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多目标决策方法

一．多目标决策方法简介 1．多目标决策问题及特点

（１） 案例

个人：购物；买房；择业．．．．．．

集体或社会：商场，医院选址；水库高度选择．．．．．．

（２） 要素

行动方案集合X;目标和属性；偏好结构和决策规则 （3） 多目标决策有如下几个特点：

决策问题追求的优化目标多于一个；目标之间的不可公度性：指标量纲的不一致性； 目标之间的矛盾性；

定性指标与定量指标相混合：有些指标是明确的,可以定量表示出来,如：价格、时间、产量、成本、投资等。有些指标是模糊的、定性的,如人才选拔时候选人素质考察时往往会以：思想品德、学历、能力、工作作风、市场应变能力等个性指标作为决策依据。

2． 多目标决策问题的描述

决策空间：}0)({≤=x g x X i 目标空间

})({X x x f F ∈=

两个例子： 离散型；连续型

3． 多目标决策问题的劣解与非劣解

非劣解的寻找连续型有时较难

4．多目标决策主要有以下几种方法：

（１）化多为少法：化成只有二个或一个目标的问题；

（２）直接求非劣解法：先求出一组非劣解，然后按事先确定好的评价标准从中找出一个满意的解。

（３）分层序列法：将所有目标按其重要性程度依次排序，先求出第一个最重要的目标的最优解，然后在保证前一目标最优解的前提下依次求下一目标的最优解，一直求到最后一个目标为止。（

（４）目标规划法：对于每一个目标都事先给定一个期望值，然后在满足系统一定约束条件下，找出与目标期望值最近的解。

（５）重排序法：把原来的不好比较的非劣解通过其他办法使其排出优劣次序来。

（６）多属性效用法：各个目标均用表示效用程度大小的效用函数表示，通过效用函数构成多目标的综合效用函数，以此来评价各个可行方案的优劣。

（７）层次分析法：把目标体系结构予以展开，求得目标与决策方案的计量关系。

（８）多目标群决策和多目标模糊决策。

（９）字典序数法和多属性效用理论法等。

二、几种常见方法简介及应用

1．加性加权法

（1）基本假设：1.属性描述用基数定量描述，且相互独立； 2.价值函数的形式是加性的。

虽然价值函数很难确切描述，但决策者认为效用合成可用加性，另外，每个属性的价值函数是关于属性指标的线性函数。

（2） 符号说明：

ij y :第i 个方案关于第j 个属性的取值；ij z :ij y 的规范值；j w :第j 个

属性的权重；i v :第i 个方案的综合取值 (3)加性加权模型：

1max i

i m

v ≤≤

1

n

i j ij

j v W Z ==∑ 1,......i m = 1,......j n =

（１）

ij z 的规范算法：

max max min ij ij ij ij ij

Y Y Z Y Y -=- 当为j 成

本型时，

min max min ij ij ij ij ij

i

i

Y Y Z Y Y -=- 当j 为效

益型时，

[]0,1ij Z ∈,当1ij Z =时，最优；0ij Z =时，最差。规范后ij Z 是越大

越优的。

Note :特殊问题的规范化值

例子：人员招聘中对人的满意度的评价――――公务员的招聘 （4）权重Wi 的求解 ――关键

两种：一是直接由决策者给出；二是分析者根据决策者给的偏好信息用一定的方法导出。

由决策者对目标的成对比较，来导出属性目标的权重：

成对比较矩阵()ij n n A a ?=

ij a :第i 个目标相对于第j 个目标的重要性

（按1-9比例标度赋值，这是根据心理学家的研究，认为人们区分信息等做的极限能力为7±2，标度1，3，5，7，9对应于两因素相比为同等重要，略微重要，比较重要，非常重要和绝对重要，而2，4，6，8表示两判断之间的中间状态对应的极度值）

成对比较矩阵性质：正互反性ji

a 1

a ij =

，

0W 0A max >≥>且存在时，,n λ；

A 为一致阵

0==?i max ,n λλ

例1：??????

??

??????????=1432

14

134132

31

22312

14321A ∑=n λ 1)(=A r 理论说明：二阶．三阶

虽然由客观事物的复杂性以及人的认识的多样性，因而判断矩阵A 未必是一致阵。但是仍要求A 有大体上的一致性。也就是说一个判断矩阵如果是有效的就不应该出现诸如“甲比乙极端重要，乙比丙极端重要，而丙比甲极端重要的逻辑谬误。因此对A 需作检验，关于A 的一致性检验分如下几步：

（1） 计算一致性指标

max 1

n

CI n λ-=

- (２)

(2)查找相应的平均一致性指标RI

表1：1-15阶正互反矩阵计算1000次得到的RI

（３）计算一致性比例CR

CI

CR RI

=

(３) 如CR ＜0.1，则认为A 的一致性问题可接受，否则需对A 作适当的修正。 利用上述成对比较矩阵，可采用和法，根法，特征根法，最小平方法来计算权重，具体方法如下：

和法： 1

1

1n ij

i n j kj

k a W n a ===∑∑ 1,2,......i n = ，

1

1n

i

i w

==∑

（４）

例 2 ?????

?

????????=13

12313

2131

1

A 1593.01=W 5889.02=W

2578.03=W

如果已求得各权重向量1w ，…wn ，则 max λ也可由下式计算得到：

1

1

1max n

ij j

n

j i

a w

n w λλ===∑∑

(５)

根法： 11111n

n

ij j i n n n kj k j a W a ===?? ???=?? ???

∏∑∏ 1,2,......i n = ， 1

1n

i Wi ==∑

（６）

特征根法：()max 0A I W λ-= ()12,,......T

n W W W W = 1

1n

i Wi ==∑ 得 唯一

正解 （７）

最小平方法: ()2

11min n

n

ij j i i j a w w ==-∑∑

1

1n

i Wi ==∑（条件极值求得）

（j

i

w w ≈

ij a ） （８） 迭代法：???????

??????

?=13

12313

2131

1

A ??

?????

?????????=3131310e k k Ae e =+1 ??????????=2206.06176.01618.010e ??????????=7500.07648.13677.02e ????

?

?????=???????

???=2602.06122.01301.07500.07648.13677.08825.2120e ．．．．．． 注意：差异不大，可根据具体情况选择使用 计算实例：控制仪器的购买

某人拟购买一个控制仪器，现有四种产品可供选择。每种产品的满意度用4个目标去衡量，即：可靠度，成本，外观和重量。每个目标对应的属性值都可以量化。每个方案即每个产品对应的属性值 用下表1所示的决策矩阵描述表示的1X ,2X ,3X ,和4X 分别代表4个产品。在这4个目标中，可靠度和外观的值越大越好，成本和重量值越小越好。试帮助该人确定这四种仪器的优势。

仪器购买的决策矩阵

表1

方案4X 的每个属性值都劣于方案1X 的每个属性值，故方案4X 是一劣解，将其从方案集中排除，则待选方案为 1X ,2X ,3X 。

对效益型属性1f ,3f 和成本型属性 2f ,4f 利用（3）和（2）将方案

1X ,2X ,3X 的属性进行规范化处理，得：

设决策者偏好结构为如下的成对比较矩阵；

1

245121221412111512

11A ??

?

?

= ?

???

（一致性检验不能少！） 采用（4）式（1

1

1n ij

i n j kj

k a W n a ===∑∑）计算得：

最后计算得三个方案1X ,2X ,3X 的目标值i V 为：

1n

i j ij j V W Z ==∑ 故10.6397V =,20.5579V =,30.2831V =

因此，四种产品的选择顺序为： 1234X X X X >>> 2 基于理想解的排序模型（目标规划法） （1）基本假设

1. 属性描述用基数定量描述，且相互独立；

2. 决策者偏好用权

（2）符号说明

*j Z ：各属性规范化后的最优值，

*x ：理想解，即*x 所对应的各属性值都是规范化后的最优值 i S ：第i 个方案与理想解的测度

（2） 基于理想解的排序模型

1min i i m

i

S ≤≤=（９）

如果决策者不给出权或给出的各属性的权相同，可用如下模型计算：

1min i i m

i

S ≤≤=（10）

注意：ij Y 的规范化可采用如下的方法：

ij Y Z =

()2

1

1m

ij i Z ==∑ （11）

理想解*x 的各个属性值()*1,2,......j Z j n =的确定可用如下方 法

应用——控制仪器的购买（内容如上）

首先排除劣解X4，将各方案的各个属性利用（11）式规范化得： 因此得理想解*x 的各个属性分量为：

权重仍用加性加权模型的结果，即各个权重的属性分量为： 代入（９）式计算得：

即四种产品的选择顺序为：2134X X X X >>> 3 线性分配模型

（1） 基本假设

1. 属性描述采用序数形式，决策者的偏好仍用权来表示

2. 对某一属性，不同方案允许并列，但最终排序不允许并列。

（2） 符号说明：

ij W 方案i X 排在位次j 的权重，称()

ij

m n

W W ?=为权矩阵。在权矩阵中，如第k

行中对应L 列的元素最大，则方案i X 有最大的可能排在第L 列。

（3） 线性分配模型

例 已知决策矩阵如下：

设权为：)3.0,1.0,1.0,3.0,2.0(=W

构造权矩阵：????

?

?????=3.04.03.03.05.02.04.01.05.0W （行为方案，列为名次） ij W 方案i X 排在位次j 的权重，称()

ij

m n

W W ?=为权矩阵。在权矩阵中，如第k

行中对应L 列的元素最大，则方案i X 有最大的可能排在第L 列。 最优决策应使最终排序下权矩阵中对应的总权之和最大，由此可知，这是一个指派问题：11max m

n

ij ij i i W P ==∑∑

如存在某一属性下的两个方案并列，可将该属性拆分为两个子属性，并分别赋一半的权重。

控制仪器的购买算例

首先，将决策矩阵转化为序数形式。

确定各个目标的权重。仍用模型加行加权模型的结果，即

计算权矩阵12340.639700.363000.11570.8834000.24460.11570.639700001X X W X X ??

?

?= ? ???

第一 第二 第三 第四

所以最优的排序结果为1234X X X X >>>，此时对应的指派问题的解为

112233441P P P P ====，其余0ij P

= 4 层次分析法

层次分析法（The Analytic Hierarchy Process 即AHP ） 是二十世纪70年代由美国学者萨蒂最早提出的一种多目标决策评价法。将决策者对复杂系统的评价决策思维过程数字化，保持决策者思维的一致，采用先分解后综合的解题思想。

层次分析法的基本假设：是层次之间存在递进结构，即从高到低或从低到高递进.

AHP 模型的简介

运用AHP 方法进行决策时，大体上可分为4个步骤： １．分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递进层次结构

２．对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较判断矩阵。

３． 判断矩阵计算得到被比较元素对于准则的相对权重

４．计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序。 具体操作如下：

1. 递进层次结构的建立

AHP 的递进层次包括三层：即目标层、准则层、方案层。其中准则层包括了为实现目标所涉及的中间环节，该层可根据实际问题再包括多个子准则层。AHP 层次结构如图1：

决策目标

准则 1 准则2 …… 准则M1 子准则1 子准则2 …… 子准则M2

方案1 方案2 …… 方案N

2.

对于一个准则P 的因素有N 个，这N 个因素之间相对重要性的比较得判断矩阵记为()ij n n A a ?=，其中ij a 表示因素i u 对j u 的重要性；

3. 单一准则下元素相对权重的计算及判断矩阵的一致性检验

（１）设n 个因素1,......n u u 相对于准则P 及判断矩阵为()ij n n A a ?=,由A 可计算1,......n u u 对P 的相对权重1,......n w w 方法如下：

和法 ：

1

1

1n ij

i n j kj

k a w n a ===∑∑ 1,2,3......i n = (1)

根法：

1

1111n n

ij j i n n n kj k j a w a ===??

???=?? ???

∏∑∏ 1,2,3......i n = (2) 特征根法：

由()0A λI -=,可计算得最大特殊根max λ，则

max W AW λ= (3)

W 是 max λ 对应的特征向量，将W 的各分量进行归一化处理后即可作为

数向量1,......,n w w 最小二乘法：

设权重向量1(,......)T n W w w =则满足残差平方和最小的权向量

()2

11min n

n

ij j i i j a w w ==-∑∑ (4)

其中权向量满足1

1n

i i w ==∑

具体计算时可采用拉格朗日的条件极值求得各i w （２）判断矩阵的一致性检验 计算一致性指标：

max 1

n

CI n λ-=

- (5)

查找相应的平均一致性指标RI ：

表1：1-15阶正相反矩阵计算1000次得到的RI

计算一致性比例CR ：

CI

CR RI

=

(6) 如CR ＜0.1，则认为A 的一致性问题可接受，否则需对A 作适当的修正。

4. 计算合成权重，并进行排序

总排序权重要自上而下的将单准则下的权重进行合成，并逐层进行总的判断一致性检验。

设 ()11111,.....t

k k k nk w w w ----= 表示第1K -层上1k n -元素相对于总目的排序的

权重向量。用 (

)1,......j kj

t

k

k k j

n p p p

=表示第K 层上k

n 个元素对第1K -上第j

个元素为准则的排序权重向量，其中不受j 元素的支配的元素权重取为

零，矩阵()11,......k k k nk p p p -=是阶1k k n n -?阶矩阵 ，它表示第K 层元素对

1K -层上各元素的排序，则第K 层上元素对目标的总排序

或1

1

1k n k

k k i

ij j j w p w --==∑ 1,2,3......i n =

即有公式：12......k k k w p p w -=

其中 2w 是第二层上元素的总排序向量，也是单准则下的排序向量。相应的各层的一致性检验：

论 k j CI 为1K -层上元素为准则的一致性指标，平均一致性指标为 k j RI ，

一致性比例为 k j CR

11,2,3......k j n -=，则K 层的综合指标 0.1k j CI <认为递阶层次结构在K 层水平上的所有判断具有整体满意的一

致性。

3.12 AHP 模型的应用——某高校从三个候选人中选一人担任领导

候选人的优劣用六个属性去衡量： ①健康状况②业务知识③书面表达能力 ④口才⑤道德水平⑥工作作风

关于这六个属性的重要性，有关部门设定的属性重要性矩阵A 为

11141

121

12411211215

3121414151131311133112223

11??

?

? ?

? ? ?

?

??

? （一致性检验不能少！通过！

） 1

1

1n ij

i n

j kj

k a W n a ===∑∑ 计算得权向量： (0.1592,0.1847,0.1985,0.049,0.1556,0.2539) ①健康状况 ②业务知识 ③书面表达能力

..0.539*C R =（调整！

） 调整判断矩阵为： ④口才 ⑤道德水平 ⑥工作作风

..0.199*C R = （调整！

） (0.7928,0.1312,0.0760) 按健康状况、业务知识、书面表达能力、口才、道德水平、工作作风 的顺序排列

0.14290.09740.25830.27900.46670.79280.57140.33310.10470.64910.46670.13120.28570.56950.63700.07190.06670.0760X B Y Z ?? ?

= ? ???

(0.1592,0.1847,0.1985,0.049,0.1556,0.2539) 可知，应选择候选人X 担任该职务 六、残缺判断与群组决策 （1）残缺判断处理方法 **残缺判断可接受条件：

定义1：一个残缺判断矩阵称为是可接受的，如果它的任一残缺元素都可以通过已给出的元素间接获得，否则就是不可接受的。

容易证明：一个残缺判断矩阵可接受的必要条件是除对角元素外，每行每列至少有一个给定元素，故至少要作(n-1)次判断。 设θ表示残缺元素，显然当ij a θ=时.ji a θ=

定义2：方阵A 能用行列同时调换化为1

2

3A O A A ??

?

???

形式，则A 称为可约矩阵。（否则称为不可约矩阵）

例：1

032120010011110;

0123300111

012

3

-??????

??

????????????????

??-????

都是可约矩阵。 为了讨论残缺矩阵的可接受性，先将残缺元素θ看成0，则有： 定理：一个残缺判断矩阵可接受的充分必要条件是A 是不可约矩阵。 **残缺矩阵排序向量计算方法 特征根法：

对残缺判断矩阵A 构造辅助矩阵C ，使得：0,()1

0,ij ij ij i j

ij a a i j C c i j w w a i j

?≠≠?

===??=≠? 求C 的特征根问题：max Cw w λ= 等价于求矩阵A 的元素为：

()ij A a ==0,1

10,ij ij i

ij a a i j i j m a i j

?≠≠?

=??+=≠?，1,2,,i n =L 其中i m 为A 的第i 行中 残缺元素的个数，并且有：max Aw w λ=，A 称为A 的等价矩阵。直接求A 的特征根问题即可求得不完全信息下的排序向量。

例1：设1201

1221012

A ??????

?

?=???????

?

，这是一个可接受的残缺判断矩阵，辅助矩阵1331

121122112

w w C w w ????????

=?

?????????

， A 的等价矩阵2201122

1022

A ?????

??

?=????????

， C 与A 有相同的主特征值max λ和主特征向量.w 解：max Aw w λ=，得： **一致性检验

A 的一致性检验可用下面的公式：max 1(1)/n

i i n

CI n m n

λ=-=

--∑，

CI

CR RI

=

如CR ＜0.1，则认为A 的一致性问题可接受，否则需对A 作适当的修正。当A 残缺时，当其它非残缺元素有较协调的判断时，才能满足总体一致性的要求。

2．群组决策

（1）重视并做好专家咨询工作 （2）群组决策综合方法 特征根法：

方法一：加权几何平均综合排序向量法

S 个专家的判断矩阵,()k ij A a k =分别计算出它们的排序向量：

12(,,)T k k nk W w w w =L ，1,2,.k s =L 然后求出它们的加权几何平均综合向量12(,,)T s W w w w =L ，其中

当12s λλλ===L 时 j w =112(,,)s j j js w w w L ，1,2,.j n =L

计算j w

的标准差：j σ=相应于新的总体判断矩阵()i

ij j

w A a w ==的总体标准差： 个体标准差：

当总体标准差满足要求时，这组群判断可采用，当个体()k σε<时认为第k 个专家可通过，否则将信息反馈给有关专家，供修改时参考。 方法二 加权算术平均综合排序向量法

将各专家判断矩阵得到的排序向量的加权算术平均作为综合排序向

量12(,,)T n W w w w =L ，即：

11221,1,2,,1j j j n jn s k k w w w w j n λλλλ==+++=???

=?

?

∑L L 当12s λλλ===L =1

s 时有：121(),1,2,js

j j j w w w w j n s

=+++=L L

同样可根据(),,k j ij σσσ计算标准差，并反馈给专家。

四、几种方法的比较

4.1加性加权法是一种比较简单易行的方法，给人以明了，直观的感觉，是人们最经常使用的多目标决策方法。使用加性加权法解决问题的关键在于确定指标体系并设定各最底层指标的权系数。

但是加权法常常被人们不适当的使用，这是因为使用加权法意味着承认以下假设：

（1）指标体系为树状结构，即每个下级指标只与一个上级指标相关联；（2）每个属性的编辑价值是线性的（优劣与属性值的大小成比例），每两个属性都是相互价值独立的；

（3）属性间的完全可补偿性：一个方案的某属性无论多差都可用其他属性来补偿。

而事实上这些假设都过于理想。

4.2线性分配法的优缺点

在这种方法中，我们默认为每个方案必须也只能排在一个位置上，且每个位置也必须只能排一个方案。

4.3 基于理想解的优缺点

用理想解求多属性决策问题的概念简单，只要在属性空间定义适当的距离测度就能计算被选方案与理想解。但是，显然理想解在实际问题中一般是不存在的。

4.4 层次分析法的优缺点

层次分析法是一种将决策者的定性判断和定量计算有效结合起来的决策分析方法。它的分析和解决问题的方法具有系统、实用、简洁，的特征。

（1）系统性层次分析把研究对象作为一个系统。按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。

（2）实用性层次分析把定性和定量方法结合起来，能处理很多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广。同时，折中方法将决策者与决策分析者相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。

（3）简洁性具有中等文化程度的人即可以了解层次分析的基本原理和掌握它的基本步骤，计算也非常简便，并且获得的结果简单明确，容易为决策者了解和掌握。

但是它同时有存在一些局限性：第一，它只能从原有的方案中选优，不能生成新的方案；第二，它比较、判断直到结果都是粗糙的，不适于精度要求很高的问题；第三，从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人的主观因素作用很大，这就使得决策结果可能难以为众人接受。当然，采取专家群体判断的方法可以克服这一缺陷。

希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：

1、要接受自己行动所带来的责任而非自己成就所带来的荣耀。

2、每个人都必须发展两种重要的能力适应改变与动荡的能力以及为长期目标延缓享乐的能力。

3、将一付好牌打好没有什么了不起能将一付坏牌打好的人才值得钦佩。