离散数学结构 习题13

习题13参考答案

1.图13.9中给出六个偏序集的哈斯图。判断其中哪些是格。如果不是格,说明理由。

图13.9

答案：(1),(3),(6)是格。(2)中的{e,d}没有最大下界。(4)中的{d,e}没有最大下界。(5)中的{a,b}没有最大下界。

2.下列各集合对于整除关系都构成偏序集,判断哪些偏序集是格。

(1) L={1,2,3,4,5}

(2) L={1,2,3,6,12}

(3) L={1,2,3,4,6,9,12,18,36}

(4) L={1,2,22,...,2n},n∈Z+

答案：(1)不是格,其他都是。

3.(1)画出Klein四元群的子群格。

(2)画出模12的整数群Z12的子群格。

(3)画出3元对称群S3的子群格。

答案：(1)

(2)

(3)

4.设L是格,求以下公式的对偶式:

(1) a∧(a∨b) a

(2) a∨(b∧c)(a∨b)∧(a∨c)

(3) b∨(c∧a)(b∨c)∧a

答案：(1) a∨(a∧b) a

(2) a∧(b∨c)(a∧b)∨(a∧c)

(3) b∧(c∨a)(b∧c)∨a

5.设L是格,a,b,c∈L,且a b c,证明

a∨b=b∧c

答案：a∨b=b b∧c=b

6.针对图13.10中的格L1,L2和L3,求出他们的所有子格。

图13.10

答案：

L1的子格：{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d},

{b,d},{c,d},{a,b,d},{a,c,d},L1

L2的子格：{a1},{d1},L2

L3的子格：{a2},{b2},{c2},{d2},{a2,b2},{a2,c2},

{a2,d2},{b2,c2},{b2,d2},{c2,d2},{a2,b2,c2},

{a2,b2,d2},{a2,c2,d2},{b2,c2,d2},L3

7.针对图13.9中的每个格,如果格中的元素存在补元,则求出这些补元。

答案：（1）a与d互补；b,c没有补元。

（3）a与f互补；b的补元为c,d；c的补元为b,e；d的补元为b,e；e的补元为c,d.

（6）a与f互补；b的补元为e；c和d没有补元；e的补元为b.

8.说明图13.9中的每个格是否为分配格、有补格和布尔格,并说明理由。

答案：

（1）是分配格，因为不包含与钻石格和五角格同构的子格；不是有补格和布尔格，b,c没有补元。

（3）不是分配格，不是布尔格，因为包含五角格作为子格；是有补格，a与f互补，b和e的补元有c,d；c,d的补元有b,e.

（6）是分配格，因为没有5元子格与钻石格或五角格同构；不是有

补格，也不是布尔格，因为c和d没有补元。

9.对以下各小题给定的集合和运算判断它们是哪一类代数系统(半群,独异点,群,环,域,格,布尔代数),并说明理由。

(1) S1={0，1,-1}，运算为普通加法和乘法。

(2) S2={a1,a2,...,a n},a i,a j∈S2,a i*a j=a i.这里的n是给定的正整数,且n≥2.

(3) S3={0,1},*为普通乘法。

(4) S4={1,2,5,7,10,14,35,70},和*分别表示求最小公倍数和最大公约数运算。

(5) S5={0,1,2},*为模3加法,为模3乘法。

答案：（1）不是代数系统，对于加法不封闭。

（2）半群，运算封闭，有结合律，没有单位元。

（3）半群与独异点，乘法封闭，有结合律，单位元是1，但是0没有逆元。

（4）格与布尔代数。两个运算满足交换、相互分配、同一律、补元律。

（5）环与域，{0,1,2}关于模3加构成交换群、{1,2}关于模3乘构成交换群，模3乘关于模3加有分配律。

10.设B是布尔代数,B中的表达式f是

(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)

(1)化简f.

(2)求f的对偶式f* 。

答案：（1）(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)=(a∧b)∨(b∧c) （2）f*=(a∨b)∧(b∨c)

11.设是布尔代数，在B中化简以下表达式：上定义二元运算*，a,b∈B,

（1）(a∧b)∨(a∧b＇)∨(a＇∨b)

（2）(a∧b)∨(a∧（b∧c）＇)∨c

答案：（1）(a∧b)∨(a∧b＇)∨(a＇∨b)

=(a∧(b∨b＇))∨(a＇∨b)= a∨(a＇∨b)

=(a∨a＇)∨b = 1∨b =1

（2） (a∧b)∨(a∧（b∧c)＇)∨c

=(a∧b)∨(a∧(b＇∨c＇))∨c

=(a∧b)∨(a∧b＇)∨(a ∧c＇)∨c

=a∨(a ∧c＇)∨c = a∨c

12.对于n=1,...,5,给出所有不同构的n元格,并说明哪些是分配格、有补格和布尔格。

答案：

布尔格：(1),(2),(5)

分配格：(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8)

有补格：(1),(2),(5),(9),(10)

13.设是布尔代数,在B上定义二元运算,x,y∈B有x y=(x∧y＇)∨(x＇∧y) 问能否构成代数系统？如果能,指出是哪一种代数系统。为什么？

答案：构成群，运算封闭。任取a,b,c

同理有

易见结合律成立。

,0为单位元。

, a为本身的逆元。命题得证。