a 相等,抛物线的开口大小、形状相同. 对称轴:平行于y 轴(或重合)的直线记作2b
x a
=-
.特别地,y 轴记作直线0=x . 顶点坐标坐标:),(a
b a
c a b 4422
--
顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. 求抛物线的顶点、对称轴的方法
? 公式法:a b ac a b x a c bx ax y 44222
2
-+??? ?
?
+=++=,∴顶点是),(a b ac a b 4422--,对称
轴是直线a
b
x 2-
=. ? 配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2
的形式,得到顶点
为(h ,k ),对称轴是直线h x =.
? 运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线
的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. 抛物线c bx ax y ++=2中,c b a ,,与函数图像的关系 二次项系数a
二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠.
⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大; ⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大. 总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小. 一次项系数b
在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在0a >的前提下,
当0b >时,02b
a
-<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧; 当0b =时,02b
a
-=,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,02b
a
-
>,即抛物线对称轴在y 轴的右侧. ⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即 当0b >时,02b
a
->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧; 当0b =时,02b
a
-=,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,02b
a
-
<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧. 总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置. 常数项c
⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0; ⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负.
总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置.
总之,只要a b c ,,都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
二次函数图象的平移
平移步骤:
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下:
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”.
二、典型例题
(一)二次函数的性质 例1 对于抛物线()312
1
2++-
=x y ,有下列结论:①抛物线的开口向下;②对称轴为直线1=x ;③顶点坐标为(-1,3);④当x >1时,y 随x 的增大而减小。其中正确结论的个数为( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 例2 抛物线2
222
122x y ,x y ,x y =
-==共有的性质是( ) A 、开口向下 B 、对称轴是y 轴 C 、都有最低点 D 、y 随x 的增大而减小
(二)二次函数性质的应用 例 已知函数()4
2
2-++=m m
x m y 是关于x 的二次函数。
(1)求满足条件的m 值;
(2)m 为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点,这时,当x 为何值时,y 随x 的增大而增大?
(3)m 为何值时,函数有最大值?最大值是多少?这时,当x 为何值时,y 随x 的增大而减小?
(三)二次函数值的大小比较
例 已知二次函数()k x y +-=2
12的图像上有A
(
)12y ,,B ()22y ,,C ()
352y ,-三点,则
321y ,y ,y 的大小关系是( )
A 、321y y y >>
B 、312y y y >>
C 、213y y y >>
D 、123y y y >> (四)抛物线的平移问题
例 将抛物线c bx ax y ++=2向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到抛物线
322++=x x y ,求c ,b ,a 的值。
(五)二次函数与其他函数相结合
例 已知抛物线bx ax y +=2和直线b ax y +=在同一坐标系内的图像如图,其中正确的是( )
(六)二次函数图像与abc 的关系
例 如图为二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像,则下列说法:①a >0; ②02=+b a ;③c b a ++>0;④当x <1-<3时,y >0.其中正确的个数为( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
三、课堂练习
1、有下列函数:(1)x y -=;(2)x y 2=;(3)x
y 1
=;(4)()02<x x y =。其中y 随x 的增大而减小的函数有( )
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个 2、关于二次函数()2
2+=x y 的图像,下列说法正确的是( )
A 、开口向下
B 、最低点是A (2,0)
C 、对称轴是直线2=x
D 、对称轴的右侧部分是上升的 3、如图所示的四个二次函数的图像分别对应的是①2ax y =;②2bx y =;③2cx y =;④2dx y =。则d ,c ,b ,a 的大小关系为( )
A 、d c b a >>>
B 、c d b a >>>
C 、d c a b >>>
D 、c d a b >>>
4、已知点()??
? ????? ??--32121271y ,y ,,y ,,在函数()212-=x y 的图像上,则321y ,y ,y 的大小关系为( )
A 、321y y y >>
B 、312y y y >>
C 、132y y y >>
D 、123y y y >>
5、将抛物线122+-=x y 向右平移1个单位,再向上平移2个单位后所得到的抛物线的解析式为( )
A 、()1122
-+-=x y B 、()3122
++-=x y C 、()1122
+--=x y D 、()3122
+--=x y
6、二次函数23x y =的图像向右平移1个单位长度,所得的图像的函数表达式是( ) A 、()2
13-=x y B 、()2
13+=x y C 、12+=x y D 、12-=x y
7、如图,二次函数c bx x y ++=2的图像过点B (0,-2)。它与反比例函数x
y 8
-=的图像交于点A ()4,m ,则这个二次函数的表达式为( )
A 、22--=x x y
B 、22+-=x x y
C 、22-+=x x y
D 、22++=x x y 8、已知二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像如图所示,有下列5个结论: ①abc <0;②c a b +<;③c b a ++24>0;④b c 32<; ⑤()()1≠++m b am m b a <。其中正确结论的序号为_______。 (把正确结论的序号都填上)
四、课后作业
1、对于()2322
+-=x y 的图像,下列叙述正确的是( )
A 、顶点坐标为(-3,2)
B 、对称轴为直线3=y
C 、当3>x 时,y 随x 的增大而增大
D 、3>当x 时,y 随x 的增大而减小 2、已知二次函数m
m mx y +=2
的图像是开口向下的抛物线,则=m ________,当x _______时,y
随x 的增大而增大。
3、将抛物线342+-=x x y 向右平移2个单位长度后,所得的新抛物线的顶点坐标为( ) A 、(4,-1) B 、(0,-3) C 、(-2,-3) D 、(-2,-1)
4、将抛物线23x y =向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得抛物线的表达式为( )
A 、()2332
+-=x y B 、()2332
--=x y C 、()2332
++=x y D 、()2332
-+=x y
5、如图是二次函数()02≠++=a c bx ax y 图像的一部分,直线1-=x 是对称轴,有下列判断:
①02=-a b ;②024<c b a +-;③a c b a 9-=+-;④若()13y ,-,??
?
??223y ,是抛物线上两点,
则21y y >,其中正确的是( )
A 、①②③
B 、①③④
C 、①②④
D 、②③④ 6、、根据下列条件确定抛物线的表达式。
(1)抛物线c bx x y ++-=2的对称轴为直线1-=x ,函数的最大值为4;
(2)抛物线c bx x y ++=
2
2
1经过A (2,0)
,B (0,-6)两点。