求数列通项公式的常用方法
求数列通项公式的常用方法
类型一 观察法：已知前几项，写通项公式
类型二、前n 项和法 已知前n 项和，求通项公式
例2 设﹛a n ﹜的前n 项和为S n ,且满足s n =n 2+2n -1,
求﹛a n ﹜的通项公式.
1 4111 1 1 - -
234
2 2 0 2 0
例写出下面数列的一个通项公式，
使它的前项分别是下列各数：（），，，（），，，1
1(1) 1 (2) (1)1
n n n n a n
a ++-=
=-+解：（）11 (1) (2)n n n S n a S S n -=?=?
-≥?211212 21 1 2
2 21
[(1)2(1)1]
212 1 2n n n n n s n n n a s n a s s n n n n n n a -=+-∴===∴≥=-=+---+--=+=∴= 解：
当时当时
1 2n n ??+≥?
类型三、累加法 形如
1()
n n a a f n +=+ 的递推式
例2：在﹛a n ﹜中，已知a 1=1,a n =a n-1+n (n≥2),求通项a n.
练习：
{}1
11311,3 (2)2n n n n n a a a a n a ---==+≥=
n 已知中,证明：
类型四、累乘法形如
1()n n
a f n a +=?的递推式
例四、
练习：
{}1
22,2,.
n n n n a a a a a n +?
?==+? ???1已知中，求通项
11223343221
1 2 3 .......
3 2
n n n n n n n n a a n a a n a a n a a n a a a a -------=+=+-=+-=+-=+=+ 解：
以上各式相加n 1 a (234)(n+2)(n-1)
=1+2
a n =+++++ 得{}12,3,.n
n n n n a a a a a +==?1已知中，求通项1234
1231234
23221
23211
3, 3, 3, 3 .......
3, 3 33333 23n n n n n n n n n n n n n n n a a a a
a a a a a a
a a a a -------------=======???????=?解：以上各式相乘得123(-1)(-1)2
(-1)
2
23 23
n n n n n n a +++???+=?=?
类型五、形如
1n n a pa q +=+的递推式
例五、 分析：配凑法构造辅助数列
类型六、形如
1n
n n pa a qa p +=
+ 的递推式
取倒法构造辅助数列
类型七、相除法形如
的递推式 {}{}1113,33,n n n n a a a a a ++==+n 数列满足:求通项公式.
{}111,2 1 .n n n n a a a a a +==+数列满足,求{}()11-1111 2 1 12 1 12(1) 1
2 111
21122n n n n n n n n n n
n a a a a a a a a a a a ----=+∴+=++=++∴=∴+++=+= 解：是以为首项，
以为公比的等比数列111n 11
n 12111
2
21a 11
2a a n n n n n n a a a a a a -----+=
==++??????解：是以为首项，以为公差的等差数列
111
(1)22 1 21
n n n n n a a a n =+-=+∴=+1
1n n n a Aa B A ++=+?1
11
1
1 33 133 133 -11333
n n n n n n n n n n
n n n a a a a a a a a n n a n ---=+∴=+??∴????∴=+?=∴= 解：
是以为首项，以为公差的等差数列（）
求数列的通项公式
练习题
1. 若a1=1, 且a n+a m=a n+m(n,m∈N*), 则a n=_______解: n=m=1时，a2= a1+a1=2, 得a1=1, a2=2
m=1时,由a n+a m=a n+m 得a n+1=a n+1，即a n+1-a n=1
∴{a n}是等差数列，a n=1+(n-1)=n
2. 若b 1=2，且b m b n =b m+n ，则b n =_____________ 解：n=m=1时，b 2=b 1·b 1=4 , 即b 1=2，b 2=4， m=1时,由b n b m =b n+m 得b n+1=b n · b 1=2b n ， 故{b n }是首项为b 1=2 ，公比为q =2的等比数列 bn =2·2n-1=2n
3. 已知a 1=1，且a n+1= 则a n =______ 解:由 得
以上各式累加得 小结：a n+1-a n = f (n )型,常用累加法求通项公式
4. 已知 a 1=1, , 则a n =______ 解:由 得
以上各式累乘得 小结： 型,常用累乘法求通项公式
5. 已知{a n }满足： )
1(1+?+n n a n n n 1
2-1
111
+-=-
+n n a a n
n 2
1
112-
=-a a 3
12123-=
-a a
n
n a a n n 1111--=
--n
a a n 1
11
-=-n
n a n 12-=
11+?+=n n
a n
n a n 1
1
1+=+n n a a n n
n
n a a a a a a n n 1
,,32
,2112312-===- n
n n a n 113221=-???= )(1
n f a a n
n =+.
12,111+==+n n a a a
(1)求证数列{a n +1}为等比数列， (2)求数列{a n }的通项公式. 解:(1)∵
∴数列{a n +1}是公比为2的等比数列 (2)由⑴得a n +1=2×2n-1=2n
小结：a n+1=pa n +q (p ≠1)型,常用待定系数法求通项公式。
6.已知a 1=3，f (x )=x 2，且a n+1=f (a n )，则a n =________
解:∵a 1=3，a n+1=
知
小结：a n+1=f(a n ) 型, 直接迭代求通项公式。 作业：
1、已知数列{a n },a 1=2,a n+1=a n +3n+2,求a n ,
2、已知数列{a n }，a 1=1,a n+1=
3、数列{a n }中,a 1=1,2a n =
11,a =12 1.
n n a a +=+1(21).11n n a a +∴+=++111(2)n n a a +∴+=+112010
n a a +=≠∴+≠ 11
1
2
n n a a ++∴=+21
n n a ∴=-1
23-n 2
n
a 2
2123==∴a a 4
2
233==a a 8
2343==a a 1
2
3-=n n a n
n a a 求,13
2+n n a n a 求),2(21≥+-
4、数列{a n }中,a 1=1,
5、已知数列{a n }满足a 1=1, ().
2311≥+=--n a a n n n
（1）求a 2,a 3 ,a 4 （2）证明：
2
1
3-=
n n a
6.
()N n a a a n n
n ∈+=
+2
21{}{}11,3,2 (2)
1.
n n n n n n a a a S S n S a -==≥??
????
已知求证：是等差数列，并求公差；
求的通项公式(1)(2)