《复数 正弦量的相量表示》
《复数 正弦量的相量表示》 1．复数的实部、虚部和模
复数叫虚单位，数学上用i 来代表它，因为在电工中i 代表电流，所以改用j 代表虚单位，即j=-1。
如图4.5所示，有向线段A 可用下面的复数
表示为 A =a +j b
图4.5 有向线段的复数表示 由图4.5可见，
r 表示复数的大小，称为复数的模。有向线段与实轴正方向间的夹角，称为复数的幅角，用Φ表示，
规定幅角的绝对值小于180°。
2．复数的表达方式
复数的直角坐标式 ：
复数的指数形式 ：
复数的极坐标形式 ：
实部相等、虚部大小相等而异号的两个复数叫做共轭复数。用A *表示A 的共轭复数， 则有 A =a +j bA *=a-j b
例 写出下列复数的直角坐标形式。 5∠48°；1∠90°； 解：
复 数 的 运 算 1复数的加减
若两个复数相加减，可用直角坐标式进行。如：A 1=a 1+j b 1 A 2=a 2+j b 2
则 A 1±A 2=（a 1+j b 1）±a 2+j b 2）=（a 1±a 2）+j （b 1±b 2）
即几个复数相加或相减就是把它们的实部和虚部分别相加减。 复数与复平面上的有向线段（矢量）对应，
复数的加减与表示复数的有向线段（矢量）的加减相对应， 并且复平面上矢量的加减可用对应的复数相加减来计算。
2．复数的乘除
两个复数进行乘除运算时，可将
其化为指数式或极坐标式来进行。
)sin (cos sin cos ????j r jr r jb a A +=+=+=?
j re A =?∠=r A 72
.335.348sin 548cos 5485j j +=?+?=?∠（1）
j
j =?+?=?∠90sin 90cos 901（2） A 1=a 1+jb 1= 11?
∠r A 2=a 2+jb 2
=
22?∠r
)(212
1221121????-∠=∠∠=r r r r A A 22b a r +=
如将复数A 1=re j φ乘以另一个复数e j α则得
同理，如以e j α除复数A 1=re j φ，则得A 1=re j φ-α
相量法
正弦量的表示方法：
三角函数式：
波 形 图：相 量 法： 用复数的方法表示正弦量
一个正弦量可以用旋
转的有向线段表示。 有向线段的长度表示正弦量的幅值；
有向线段(初始位置)与横轴的夹角表示正弦量的初相位;有向线段旋转的角速度表示正弦量的角频率。
正弦量的瞬时值由旋转的有向线段在纵轴上的投影表示。 在正弦交流电路中，用复数表示正弦量，并用于正弦交流电路分析计算 的方法称为相量法。设有一正弦电压
图4.7 用正弦波形和旋转有向线段来表正弦量
有向线段可以用复数表示。有向线段OA 可用复数形式表示： 直角坐标式： 指数式：
极坐标式式：
复数的加减运算可用直角坐标式，乘除法运算可用指数式或极坐标式。
一个正弦量可以用旋转的有向线段表示，而有向线段可以用复数表示，因此正弦量可以用复数来表示。
为了与一般的复数相区别，我们把表示正弦量的复数称为相量。 复数的模表示正弦量的幅值或有效值
A 2= r
?j e α
j e
)
j(α?+e
=
????∠==+=m
m m m )sin j (cos U e U U U j ()
ψω+=t I i m
sin
O
()ψψsin cos j r jb a A +=+=ψ
j re A =ψ∠=r A )sin(m ?
ω+=t U u
复数的辐角表示正弦量的初相位.于是表示正弦电压u=U m sin （ωt+φ）的相量为：
或
注意： 相量用上面打点的大写字母表示。
把表示各个正弦量的有向线段画在一起就是相量图，
它可以形象地表示出各正弦量的大小和相位关系。
电压相量 比电流相量 超前 角 如右图
注意：
1. 只有正弦周期量才能用相量表示。
2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上。 例题 在如图所示的电路中，设：
求总电流 i
[解](1)用复数形式求解。根据基尔霍夫电流定律
（2）用相量图求解： 画出相量图，并作出平
行四边形，其对角线即是总电流。
????∠==+=U Ue U U j )sin j (cos ψ２ψ１
? U
U I ?A
)sin()sin(A )sin()sin(?=+=?+=+=306045100221111－t t I i t t I i m m ωψωωψ
ω()(
)
()()A
.. .. sin cos sin cos 02183045212112974071223052770770306030604510045100601002
1
'
-=+=-++=-++=+=+=+=
j j j j m j m m m m e
j j j j e
e e I e I I I I ψψ+j
+1