利用一次函数解决实际问题--教学设计
课题：一次函数解决问题
沪科版八年级上册《第12章一次函数》
教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
利用一次函数解决实际问题.
2.内容解析
一次函数是最基本的初等函数之一，是学习后续各类函数的基础.一次函数的核心内容是一次函数的概念、图象和性质以及应用.一次函数的图象和性质的核心，是图象“特征”、函数“特征”以及它们之间相互转化关系，这也是一次函数的本质属性所在.一次函数图象和性质，本身就是“数”与“形”的统一体.通过对实际问题图象的研究和分析，可以确定函数本身的性质，体现了数形结合的思想方法.
本节课内容属于《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的“数与代数”领域，是在已经学习了一次函数的图象和性质的基础上,由一个贴近学生生活的中国渔政执法视频开始，利用问题串的形式，用一次函数的相关知识来解决实际问题.在具体的探究过程中，先由分析图象开始，并由分析所得的信息解决相关的实际问题，再利用几何画板将图象进行变化，由此分析其操作的实际意义并衍生处两个新的问题，最终利用一次函数的知识解决这两个问题.在解决实际问题的过程中，体会运用一次函数解决实际问题的作用，初步体验建立函数模型的过程和方法.
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：分析实际问题的图象，利用一次函数解决具
体问题.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）掌握并运用一次函数的图象和性质，体会数形结合思想和建立函数模型研究数学问题的基本方法.
（2）通过对实际问题图象的分析，进一步加深对一次函数性质的理解.
（3）能够从实际问题中抽象出一次函数关系，并运用一次函数及其性质解决实际问题，发展学生的应用意识.
2.目标解析
（1）从复习一次函数的图象和性质开始，不断渗透图象中k、b、交点坐标的实际意义，体会并利用数学结合的思想来解决问题。
（2）对于问题情境中给出的三个问题，以及衍生的两个变式，无一不是通过对函数图象的分析，结合一次函数的性质来解决。在这样的过程中，巩固对性质的理解。
（3）对于前面所学的一次函数的图象和性质，能够运用其解决具体的实际问题，这是本节课的目标。而给出的一次函数的图象，能够将其进行动态变化，并能分析其中的含义，是对图象和性质的更高要求，提高了学生对函数思想和方法的掌握。
三、教学问题诊断分析
在本节课之前，学生已经学习了一次函数的图象和性质.本节课，学生将进一步研究一次函数图象和性质，并利用其解决生活中的实际问题，学生在对函数图象分析中，是否能够将所学的知识与实际问题相联系，并利用一次函数的性质解决，将是本节课的难点.
基于以上分析，本节课的教学难点是：理解实际问题中一次函数的模型，并利用所学知识解决问题.
四、教学支持条件分析
根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，以几何画板软件为平台，通过动态的演示，发现函数图象蕴含的实际问题，并结合所学的知识解决.
五、教学过程设计
家能说出k和b在图中的意义吗？
学生回答。
师：加入了一次函数y=0.5x之后，两个图象的交点坐标大家会求吗？请动手试一试。
学生求解出交点坐标。
师追问：交点坐标的意义是什么？什么时候y1>y2，什么时候y1 学生回答。备。同时加强对k、交点坐标等知识点的强调，为后续探究埋下伏笔。 活动2 观看视频，展示问题 1、观看视频 2、给出问题 问题：我国执法船接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，执法船迅速派出快艇B 追赶。 师：数学来源于生活，应用于生 活。下面我们就一起来看看一次函数 在具体问题中的应用，请同学们先看 视频。 学生观看中国渔政执法视频。 师展示问题。 通过中国渔 政执法视频的展 示，体现数学来 源于生活，同时 抒发爱国情怀， 引导学生进入数 学学习。 活动3 分析图象，解决问题 下图两条直线分别表示两船相对于海岸的距离s（海里）与追赶时间t（分）之间的关系。（1）从图中你能得到哪些信息？ (2)15分钟内，B能否追上A? 师：下图两条直线分别表示两船 相对于海岸的距离s（海里）与追赶 时间t（分）之间的关系。 从图中你能得到哪些信息？ 学生通过观察图形，从特殊点、 图象的倾斜程度、函数关系式等方面 分析并回答。 师：同学们从图中得到了很多信 息，接下来我们就来看看是否能用这 些信息解决下面两个问题：15分钟 内，B能否追上A? 问题（1）的 设计是为了后续 两个问题做准 备，同时进一步 提高学生对图象 的分析能力。 问题（2）是 一次函数解决问 题最基本方法的 体现，学生可以 （3）当A逃到距离海岸12海里以外的公海时，B将无法对其进行检查，照此速度，B能否在A逃入公海前将其拦截? 学生上台板书计算判断的过程。 师：当A逃到距离海岸12海里 以外的公海时，B将无法对其进行检 查，照此速度，B能否在A逃入公海 前将其拦截? 学生回答。（可利用上一问的结 果进行本小题的解决） 通过诸如函数等 多种方法解答。 问题（3）是 在前两小题的基 础上进行解答， 体现的问题的层 层递进，不断加 深对函数思想的 理解和函数方法 的掌握。 活动4 探索变式，提升能力 变式1：若我国执法船发现可疑船只A的时候，A船距离海岸m海里，派出的追赶快艇B和A船的速度不变，要保证B还能在A进入公海前将其拦截，则m的最大值是多少？ 变式2：若A将速度提高至Va，B 要保证A逃到公海前将其拦截，B 也将速度提高至Vb，那么Va和Vb需要满足什么条件? 师：刚刚同学们利用所学的一次 函数的知识很好的解决了给出的问 题，我们知道，实际问题充满了变化， 若将l1向上平移，这样的操作从实际 意义来看，什么发生了改变，什么没 有改变？ 学生感知后，思考回答。 师追问：若我国执法船发现可疑 船只A的时候，A船距离海岸m海里， 派出的追赶快艇B和A船的速度不 变，要保证B还能在A进入公海前将 其拦截，则m的最大值是多少？ 先由一名学生上台操作几何画 板，找到m最大值的情况。 学生再计算后回答。 师操作：拉动交点P的位置。 师：这样的操作从实际意义来 看，什么发生了改变，什么没有改 变？ 学生回答。 师追问：我们知道，在被发现时 间固定的情况下，A船想要逃跑，必 须加速。但我们的执法B船肯定会圆 满完成任务，顺利拦截。 若A将速度提高至Va，B要保证 A逃到公海前将其拦截，B也将速度 提高至Vb，那么Va和Vb需要满足什 通过几何画 板的操作，既巩 固了在平移操作 中函数k的不变 性，也让学生通 过操作发现了拦 截的不同情况。 如此动态的变 化，让学生更能 感知到数学的魅 力。 变式2的处 理具有一定的难 度，通过讨论加 强了学生的思想 碰撞，也提升了 本节课的高度， 让学生感受到建 模的思想。 么条件? 学生讨论后，板书，回答。 活动5 课堂小结 通过今天的学习，你有什么 体会或收获？ 让学生完成本节课知识与方法 的小结，再次巩固本节课的内容。 师小结：这节课我们从欣赏轴对 称图形开始，通过折叠这一操作研究 了轴对称的概念和性质。折叠这一操 作对应的数学概念是轴对称，由此产 生许多相等的几何量（拿起学生制作 的等腰三角形），它又有什么性质 呢？你能观察到吗？我们将在明天 进一步学习轴对称图形的性质。 及时总结回 顾，帮助学生构 建新知识，培养 学生的归纳能力 和口头表达能 力。 活动6 课后思考及作业 （1）回顾本节课的所有问题 及变式，与同伴探讨尝试提出新 的问题并解决。 （2）课本P44：练习1,2 教师布置作业，学生课后完成。巩固并提升所学 知识。 板书设计 课题 学生板书问题（2）学生板书变式2 s=0.2t+5 Va=0.2 s=0.5t Vb=0.5 六、目标检测设计 课本62页：A组复习题第11题. 如图，甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地行驶，两地之间的距离是60 km，请根据图象回答： （1）乙骑摩托车的速度是多少？ （2）甲骑自行车的速度是多少? （3）两人相遇的时候，距B地还有多远？ （4）乙比甲晚多少时间出发，又早到多少时间？ 设计意图：让学生体会一次函数在生活中的广泛应用，学习利用一次函数的知识解决问题.