B 的逆映射，记作1

-f

：B →A 。

注意：只有一一映射，才有逆映射。

要能够根据这三个概念的定义，准确地判断一个给定的对应是不是映射，是不是一一映射，并能求出一一映射的逆映射。

解题指导

元素与集合的关系

1．设A ＝{a |a ＝2

2y x -，Z y x ∈,}，求证：（1）12-k ∈A (Z k ∈)； （2）)( 24Z k A k ∈?-

分析：如果集合A ＝{a |a 具有性质p }，那么判断对象a 是否是集合A 的元素的基本方法就是检验a 是否具有性质p 。

解：（1）∵k ，1-k ∈Z 且12-k ＝2

2

)1(--k k ，故12-k ∈A ； （2）假设)( 24Z k A k ∈∈-，则存在Z y x ∈,，使24-k ＝2

2

y x -，

即)12(2))((-=+-k y x y x (*)

由于y x -与y x +具有相同的奇偶性，所以（*）式左边有且仅有两种可能：奇数或4的倍数，另一方面，（*）式右边只能被4除余2的数，故（*）式不能成立。由此，)( 24Z k A k ∈?-。

2．设集合A ＝（－3，2）。已知N y x ∈,，x ＞y ，x y y x 19193

3

+=+，判断a ＝)(log 2

1y x +与集合

A 的关系。

分析：解决本题的关键在于由已知条件确定y x +的取值范围，从而利用对数函数的单调性确定a ＝

)(log 2

1y x +的范围。

解：因为)(193

3y x y x -=-且N y x ∈,，x ＞y ，所以

x x +2＜222319x y xy x <=++

由此及N x ∈得x =3，从而y =2。

所以－3＜a ＝25log )23(log 2

12

1-==+，即a ∈A 。

3．以某些整数为元素的集合P 具有下列性质：①P 中的元素有正数，有负数；

②P 中的元素有奇数，有偶数；③－1?P ；④若x ，y ∈P ，则x ＋y ∈P 试判断实数0和2与集合P 的关系。

解：由④若x ，y ∈P ，则x ＋y ∈P 可知，若x ∈P ，则)( N k P kx ∈∈ （1）由①可设x ，y ∈P ，且x ＞0，y ＜0，则－y x ＝|y |x (|y |∈N ) 故x y ，－y x ∈P ，由④，0＝(－y x )+x y ∈P 。

（2）2?P 。若2∈P ，则P 中的负数全为偶数，不然的话，当－（12+k ）∈P （N k ∈）时，－1＝（－12-k ）＋k 2∈P ，与③矛盾。于是，由②知P 中必有正奇数。设),( 12,2N n m P n m ∈∈--，我们取适当正整数q ，使

12|2|->-?n m q ，则负奇数P n qm ∈-+-)12(2。前后矛盾。

4．设S 为满足下列条件的有理数的集合：①若a ∈S ，b ∈S ，则a +b ∈S ，

S ab ∈；②对任一个有理数r ，三个关系r ∈S ，－r ∈S ，r ＝0有且仅有一个成立。证明：S 是由全体正有理数组成的集合。

证明：设任意的r ∈Q ，r ≠0，由②知r ∈S ，或－r ∈S 之一成立。再由①，若r ∈S ，则S r ∈2

；若

－r ∈S ，则S r r r ∈-?-=)()(2

。总之，S r ∈2

。

取r =1，则1∈S 。再由①，2=1+1∈S ，3=1+2∈S ，…，可知全体正整数都属于S 。 设S q p ∈,，由①S pq ∈，又由前证知

S q ∈21

，所以21q

pq q p ?=∈S 。因此，S 含有全体正有理

数。

再由①知，0及全体负有理数不属于S 。即S 是由全体正有理数组成的集合。 两个集合之间的关系

在两个集合之间的关系中，我们感兴趣的是“子集”、“真子集”、“相等”这三种特殊关系。这些关系是通过元素与集合的关系来揭示的，因而判断两个集合之间的关系通常可从判断元素与这两个集合的关系入手。

5．设函数),( )(2

R b a b ax x x f ∈++=，集合}),(|{R x x f x x A ∈==，

})],([|{R x x f f x x B ∈==。

（1）证明：B A ?； （2）当}3,1{-=A 时，求B 。

（3）当A 只有一个元素时，求证：B A =．

解：（1）设任意0x ∈A ，则0x ＝)(0x f 。而000)()]([x x f x f f == 故0x ∈B ，所以B A ?。 （2）因}3,1{-=A ，所以

?

??=+?+-=+-?+- 3331

)1()1(2

2b a b a 解得3,1-=-=b a 故 3)(2

--=x x x f 。由)]([x f f x =得

03)3()3(222=-------x x x x x

解得 3 ,3 ,1±-=x

B ＝{}3,3,3,1--。

6．321,,S S S 为非空集合，对于1，2，3的任意一个排列k j i ,,，若j i S y S x ∈∈,，则k S y x ∈- （1）证明：三个集合中至少有两个相等。

（2）三个集合中是否可能有两个集无公共元素？ 证明：（1）若j i S y S x ∈∈,，则

i k S x y x y S x y ∈-=--∈-)(,

所以每个集合中均有非负元素。

当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立。

否则，设321,,S S S 中的最小正元素为a ，不妨设1S a ∈，设b 为32,S S 中最小的非负元素，不妨设

,2S b ∈则b －a ∈3S 。

若b ＞0，则0≤b －a ＜b ，与b 的取法矛盾。所以b =0。

任取,1S x ∈因0∈2S ，故x －0＝x ∈3S 。所以?1S 3S ，同理3S 1S ?。 所以1S =3S 。

（3）可能。例如1S =2S ={奇数}，3S ={偶数}显然满足条件，1S 和2S 与3S 都无公共元素。 7．已知集合：

}1|),{(},1|),{(},1|),{(22=+==+==+=y x y x C ay x y x B y ax y x A 问

（1）当a 取何值时，C B A I Y )(为含有两个元素的集合？ （2）当a 取何值时，C B A I Y )(为含有三个元素的集合？

解：C B A I Y )(=)()(C B C A I Y I 。C A I 与C B I 分别为方程组

（Ⅰ）??

?=+=+112

2y x y ax （Ⅱ）?

??=+=+11

22y x ay x 的解集。由（Ⅰ）解得（y x ,）=（0，1）=（2

12a a

+，2211a a +-）；由（Ⅱ）解得 （y x ,）=（1，0），（2211a a +-，2

12a a

+）

（1）使C B A I Y )(恰有两个元素的情况只有两种可能：

①???????=+-=+111012222a a a a ②???????=+-=+01111222

2

a

a a a

由①解得a =0；由②解得a =1。

故a =0或1时，C B A I Y )(恰有两个元素。

（2）使C B A I Y )(恰有三个元素的情况是：212a a +=2

211a a +-

解得21±

-=a ，故当21±-=a 时，C B A I Y )(恰有三个元素。

8． 设N n ∈且n ≥15，B A ,都是{1，2，3，…，n }真子集，φ=B A I ，且

B A Y ={1，2，3，…，n }。证明：A 或者B 中必有两个不同数的和为完全平方数。

证明：由题设，{1，2，3，…，n }的任何元素必属于且只属于它的真子集B A ,之一。

A,，使得无论是A还是B中的任两个假设结论不真，则存在如题设的{1，2，3，…，n}的真子集B

不同的数的和都不是完全平方数。

不妨设1∈A，则3?A，否则1+3=22，与假设矛盾，所以3∈B。同样6?B，所以6∈A，这时10?A，，即10∈B。因n≥15，而15或者在A中，或者在B中，但当15∈A时，因1∈A，1+15=24，矛盾；当15∈B时，因10∈B，于是有10+15=25，仍然矛盾。因此假设不真。即结论成立。