2020-2021学年四川省广元实验中学高二下学期期中考试文科数学试卷

【最新】四川省广元实验中学高二下学期期中考试文科数学

试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．数列2,5,11,20，x ，47...中的x 等于（ ） A ．28

B ．32

C ．33

D ．27

2．若命题“p q ∧”为假，且“p ?”为假，则 A ．p 或q 为假 B ．q 真 C ．q 假 D ．不能判断q 的

真假

3．在△ABC 中，“A ＞30°”是“sinA ＞1

2

”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

4．抛物线x y 102

=的焦点到准线的距离是（ ） A ．

25 B ．5 C ．2

15

D ．10 5．有下列四个命题：

①“若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若1q ≤ ,则2

20x x q ++=有实根”的逆否命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题为（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．③④

6．曲线()32f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）

A ．()1,0

B ．()2,8

C ．()1,0和()1,4--

D ．()2,8和()1,4--

7．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（ ）

A ．

116

92

2=+y x B ．

116922=+y x 或22

1169x y += C ．

116252

2=+y x D ．

1162522=+y x 或125

162

2=+y x 8．以椭圆

116252

2=+y x 的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（ ） A ．

148

162

2=-y x B ．

1481622=-y x 或12792

2=-y x C ．

127

92

2=-y x D ．以上都不对 9．函数x

x

y ln =

的最大值为（ ） A ．1-e B ．e C ．2e D ．3

10 10．若函数11111234

21

n

n +++++

≤-的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '

的图象是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

二、填空题

11．命题“?实数,x y ，使得1x y +>”的否定是 . 12．曲线

在点(,1)M e 处的切线的方程为_______________；

13．已知c bx ax x f ++=2

4

)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是

2y x =-，则)(x f y =的解析式为 .

14．椭圆

上一点P 与椭圆的两个焦点

、

的连线互相垂直，则△

的面积为 . 15．已知11

1()123f n n

=+

+++.经计算(4)2f >，5(8)2f >，(16)3f >，7(32)2f >，

则根据以上式子得到第n 个式子为______.

三、解答题

16．（12分）已知命题:p 方程210x mx ++=有两个不等的正实数根；命题:q 方程

244(2)10x m x +++=无实数根。若“p 或q ”为真命题，求m 的取值范围.

17．（12分）已知：23150sin 90sin 30sin 222=

++ ; 2

3

125sin 65sin 5sin 222=++ 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明. 18．（12分）设函数32

9()62

f x x x x a =-+-． （1）求函数)(x f 的单调区间.

（2）若方程()0f x =有且仅有三个实根，求实数a 的取值范围.

19．（12分）在圆2

2

4x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD,D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹方程，指出轨迹是什么？并求出该轨迹的焦点和离心率.

20．已知函数32()f x x ax bx c =+++在2

3

x =-

与1x =时都取得极值．

（1）求a ，b 的值与函数()f x 的单调区间；

（2）若对[]

1,2x ∈，不等式()2

f x c <恒成立，求c 的取值范围．

21．已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1. (I)求椭圆C 的标准方程;

(II)若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A,B 两点(A,B 不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.

参考答案

1．B 【分析】

通过观察，得出该数列从第二项起，后一项与前一项的差分别是3的倍数，由此可求得x 的值. 【详解】

因为数列的前几项为2,5,11,20,,47x ， 其中5213,11523,201133-=?-=?-=?， 可得2043x -=?，解得32x =，故选B. 【点睛】

本题主要考查了数列的概念及其应用，其中解答中根据题意发现数列中数字的排布规律是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 2．C 【解析】 试题分析：命题“

”为假，说明p 与q 中至少有一个是假命题，“

”为假说明p 为真

命题，所以q 为假命题.

考点：本小题主要考查了由复合命题的真假判断命题的真假. 点评：解决此类问题的关键是掌握复合命题的真值表并能熟练应用. 3．B 【分析】

解题时注意三角形内角和是180度，不要丢掉这个大前提． 【详解】

：∵在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180° ∵A ＞30° ∴30°＜A ＜180° ∴0＜sin A ＜1 ∴可判读它是sinA ＞1

2

的必要而不充分条件 故选B ． 【点睛】

此题要注意思维的全面性，不能因为细节大意失分． 4．B 【解析】

试题分析：焦点到准线的距离等于5=p 考点：1.抛物线的方程；2.抛物线的几何意义. 5．C 【解析】

试题分析：①的逆命题为若,x y 互为相反数，则0x y +=，故正确;②的否命题是面积相等的三角形的两个三角形是全等三角形；③0≥?，则104-4≤?≥q q ，所以原命题正确，根据等价性，其逆否命题正确；④逆命题：三角形的三个内角相等，则三角形是不等边三角形.不正确.故选①③. 考点：四种命题 6．C 【分析】

求函数的导数，令导数等于4解方程，求得0p 点的横坐标，进而求得0p 点的坐标. 【详解】 依题意令()'

2314f

x x =+=，解得1x =±，()()10,14f f =-=-，故0p 点的坐标为

()()1,0,1,4--，故选C.

【点睛】

本小题考查直线的斜率，考查导数与斜率的对应关系，考查运算求解能力，属于基础题. 7．D 【解析】

试题分析：根据椭圆的几何意义知：???

?

???+===+2

226

218

22c

b a

c b a ，解得435?????===c b a ，焦点在x 轴是1162522=+y x ，或焦点在y 轴：116

252

2=+x y

考点：1.椭圆的标准方程；2.椭圆的几何意义. 8．D 【解析】

试题分析：椭圆有四个顶点，()()()()40,40,05,052121，，，，

B B A A --,以21A A 为顶点时，10,5==c a ，解得752

=b ，方程为

175

252

2=-y x ，以21,B B 为顶点时，8,4==c a ，解得482

=b ，方程为

148

162

2=-x y .故都不正确. 考点：1.椭圆的标准方程；2.双曲线的标准方程. 9．A 【解析】

试题分析：()0ln 12

>-='x x

x

y ，令,0='y 得e x =，当()e x ,0∈时，0>'y ，当()+∞∈,e x 时0<'y ，所以当e x =时，函数取得最大值()e

e f 1

=

考点：导数的应用 10．A 【解析】

解：因为二次函数顶点坐标为2

4(,)24

b c b --在第四象限，则说明b<0,24c b -<0,而其导数

为'()2f x x b =+，因此说明直线递增，并且截距为负数，所以选A 11．?x,y ∈R,都有x+y≤1 【解析】

试题分析：?的否定是任意?，根据存在量词的否定，得到?x,y ∈R,都有x+y≤1. 考点：存在量词的否定 12．0x ey -= 【解析】 试题分析：，当时，

，所以根据导数的几何意义，

，

整理得：

.

考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义. 13．42

59()122

f x x x =-+ 【解析】

试题分析：()bx ax x f 243

+='，()()()?????-=='=111110f f f 代入得??

???-=++=+=11241

c b a b a c ，解得

1,2

9

,25=-==

c b a 考点：1.函数的方程；2.导数的几何意义；3.导数的计算. 14．

【解析】 试题分析：设，，根据勾股定理，

，

解得

，所以

考点：1.椭圆的标准方程；2.椭圆的焦点三角形. 15．(

)()1

*

3

2

2

n n f n N ++>∈

【分析】

我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案. 【详解】

观察已知中等式：()()2

1342

22

f f +=>=， ()()35238222

f f +=>

=， ()()433

16232f f +=>=，

()()5743

32222f f +=>=，…，

则()()1

*322

n n f n N ++>∈， 故答案为()()1

*322n n f n N ++>∈. 【点睛】

归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），属于中档题.

16．1-

试题分析：命题:p ???

??>=>-=+≥?01002

121x x m x x ，命题:q 0

真，求并集.

试题解析：解：“p 或q ”为真命题，则p 为真命题，或q 为真命题，

当p 为真命题时，则21212

40010m x x m x x ??=->?

+=->??=>?，得2m <-；

当q 为真命题时，则2

16(2)160,31m m ?=+-<-<<-得

1m ∴<-

考点：1,.命题的综合应用；2.方程的根的问题. 17．2223sin (60)sin sin (60)2

ααα-+++= 【解析】

试题分析：首先猜想2223

sin (60)sin sin (60)2

ααα-+++=，然后根据降幂公式进行化简，得到结论.

试题解析：一般性的命题为2223sin (60)sin sin (60)2

ααα-+++= 证明： 左

边

001cos(2120)1cos 21cos(2120)222

ααα----+=++

0033

[cos(2120)cos2cos(2120)]22

ααα=--++-= 所以等式成立.

考点：1.三角函数的化简；2.归纳推理.

18．（1）增区间（-∞,1）和（2，+∞），减区间为（1，2）;（2）5

22

a << 【解析】

试题分析：（1）()6932+-='x x x f ，解()0>'x f 或()0<'x f 的解集；（2）先求极值点，

判断单调性，然后根据图形，判定x 轴于图像有三个交点时的位置，从而列不等式.

试题解析：（1）()6932

+-='x x x f ，当()0>'x f 时，2>x 或1

21<

（2）由（1）知，函数在（-∞,1）为增，）（2,1为减函数，()∞+，2为增函数，根据函数的图像特征，判断x 轴应在极值之间，(1)0(2)0

f f >??

22a <<

考点：1.导数的应用；2.函数的图像；3.函数的零点.

19．2214

x y +=,

椭圆，焦点为(0)

，离心率为2

【解析】

试题分析：根据求什么设什么的原则，设()y x M ,，()y x P 2,，点p 在圆上运动，所以

()422

2=+y x ，进行整理，从而求得该题.

试题解析：设()y x M ,，()y x P 2,，点p 在圆上运动，所以()422

2

=+y x ，整理得：

14

22=+y x

，所以轨迹是椭圆，该椭圆的焦点是(0)

考点：1.椭圆的方程与性质2.轨迹方程

20．（1）122

a b ?

=-???=-?，()f x 的递增区间是2,3??-∞- ???和()1,+∞，递减区间是2,13??

- ???；

（2）1c <-或2c <．

【分析】

（1）求出()f x 的导数，由题可知2

3

x =-与1x =是()0f x '=的两个根，即可求出,a b ，再利用导数即可求出单调区间；

（2）根据（1）中的单调性，求出()f x 在[]

1,2x ∈的最大值，令()2

max f x c <，即可求出

c 的范围.

【详解】 （1）

()232f x x ax b =++'，

∴()212403931320f a b f a b ???-=-+=? ?

?'???=++'=?

，解得122a b ?=-???=-?， ∴()()()332321f x x x x x '=--=+-，

令()0f x '>，解得23

x <-

或1x >；令()0f x '<，解得2

13x -<<，

所以函数()f x 的递增区间是2,3?

?-∞- ???和()1,+∞，递减区间是2,13??- ???

． （2）因为()3

2

122

f x x x x c =-

-+，[]1,2x ∈， 根据（1）函数()f x 的单调性，得()f x 在21,3??-- ??

?上递增，在2,13??- ???

上递减，在()1,2上递增， 所以当23x =-时，()22

27f x c =+为极大值，而()222227

f c c =+>+，所以()22f c

=+为最大值．

要使()2

f x c <对[]1,2x ∈-恒成立，须且只需()2

22c f c >=+，解得1c <-或2c <．

【点睛】

本题考查已知极值点求参数，考查利用导数求单调性，考查不等式的恒成立，属于中档题.

21．(I)22

1.43

x y +=

(II) 直线l 过定点，定点坐标为2

(,0).7

【解析】

解：(I)由题意设椭圆的标准方程为22

221(0)x y a b a b +=>>

3,1a c a c +=-=，22,1,3a c b ===

22

1.43

x y ∴+=

(II)设1122(,),(,)A x y B x y ，由2

2

{143

y kx m

x y =++=得 222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，

22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +->.

2121222

84(3)

,.3434mk m x x x x k k

-+=-?=++ 222

2

121212122

3(4)

()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k

-?=+?+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 1AD BD k k ?=-，

1212122

y y

x x ∴

?=---，，

222222

3(4)4(3)1640343434m k m mk

k k k --+++=+++， 2271640m mk k ++=，解得

1222,7

k

m k m =-=-

，且满足22340k m +->. 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；

当27k m =-

时，2

:()7l y k x =-，直线过定点2(,0).7

综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2

(,0).7