上海市北初级中学数学分式解答题单元测试卷附答案

一、八年级数学分式解答题压轴题（难）

1．小明和小强两名运动爱好者周末相约到滨江大道进行跑步锻炼．

（1）周六早上6点，小明和小强同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为4500米和1200米的滨江大道入口汇合，结果同时到达.若小明每分钟比小强多行220米，求小明和小强的速度分别是多少米/分？

（2）两人到达滨江大道后约定先跑1000米再休息.小强的跑步速度是小明跑步速度的m 倍，两人在同起点，同时出发，结果小强先到目的地n 分钟．

①当3m =，6n =时，求小强跑了多少分钟？

②小明的跑步速度为_______米/分（直接用含m n ，的式子表示）．

【答案】（1）小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分；（2）①小强跑的时间为

3分；②

1000(1)m mn

-． 【解析】

【分析】 （1）设小强的速度为x 米/分，则小明的速度为（x+220）米/分，根据路程除以速度等于时间得到方程，解方程即可得到答案；

（2）①设小明的速度为y 米/分，由m ＝3，n ＝6，根据小明的时间-小强的时间=6列方程解答；

②根据路程一定，时间与速度成反比，可求小强的时间进而求出小明的时间，再根据速度=路程除以时间得到答案.

【详解】

（1）设小强的速度为x 米/分，则小明的速度为（x+220）米/分， 根据题意得：

1200x ＝4500220

x +． 解得：x ＝80． 经检验，x ＝80是原方程的根，且符合题意．

∴x+220＝300．

答：小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分．

（2）①设小明的速度为y 米/分，∵m ＝3，n ＝6， ∴1000100063y y -=，解之得10009

y =. 经检验，10009y =

是原方程的解，且符合题意，

∴小强跑的时间为：10001000(3)39

÷?=（分） ②小强跑的时间：1n m -分钟，小明跑的时间：11

n mn n m m +=--分钟， 小明的跑步速度为： 1000(1)10001mn m m mn -÷

=-分． 故答案为：

1000(1)m mn

-． 【点睛】 此题考查分式方程的应用，正确理解题意根据路程、时间、速度三者的关系列方程解答是解题的关键.

2．某小麦改良品种后平均每公顷增加产量a 吨，原来产m 吨小麦的一块土地，现在小麦的总产量增加了20吨．

（1）当a ＝0.8，m ＝100时，原来和现在小麦的平均每公顷产量各是多少？

（2）请直接接写出原来小麦的平均每公顷产量是 吨，现在小麦的平均每公顷产量是 吨；（用含a 、m 的式于表示）

（3）在这块土地上，小麦的改良品种成熟后，甲组收割完需n 小时，乙组比甲组少用0.5小时就能收割完，求两组一起收割完这块麦田需要多少小时？

【答案】（1）原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨，4.8吨；（2）20

ma ，+2020ma a ；（3）两组一起收割完这块麦田需要2241

n n n --小时． 【解析】

【分析】

（1）设原来小麦平均每公顷产量是x 吨，根据题意列出分式方程求解并验根即可；（2）设原来小麦平均每公顷产量是y 吨，根据题意列出分式方程求解并验根即可；（3）由题意

得知，工作总量为m+20,甲的工作效率为：

20m n +，乙的工作效率为：200.5

m n +-，再由工作总量除以甲乙的工作效率和即可得出工作时间.

【详解】 解：（1）设原来平均每公顷产量是x 吨，则现在平均每公顷产量是（x +0.8）吨， 根据题意可得：

100100200.8

x x +=+ 解得：x ＝4，

检验：当x ＝4时，x （x +0.8）≠0，

∴原分式方程的解为x ＝4，

∴现在平均每公顷产量是4.8吨，

答：原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨，4.8吨．

（2）设原来小麦平均每公顷产量是y 吨，则现在玉米平均每公顷产量是（y +a ）吨， 根据题意得：

20m m y y a +=+ 解得；y ＝20

ma ， 经检验：y ＝20

ma 是原方程的解， 则现在小麦的平均每公顷产量是:

202020ma ma a a ++= 故答案为:20ma ，2020

ma a +； （3）根据题意得：()20.5202202020.5410.5

n n m n n m m n n n n -+-==++--+- 答：两组一起收割完这块麦田需要2241

n n n --小时． 【点睛】

本题考查的知识点主要是根据题意列分式方程并求解，找出题目中的等量关系式是解题的关键.

3．已知11x a b c ??=+ ???，11y b a c ??=+ ???，11z c a b ??=+ ???． （1）当1a =，1b =，2c =时，求1111

x y +--的值； （2）当0ab bc ac ++≠时,求

111111

x y z +++++的值． 【答案】（1）4；（2）1

【解析】

【分析】

（1）分别对x 、y 进行化简，然后求值即可；(2)分别求出1x ＋、1y ＋、和z 1＋值，然后代入化简即可.

【详解】 （1）,,ac ab bc ab bc ac x y z bc ac ab

+++===， 当1,1,2a b c ===时， 1211111=;122

x ?+?∴-=-?

1211111=122

y ?+?∴-=-? 1111=411

1122

x y ∴+=+-- （2）11ac ab ac ab bc x bc bc ++++=

+=， 11bc ab bc ab ac y ac ac ++++=

+=， 11bc ac bc ac ab z ab ab

++++=+=， ∵+0ab bc ac +≠， ∴111111;+++x y z bc ac ab ab bc ac ab bc ac ab bc ac

+++++=+++++ ++ab bc ac ab bc ac

+=

+ =1.

【点睛】 本题考查了整式的化简求值问题，解题的关键是仔细认真的进行整式的化简.

4．“绿色环保，健康出行”新能源汽车越来越占领汽车市场，以“北汽”和“北汽 新能源 EV500”为例，分别在某加油站和某充电站加油和充电的电费均为 300 元，而续 航里程之比则为 1∶4．经计算新能源汽车相比燃油车节约 0.6 元/公里．

（1）分别求出燃油车和新能源汽车的续航单价（每公里费用）；

（2）随着更多新能源车进入千家万户，有条件的小区及用户将享受 0.48 元/度的优惠专用电费．以新能源 EV500 为例，充电 55 度可续航 400 公里，试计算每公里所需电费， 并求出与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比．

【答案】（1）燃油车0.8；新能源汽车0.2；（2）8.25%

【解析】

【分析】

（1）设新能源汽车续航单价为x 元/公里，则燃油车续航单价为（x+0.6）元/公里，根据等量关系式：新能源汽车续航里程：燃油车续航里程=4∶1，列出方程，解之即可.

（2）根据总价=单价×数量可得新能源汽车400公里所需费用，再用此费用÷总公里数即可得新能源汽车每公里所需电电费；由（1）知燃油汽车每公里费用，用此费用乘以总公里数可得燃油汽车总费用，再用新能源汽车的总费用÷燃油车相同里程下的所需费用即可得答案.

【详解】

解：（1）设新能源汽车续航单价为x 元/公里，则燃油车续航单价为（x+0.6）元/公里，依

题可得：

300x ：3000.6x

+ =4：1， 解得：x=0.2， ∴燃油车续航单价为：x+0.6=0.2+0.6=0.8（元/公里），

答：新能源汽车续航单价为0.2元/公里，燃油车续航单价为0.8元/公里.

（2）依题可得新能源汽车400公里所需费用为：

0.48×55=26.4（元），

∴新能源汽车每公里所需电电费为：

26.4÷400=0.066（元/公里），

依题可得燃油汽车400公里所需费用为：

400×0.8=320（元），

∴新能源汽车与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比为：

26.4÷320=0.0825=8.25%.

答：新能源汽车每公里所需电电费为0.066元；新能源汽车与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比为8.25%.

【点睛】

本题主要考查了分式方程的实际应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

5．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．甲工程队施工一天，需付工程款1万元；乙工程队施工一天，需付工程款0.6万元．根据甲、乙工程队的投标书测算，可有三种施工方案：

（A ）甲队单独完成这项工程，刚好如期完成；

（B ）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用4天；

（C ）若甲、乙两队合做3天后，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．

为了节省工程款，同时又能如期完工，你认为应选择哪一种方案？并说明理由．

【答案】为了节省工程款，同时又能如期完工，应选C 方案．

【解析】

试题分析：设完成工程规定工期为x 天，根据等量关系：甲、乙两队合做3天后，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工，列方程，求解即可得到甲、乙工程队单独完成所需的天数，然后求出每种方案所需的工程款，比较即可得出结论．

试题解析：解：设完成工程规定工期为x 天，依题意得： 1133()144

x x x x -+

+=++ 解得：x =12． 经检验，x =12符合原方程和题意，∴x +4=16．

∴甲工程队单独完成需12天，乙工程队单独完成需16天．

∵B 方案不能按时完成，∴要舍弃．

A 方案的工程款为12×1=12（万元），C 方案的工程款为3×1＋12×0.6=10.2（万元），

∴应选C 方案． 答：为了节省工程款，同时又能如期完工，应选C 方案． 6．探索：（1）如果32311x m x x -=+++，则m=_______； （2）如果53522

x m x x -=+++，则m=_________； 总结：如果

ax b m a x c x c +=+++（其中a 、b 、c 为常数），则m=________； （3）利用上述结论解决：若代数式

431

x x --的值为整数，求满足条件的整数x 的值． 【答案】（1）-5；（2）-13 ； b -ac ;（3）0或2

【解析】

试题解析： ()323(1)55133.1111

x x m x x x x -+-==-=+++++ 5.m ∴=-

()535(2)1313255.2222

x x m x x x x -+-==-=+++++ 13.m ∴=-

总结：().ax b a x c b ac b ac m a a x c x c x c x c

+++--==+=+++++ .m b ac ∴=-

()434(1)1134.111

x x x x x --+==+--- 又∵代数式

431x x --的值为整数， 11

x ∴-为整数， 11x ∴-=或11x -=-

2x ∴=或 0.

7．某建设工程准备招标，指挥部现接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍；该工程若由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成.

（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？

（2）已知甲队每天的施工费用为0.67万元，乙队每天的施工费用为0.33万元，该工程预算的施工费用为19万元.为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，问：该工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需要追加预算多少万元？请说明理由.

【答案】（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需要30天和60天（2）工程预算的施工费用不够用，需追加预算1万元

【解析】

【分析】

（1）求的是工效，时间较明显，一定是根据工作总量来列等量关系，等量关系为：甲6天的工作总量+甲乙合作16天的工作总量=1；

（2）应先算出甲乙合作所需天数，再算所需费用，和19万进行比较．

【详解】

解：（1）设甲队单独完成这项目需要x天，

则乙队单独完成这项工程需要2x天，

根据题意，得611

161 x x2x

??

++=

?

??

，

解得x＝30

经检验，x＝30是原方程的根，

则2x＝2×30＝60

答：甲、乙两队单独完成这项工程各需要30天和60天．（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，

则有

11

y1

3060

??

+=

?

??

，

解得y＝20

需要施工费用：20×（0.67+0.33）＝20（万元）

∵20＞19，∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算1万元．

【点睛】

本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式：工作总量=工作效率×工作时间．

8．某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成;若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1．5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．

(1)这项工程的规定时间是多少天?

(2)为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲、乙两队合作完成该工程需要多少天?

【答案】（1）这项工程的规定时间是30天；（2）甲乙两队合作完成该工程需要18天．【解析】

【分析】

(1)设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x 天完工，依题意列方程即可解答；（2）求出甲、乙两队单独施工需要的时间，再根据题意列方程即可.

【详解】

(1)设这项工程的规定时间是x 天，则甲队单独施工需要x 天完工，乙队单独施工需要1.5x 天完工，依题意，得:

1551511.5x x

++=． 解得: 30x =，

经检验， 30x =是原方程的解，且符合题意．

答:这项工程的规定时间是30天．

(2)由(1)可知:甲队单独施工需要30天完工，乙队单独施工需要45天完工， 111()183045

÷+=（天）， 答:甲乙两队合作完成该工程需要18天．

【点睛】

本题考查分式方程的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键.

9．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，乙工程队工程款1万元．工程领导小组根据甲，乙两队的投标书测算，有如下方案：

（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；

（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用12天；

（3）若甲，乙两队合做6天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．

试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．

【答案】在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．

【解析】

【分析】

关键描述语为：“甲，乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成”；说明甲队实际工作了3天，乙队工作了x 天完成任务，工作量=工作时间×工作效率等量关系为：甲3天的工作量+乙规定日期的工作量=1列方程．再看费用情况：方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，可以求费用，方案（2）显然不符合要求．

【详解】

解：设规定日期为x 天．由题意得

66611212

x x x x -++=++， ∴6112

x x x +=+， ∴2267212x x x x ++=+，

∴12x =；

经检验：x=12是原方程的根．

方案（1）：2.4×12=28.8（万元）；

方案（2）比规定日期多用12天，显然不符合要求；

方案（3）：2.4×6+1×12=26.4（万元）．

∵28.8＞26.4，

∴在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．

【点睛】

本题考查了分式方程的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键．在既有工程任务，又有工程费用的情况下．先考虑完成工程任务，再考虑工程费用．

10．某商家用1200元购进了一批T恤，上市后很快售完，商家又用2800元购进了第二批这种T恤，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了5元．

（1）该商家购进的第一批T恤是多少件？

（2）若两批T恤按相同的标价销售，最后剩下20件按八折优惠卖出，如果希望两批T恤全部售完的利润率不低于16%（不考虑其它因素），那么每件T恤的标价至少是多少元？【答案】（1）商家购进的第一批恤是40件；（2）每件恤的标价至少40元．

【解析】

【分析】

（1）可设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，根据第二批这种衬衫单价贵了5元，列出方程求解即可；

（2）设每件衬衫的标价y元，求出利润表达式，然后列不等式解答．

【详解】

（1）解：设购进的第一批恤是x件．

由题意，得12002800

5

2

x x

=-

解得x＝40．

经检验，x＝40是所列方程的解．

所以商家购进的第一批恤是40件．

（2）设每件的标价是y元

由题意，（40＋40×2－20）y＋0.8×20y≥（1200＋2800）（1＋16%）

解得y≥40．

即每件恤的标价至少40元．

【点睛】

本题考查的知识点是分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题关键是弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程．