电磁学例题

房改房大锅饭大公国静电场中的导体:

例题1如图，半径为的接地导体球附近有一个静止点电荷，它与球心相距为，求导体球表面上感应电荷。解：点电荷在球心处的电势为

设为球面上感应面电荷密度，在球面上各点不尽相同(注意：对一个孤立的带电球形导体而言，其电荷是均匀分布在球面上的，即面电荷密度处处相同。而今，导体球处于点电荷的电场中，对球面上各点的感应电荷分布是不均匀的。)为此，可先在球面上任取一面积元，其上的感应电荷为，它在球心点的电势为

整个球面上的感应电荷在球心点的电势为

显然，，上式成为

而球心点的电势为与之代数和，且其和应等于零，即

由此可得，导体球表面上的感应电荷q′为

按题意，导体球接地，以地的电势为零，考虑到位于点电荷q的静电场中的导体是一个等势体，这样，球心的电势亦应为零；而球心的电势则等于点电荷q和球面上的感应电荷q′所激发的电场在点O的电势之代数和。据此即可求出解。

2.如图，三块平行的金属板A、B和C，面积均为。板A、B相距，板A、C相距，

B、C 两板都接地。如果使A板带正电，并略去边缘效应，问B板和C板的内、外表面上感应电荷各是多少? 以地的电势为零，问A板的电势为多大

解: 按题意，可判断感应电荷的分布如图所示。因为B、C两板接地，

所以两板都带负电，且

即(a)

考虑到 , , , , 则

(b)

由式(a)、(b),可得

或

这里，, , 代入上式，便可算出两板内表面感应电荷分别为

，

由于 B、C 板接地，外表面感应电荷为零。

又由 , 且，带入上述数值可算得 A 板的电势为

。

有介質的靜電場:例题1.在无限长电缆内，导体圆柱A和同轴导体圆柱壳B的半径分别为和(

<)，单位长度所带电荷分别为+λ和-λ，内、外导体之间充满电容率为的均匀电介质。求电介质中任一点的场强及内、外导体间的电势差。

解：取高斯面，它是半径为(<<)、长度为的同轴圆柱形闭合面。左、右两底面与电位移

的方向平行，其外法线方向皆与成夹角θ=π/2，故电位移通量为0；柱侧面与的方向垂直，其

外法线与同方向，θ=0°通过侧面的电位移通量为cos0°(2π)。被闭合面包围的自由电荷为

λ。按有电介质时静电场的高斯定理［式(3b)］，有

，

即

并由于和的方向一致，故由，得所求场强的大小为

内、外导体间的电势差为

由于内、外导体面上的自由电荷和电介质与内外导体的交界面上的束缚电荷都是轴对称分布的，故介质中的电场也是轴对称的。

2.一半径为 R 的电介质实心球体(见图)，均匀地带正电，单位体积所带电荷为ρ(称为体电荷密度)，球体的电容率为ε 1 ，球体外充满电容率为ε 2 的无限大均匀电介质。求球体内、外任一点的场强和电势。(提示：所作的高斯面分别为虚线所示的过球内、外场点P1、P2 的同心闭合球面。)

解：

（1）因场强为球对称，故要按有电介质时D的高斯定理求之。在r1

心球面，

在 r2 >R，经P2 作一封闭的同心球面，

再由 D=εE,可得球内、外任一点的场强为：

（2）球内任一点的电势为

电容器的例题设有面积为的平板电容器，两极板间填充两层均匀电介质，电容率分别为和(如图)，厚度分别为和。求这电容器的电容。

解：设两极板分别带上电荷+、-，在两层介质中的场强分别为和。根据有介质时静电场的高斯定理，由于电位移通量只与自由电荷有关，故可先求电场中的电位移。为此，作高斯面，它是长方棱柱形的闭合面，其右侧表面在电容率的介质内，左侧表面在导体极板内(图中虚线所示)，板内的场强为零；

上、下、前、后面的外法线皆与D垂直，其夹角θ=π/2，故·d=0；右侧面的外法线与

同方向，θ=0°，即

·d = cos0°d=d。则由

有，即。再由，并因与同方向，故分别得

，

两极板间的电势差为

所求电容为

可见电容和电介质填充的次序无关；而且上述结果可以推广到两极板间含有任意层数的电介质中去。

电场的能量的习题:1.设半径为=10cm的金属球，带有电荷，位于= 2的无限大均匀电介质中。求这带电球体的电场能量。

解：根据有电介质时静电场的高斯定理，可求得在离开球心为(>) 处的场强为

该处任一点的电场能量密度为

如图所示，在该处取一个与金属球同心的球壳层，其厚度为，体积，拥有

的能量为。整个电场的能量可用积分计算

代入已知数值，得:

2在习题11-10中，当圆柱形电容器两极板分别带有电荷 +q、-q 时，求：

(1) 在一层半径为 r(Ra< r < Rb)、厚度为 dr 的同轴薄圆筒状电介质内任一点的能量密度；

(2) 这层薄圆筒状电介质中的电场能量；

(3) 此电容器中储存的总能量；

(4) 由算出的总能量能否求出此电容器的电容?

解：(1) 因为在电介质内任一点的能量密度为

（2）这层薄圆筒状电介质中的电场能量为

（3）此电容器中储存的总能量为

（4）可从总能量求出此电容器的电容值

二.恒定电流:如图，若V，，；μF，μF，μF，求通过电池的电流和各电容器上的电荷。

解：

磁通量:磁通量是代数值，有正负。因此，在计算磁通量时，首先应该选择好曲面的任一面积元d S的法线的正方向；其次是先计算磁场穿过其上任一面积元的磁通量。

如图所示，磁场强度为的均匀磁场，长直导线AB载有电流I，求通过：

（1）befc面的磁通量；

（2）aefd面的磁通量；

（3）整个闭合面的磁通量（这时，各面法线皆指向闭合面外侧）。

解（1）通过面的磁通量为

（2）通过面的磁通量为

上述结果中取""号，表示可以取两种值，这是因为题中未指出面的正法线指向，故可以有正，负两种指向。

（3）对整个闭合面而言，面上各点的正法线指向规定向外为正。在本题中，磁感线从面穿入，

则通过面的磁通量为负，即

而通过面的磁通量是穿出的，磁通量为正，即

通过其他三个面的磁通量均为零。所以通过整个闭合面的磁通量为

毕奥-萨伐尔定律的应用:应用毕奥-萨伐尔定律计算磁场中各点磁感强度的具体步骤为：

1.首先，将载流导线划分为一段段电流元，任选一段电流元I d l，并标出I d l 到场点P的位矢r，确定两者的夹角（I d l，r ）；

2.根据毕奥-萨伐尔定律的公式，求出电流元I d l在场点P所激发的磁感强度d B的大小，并由右手螺旋法则决定d B的方向；

3.建立坐标系，将d B在坐标系中分解，并用磁场叠加原理做对称性分析，以简化计算步骤；

4.最后，就整个载流导线对d B的各个分量分别积分，一般在直角坐标系中

对积分结果进行矢量合成，求出磁感强度B；即

1. 载流长直导线的磁场

如右图，导线长 L，电流为 I，方向向上，P 点与L的垂直距离为 D，现计算导线电流在 P 激发的磁感应强度

在导线上任取一段电流元 Idl，它到P的位矢为 r 则

d l×r的方向垂直版面向内，且导线任意处的电流元激发的场均沿此方向

对无穷长直导线：

2. 载流园线圈轴线上的磁场

圆形线圈半径为 R，电流为 I，P 为轴线上一点，求P的磁场选线圈中心 O 为原点,OP 为 x 轴正向，在线圈上任取一电流元 Idl，r 为位矢 d l×r的方向即 dB 的方向而d B=d B⊥+d B//

由于对称性，d B⊥将被园直径另一端的反向电流元在P点激

发的磁场抵消，

称为磁矩，线圈面积S的法向，与 I 方向满

足右手法则，磁矩 Pm 是与电矩 Pe 对应的量。

安培环路定律的应用

1.长直圆柱形载流导线内外的磁场

设电流均匀分布，当所考察点离导线的距离比此点离导线两端的距离小得多时，

可把导线当作无限长，系统有轴对称，所以 B 的环流

r

在圆柱形导线内部，B 正比于离开轴线的距离 r。

? r>R（图中P点），，

在外部，与长直导线激发的磁场相同，反比于 r。

2. 载流长直螺线管内的磁场

设螺线管上线圈均匀且紧密、通有电流I，管的口径远小于管长，从而对管内磁场，螺线管可视为无限长。由对称性，管内磁感应线是一系列与轴线平行的直线，管外磁场可忽略。

P 为管内一点，过P作一矩形闭合回路 ABCD，规定绕行方向如

箭头所示

设螺线管长为 l，共N匝线圈，令 n=N/l，则回路A B C D所包

电流总和为 A B n I

B 是一个常数，所以无限长螺线管中磁场是一均匀磁场，方向平行于轴线

3. 载流螺绕环内的磁场

仍然设环上线圈绕得很紧密且均匀，则磁场几乎全集中在螺线管内。

由于对称性，环内磁感应线都是一些同心圆，且同一磁感应线上，各点B值

相等，方向处处沿园的切线。

P 为管内任意一点，与环心距离 r

选择过 P 的磁感应线 L（即半径为 r 的园）为积分回路，B 的环流：

这里，N 为线圈的总匝数，I 为电流。

所以，P 点的磁感应强度为

4.同轴的两个长直圆筒状导体，外筒与内筒通有大小相等、流向相反的电流

I，设外圆筒的半径为，内圆筒的半径为。求与轴相距为r处一点的磁

感强度。若：（1）；（2）；(3)。

解根据安培环路定理：

，①

分别取图示的同轴圆周环路,,，其半径分别为，，，

环路绕向均为顺时针。

（1）B 沿圆周环路的切向，故B 与的夹角处处为，有

，

（）

又

则把上两式代入式①，成为

所以，在处得磁感应强度为

（2）同理，沿环路，有

所以，在处得磁感应强度为

（3）同理，沿环路，有

所以，在处的磁感应强度。

运动电荷的磁场:一半径为R的薄塑料圆盘，在盘面均匀分布着电荷q，若圆盘绕通过圆心、且与盘面垂直的轴以角速度作匀速转动时，求在盘心处产生的磁感强度B的大小。

分析:电流在空间可以产生磁场，运动的电荷同样可以在空间产生磁场。因此，一个运动的带电体也在空间产生磁场。要计算带电圆盘在圆心处产生的磁场时，可以借助于圆电流磁场的公式。

首先，将运动的带电圆盘分割成许多宽度为的带电圆环；

其次，写出其中任意一个带电圆环转动时的等效电流；（注意：每个圆环的转速相同，但荷电量不同，因此等效电流不同。）

最后，将所有运动圆环在圆心处产生的磁场叠加起来。（注意：每个圆环在圆心处产生的磁感强度的方向均沿轴线方向，是同向叠加。）

解将圆盘分割为一系列半径不同的同心圆环，其中如图所示的圆环在旋转时的等效电流为

，

所以

已知一个载流圆环载圆心处产生的磁场是。带电圆环在旋转时在圆心处产生的磁场为

整个带电圆盘旋转时在圆心处产生的磁场为

磁场对载流导线的作用

1.如图所示，一段半圆形导线，通有电流 I，园的半径为R，放在均匀磁场 B 中，磁场与导线平面垂直，求磁场作用在半圆形导线上的力。

解：取坐标系 xOy 如图，各段电流元受到的安培力均为

但方向沿法线向外，由于对称性，各电流元所受力在 x 方向的分量

相互抵消，只有 y 方向的分量对合力才有贡献，

故整段导线所受力 F 沿 y 方向，大小为

2.在长方形线圈cdef中通有电流在长直导线ab内通有电流，电流流向如图所示；ab与cf及de互相平行，尺寸已在图上标明。求长方形线圈上所受磁场力的合力。

（提示：先求出每段导线上所受的力，再求合力）。

解按公式，cf和de两段载流导线所受的磁场力分别为

cd和ef两段载流导线处于不均匀磁场中，

它们所受磁场力可分别计算如下：

显然，cd与ef段所受磁场力与等值，反向，共线。即与相互抵消。所以，整个线圈所受磁场力的合力为

代入已知数据，算得

、

3.半径为R、载有电流的导体圆环与载有电流的长直导线ab共面，ab通过圆环的铅直直径，而且与圆环彼此绝缘。

求证：圆环所受的力为

解在圆环上取电流元，相应的中心角为，所受的安培力为

其中，而。在载流长直导线AB右侧，B的方向垂直纸面向里。电流元所受安培力的方向沿径向，大小为

各电流元所受安培力的方向不同。取坐标系，如图所示，在x，

y 轴上的分量为

，安培力F在x，y 轴上的分量

为

所以安培力F的大小和方向为

带电粒子在磁场中的运动:1. 如图，从阴极K逸出的电子自初速为零开始，受阳极A和阴极K之间的加速电场作用而穿过A上的小孔，然后受垂直纸面向外的均匀磁场B作用，使其轨道弯曲而射到点P，若加速电

压为V，且不计电子的重力，求证：电子的比荷为。

解：在极之间电子的初速度为，则按质子的动能定理，有

（1）

穿过小孔后电子进入均匀磁场B，所受洛伦兹力为

按牛顿第二定律，设电子的轨道半径为R，则有

（2）

又如图所示

即（3）

联立方程得电子荷质比为

2. 带电粒子穿过过饱和蒸汽时，在它通过的路径上，过饱和蒸汽便凝结成小液滴，而使它的运动径迹显示出来，这就是汽泡云室的原理．如果在云室中有B=1.0T的均匀磁场，在垂直于该磁场的平面上，观测到一个质子的圆弧径迹的半径为r= 0.20 m，求质子的动能。质子的质量和电荷可查表。

解：质子的电量为，质量为，已知，

按洛伦兹力公式

由，

；

质子的动能为

代入已知数值，得

带电粒子在电场和磁场中的运动:1.一方向铅直向下的均匀电场与一均匀磁场(方向垂直纸面向里)互相垂直．电场强度大小为，若要使速度的带正电质点沿水平方向穿过这两个场而不改变运动方向(如图所示)，且不计质点的重力，则磁场的磁感强度应为何值？

解：按题意，代正电质点在铅直方向所受洛伦兹力与电场力应平衡，即

亦即与必等值、反向、共线，其大小为

设质点带电量为q，则；

有

磁场的磁感应强度为

已知，

2.在图示的平行板A、B之间，有相互垂直的均匀电场E和均匀磁场B，若电子从平板间的中央以水平初速射入而不改变运动方向，则所需电压至少为多大？设平行板水平放置。

解：电子进入平行电板之中央，受洛伦兹力和电场力作用，即；

按题意水平方向运动的电子方向不变，在铅直方向为二力平衡，即

由

有介质时磁场的安培环路定理:1.在半径为R的无限长圆柱体中通有电流I，设电流均匀地分布在柱体的横截面上，柱体外面充满均匀磁介质，磁导率为，试求：

(1) 离轴线r(r＞R) 处的磁感强度；

(2) 离轴线r(r＜R)处的磁场强度。

解（1）以为半径，作同轴的闭合圆形环路（见图）,按有磁介质时磁场的安培环路定理

有

得

由，则离轴线为r处的磁感强度为

（2）取为半径，作同轴的闭合圆形环路（见图），考虑到电流密度为

，

环路所包围的电流为，则同理有

得

2.为了测定某种材料的相对磁导率，常将这种材料做成截面为矩形的环形螺线管的芯子。设环上绕有线圈200匝，平均周长为0.10 m，横截面积为, 当线圈内通有电流

为时，用磁通计测得穿过环形螺线管横截面积的磁通量为。试计算该材料的相对磁导率。

解按有磁介质时的安培环路定理

可知，为了使磁场强度的大小在所选环路上处处相等，必须沿环的平均周长

为环路进行积分，即

因此

又因

有

由此得

代入已知数据，可算出

磁介质的应用:环形螺线管上每厘米绕有5 匝线圈，若管内没有铁芯，当通有电流2A时，求管内的磁场强度和磁感强度。若有铁芯时，哪一个量将起变化？

解：已知，，

按环形螺旋管内磁场强度公式，得

管内为真空时，此感应强度为

若有铁芯时，B将起变化；而H仅与传导电流有关，与介质无直接关系。

电磁感应现象(楞次定律):1.一铅直的长直导线通有电流A，将一个面积S的小铜圈

C以速度v匀速地离导线水平向右移动，铜圈平面与直导线在同一平面内，当铜圈距导线20cm时，求铜圈中的感应电动势．(提示：小铜圈内各点磁感强度可视作一样，可先求出穿过铜圈面积的磁通量与铜圈到长直导线距离之间的关系，再将距离作为自变量求)。

解取小线圈循顺时针的回路绕向，则它的正法线与B两者方向一

致，。当此线圈运动到距长直载流导线为r 处时，通过小线圈得

磁通量为

通过线圈的磁通量变化率为

式中，是小线圈的运动速度。由已知数据，可求得线圈中的感应电动势为

，表明小线圈中感应电动势的指向循假定的回路绕行方向，即顺时针转向。

或者，也可以像通常那样，按求的大小，用楞次定律确定其指向。

2.如图所示，在均匀磁场B中放置一长方形导体回路，其中，边长为l的ab段可沿x轴方向以匀速v向右滑动．设磁场B的方向垂直于回路平面，磁感强度的大小B随时间t 的变化

规律为 (比例系数k＞0)。求回路中任意时刻的感应电动势。解已知，，

，则穿过回路的磁通量为

回路的感应电动势为

，

因为，沿垂直向上方向，在增大，按楞次定律，的指向循顺时针

转向。

法拉第电磁感应定律:利用法拉第电磁感应定律，可以求解三个方面的问题：

1．当穿过回路的磁通量随时间变化时，可以求出回路中感应电动势的大小；

2．如果再利用欧姆定律，就可以求出回路的感应电流；

3．如果再利用电流强度和电荷的关系，可以求出一段时间内通过回路的感应电荷量。

1.自到的时间内，若穿过闭合导线回路所包围面积的磁通量由变为，求这段时间内通过该回路导线中任一横截面的电荷，回路导线的电阻为。

解: 按题意可知，回路中将引起感应电动势，大小为，则由闭合电路的欧姆定律，

有。根据电流强度的定义，，可得通过导线横截面的电荷为:

这电荷的大小与磁通量的改变值成正比，而与其变化率无关．因此，只要测得通过回路导线中任一横截面的电荷，并在回路导线电阻已知的情况下，就可用来测定磁通量的变化值．磁通计就是根据这个原理设计的。

2.如图，一均质梯形导线框，边长AB=0.2m，BC=AD=0.4m，CD=0.6m，在均匀磁场中绕铅直对称轴以匀角

速转动。磁感强度B的方向水平向右，大小为。当线框转到图示的位置时，求线框中的感应电动势。

解：（1）

转在左图位置时，，则

而

线框的电动势为

解法二：因为

因为，

所以

线框的总电动势为

感应电流为

（2）因为

3.在一长直螺线管中部放一同轴小线圈(面积 S，匝数 N，总电阻

R)，磁场以下降到零，求εmax 和通过小线圈截面的

感生电荷 q

动生电动势:1.如图，一金属棒长，在大小为

、方向垂直纸面向内的均匀磁场中，以一端为轴心

作逆时针的匀速转动，转速为。求此金属棒的动生电动势；并问哪一端电势高?

分析:这是一道求解动生电动势的简单例题，我们既可以用动生电动势公式（1）来求解，同时也可以用法拉第电磁感应定律来求解。

在用动生电动势的公式求解时，一定要注意磁场、线元d l、线元的运动速度三者方向间的关系。

解法一假定金属棒中电动势的指向为，沿着这个指向，在金属

棒上距轴心为处取线元，其速度大小为，方向垂直于

，也垂直于磁场，按题意，，；故按右手螺旋法

则，矢量与同方向，即．于是，按动生电动势公式（1a），

得棒中的动生电动势为

代入题设数据，得动生电动势的大小为

，故它的指向与所假定的一致，即，故端的电势高；而两端之间的电势差为

解法二本题也用法拉第电磁感应定律来求解。

可以这样理解此题：当棒转过角时，它所扫过的面积为，通过这面积的磁感线显然都被此

棒所切割，如棒转过角所需时间为，则棒在单位时间内所切割的磁感线数目，即为所求的金属棒中的动生

电动势大小。因此，由于金属棒是在均匀磁场中转动，则时间内扫过面积的磁通量为，则

这与解法一所得的结果一致。

当金属棒在磁场中转动时，棒中的电子在洛伦兹力的作用下，向A端积累，相应地O端积累正电荷，从而在金属棒中出现静电场。当金属棒中的电子受到的静电力和洛伦兹力平衡时，金属棒两端积累的正负电荷达到稳定值。所以，金属棒上O端的电势高。棒两端之间的电势差为

读者试想一下，如果金属棒反向旋转，上述计算结果又将如何？

在本例中，若将金属棒与外电路连接成闭合电路，则棒相当于一个电源的内电路。因此，内电路中的电流是由低电势的A处流向高电势的O处，而外电路中的电流则是由高电势流向低电势。法拉第圆盘发电机就是依据这一原理来发电的。

2.一铜棒长为l，水平放置于一铅直向上的均匀磁场B中，绕位于距a端处的铅直轴在水平面

内匀速旋转，每秒钟转两转，转向如图所示．已知该磁场的磁感强度B。

求铜棒a,b两端的电势差。

解假定沿棒的cｂ段取为电动势的指向，循此指向，

在距轴为r 处取线元,

其速度大小为，方向垂直于纸面朝里，也垂直于磁场，即，故；按矢积的右手螺旋定则，可判定矢量的方向，它与为同方向，即。于是按本节公式（3a）。棒上cb段的动生电动势为

指向为。

读者仿照上述方法可求得ca段上的动生电动势为

指向为。于是，由已知数据，可算出铜棒两端a,b的电势差为

显然，，即b端的电势较高。

感生电动势:求螺线管内的感生电场 E

交流发电机的基本原理:1.如图所示的空间区域内有均匀磁场分布，现有一半圆形线圈，可绕垂直于画面并通过圆心O的轴,以匀角速度

作逆时针方向的转动。起始时刻线圈的位置如图所示，试求感应电动势的大小和方向。

解法一：(用法拉第电磁感应定律解、用动生电动势方法解。)

首先，沿线圈作一半圆形回路，选顺时针方向为回路正绕向，则回路的面

法线正方向垂直于画面向里，与磁场B同向。

下面分两种情况来求解

1.当时，穿过线圈的磁通量为

；

由法拉第电磁感应定律有

其中负号说明，为逆时针方向，与回路绕行方向相反。

2.当时，穿过线圈的磁通量为

；

式中，说明此时为顺时针方向，与回路绕行方向相同。

解法二：用动生电动势方法求解

线圈以角速度转入磁场的过程中，线圈上只有直线部分在磁场中切割磁感线，其上有动生电动势。但由于直线的运动是绕O点转动，故直线上各点的线速度不同，电动势的分布也不同。

在进入磁场的直线部分取一小线元 d l=-d r，如图所示，且，即；与反方向，，

则其上的电动势为 :

负号说明电动势的方向与矢径的方向相反，指向圆心O点。

当时，线圈转入磁场，电动势方向为逆时针方向。

当时，线圈转出磁场，电动势方向为顺时针方向。

2.一半径为r，总电阻为R的圆环，在均匀磁场中以匀角速度绕一通过圆环直径的轴转动，该轴垂直于

磁场B。当t = 0时，圆环平面与纸面重合，t时刻圆环平面转过角(本题不考虑自感作用，有关自感现象在第五节中介绍)。求：

（1）当时，圆环中的感应电流；

（2）当时，圆环所受的磁力矩。

解（1）按题设，时，圆环平面在纸面上；在任一时刻t ,圆环转过角，通过环

平面内的磁通量为

此时，圆环中的感应电流为

①

按楞次定律可判断，i的流向循顺时针转向。

（2）当时，根据上述给出的圆环中电流i的流向，按右手螺旋定则可确定线圈平面的磁矩的方向，

它与磁场B成角，且由式①，

可得圆环所受磁力矩的大小为

M的方向标示了圆环将逆着原来的转向绕轴旋转

自感:

如图所示，设有一电缆，由两个"无限长"同轴圆筒状的导体组成，其间充满磁导率为的磁介质．某时刻在电缆

中沿内圆筒和外圆筒流过的电流强度i相等，但方向相反．设内、外圆筒的半径分别为和，求单位长度电缆的自感系数。

(这是一道计算同轴电缆回路自感系数的典型例题。计算回路自感系数的具体步骤是：

1．算出电流穿过回路面积的总磁通量；

2．用自感的定义式求自感系数。

这里，根据磁场及磁介质的分布特征，正确计算出穿过回路面积的磁通量是解题的关键)

解：应用有磁介质时磁场的安培环路定理可知，在内圆筒以内及在外圆筒以外的区域中，磁场强度均为零．在

内、外两圆筒之间，离开轴线距离为处的磁场强度为

今任取一段电缆，长为，穿过电缆纵剖面上的面积元的磁通量为

对某一时刻而言，i为一定值，则长度为l的两圆筒之间的总磁通量为

按，可得长度为l的这段电缆的自感系数为

由此，便可求出单位长度电缆的自感系数为

互感:如图所示，将某种磁介质做成圆环，环的横截面积,沿周长为的环上密绕线圈1000匝．在这一螺绕环Ⅰ上套一横截面积的线圈Ⅱ，共密绕5 匝，并与冲击电流计G(可用来测量电

荷)连成一回路，设回路电阻，线圈Ⅰ通有直流电流1 A，当电键断开的时间内，从G上测出的总电荷为

，求：（1）磁介质的相对磁导率；（2）线圈Ⅰ，Ⅱ之间的互感系数M。（提示：求时，可利用

例题15-？的结果先求电荷q；求M时，可先求穿过线圈的磁通量，再由求M）

解（1）线圈Ⅱ上的感生电流为

通过线圈Ⅱ的导线横截面上的电荷为

其中，，则

于是

代入已知数据，可解算出磁介质的相对磁导率为

（2）由，得互感系数为

也可由，求出M ,结果与上述相同。

磁场能量:设有一电缆，由两个无限长的同轴圆筒状导体所组成，其间的介质情况可不考虑，内圆筒和外圆筒上的电流流向相反而强度I 相等。设内、外圆筒横截面的半径分别为和，试计算长为的一段电缆内的磁场所储藏的能量。

(对于载流回路磁场能量的计算可以采用两种方法：

1．采用磁场能量密度积分的方法计算，即

2．在已知回路自感系数L 的前提下，用自感磁能的公式计算)

解法一

根据安培环路定理可得，在内、外两圆筒之间的区域内离开轴线的距离为处的磁感强度为

在该处的磁场能量密度为

在半径为与、长为的两个圆柱面所组成的体积元d V内，磁场的能量为

对上式积分，可得内、外圆筒之间磁场内储藏的总磁能

解法二磁场能量也可用计算。

在例题04-15-05-01中，读者已经学习了同轴电缆单位长度的自感系数为

因此，同轴电缆单位长度的自感磁能为

那么，长度为l的一段同轴电缆的自感磁能为

结果与解法一相同。