【全国百强校】江苏省启东中学2020-2021学年高一上学期第二次月考数学试题
【全国百强校】江苏省启东中学【最新】高一上学期第二次
月考数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.已知集合{}0,1,2,3A =,{}
=02,B x x x R ≤≤∈,则A B 的子集个数为( )
A .2
B .4
C .7
D .8
2.若1
4
a <
)
A
B
C .
D .
3.已知一个扇形的圆心角为3弧度,半径为4,则这个扇形的面积等于( ). A .48
B .24
C .12
D .6
4.如果角α的终边过点(2sin30,2cos30)?-?,则sin α的值等于( )
A .
1
2
B .12
-
C .
D .3
-
5.奇函数()f x 在区间[]3,6上是增函数,在区间[]
3,6上的最大值为8,最小值为-2,则()()63f f +-的值为( ) A .10
B .-10
C .9
D .15
6.给出下列三个命题:①函数y =|sin(2x +π
3
)|的最小正周期是π
2;②函数y =sin(x ?3π
2
)在区间[π,3π
2
]上单调递增;③x =π12是函数y =cos(2x +5π6
)的图像的一条对称轴。
其中正确命题的个数是( ) A .0
B .1
C .2
D .3
7.定义运算()()a a b a b b a b ≤?⊕=?
>?
,则函数()12x
f x =⊕的图象是( ).
A .
B .
C .
D .
8.函数()1sin lg cos x
f x x
+=是( ) A .奇函数 B .偶函数
C .非奇非偶函数
D .既是奇函数又
是偶函数
9.函数y =tanx 与y =sinx 的图像在(?π2,π
2)内的交点个数为( ) A .0
B .1
C .2
D .3
10.已知函数()()2,2
11,2
2x
a x x f x x ?-≥?=???- ???
?, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --<
0成立,则实数a 的取值范围为( ) A .(-∞,2)
B .13,
8??-∞ ???
C .(-∞,2]
D .13,28??
??
??
11.若函数()113x
f x m ??=+- ???
的图像与x 轴有公共点,则m 的取值范围为 ( )
A .1m <
B .m 1≥
C .01m ≤≤
D .01m ≤<
12.已知函数f (x )的定义域是R ,对任意x ∈R,f(x +2)?f(x)=0,
当x ∈[?1,1)时,f(x)=x .关于函数f(x)给出下列四个命题: ①函数f(x)是奇函数; ②函数f(x)是周期函数;
③函数f(x)的全部零点为x =2k,k ∈Z ;
④当x ∈[?3,3)时,函数g(x)=1
x 的图象与函数f(x)的图象有且只有三个公共点. 其中真命题的个数为 . A .1 B .2 C .3 D .4
二、填空题
13.函数y =tan(2x ?π
4)的对称中心为__________________。 14.已知1
cos()3
x π-=-,则sin cos 3sin cos sin cos B C A B C B =-的值是
15.已知函数f(x)=lg(x 2+5x +6),则函数f(x)的单调递增区间是__________________。
16.已知函数(),(1,1)1x
f x x x
=
∈--,有下列结论: ①任意的(1,1)x ∈-,等式()()0f x f x 恒成立;
②任意的[)0,m ∈+∞,方程()f x m =有两个不等实根; ③任意的12,(1,1)x x ∈-,若12x x ≠,则一定有12()()f x f x ≠;
④存在无数个实数k ,使得函数()()g x f x kx =-在(1,1)-上有3个零点. 其中正确结论的序号为____________.
三、解答题
17.已知集合A ={x|3≤x <7},B ={x|2 (2)若C ?(A ∪B),求实数a 的取值范围. 18.(1)已知tan 2θ=,求()()3sin cos 2sin sin 2πθπθπθπθ??++- ??? ?? --- ??? 的值; (2 )已知sin θcos θ2 +=- ,且5ππθ4<<,求cos θsin θ-的值. 19.某市今年出现百年不遇的旱情,广大市民自觉地节约用水.市自来水厂观察某蓄水池供水情况以制定节水措施,发现某蓄水池中有水450吨,水厂每小时可向蓄水池中注水80吨,同时蓄水池又向居民小区供水,t 小时内供水量为池注水并向居民小区供水. (1)请将蓄水池中存水量S 表示为时间t 的函数; (2)问开始蓄水后几小时存水量最少? (3)若蓄水池中水量少于150吨时,就会出现供水量紧张现象,问每天有几小时供水紧张? 20.设函数f(x)=Asin(ωx +?)(A >0,ω>0,|?|<π 2)的图像与y 轴的交点为(0,1),在y 轴右侧的第一个最高点和第一个与x 轴交点分别为(x 0,2),(x 0+3π2 ,0). (1)求f(x)的解析式; (2)将函数y =f(x)图像上所有点的横坐标变为原来的1 3倍(纵坐标不变),再将所得图像沿x 轴正方向平移π 3个单位,得到函数y =g(x)的图像,求y =g(x)的解析式; (3)在(2)的条件下求函数y =g(x)在(0,π)上的值域。 21.知函数f(x)=log a (ax 2?x +1),其中a >0且a ≠1 (1)当a =1 2时,求函数的值域; (2)当f(x)在区间(14,3 2)上为增函数时,求a 的取值范围。 22.已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>,在区间[]2,3上有最大值4,最小值1,设函数() ()g x f x x = . (1)求,a b 的值; (2)不等式(2)20x x f k -?≥在[]1,1x ∈-上恒成立,求实数k 的取值范围; (3)方程2 (21)( 3)021 x x f k -+-=-有三个不同的实数解,求实数k 的取值范围. 参考答案 1.D 【分析】 先求出A B ?集合元素的个数,再根据求子集的公式求得子集个数. 【详解】 因为集合{}0,1,2,3A =,{} =02,B x x x R ≤≤∈ 所以{}0,1,2A B ?= 所以子集个数为328= 个 所以选D 【点睛】 本题考查了集合交集的运算,集合子集个数的求解,属于基础题. 2.A 【分析】 根据根式的运算公式,直接求解即可. 【详解】 14 a < , 410a ∴-<; ∴ ; 故选:A. 【点睛】 本题考查根式的化简,属简单题,注意细节即可. 3.B 【解析】 因为扇形的弧长l =3× 4=12,则面积S =1 2 ×12×4=24,选B. 4.C 【分析】 由题知,角α的终边过点(1, ,求出此点到原点的距离,再有任意角三角函数的定义直接求出sin α的值即可选出正确选项 【详解】 解:由题意()(2sin30,2cos301,?-?= , 点(1,到原点的距离 2r ==, 由定义知sin y r α== 故选:C . 【点睛】 本题考查任意角三角函数的定义,解题的关键是理解任意角三角函数的定义,由定义直接得出三角函数值,属于基础题. 5.A 【分析】 根据函数的单调性确定最大值、最小值,结合函数的奇偶性求解相应的函数值. 【详解】 由题意可知,(6)8,(3)(3)2f f f ==--=-,所以()()638210f f +-=+=,故选A. 【点睛】 本题主要考查利用函数的单调性求最值,利用函数的奇偶性变形求函数值,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 6.D 【解析】 【分析】 ①可以通过判断函数y =sin(2x +π 3)的最小正周期来判断函数y =|sin(2x +π 3)|的最小正周 期;②可以通过x 的取值范围来推出x ?3π2 的取值范围,然后判断是否为增函数;③可以通 过x 的值来判断2x +5π 6 的值,然后判断它是否是函数y =cos(2x +5π6 )的图像的一条对称轴。 【详解】 ①y =sin(2x +π 3)的最小正周期T =2π2 =π,故函数y =|sin(2x +π3 )|的最小正周期是π 2,① 正确; ②x ∈[π, 3π 2 ]即x ?3π2∈[?π2 ,0),故函数y =sin(x ? 3π 2 )在区间[π,3π2 ]上单调递增,②正 确; ③x =π 12即2x + 5π6 =π,故x =π12是函数y =cos(2x + 5π6 )的图像的一条对称轴,③正确。 综上所述,故选D 。 【点睛】 本题考查了三角函数的基本性质的应用,考查了三角函数的周期性、单调性以及对称轴,考查了推理能力以及计算能力,考查了化归思想和整体思想,属于中档题。 7.A 【详解】 由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最小值, 因此函数()1,0122,0 x x x f x x >?=⊕=?≤?, 只有选项A 中的图象符合要求,故选A. 8.A 【分析】 本题首先可以根据 1sin 0cos x x +>可以求出函数的定义域为2222k k k Z ππππ? ?-+∈ ?? ?,,关于原点对称,再通过判断()()0f x f x -+=即可得出结果. 【详解】 因为 1sin 01sin 0cos x x x +>+≥,恒成立, 所以cos 0222 2x x k k k Z π πππ?? >∈- + ∈ ?? ? ,,,关于原点对称, ()()()() 1sin 1sin 1sin 1sin lg lg lg ?lg10cos cos cos cos x x x x f x f x x x x x ,+-+-+???? -+=+=== ? ?-???? 所以()()f x f x -=-,函数为奇函数,故选A . 【点睛】 本题主要考查函数的奇偶性的应用,考查函数思想与化归思想,在判断函数奇偶性时,首先 需要考虑函数的定义域是否关于原点对称,然后判断()()f x f x -=-或者()() f x f x -=. 9.B 【分析】 本题可以先通过令tanx =sinx ,解出sinx =0或者1 cos x ?1=0,再根据x ∈(?π2,π 2)即可得出函数y =tanx 与y =sinx 在(?π2,π 2)内的交点个数。 【详解】 由题意可知,函数y =tanx 与y =sinx 的图像在(?π2,π 2)内有交点即tanx =sinx ,x ∈(?π2,π 2), 所以tanx =sinx ,sin x cos x =sinx ,sin x cos x ?sinx =0,sinx (1 cos x ?1)=0, 解得sinx =0或者1cos x ?1=0, 所以在(?π 2,π 2)内仅有一解x =0,故交点个数为一个,故选B 。 【点睛】 本题考查三角函数的相关性质,考查函数方程思想以及化归思想,考查计算能力以及推理能力,属于简单题。 10.B 【详解】 试题分析:由题意有,函数()f x 在R 上为减函数,所以有220 {1(2)2()12 a a -<-?≤-,解出13 8 a ≤, 选B. 考点:分段函数的单调性. 【易错点晴】 本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意的实数12x x ≠,都有 ()() 1212 0f x f x x x -<-成立,得出函数()f x 在R 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图 象逐渐下降,故在分界点2x =处,有2 1(2)2()12 a -?≤-,解出13 8 a ≤. 本题容易出错的地方是容易漏掉分界点2x =处的情况. 11.D 由指数函数的图象知()13x f x ??= ??? 图象关于y 轴对称,最大值为1,且无限靠近x 轴,将其图象向下平移不超过1个单位可与与x 轴有公共点,因此110m -≤-<,解得01m ≤<,故选D. 12.C 【解析】 【分析】 本题可通过求出f (1)和f (?1)的值来判断①是否正确;再通过对任意x ∈R,f(x +2)?f(x)=0来判断②是否正确;再通过“当x ∈[?1,1)时,f(x)=x ”以及f(x)是周期为2的周期函数即可判断③是否正确;最后可通过令f (x )=g(x)并求解即可判断④是否正确。 【详解】 ①因为对任意x ∈R ,f(x +2)?f(x)=0,所以对任意x ∈R ,f (x +2)=f(x),所以f(x)是周期函数,且周期为2,所以f (?1+2)=f(?1),即f (1)=f(?1),所以函数f(x)不是奇函数,①错; ②由①得f(x)是周期函数,且周期为2,故②正确; ③因为当x ∈[?1,1)时,f(x)=x ,所以f(0)=0,又因为f(x)是周期为2的周期函数,所以函数f(x)的全部零点为x =2k ,k ∈Z ,故③正确; ④x ∈[?1,1)时,f(x)=x ,令f (x )=g(x)解得x =?1, x ∈[1,3)时,f (x )=x ?2,令f (x )=g (x )解得x =1+√2; x ∈[?3,?1)时,f (x )=x +2,令f (x )=g (x )解得x =?1?√2;故④正确。 综上所述,故选C 。 【点睛】 本题考查函数的基本性质,考查了函数的周期性、零点、奇偶性,考查了分类讨论思想、函数方程思想以及隐含条件思想,若函数为奇函数,则有f (?x )=?f (x );若函数是偶函数,则有f (?x )=f (x );若函数为周期函数,则有f (x +T )=f(x)。 13.(k π4+π8,0)(k ∈Z ) 【解析】 【分析】 本题可以根据正切函数y =tan x 的对称中心来推导出函数y = tan(2x ?π 4)的对称中心。 【详解】 正切函数y =tan x 的对称中心横坐标为x = kπ2 (k ∈Z ), 所以函数y =tan(2x ?π 4)的对称中心横坐标为2x ?π 4= kπ2 (k ∈Z ), 化简得x =kπ4+π8(k ∈Z ),故对称中心为(kπ4+π8,0)(k ∈Z )。 【点睛】 本题考查三角函数的相关性质,考查正切函数的对称中心,考查计算能力,正切函数y =tan x 的对称中心为(kπ 2,0)(k ∈Z )。 14.6 【分析】 本题可以先通过()1 cos 3x π-=-计算出cos x 的值, 化简后得到2 cos x ,代入cos x 的值即可得到结果. 【详解】 因为()1cos 3 x π-=-,所以11cos cos 3 3 x x -=-=,, = 1sin 1sin cos cos x x x x +-== + 2 6cos x = =. 【点睛】 本题主要考查三角函数值的计算,考查对三角恒等变换公式的掌握,利用三角函数的诱导公 式进行化简是本题的关键,本题考查的公式有:()cos cos x x π-=-,()()2 2 1sin cos x x =+. 15.(?2,+∞) 【解析】 【分析】 本题首先需要求出函数f(x)=lg(x 2+5x +6)的定义域,然后可通过二次函数性质得知k = x 2+5x +6的单调性,最后通过k =x 2+5x +6的单调性得知函数f(x)=lg(x 2+5x +6)的单调递增区间。 【详解】 因为函数f(x)=lg(x 2+5x +6), 所以x 2+5x +6>0,(x +2)(x +3)>0, 所以x 3或x >?2, 令k =x 2+5x +6,由二次函数性质可知: 当x 3时,k =x 2+5x +6单调递减; 当x >?2时,k =x 2+5x +6单调递增, 故当x >?2时,函数f(x)=lg(x 2+5x +6)单调递增, 故函数f(x)的单调递增区间是(?2,+∞)。 【点睛】 本题考查复合函数的单调性,考查函数方程思想,计算复合函数的相关性质的时候,可以将复合函数转化为基本初等函数,再对每一个基本初等函数进行讨论。 16.①③④ 【分析】 本题可根据()f x 和()f x -的解析式判断出①是否正确;可根据取0m =时判断②是否正确;可根据对()1x f x x = -进行分类讨论,判断单调性以及()f x 的大小来判断③是否正确;可根据对()()g x f x kx =-进行化简来判断④是否正确. 【详解】 ①()()111x x x f x f x x x x --=-==----,,所以()()011x x f x f x x x -+-=+=--,故①正确; ②当0m =时,仅有0x =时,()0 0010 f = =-,仅有一解,故②错误; ③当[01)x ∈, 时,()011x x f x x x ==≥--,且为单调递增函数, 当()1,0x ∈-时,()011x x f x x x = =<-+,且为单调递增函数,故③正确; ④()()1011x g x f x kx kx x k x x ??=-=-=-= ? ?--?? , 当实数0k >时,0x =时,()g x 等于0,有一解; (01)x ∈, 时,1 01k x -=-必有一解; ()1,0x ∈-时, 1 01k x -=-必有一解,故④正确. 综上所述,①③④正确. 【点睛】 本题考查了函数的相关性质,考查了函数方程思想以及分类讨论思想,考查了函数的单调性以及奇偶性,本题综合性高,对抽象思维能力要求较高,需要能够对每一段函数的定义域、值域以及相关的基本性质有着足够的了解,是中档题. 17.(1){x|x <3,x ≥7};(2)a ≤3. 【解析】 【分析】 (1)可以根据集合A 的取值范围得出C R A 的取值范围; (2)首先根据集合A ={x|3≤x <7}以及集合B ={x|2 (1)因为集合A ={x|3≤x <7}, 所以C R A ={x |x <3 或x ≥7}。 (2)由A ∪B ={x|2 2; ②当C ≠?时,若C ?(A ∪B ), 则{5?a 5?a ≥2a ≤10 ,解得:5 2 综上所述,实数a 的取值范围是a ≤3。 【点睛】 本题考查并集、补集、实数的取值范围的求法,考查集合的表示法以及集合的交、并、补运算等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题。 18.(1)2;(2 ). 【分析】 (1)首先可以对() ()3sin cos 2sin sin 2πθπθπθπθ??++- ??? ??--- ??? 进行化简,得到2tan 1θ-,代入tan 2θ=即可 得出结果; (2 )可以通过对式子sin θcos θ2 +=- 平方得出2sin θcos θ的值,然后借此得出() 2 cos θsin θ-的值,最后根据θ的取值范围得出cos θsin θ-的值. 【详解】 (1) ()()3sin cos sin cos cos cos 22cos sin cos sin sin sin 2ππθπθθθ θθπθθθθθπθ????++--+- ? ?--????==--?? --- ??? 2cos 2 2sin cos tan 1 θθθθ= ==--, (2 )()2 5sin θcos θsin θcos θ24 +=- +=, () ()2 2 551sin θ2sin θcos θcos θ2sin θcos θ12sin θcos θ444 ++=+==,,, ()()()222 13cos θsin θsin θ2sin θcos θcos θ144 -=-+=-=, 因为5ππθ4<< ,所以cos θsin θ-= 【点睛】 三角函数求值与化简必会的三种方法 (1)弦切互化法:主要利用公式α tan? αα sin cos =;形如 ()()22 a x b x sin bsin cos c cos c x d x sin cos a x x x x sin cos ++++,等类型可进行弦化切. (2)“1”的灵活代换法:()()()2 2 2 π1sin θcos θsin θcos θ2sin θcos θtan 4 =+=+-=等. (3)和积转换法:利用()()()2 2 2 sin θcos θ12sin θcos θsin θcos θsin θcos θ2±=±++-=,的关系进行变形、转化. 19.(1)()804500S t t =->;(2)5小时;(3)10小时. 【分析】 (1)可根据题意,用原来就有的存水加上注入的水减去供水即可得出蓄水池中存水量S 表示为时间t 的函数; (2x =,然后通过对2S 480450x x =-+进行配方得出最小值; (3)令S 150≤解出x 的取值范围,再通过2 20 x t =解出t 的取值范围,最后得出结果. 【详解】 (1)设t 小时后水池中存水量为S 吨,则()S 804500t t =->; (2)x =,则2 20 x t =,则()22S 48045041050x x x =-+=-+,令10x =, 则t 5S 50min ==,,所以供水5小时,水池中水量最少只有50吨; (3)令2S 480450150x x =-+≤,解得515x ≤≤,所以 545455 515104444 t ≤≤≤-=,,,所以有10小时供水紧张. 【点睛】 本题为信息题,考查二次函数的相关性质,考查函数方程思想,在计算这类题目的时候,一定要对题目所给信息有着充分的了解,弄清楚题目所给条件之间的关系. 20.(1)f (x )=2sin (x 3+π6);(2)g (x )=2sin (x ?π6);(3)(?1,2]. 【解析】 【分析】 (1)由在y 轴右侧的第一个最高点和第一个与x 轴交点分别为(x 0,2)、(x 0+ 3π2 ,0)即可求 出A 、ω的值,再通过函数f(x)与y 轴的交点为(0,1)即可求出?的值,最后得出结果。 (2)可通过函数图像的变化方式得出y=g(x)的解析式。 (3)通过x的取值范围得出x?π 6的取值范围,再通过x?π 6 的取值范围得出函数y=g(x)的 取值范围。 【详解】 (1)因为在y轴右侧的第一个最高点和第一个与x轴交点分别为(x0,2)、(x0+3π 2 ,0), 所以A=2,T 4=3π 2 ,T=6π,2π ω =6π,ω=1 3 ,f(x)=2sin(x 3 +?), 因为函数f(x)与y轴的交点为(0,1),|?|<π 2 , 所以f(0)=2sin(0 3+?)=2sin(?)=1,?=π 6 ,f(x)=2sin(x 3 +π 6 ); (2)将函数y=f(x)图像上所有点的横坐标变为原来的1 3 倍,函数解析式变成f(x)= 2sin(x+π 6),再将所得图像沿x轴正方向平移π 3 个单位,函数解析式变成g(x)=2sin(x?π 6 ); (3)因为x∈(0,π),所以x?π 6∈(?π 6 ,5π 6 ), 当x?π 6=π 2 时,g(x)取最大值,最大值为2; 当x?π 6=?π 6 时,g(x)取最小值,最大值为?1, 所以函数y=g(x)在(0,π)上的值域为(?1,2]。 【点睛】 三角函数在平移过程中掌握“左加右减,上加下减,左右针对x,上下针对y而言”的原则;研究函数f(x)=Asin(ωx+φ)的性质时,常用的方法是把ωx+φ看作一个整体,然后结合正弦函数的相关性质求解,求解时有时要结合函数的图象进行。 21.(1)(?∞,1];(2)[2 9,1 3 ]∪[2,+∞). 【解析】 【分析】 (1)可以先将a=1 2 带入函数f(x)=log a(ax2?x+1)中,得到函数解析式后利用对数函数的相关性质得出函数的值域; (2)需要对a的取值范围进行分类讨论,通过对数函数的相关性质将其分为a>1和0 【详解】 (1)当a =12时,f (x )=log 12 (12x 2?x +1)=log 12 [12(x ?1)2+1 2], 由二次函数性质可知12(x ?1)2+12的最小值为1 2, 因为函数f (x )=log 12 [12(x ?1)2+1 2]是减函数, 所以函数f (x )有最大值f (12)=log 12 1 2=1,函数的值域为(?∞,1]。 (2)令g (x )=ax 2?x +1, 当a >1时,f(x)在区间(1 4,3 2)上为增函数, 即g (x )=ax 2?x +1在区间(1 4,3 2)上为增函数, 故二次函数对称轴在区间(1 4,3 2)的左侧且g (1 4)≥0, {? ?12a ≤ 14 a (14)2?1 4+1≥0