创作编号：
GB8878185555334563BT9125XW
创作者： 凤呜大王*
拓广训练：
1、已知3->a ，试讨论a 与3的大小
2、已知两数b a ,，如果a 比b 大，试判断a 与b 的大小
4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。
例5： 有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示，式子c b b a b a -++++化简结果为（ ）
A ．c b a -+32
B ．c b -3
C ．c b +
D ．b c -
拓广训练：
1、有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示，则化简c c a b b a ------+11的结果为 。
2、已知b b a b a 2=-++，在数轴上给出关于b a ,的四种情况如图所示，则成立的
①
②
③
④
3、已知有理数c
b a ,,在数轴上的对应的位置如下图：则b a
c a c -
+-+-1化简后的结果是（ ）
（湖北省初中数学竞赛选拨赛试题）
A ．1-
b B ．12--b a C ．
c b a 221--+ D ．b c +-21 三、培优训练
1、已知是有理数，且()
()01212
2
=++-y x ，那以y x +的值是（ ）
A ．
21 B ．23 C ．21或2
3
- D ．1-或23 2、（07乐山）如图，数轴上一动点A 向左移动2个单位长度到达点B ，再向右移动5
个单位长度到达点C ．若点C 表示的数为1，则点A 表示的数为（ Ａ．7 Ｂ．3 Ｃ．3- Ｄ．2-
3、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数d c b a ,,,且102=-a d A ．A 点 B ．B 点 C ．C 点 D ．D 点
4、数d c b a ,,,所对应的点A ，B ，C ，D 在数轴上的位置如图所示，那么c a +与d
b +
的大小关系是（ ）
A ．d b c a +<+
B ．d b c a +=+
C ．d b c a +>+
D ．不确定的 5、不相等的有理数c b a ,,在数轴上对应点分别为A ，B ，C ，若c a c b b a -=-+-，那么点B （ ）
A ．在A 、C 点右边
B ．在A 、
C 点左边 C ．在A 、C 点之间
D ．以上均有可能
6、设11++-=x x y ，则下面四个结论中正确的是（ ）（全国初中数学联赛题）
A ．y 没有最小值
B ．只一个x 使y 取最小值
C ．有限个x （不止一个）使y 取最小值
D ．有无穷多个x 使y 取最小值 7、在数轴上，点A ，B 分别表示31-
和5
1
，则线段AB 的中点所表示的数是 。 8、若0,0<>b a ，则使b a b x a x -=-+-成立的x 的取值范围是 。
9、x 是有理数，则221
95
221100++-
x x 的最小值是 。 10、已知d c b a ,,,为有理数，在数轴上的位置如图所示：
且,64366====d c b a 求c b a b d a -+---22323的值。
11、（南京市中考题）(1)阅读下面材料：
点A 、B 在数轴上分别表示实数b a ,，A 、B 两点这间的距离表示为AB ，当A 、B 两点
中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，b a b OB AB -===；当A 、B 两点都不在原点时，
①如图2，点A 、B 都在原点的右边b a a b a b OA OB AB -=-=-=-=； ②如图3，点A 、B 都在原点的左边()b a a b a b OA OB AB -=---=-=-=
； ③如图4，点A 、B 在原点的两边()b a
b a b a OB OA AB -=-+=+=+=。
B A
O
B
(A)
O B
A
O
o
A
O
o
综上，数轴上A 、B 两点之间的距离b a AB -=。 （2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是 ，如果2=AB ，那么x 为 ；
③当代数式21-++x x 取最小值时，相应的x 的取值范围是 ； ④求1997321-+???+-+-+-x x x x 的最小值。
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聚焦绝对值
一、阅读与思考
绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面： 1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。
脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。
去绝对值符号法则：
()()()
0000
<=>??
???-=a a a a a a 2、恰当地运用绝对值的几何意义
从数轴上看a 表示数a 的点到原点的距离；b a -表示数a 、数b 的两点间的距离。 3、灵活运用绝对值的基本性质 ①0≥a ②22
2a a
a == ③
b a ab ?= ④
()0≠=b b
a b a
⑤b a b a +≤+ ⑥b a b a -≥-
二、知识点反馈 1、去绝对值符号法则
例1：已知3,5==b a 且a b b a -=-那么=+b a 。
拓广训练：
1、已知,3,2,1===c b a 且c b a >>，那么()=-+2
c b a 。（北京市
“迎春杯”竞赛题）
2、若5,8==b a ，且0>+b a ，那么b a -的值是（ ）
A ．3或13
B ．13或-13
C ．3或-3
D ．-3或-13 2、恰当地运用绝对值的几何意义
例2： 11-++x x 的最小值是（ ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．-1 解法1、分类讨论
当1--=--+-=-++x x x x x ； 当11≤≤-x 时，()21111=--+=-++x x x x ； 当1>x 时()221111>=-++=-++x x x x x 。 比较可知，11-++x x 的最小值是2，故选A 。
解法2、由绝对值的几何意义知1-x 表示数x 所对应的点与数1所对应的点之间的距离；1+x 表示数x 所对应的点与数-1所对应的点之间的距离；11-++x x 的最小值是指x 点到1与-1两点距离和的最小值。如图易知
当11≤≤-x 时，11-++x x 的值最小，最小值是2故选A 。 拓广训练：
1、 已知23++-x x 的最小值是a ，23+--x x 的最大值为b ，求b a +的值。
三、培优训练
1、如图，有理数b a ,在数轴上的位置如图所示：
则在4,2,,,2,--+---+b a b a a b a b b a 中，负数共有（ ）（湖北省荆州市竞赛题）
A ．3个
B ．1个
C ．4个
D ．2个 2、若m 是有理数，则m m -一定是（ ） A ．零 B ．非负数 C ．正数 D ．负数
3、如果022=-+-x x ，那么x 的取值范围是（ ）
A ．2>x
B ．2C ．2≥x
D ．2≤x
4、b a ,是有理数，如果b a b a +=-，那么对于结论（1）a 一定不是负数；（2）b 可能是负数，其中（ ）（第15届江苏省竞赛题）
A ．只有（1）正确
B ．只有（2）正确
C ．（1）（2）都正确
D ．（1）（2）都不正确
5、已知a a -=，则化简21---a a 所得的结果为（ ） A ．1- B ．1 C ．32-a D ．a 23-
6、已知40≤≤a ，那么a a -+-32的最大值等于（ ）
A ．1
B ．5
C ．8
D ．9 7、已知c b a ,,都不等于零，且abc
abc
c c b b a a x +++=
，根据c b a ,,的不同取值，x
有（ ）
A ．唯一确定的值
B ．3种不同的值
C ．4种不同的值
D ．8种不同的值 8、满足b a b a +=-成立的条件是（ ）（湖北省黄冈市竞赛题） A ．0≥ab B ．1>ab C ．0≤ab D ．1≤ab 9、若52<x
x x
x x x +
---
--2255的值为 。
10、若0>ab ，则
ab
ab b
b a
a -+
的值等于 。
11、已知c b a ,,是非零有理数，且0,0>=++abc c b a ，求abc
abc
c c b b a a +++的值。
12、已知d c b a ,,,是有理数，16,9≤-≤-d c b a ，且25=+--d c b a ，求
c d a b ---的值。
13、阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道()
()()
0000
<=>??
?
??-=x x x x x x ，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式21-++x x 时，可令01=+x 和02=-x ，分别求得
2,1=-=x x （称2,1-分别为1+x 与2-x 的零点值）。在有理数范围内，零点值
1-=x 和2=x 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
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（1）当1-综上讨论，原式=()()()
2211123
12≥<≤--
?
??-+-x x x x x 通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1） 分别求出2+x 和4-x 的零点值；（2）化简代数式42-++x x
14、（1）当x 取何值时，3-x 有最小值？这个最小值是多少？（2）当x 取何值时，25+-x 有最大值？这个最大值是多少？（3）求54-+-x x 的最小值。
（4）求987-+-+-x x x 的最小值。
15、某公共汽车运营线路AB 段上有A 、D 、C 、B 四个汽车站，如图，现在要在AB 段上修建一个加油站M ，为了使加油站选址合理，要求A ，B ，C ，D 四个汽车站到加油站M 的路程总和最小，试分析加油站M 在何处选址最好？
A D C B
16、先阅读下面的材料，然后解答问题：
在一条直线上有依次排列的()1>n n 台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P ，使这n 台机床到供应站P 的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：
① ②
如图①，如果直线上有2台机床（甲、乙）时,很明显P 设在1A 和2A 之间的任何地方都行,因为甲和乙分别到P 的距离之和等于1A 到2A 的距离.
如图②,如果直线上有3台机床(甲、乙、丙)时，不难判断，P 设在中间一台机床2A 处最合适，因为如果P 放在2A 处，甲和丙分别到P 的距离之和恰好为1A 到3A 的距离；而如果P 放在别处，例如D 处，那么甲和丙分别到P 的距离之和仍是1A 到3A 的距离，可是乙还得走从2A 到D 近段距离，这是多出来的，因此P 放在2A 处是最佳选择。不难知道，如果直线上有4台机床，P 应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P 应设在第3台位置。
问题（1）：有n 机床时，P 应设在何处？
问题（2）根据问题（1）的结论，求617321-+???+-+-+-x x x x 的最小值。
有理数的运算
一、阅读与思考
A 2
乙
P
（P ）
1
2
在小学里我们已学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算。 数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速成度，有理数的计算常用的技巧与方法有：1、利用运算律；2、以符代数；3、裂项相消；4、分解相约；5、巧用公式等。 二、知识点反馈
1、利用运算律：加法运算律()()??
?
++=+++=+c
b a
c b a a b b a 加法结合律加法交换律乘法运算律()()()??
???+=+??=???=?ac ab c b a c b a c b a a b b a 乘法分配律乘法结合律乘法交换律 例1：计算：
??? ?
?
--+-??? ??---32775.2324523 解：原式=15.175.56.4375.26.43
2
775.23246.4-=-=--=---++ 拓广训练：
1、计算（1）11
5
292.011275208.06.0+
+--+
-- （2）4
9
41911764131159431+++??? ??+-??? ??+-+
例2：计算：5025249
???
?
??
- 解：原式=()49825005025150105025110-=--=??
?
???-?-=???? ?
?-- 拓广训练：
1、 计算：()??? ?
?---????514131215432
2、裂项相消 （1）
b a ab b a 1
1+=+；
（2）()11111+-=+n n n n ；（3）()m n n m n n m +-=+11 （4）
()()()()()
21111212++-+=++n n n n n n n
例3、计算
2010
20091
431321211?+
???+?+?+? 解：原式=??
? ??-+???+??? ??-+??? ??-+??? ?
?-2010120091
41313121211
=20101
2009141313121211-
+???+-+-+-
=2010
2009
201011=
- 拓广训练： 1、计算：2009
20071
751531311??
??+?+?+?
3、以符代数 例4：计算：??
? ??-+÷??? ??-+39385271781712133937111712727717 解：分析：397610393711,17242617127,27341627717
=== 令A =3938527178171213-+，则A 239
76
101724262734163937111712727717=-+=-+
原式=22=÷A A
拓广训练： 1
、
计
算
：
??
? ?????++???? ?????+++-??? ?????+++???? ??+???++200513121200613121120051312112006131
21
4、分解相约
例5：计算：2
93186293142842421??
?
????+???+??+????+???+??+??n n n n n n
解
：
原
式
=()()()()2
93193129314214212421???? ????+???+???+????+???+???+??n n =()()2
2193121421??
????+???++???+???++???n n =729649314212
=
??
? ?????? 三、培优训练
1、a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的有理数，则2008
2009
2007
b a += 。
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2、计算：（1）
1999
19971
971751531?+
???+?+?+?= ； （2）
()()()()[]
??
?
??-÷-÷-+--?-24
3
4
31622825.0= 。 3、若a 与b -互为相反数，则ab
b a 199********
2+= 。
4、计算：
??? ??+???++
+???+??? ??+++??? ??++989798
3981
656361434
121= 。 5、计算：10
9
8
7
6
5
4
3
2
2222222222+--------= 。
6、99
98
,19991998,9897,19981997-
---
这四个数由小到大的排列顺序是 。
7、（ “五羊杯”）计算：86.66.68686.06284.3114.3?+?+?=（ ） A ．3140 B ．628 C ．1000 D ．1200
8、（ “希望杯”）
30
28864215
144321-+???-+-+-+-???+-+-等于（ ）
A ．41
B ．41-
C ．21
D ．2
1-
9、（ “五羊杯”）计算：4
5.418922
35.2465÷?+÷?÷?+÷?=（ ）
A ．25
B ．310
C ．920
D ．9
40
10、（2009鄂州中考）为了求2008
3
2
2
221++++ 的值，可令S ＝
2008322221++++ ，则2S ＝20094322222++++ ，因此2S-S ＝122009-，
所以2008
322221++++ ＝12
2009
-仿照以上推理计算出2009
325551++++ 的值是（ ）
A 、1
52009
-
B 、15
2010
- C 、41
52009-
D 、4152010-
11
、
2004
321,,,a a a a ???都是正数，如果()()
200432200321a a a a a a M +???++?+???++=，
()()200332200421a a a a a a N +???++?+???++=，那么N M ,的大小关系是（ ）
A ．N M >
B ．N M =
C ．N M <
D ．不确定
12、设三个互不相等的有理数，既可表示为a b a ,,1+的形式，又可表示为b a
b
,,0的形式，求20001999
b a +的值（“希望杯”邀请赛试题）
13、计算
（1）()000000164
.05700006.019.000036.07.5?-?-?（2009
年第二十届“五
羊杯”竞赛题）
（2）()()()()()??
? ??-÷????????-÷-+-?-
??? ??-+-?-24
2
3431625.6134313825.0（北京市“迎春杯”竞赛题）
14、已知n m ,互为相反数，b a ,互为负倒数，x 的绝对值等于3，
求()()()2003
2001
231ab x
n m x ab n m x -++++++-的值
15
、
已
知
22=-+-a ab ，求
()()()()
()()200620061
2211111+++???+++++++b a b a b a ab 的值
（香港竞赛）
16、（2007，无锡中考）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n 层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为
(1)
1232
n n n ++++
+=
．
图１ 图2 图 3 图4
如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1234，，，，，则最底层最左边这个圆圈中的数是
；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数23-，
22-，21-，
，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．
【专题精讲】
【例1】计算下列各题
⑴ 32
333333251233()0.750.5()(1)()4()44372544
-?+?-+??+÷-
⑵ 12
713
9
2
3(0.125)(1)(8)()3
5
-?-?-?-
【例2】
计算：
1234567891011122005200620072008--++--++--++
+--+
第2层 第1层 …… 第n 层
【例3】计算：⑴
11111126122030
9900
++++++
⑵
1111
133557
99101
++++????
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反思说明：一般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是两个整数的积，且每
个分母中因数差相同，可以用裂项相消法求值。 ①
111(1)1n n n n =-++ ②
1111
()()n n k k n n k
=-++
③
1111
[]
(1)(2)2(1)(1)(2)
n n n n n n n =-+++++ ④
1111
()(1)(1)211
n n n n =--+-+
【例4】（第18届迎春杯）计算：111
1248
1024
+++
+
【例5】计算：
1121231234123
5859()()()(
)2334445555
606060
6060
+++++++++++++++
+
【例6】（第8届“希望杯”）计算：
1111111111111
1(1)()(1)()2320092342010232009201023
2009
--+-+++---+
-
-+++
【例7】请你从下表归纳出333331234n ++++
+的公式并计算出：
33333123450++++
+的值。
【实战演练】
1、用简便方法计算：999998998999998999999998?-?= 2
、
（
第
10
届
“
希
望
杯
”
训
练
题
）
11
111
(
1)(1)(1)(1)(1)20042003100210011000
-?-??-?-?-= 3
、
已
知
199919991999200020002000200120012001,,199819981998199919991999200020002000a b c ?-?-?-=-
=-=-
?+?+?+则abc =
4、计算：11
1
111315131517
293133
++
+
=??????
5、（“聪明杯”试题）2
12424824()139261839n n n n n n
??+??++??=??+??++??
6、111
11
(1)(1)(1)(1)(1)132435
1998200019992001
+
+++
+?????的值得整数部
分为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 提示：2
2
(1)21n n n +=++ 7、48121640
13355779
1921
-+-+-
=?????
8、计算：2
3
201012222S =+++++
123452468
10369
1215
4
8
1216
20
510152025
