华南农业大学现代控制理论期末考试试卷
华南农业大学现代控制理论期末考试试卷2007 学年第1 学期考试科目：自动操纵原理II
考试类型：闭卷考试时刻：120分钟
学号姓名年级专业
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总分得分
评阅人
1、已知下图电路，以电源电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R
2
上的电压为输出量的输出方程。并画出相应的模拟结构图。（10分）
解：（1）由电路原理得：
1
1
2
2
12
1
111
2
22
11
1
11
L
L c
L
L c
c
L L
di R
i u u
dt L L L
di R
i u
dt L L
du
i i
dt c c
=--+
=-+
=-
22
2
R L
u R i
=
11
22
1
11
1
2
22
1
01
1
00
11
L L
L L
c c
R
i i
L L
L
R
i i u
L L
u u
c c
??
--??
????
??
??
????
??
??
????
??
=-+??
????
??
??
????
??
??
????
??
??
-
????
??????
??
??
[]1222
00L R L c i u R i u ??????=??????????
（2）模拟结构图为：
2、建立下列输入－输出高阶微分方程的状态空间表达式。（8分）
322y y y y u u u +++=++
解：方法一：
12301233,2,10,1,2,1
a a a
b b b b =======
()001110221120331221300
1301
231201
13121102
b b a b a a b a a a ββββββββββ===-=-?==--=-?-?=-=---=-?--?-?=
()010100111232100x x u y x ?????? ? ?=+-? ? ?? ? ?---?????
?=?
方法二：
?
?
?
1
L
i c u
u 2
L
2
()23221
321
s s g s s s s ++=+++系统的传递函数为
()010000101231121x x u
y x ?????? ? ?=+? ? ?? ? ?---?????
?=?能控型实现为
()00111
0220
131001x x u
y x
?-????
? ? ?=-+? ? ?? ? ?-????
?
?=?
或能观型实现为
3、将下列状态空间表达式化为对角标准型，并运算其传递函数（10分） 解：（1）
[]11202???013??11P AP P Bu u y CP ---????=+=+????
????==x x x x
x
（2）[]1
12
114
()()1023132
s s G s C SI A B s s s ---????-=-==????---+????
4、求定常操纵系统的状态响应（10分）
()()()()()()0101,0,0,11210x t x t u t t x u t t ??????=+≥== ? ? ?--??????
解：
11t t t At t t
t t t
t e te te e e t t te e te -------+??+??== ? ?----??
?
? ()()()()0
100t A t s At
x t e x e
bu s ds -??=+= ???
?
()011,10231x x u y x
????=+= ? ?--????
5、设系统的状态方程及输出方程为
110001010111x x u ????
????=+????????-????
[]001y x =
试判定系统的能控性和能观性。（10分）
解：（1） 2c u B
AB
A B ??=??
012111101??
??=????-??
，秩为2， 系统状态不完全能控。
（2）2001011021o C u CA CA ????????==-????
???
?-????，秩为2 系统状态不完全能观。
6、已知系统 u x x ??
????+??????=110011
试将其化为能控标准型。（10分）
解：1210c u ??=??
??
，1
1
12201c u -??=??-??
[][][]1
1
1
12
21122010101c p u -??===-??-??
[
][]1111212
2
2
2
1100p p A ??==-=????
112
211
12
211,11P P --????
==????-????
能控标准型为u x x ??
????+??????=101010
7、应用Lyapunov 第一方法分析非线性系统在平稳状态的稳固性（10分）
11
32122
x x x x x x =-=--
解：（1）求平稳点
120
x x == 因此平稳点为：(0,0)
（2）雅克比矩阵为111
22110(,)113n T n n n f f x x f x t x x f f x x ????
??
???
?-??
?==?
????--?
?
????????????
对平稳点(0,0)，系数矩阵1011A -??
=??
-??，其特点值为：－1,－1，因此平稳点(0,0)是渐进稳固的；
8、已知系统的状态方程为
0123??=??
--??
x x 试从李亚普诺夫方程T PA A P I +=-解出矩阵P ，来判定系统的稳固性。（10分）
解：令11
12122210,01p p I P p p ??
??
==???????? 由T A P PA I +=-得 11
1211
1212
2212
22020110132301p p p p p p p p --??????????
+=?
?????????----???
??????? P 11=5/4，P 12=1/4，P 22=1/4,5/41/41/41/4P ??
?=??
?? 125/41/45/40,1/401/41/4
?=>?=
=>
可知P 是正定的。因此系统在原点处是大范畴渐近稳固的。
9、已知系统
[]x
y u x x 011100300100010=?????
?????+??????????-=
求使系统极点配置到-1，-2，-3的状态反馈阵K 。并说明其配置新极点后的状态能控性及能观测性。（12分）
解：（1）系统完全能控，可用状态反馈任意配置闭环极点。期望特点多项式为
6116)3)(2)(1(23*+++=+++=s s s s s s ?
状态反馈系统的特点方程为
()12233321
)3()3(10
01det )(det k s k s k s k s k k s s
s ++++=??
??
?
?????++--=--=bK A I K ? 比较以上二式得61=k ，112=k ，33=k 。即
[]3116=K
（2）闭环状态空间表达式为
[]0100()001061161110x A BK x Bv v y Cx ????
????=-+=+????????---????
==x x
2001,,0161625Uc B AB A B ??
????==-??????-??，rank(Uc)=3，因此闭环系统能控。 21100116115C Uo CA CA ????
????==????
???
?---????，rank(Uo)=2，因此闭环系统不完全能观。
10、设系统的状态空间表达式为
[]x
x x 01101012=???
???+??????--=y u 试设计全维状态观测器的G 阵，使观测器的极点均为-2.5。（10分）
解：系统能观测性矩阵
01021U ????
==????
-????
C CA 02rankU n ==
系统能观测，故状态观测器存在。 期望状态观测器特点多项式为
25.65)5.2()(22*++=+=s s s s f
设??????=21g g G ，则状态观测器特点多项式为
[])2()3(112det )(det )(211221
g g s g s s g g s s s f +++++=??
?
?
?
?+-++=--=GC A I 比较以上二式得21=g ，25.22=g 。即
?
?
?
???=25.22G 系统的状态观测器为
y u G b x GC A x
++-=?)(? 即
y u ??
????+??????+??????---=25.2210?125.214?x x