得出的结论
()()0002f m f n b m n
a ?>??
()()0
()()()()0000
f
m f n f p f q ???>??
或()()()()
0f m f n f p f q
综合结论（不讨论
a
）
——————
()()0
()()()()???
?
?<<0
0q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）
需满足的条件是
（1）0a >时，()()00f m f n
f m f n >???>??
对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,有以下特殊情况：
1? 若()0f m =或()0f n =，
则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,，从而可以求出参数的值。如方程()2
220
mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2
m
，由213
m <<得
2
23
m <<即为所求； 2? 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,，即0?=，此时由0?=可以求出参数的值，然后再将参数的
值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间，如若不在，舍去相应的参数。如方程2
4260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-，求m 的取值围。分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出
15314m -<<-
；②由0?=即()2
164260m m -+=得出1m =-或32
m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =?-，故3
2
m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或
1m =-
根的分布练习题
例1、已知二次方程()()2
21210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，数m 的取值围。
解：由 ()()2100m f +< 即 ()()2110m m +-<，从而得1
12
m -<<即为所求的围。
例2、已知方程()2
210x m x m -++=有两个不等正实根，数m 的取值围。
解：由
()()0102200m f ?>??
-+?->?
?>??
? ()2
18010
m m m m ?+->?>-??>? ? 3
30m m m ?<->+
??>??? 03m <<-3m >+
例3、已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，数m 的取值围。
解：由 ()()210m f +< 即 ()()2210m m ++< ? 1
22
m -<<即为所求的围。
例4、已知二次方程()2
2340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，数m 的取值围。
解：由题意有方程在区间()0,1上只有一个正根，则()()010f f < ? ()4310m +< ? 1
3
m <-即为所求围。
（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在()0,1，由0?=计算检验，均不复合题意，
计算量稍大）
2、二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值问题探讨
设()()002
>=++=a c bx ax x f ，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：
a
b n m 2-
<< n a b m <-
<2即[]n m a
b ,2∈- n m a
b
<<-
2 图象
最大、最小值 ()()
()()
n f x f m f x f ==min max
()()(){}
()?
?
?
??-==a b f x f m f n f x f 2,max min max
()()
()()
m f x f n f x f ==min max
（1）若[]n m a b
,2∈-，则()()()????????? ??-=n f a b f m f x f ,2,max max ，()()()?
????????
??-=n f a b f m f x f ,2,min min ； （2）若[]n m a
b
,2?-，则()()(){}n f m f x f ,m ax max =，()()(){}n f m f x f ,m in min = 另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越小。
二次函数在闭区间上的最值练习
二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。
例1、函数()()2
220f x ax ax b a =-++≠在[]2,3上有最大值5和最小值2，求,a b 的值。
解：对称轴[]012,3x =?，故函数()f x 在区间[]2,3上单调。
（1）当0a >时，函数()f x 在区间[]2,3上是增函数，故()()()()max min
32f x f f x f ?=??=?? ? 32522a b b ++=??+=? ? 10a b =??=?； （2）当0a <时，函数()f x 在区间[]2,3上是减函数，故()()()()max min
23f x f f x f ?=?
?
=?? ? 25322b a b +=??++=?? 13a b =-??
=?
例2、求函数()[]221,1,3f x x ax x =-+∈的最小值。 解：对称轴0x a =
（1）当1a <时，()min 122y f a ==-； （2）当13a ≤≤时，()2min 1y f a a ==-； （3）当3a >时，()min 3106y f a ==-
改：1．本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？
解：（1）当2a <时，()()max 3106f x f a ==-； （2）当2a ≥时，()()max 122f x f a ==-。
2．本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？
解：（1）当1a <时，()()max 3106f x f a ==-，()()min 122f x f a ==-；
（2）当12a ≤<时， ()()max 3106f x f a ==-，()()2
min 1f x f a a ==-；
（3）当23a ≤<时，()()max 122f x f a ==-，()()2
min 1f x f a a ==-；
（4）当3a ≥时， ()()max 122f x f a ==-，()()min 3106f x f a ==-。
例3、求函数2
43y x x =-+在区间[],1t t +上的最小值。
解：对称轴02x =
（1）当2t <即2t >时，()2
min 43y f t t t ==-+；
（2）当21t t ≤≤+即12t ≤≤时，()min 21y f ==-； （3）当21t >+即1t <时，()2
min 12y f t t t =+=-
例4、讨论函数()2
1f x x x a =+-+的最小值。
解：()22
21,11,x a
x x a f x x x a x a
x x a ≥?+-+=+-+=?<-++?，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为
直线12x =-
，12x =，当12a <-，1122a -≤<，1
2
a ≥时原函数的图象分别如下（1），（2），（3）
因此，（1）当
1
2
a<-时，()min13
24
f x f a
??
=-=-
?
??
；
（2）当
11
22
a
-≤<时，()()2
min
1
f x f a a
==+；
（3）当
1
2
a≥时，()min13
24
f x f a
??
==+
?
??
以上容是自己研究整理，有什么错误的地方，欢迎各位指正，不胜感激！
