2020年安徽省六安一中高考数学适应性试卷(文科)(7月份)
2020年安徽省六安一中高考数学适应性试卷（文科）（7月份）
一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合A={x∈Z|x>?1}，集合B={x|log2x<2}，则A∩B=()
A. {x|?1 B. {x|0 C. {0,1，2，3} D. {1,2，3} 2.设复数z=1+bi(b∈R)，且z2=?3+4i，则z的虚部为() A. ?2 B. ?4 C. 2 D. 4 3.已知函数f(x)=e x?(x+1)2(e为自然对数的底数)，则f(x)的大致图象是() A. B. C. D. 4.对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下折线图，下面是关于这 两位同学的数学成绩分析． ①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110,120]内； ③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为() A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5.一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为√3π，则 该圆锥的体积为() A. 2√3π B. 2√3 3π C. 4√3 3π D. 8√3 3 π 6. 已知函数f(x)={e x ?e ?x (x >0)?x 2(x ≤0) ，若a =50.01，b =3 2log 32，c =log 20.9，则有( ) A. f(b)>f(a)>f(c) B. f(a)>f(b)>f(c) C. f(a)>f(c)>f(b) D. f(c)>f(a)>f(b) 7. 下列命题错误的是( ) A. 命题“若xy =0，则x ，y 中至少有一个为零”的否定是：“若xy ≠0，则x ，y 都不为零” B. 对于命题p ：?x ∈R ，使得x 2+x +1<0；则￢p ：?x ∈R ，均有x 2+x +1≥0 C. 命题“若m >0，则方程x 2+x ?m =0有实根”的逆否命题为“若方程x 2+x ?m =0无实根， 则m ≤0” D. “x =1”是“x 2?3x +2=0”的充分不必要条件 8. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 11+2a 6a 8+a 3a 13=25，则a 72 的最大值是( ) A. 25 B. 25 4 C. 5 D. 2 5 9. 把函数y =sin2x 的图象沿x 轴向左平移π 6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数 y =f(x)的图象，对于函数y =f(x)有以下四个判断：①该函数的解析式为y =2sin(2x +π 3)；②该函数图象关于点(π 3,0)对称；③该函数在[0,π 6]上是增函数；④函数y =f(x)+a 在[0,π 2]上的最小值为√3，则a =2√3.其中，正确判断的序号是( ) A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 10. 已知点A 是抛物线x 2=4y 的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点， P 在抛物线上且满足|PA|=m|PF|，当m 取最大值时|PA|的值为( ) A. 1 B. √5 C. √6 D. 2√2 11. 已知向量a ? ，b ? 满足|a ? |=1，a ? 与b ? 的夹角为π 3 ，若对一切实数x ，|x a ? +2b ? |≥|a ? +b ? |恒成立，则|b ? |的取值范围是( ) A. [1 2,∞) B. (1 2,∞) C. [1,+∞) D. (1,+∞) 12. 已知函数f(x)=1 2ax 2+cosx ?1(a ∈R)，若函数f(x)有唯一零点，则a 的取值范围为( ) A. (?∞,0) B. (?∞,0)∪[1，+∞) C. (?∞,0]∪[1,+∞) D. (?∞,?1]∪[1,+∞) 二、填空题（本大题共3小题，共15.0分） 13. 曲线y =2x 2?lnx 在某点处的切线的斜率为3，则该切线的方程为______． 14.当实数x，y满足不等式组{x≥0 3x+y≤4 x+3y≥4 时，恒有a≥y x+1 ，则实数a的取值范围是______． 15.已知双曲线C：x2 a2?y2 b2 =1(a,b>0)的左、右焦点为F1、F2，点F2关于一条渐近线的对称点在另一条 渐近线上，则双曲线C的离心率是______． 三、多空题（本大题共1小题，共5.0分） 16.已知在数列{a n}中，a6=11且na n?(n?1)a n+1=1，设b n=1 a n a n+1 ，n∈N?，则a n=(1)，数列{b n}前n项和T n=(2)． 四、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=2，acosB=(2c?b)cosA． (1)求角A的大小； (2)求△ABC的周长的最大值． 18.如图，四棱锥P?ABCD中，四边形ABCD是边长为4的菱形，PA=PC，BD⊥PA，E是BC上一点， 且BE=1，设AC∩BD=O． (1)证明：PO⊥平面ABCD； (2)若∠BAD=60°，PA⊥PE，求三棱锥P?AOE的体积． 19. 已知Q 为圆E ：x 2+(y +1)2=16上一动点，F(0,1)，QF 的垂直平分线交QE 于点P ，设点P 的轨迹 为曲线C ． (1)求曲线C 的方程； (2)已知直线l 为曲线C 上一点A(x 0,?1)处的切线，l 与直线y =4交于B 点，问：以线段AB 为直径的圆是否过定点F ？请给予说明． 20. 某企业对某种产品的生产线进行了改造升级，已知该种产品的质量以其质量指标值m 衡量，并依据质 量指标值m 划分等级如表： 该企业从生产的这种产品中随机抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值，得到如图的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图估计这100件产品的质量指标值m 的平均数x ? (同一区间数据用该区间数据的中点值代表)； (2)用分层抽样的方法从样本质量指标值m 在区间[150,200)和[200,250]内的产品中随机抽取4件，再从这4 件中任取2件作进一步研究，求这2件都取自区间[200,250]的概率； (3)该企业统计了近100天中每天的生产件数，得下面的频数分布表： 该企业计划引进新的设备对该产品进行进一步加工，有A，B两种设备可供选择．A设备每台每天最多可以加工30件，每天维护费用为500元/台；B设备每台每天最多可以加工4件，每天维护费用为80元/台．该企业现有两种购置方案： 方案一：购买100台A设备和800台B设备； 方案二：购买200台A设备和450台B设备． 假设进一步加工后每件产品可以增加25元的收入，在抽取的这100天的生产件数(同一组数据用该区间数据的中点值代表)的前提下，试依据使用A，B两种设备后的日增加的利润(日增加的利润=日增加的收入?日维护费用)的均值为该公司决策选择哪种方案更好？ 21.设函数f(x)=e x?x2 ?x． 4 (1)证明：函数f(x)在(0,+∞)上单调递增； (2)当x<0时f(x) 22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为 {x =2+2cosθy =2sinθ (θ为参数)，直线l 经过点M(?1,?3√3)且倾斜角为α． (Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程； (Ⅱ)已知直线l 与曲线C 交于A ，B ，满足A 为MB 的中点，求tanα． 23. 已知f(x)=2|x ?m|+m(m ∈R)． (1)若不等式f(x)≤2的解集为[12,3 2]，求m 的值； (2)在(1)的条件下，若a ，b ，c ∈R +，且a +4b +c =m ，求证：ac +4bc +4ab ≥36abc ． 答案和解析 1.【答案】D 【解析】解：∵集合A={x∈Z|x>?1}， 集合B={x|log2x<2}={x|0 ∴A∩B={1,2，3}， 故选：D． 求出集合A，集合B，由此能求出A∩B． 本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】A 【解析】解：z2=?3+4i，∴(1+bi)2=?3+4i，1?b2+2bi=?3+4i， ∴1?b2=?3，2b=4， 解得b=2． 则z=1?2i的虚部为?2． 故选：A． 利用复数的运算法则、复数相等、虚部的定义即可得出． 本题考查了复数的运算法则、复数相等、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3.【答案】C 【解析】解：f′(x)=e x?2(x+1)=0， 相当于函数y=e x和函数y=2(x+1)交点的横坐标，画出函数图象如图 由图可知?1 故选：C． 求出导函数，利用导函数判断函数的单调性．根据数形结合，画出函数的 图象，得出交点的横坐标的范围，根据范围判断函数的单调性得出选项． 考查了导函数的应用和利用数形结合的方法判断极值点位置． 4.【答案】C 【解析】解：①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高130分，平均成绩为低于130分，①错误； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110,120]内，②正确； ③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确； ④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确．故选：C． 利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可． 本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力．5.【答案】D 【解析】解：作出该几何体的轴截面图如图， BC=2，BD=1，设内接圆柱的高为h， 由π×12×?=√3π，得?=√3． ∵△CAB∽△CED， ∴ED AB =CD CB ，即√3 AB =1 2 ，得AB=2√3， ∴该圆锥的体积为1 3×π×22×2√3=8√3 3 π． 故选：D． 由题意画出图形，由圆柱的体积求得圆柱的高，再由相似三角形对应边成比例求得圆锥的高，则圆锥体积可求． 本题主要考查了圆锥的内接圆柱的体积，考查数形结合的解题思想方法，是基础题． 6.【答案】B 【解析】解：f(x)在(0,+∞)上是增函数，且x>0时，f(x)>0，x<0时，f(x)<0， b=log3812，50.01>50=1，c=log20.9 ∴f(a)>f(b)>0>f(c)， ∴f(a)>f(b)>f(c)． 故选：B． 根据f(x)的解析式即可判断f(x)在(0,+∞)上是增函数，并且x>0时，f(x)>0，x<0时，f(x)<0，并且可判断a>1>b>0>c，从而可得出f(a)，f(b)和f(c)的大小关系． 本题考查了指数函数的单调性，增函数的定义，对数的运算，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题． 7.【答案】A 【解析】解：根据命题的否定值否定命题的结论，故A不正确， B选项是一个特称命题的否定，变化正确， C选项是写一个命题的逆否命题，需要原来的命题题设和结论都否定再交换位置，正确 D选项由前者可以推出后者，而反过来不是只推出X=1，故D正确， 故选：A． 根据命题的否定值否定命题的结论，特称命题的否定要求的变化B选项都有，写一个命题的逆否命题，需要原来的命题题设和结论都否定再交换位置，得到C正确，根据一元二次方程的解，得到D正确． 本题考查命题的否定，考查特称命题的否定，考查一个命题的逆否命题，考查必要条件，充分条件与充要条件的判断，是一个综合题目． 8.【答案】B 【解析】解：由等比数列的性质可得：a1a11=a62，a3a13=a82， ∵a1a11+2a6a8+a3a13=25，a n>0． ∴a62+2a6a8+a82=25=(a6+a8)2≥(2√a6a 8 )2， ∴a6a8≤25 4 ， 又a6a8=a72， ∴a72的最大值是25 4 ． 故选：B． 利用等比数列的性质、基本不等式的性质即可得出结论． 本题考查了等比数列的性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9.【答案】D 【解析】解：把函数y=sin2x的图象沿x轴向左平移π 6个单位，得到y=sin2(x+π 6 )， 纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y=f(x)=2sin(2x+π 3 ). ①该函数的解析式为y=2sin(2x+π 3 )，正确； ②当x=π 3时，f(π 3 )=2sinπ=0，该函数图象关于点(π 3 ,0)对称，正确； ③当x∈[0,π 6]时，2x+π 3 ∈[π 3 ,2π 3 ]，该函数在[0,π 6 ]上不单调，故③错误； ④当x∈[0,π 2]时，2x+π 3 ∈[π 3 ,4π 3 ]，函数y=f(x)+a在[0,π 2 ]上的最小值为?√3+a， 由?√3+a=√3，得a=2√3，故④正确．∴正确判断的序号是①②④． 故选：D． 由函数的图象平移与伸缩变换求得f(x)的解析式判断①；求出f(π 3)=0判断②；由x的范围求得2x+π 3 的 范围判断③；求出函数y=f(x)+a在[0,π 2 ]上的最小值，结合已知求得a判断④． 本题考查命题的真假判断与应用，考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象与性质，是中档题． 10.【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，解答此题的关键是明确当m 取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，属中档题． 过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PA|=m|PF|，设PA的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，即可求得|PA|的值． 【解答】 解：抛物线的标准方程为x2=4y， 则抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y=?1， 且由题意可得A(0,?1)． 过P作准线的垂线，垂足为N， 则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|， ∵|PA|=m|PF|，∴|PA|=m|PN|， 设PA的倾斜角为α，则sinα=1 m ， 当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切， 设直线PA的方程为y=kx?1，代入x2=4y， 可得x2=4(kx?1)， 即x2?4kx+4=0， ∴Δ=16k2?16=0，∴k=±1， ∴P(2,1)， ∴|PA|=√4+4=2√2． 故选：D． 11.【答案】C 【解析】解：∵|a?|=1，a?与b? 的夹角为π 3 ， ∴|x a?+2b? |≥|a?+b? |，化为x2a?2+4b? 2+4x a??b? ≥a?2+b? 2+2a??b? ， 即x2+2x|b? |+(3|b? |2?|b? |?1)≥0， ∵对一切实数x，|x a?+2b? |≥|a?+b? |恒成立， ∴△=4|b? |2?4(3|b? |2?|b? |?1)≤0， 化为(2|b? |+1)(|b? |?1)≥0，解得|b? |≥1． 故选：C． 由|a?|=1，a?与b? 的夹角为π 3 ，|x a?+2b? |≥|a?+b? |，化为x2a?2+4b? 2+4x a??b? ≥a?2+b? 2+2a??b? ，即x2+ 2x|b? |+(3|b? |2?|b? |?1)≥0，由于对一切实数x，|x a?+2b? |≥|a?+b? |恒成立，可得△≤0，解出即可．本题考查了数量积运算及其性质、一元二次不等式的解法与判别式的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 12.【答案】B 【解析】解：当a=0时，f(x)=cosx?1，显然此时函数f(x)的零点不唯一，不合题意，故可排除选项C； 依题意，方程cosx=?1 2ax2+1有唯一解，即函数g(x)=cosx与函数?(x)=?1 2 ax2+1的图象有唯一交 点， 当a<0时，如图， ax2+1的图象显然只有唯一交点(0,1)，符合题意，故可排除选项D；函数g(x)=cosx与函数?(x)=?1 2 当a>0时，如图， ax2+1的开口越小，由图可知，由二次函数的性质可知，函数?(x)的开口向下，且a越大，函数?(x)=?1 2 ax2+1的图象显然只有唯一交点(0,1)，符合题意，故可排除选项A；此时函数g(x)=cosx与函数?(x)=?1 2 故选：B． 当a=0，由余弦函数的周期性可知，此时函数f(x)的零点不唯一，当a≠0时，问题等价于函数g(x)=cosx ax2+1的图象有唯一交点，分a>0及a<0三种情况讨论，结合图象即可得出结论． 与函数?(x)=?1 2 本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想及转化思想的运用，该题也可以利用导数分类讨论得解，但作为选择题，采用分类讨论加排除法，可以快速而有效的得出答案，是考试中的必备技巧，属于中档题． 13.【答案】3x?y?1=0 【解析】解：由y′=4x ?1x =3得：x =1,或x =?1 4(舍)． 所以切点坐标为(1,2).故切线方程为y ?2=3(x ?1)． 即3x ?y ?1=0． 故答案为：3x ?y ?1=0． 先利用已知的切线斜率，列方程求出切点的横坐标，然后代入原函数求出切点坐标，最后利用点斜式写出切线方程． 本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法．属于基础题． 14.【答案】[4,+∞) 【解析】解：不等式组对应的可行域为图中的阴影区域． 由题a ≥y x+1，y x+1=y?0 x?(?1)表示平面区域内的点(x,y)与点B(?1,0)连线的斜率． 当(x,y)取点A(0,4)时，y x+1的最大值为4 0+1=4，所以a ≥4． 故答案为：[4,+∞)． 画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可． 本题考查线性规划的简单应用，画出约束条件的可行域，判断目标函数的几何意义是解题的关键． 15.【答案】2 【解析】解：双曲线C ： x 2a 2? y 2b 2 =1(a,b >0)的左焦点为F(?c,0)， 渐近线方程为y =±b a x ， 设F 关于y =b a x 的对称点为(m,?b a m)， 由题意可得 bm a ?c?m =?a b ，(?) 且1 2(0?b a m)=1 2?b a (m ?c)， 可得m =1 2c ，代入(?)可得b 2=3a 2， c2=a2+b2=4a2， 则离心率e=c a =2．故答案为：2． 设双曲线的左焦点为F(?c,0)，求出渐近线方程，设F关于y=b a x的对称点为(m,?b a m)，由中点坐标公式 和两直线垂直的条件：斜率之积为?1，解方程可得2m=c，代入可得a，b的关系，再由离心率公式，计算即可得到所求值． 本题考查双曲线的离心率的求法，点关于直线的对称问题的解法，考查运算化简能力，属于中档题．16.【答案】2n?1，n∈N? n 2n+1 【解析】解：由na n?(n?1)a n+1=1，可得a1=1， 由a6=11，可得a5=9，a4=7，a3=5，a2=3， 猜想a n=2n?1，n∈N?， 由na n?(n?1)a n+1=n(2n?1)?(n?1)(2n+1)=1恒成立， 则a n=2n?1，n∈N?成立， 则b n=1 a n a n+1=1 (2n?1)(2n+1) =1 2 (1 2n?1 ?1 2n+1 )， T n= 1 2 (1? 1 3 + 1 3 ? 1 5 + 1 5 ? 1 7 +?+ 1 2n?1 ? 1 2n+1 ) =1 2(1?1 2n+1 )=n 2n+1 ． 故答案为：2n?1，n∈N?，n 2n+1 ． 由数列的递推式可得数列的前5项，猜想a n=2n?1，n∈N?，代入检验可得所求通项公式；再由数列的裂项相消求和，可得所求和． 本题考查数列的通项公式和数列的裂项相消求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题． 17.【答案】解：(1)由已知，得acosB+bcosA=2ccosA． 由正弦定理，得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA， 即sin(A+B)=2sinCcosA， 因为sin(A+B)=sinC， 所以sinC=2sinCcosA． 因为sinC≠0， 所以cosA=1 ． 2 因为0 所以A=π ； 3 (2)由余弦定理a2=b2+c2?2bccosA， 得bc+4=b2+c2， 即(b+c)2=3bc+4． )2， 因为bc≤(b+c 2 (b+c)2+4． 所以(b+c)2≤3 4 即b+c≤4(当且仅当b=c=2时等号成立)． 所以a+b+c≤6． 所以△ABC周长的最大值为6． 【解析】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． .由范围(1)由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式得sinC=2sinCcosA，结合sinC≠0，可求cosA=1 2 0 (2)由余弦定理，基本不等式可求b+c≤4，即可得解． 18.【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，O是 AC的中点， ∵BD⊥PA，PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC， ∵PO?平面PAC，∴BD⊥PO， ∵PA=PC，O是AC的中点，∴PO⊥AC， ∵AC∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD． (2)解：由四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，得△ABD和△BCD都是等边三角形， ∴BD=AB=4，∵O是BD的中点，∴BO=2， 在Rt△ABO中，AO=√AB2?BO2=2√3， 在Rt△PAO中，PA2=AO2+PO2=12+PO2， 取BC的中点F，连结DF，则DF⊥BC， ∴在Rt△POE中，PE2=OE2+PO2=3+PO2， 在△ABE 中，由余弦定理得AE 2=AB 2+BE 2?2AB ?BEcos120°=21， ∵PA ⊥PE ，∴PA 2+PE 2=AE 2，∴12+PO 2+3+PO 2=21，∴PO =√3， ∵S △AOE =S △ABC ?S △ABE ?S △COE =1 2×4×4×sin120°?1 2×4×1×sin120°?1 2×3×√3=3√3 2 ， ∴三棱锥P ?AOE 的体积V P?AOE =1 3 S △AOE ?PO =1 3 × 3√32 ×√3=32 ． 【解析】(1)推导出BD ⊥AC ，BD ⊥PA ，从而BD ⊥平面PAC ，BD ⊥PO ，推导出PO ⊥AC ，由此能证明PO ⊥平面ABCD ． (2)取BC 的中点F ，连结DF ，则DF ⊥BC ，由余弦定理得PO =√3，S △AOE =S △ABC ?S △ABE ?S △COE ，三棱锥P ?AOE 的体积V P?AOE =1 3S △AOE ?PO ，由此能求出结果． 本题考查线面垂直、三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19.【答案】解：(1)由已知得圆E 的圆心为(0,?1)，半径为4，|PQ|=|PF|， ∴|PE|+|PF|=|PE|+|PQ|=|QE|=4>|EF|=2， ∴点P 在以E ，F 为焦点的椭圆上， 2a =4，c =1，∴a =2，b =√3， ∴曲线C 的方程为 y 24 + x 23 =1． (2)曲线C 的方程为 y 24 + x 23 =1令y =?1，解得x =±3 2， 所以A(±3 2,?1)，不妨取A(?3 2,?1)， 设l ：y +1=k(x +3 2)，代入 y 24 + x 23 =1， 整理可得(3k 2+4)x 2+(9k 2?6k)x +274 k 2?9k ?9=0， △=0?k =?2，∴直线l 的方程为2x +y +4=0，∴B(?4,4)， 则FA ????? ?FB ????? =(?3 2 ,?2)?(?4,3)=0，∴以线段AB 为直径的圆过定点F ． 【解析】(1)由已知得|PQ|=|PF|，|PE|+|PF|=|PE|+|PQ|=|QE|=4>|EF|=2，可判断点P 的轨迹是以E ，F 为焦点的椭圆，即可得轨迹方程； (2)求出A 点坐标A(±3 2,?1)，不妨取A(?3 2,?1)，设l ：y +1=k(x +3 2)，代入 y 24 + x 23 =1， △=0?k =?2， 可得l 方程，进而求点点B 坐标，计算FA ????? ?FB ????? =0，可得结论． 本题主要考查椭圆的定义及标准方程，直线与椭圆的位置关系，向量数量积的运用，属于中档题． 20.【答案】解：(1)由题意得x ? =175×0.05+225×0.15+275×0.2+325×0.3+1375×0.2+ 425×0.1=312.5； (2)因为区间[150,200)和[200,250]上的频率之比为1：3， 所以应从区间[150,200)上抽取1件，记为A 1， 从区间[200,250]上抽取3件，记为B 1，B 2，B 3， 则从中任取两件的情况有(A 1,B 1)，(A 1,B 2)，(A 1,B 3)，(B 1,B 2)，(B 1,B 3)，(B 2,B 3)共6种， 其中两件都取自区间[200,250]上：的情况有(B 1,B 2)，(B 1,B 3)，(B 2,B 3)共3种； 所以其概率为P =3 6=1 2． (3)每天生产件数的频数分布表为： 若采用方案一，使用100台A 设备和800台B 设备每天可进一步加工的件数为 30×100+4×800=6200(件)， 可得实际加工件数的频数分布表为： 所以方案一中使用A ，B 设备进一步加工后的日增加的利润均值为 25× (6000×20+6200×80) 100 ?500×100?80×800=40000(元)； 若采用方案二，使用200台A 设备和450台B 设备每天可进一步加工的件数为 30×200+4×450=7800(件)， 可得实际加工件数的频数分布表为； 所以方案二中使用A ，B 设备进一步加工后的日增加的利润均值为 25× (6000×20+7000×30+7800×50) 100 ?500×200?80×450=44000(元)． 综上所述，公司应该选择方案二． 【解析】(1)由频率分布直方图求平均数即可； (2)利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值； (3)分别计算方案一、方案二所获得利润值，比较即可． 本题考查了频率分布直方图与概率的计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题． 21.【答案】证明：(1)因为f′(x)=e x ?x 2?1，记?(x)=f′(x)，所以?′(x)=e x ?1 2，(1分) 当x ∈(0,+∞)时，?′(x)>0恒成立，所以，?(x)在(0,+∞)上单调递增， 所以?(x)>?(0)=0.所以当x ∈(0,+∞)时，f′(x)>0恒成立， 所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增．(3分) (2)由(1)知，?′(x)=e x ?1 2，令?′(x)=0解得x =?ln2， 当x ∈(?∞,?ln2)时，?′(x)<0，即?(x)单调递减； 当x ∈(?ln2,0)时，?′(x)>0，即?(x)单调递增．(5分) 又?(?1)<0，?(?2)>0，所以在(?2,?1)上存在唯一x 0，满足?(x 0)=0，即f′(x 0)=0. (6分) 当x ∈(?∞,x 0)时，f′(x)>0，即f(x)单调递增；当x ∈(x 0,0)时，f′(x)<0，即f(x)单调递减， 所以当x <0时，f(x)max =f(x 0)=e x 0?x 0 24 ?x 0.(8分) 由f′(x 0)=0可得e x 0=x 02 +1， 所以f(x)max =? x 0 24 ? x 02 +1，由x 0∈(?2,?1)，可得f(x)max ∈(1,5 4).(10分)