博弈论——完全信息动态博弈

2 完全信息的动态博弈

2.1完全和完美信息的动态博弈

动态博弈(dynamic game)：参与人在不同的时间选择行动。

完全信息动态博弈指的是各博弈方先后行动，后行动者知道先行动者的具体行动是什么且各博弈方对博弈中各种策略组合下所有参与人相应的得益都完全了解的博弈

静态博弈习惯用战略式(Strategic form representation)表述，动态博弈习惯用扩展式（Extensive form representation）表述。战略式表述的三要素：参与人集合、每个参与人的战略集合、由战略组合决定的每个参与人的支付。扩展式表述的要素包括：参与人集合、参与人的行动顺序、参与人的行动空间、参与人的信息集、参与人的支付函数、外生事件（自然的选择）的概率分布。

n人有限战略博弈的扩展式表述用博弈树来表示

1

(1,2) (0,3)

①结：包括决策结和终点结。决策结是参与人采取行动的时点，终点结是博弈行动路径的终点。第一个行动选择对应的决策结为“初始结”，用空心圆表示，其它决策结用实心圆表示。X表示结的集合，x X表示某个特定的结。z表示终点结，Z表示终点结集合。 表示结之间的顺序关系，x x′表示x在x′之前。x之前所有结的集合称为x的前列集，x之后所有结的集合称为x的后续集。以下两种情况不允许：

前者违背了传递性和反对称性；后者违背了前列节必须是全排序的。在以上两个假设之下，每个终点结都完全决定了博弈树的某个路径。

②枝：博弈树上，枝是从一个决策结到其直接后续结的连线，每一个枝代表参与人的一个行动选择。在每一个枝旁标注该具体行动的代号。一般地，每个决策结下有多个枝，给出每次行动时参与人的行动空间，即此时有哪些行动可供选择。

③信息集（information sets）：博弈树中某一决策者在某一行动阶段具有相同信息的所有决策结集合称为一个信息集。博弈树上的所有决策结分割成不同的信息集。每一个信息集是决策结集合的一个子集(信息集是由决策结构成的集合)，该子集包括所有满足下列条件的决策结：(1)每一个决策结都是同一个参与人的决策结。(2)该参与人知道博弈进入该集合的某个决策结，但不知道自己究竟处于哪一个决策结。引入信息集的目的是为了描述当一个参与人要作出决策时他可能不知道“之前”发生的所有事情。（之前加引号是因为，博弈树中的决策结的排序并不一定与行动的时间顺序相一致）

H 表示信息集集合，h 表示一个特定的信息集。h （x ）表示包含决策结x 的信息集。h （x ）是一个信息集，意味着在x 决策的参与人不确定他处在x 结点还是其它x ′ h （x ）结点。这同时意味着一个决策结只能属于一个信息集。

信息集满足的条件：1、任何一个决策结不能是属于同一信息集的其它决策结的前列结或后续结。2、同一信息集的所有结都是同一参与人的决策结，即参与人不会将自己行动的结与他人行动的结混淆。3、一个参与人在属于同一信息集的每一个决策结的行动空间应该是相同的。

1

一个静态博弈的扩展式表述

一个信息集可能包含多个决策结，也可能只包含一个决策结。只

(1,2)

(0,3)

包含一个决策结的信息集称为单结信息集；如果博弈树的所有信息集都是单结的（如果有虚拟参与人自然，则所有的参与人都知道自然的行动），该博弈称为完美信息博弈(Game of perfect information)；否则就是不完美信息博弈。

完美信息(perfect information): 在博弈的每次行动的参与人完全知道博弈的历史，即每个信息集只有一个决策结。完美信息博弈意味着博弈中没有任何两个参与人同时行动，而且所有后行动者都能确切知道先行动者选择的行动，所有参与人都知道自然的行动。

完全信息（complete information）：参与人完全了解对手特征，既没有事前的不确定性。

不完全信息意味着不完美信息，但逆定理不成立。

在博弈论中，自然的信息集一般假定为单结的。因为自然是随机行动的，自然在参与人决策之后行动等价于自然在参与人决策之前行动但参与人不能观测到自然的行动。因此，博弈树上是否出现连接不同决策结的虚线取决于我们如何安排决策结的顺序。

决策结的顺序:如果知道前决策者的选择，后决策者必须出现在后面，如果不知道前决策者的选择，后决策者可以出现在后面，也可以出现在前面。

相同的博弈可以不同的博弈树表示，但同一个参与人在代表同一博弈的不同博弈树中的信息集的数量必须相同，自然除外。

博弈一般假定满足完美回忆的要求，完美回忆是指没有参与人会忘记自己以前知道的事情，所有参与人都知道自己以前的选择。

确保博弈具有完美回忆的要求：如果①x2和x1属于同一信息集；②x 是x1的前列结；③x和x1都是同一个参与人的决策结；那么，存在一个x′′（可能是x本身）满足：①x′′和x属于同一信息集；②x′′是x2的前列结；③从x到达x1的行动和x′′到达x2的行动是一样的。即必须满足“同一行动”和“同一信息集”假设。

当博弈涉及到外生不确定性事件时，我们假定“自然”以某种概率选择某个特定事件，所有参与人对于自然的选择具有相同的先验概率。即所谓的“海萨尼公理”。

均衡结果有三个（进入，默许）、（不进入，斗争）、（不进入、默许）

定理：一个有限完美信息博弈有一个纯战略纳什均衡（zermelo,1913; kuhn,1953）。

策略的可置信性问题：策略是博弈方自己预先设定的，在各个博弈阶段针对各种情况所作的相应行为选择的计划，本身没有强制力，且实施起来有一个过程。在该过程中，根据自己的利益需要，他完全可以改变这个计划，从而存在“相机选择”，产生策略的可置信性问题。

2.1.A 子博弈精炼纳什均衡、逆向归纳法

“子博弈精炼纳什均衡”（subgame perfect Nash equilibrium，selten，1965），用于区分动态博弈中的“合理纳什均衡”与“不合理纳什均衡”，将纳什均衡中包含有不可置信威胁策略的均衡剔除出去，就是说，使最后的均衡中不再包含有不可置信威胁策略的存在。

子博弈：一个扩展式表示博弈的子博弈G是由一个单结信息集x 开始的与所有该决策结的后续结(包括终点结)组成的能自成一个博弈的原博弈的一部分。要求：①x是一个单结信息集；②子博弈的信息集和支付向量都直接继承自原博弈；③子博弈不能切割原博弈的信息集。

任何博弈本身称为其自身的子博弈。

扩展式博弈的战略组合s*=（s*1，…，s*i , …，s*n）是一个子博弈精炼纳什均衡，如果：（1）它是原博弈的纳什均衡；（2）它在每一个子博弈上给出纳什均衡。简单的讲，一个战略组合是子博弈精炼纳什均衡，当且仅当他在每一个子博弈（包括原博弈）上都构成一个纳什均衡。如果整个博弈是唯一的子博弈，那么纳什均衡与子博弈精炼纳什均衡相同，如果有其它子博弈，则有些纳什均衡可能不构成子博弈精

炼纳什均衡。

（开发，{不开发，开发}）是唯一一个子博弈精炼纳什均衡

均衡路径（equilibrium path ）：纳什均衡所在的路径。其它的路径都是该纳什均衡的非均衡路径（off-equilibrium path ）。

构成子博弈精炼纳什均衡的战略不仅在均衡路径上是最优的，而且在非均衡路径上也是最优的。这是纳什均衡与子博弈精炼纳什均衡的实质区别。

只有当一个战略规定的行动规则在所有可能的情况下都是最优的时，它才是一个合理的、可置信的战略。

序贯理性（sequential rationality ）：不论过去发生了什么，参与人应该在博弈的每一个时点上最优化自己的决策。

子博弈精炼纳什均衡求法——逆向归纳法求解

对于我们现在所讨论的有限完美信息动态博弈，逆向归纳法是求解子博弈精炼纳什均衡的最简便方法。在求解子博弈精炼纳什均衡时，从最后一个子博弈开始逆推上去，这就是逆向归纳法。所以逆向归纳法就是从动态博弈的最后一个阶段或最后一个子博弈开始，逐步向前倒推以求解动态博弈均衡的方法。逆向归纳法是重复剔出劣战略方法在扩展式博弈中的应用。

逆向归纳法不适合于无限博弈和不完美信息博弈。

简单的完全和完美信息博弈： 1. 参与人 1 选择行动a 1

2. 参与人 2 观察a 1，然后选择a 2

3. 收益是 u 1(a 1, a 2)和u 2(a 1, a 2)

求解博弈: 逆向归纳法 (backward induction) 1. 求解第二个阶段，对于a 1，求a 2

2

2max A a ∈u 2(a 1，a 2)

其解: a 2= R 2(a 1) ---- 反应函数 2. 求解第一个阶段

1

1

m a x A

a ∈ u 1(a 1，R 2(a 1)) 其解: a *1

逆向归纳解(outcome): (a *1, R 2(a *1) )

注意：

在动态博弈中，行动与战略是不同的概念； 逆向归纳解与纳什均衡是不同的概念。

例１

1

L R

2

2

0 L'R'

1

1

1 L''R''

3 0

0 2

用逆向归纳法:

第3步：参与人1 选择L'';

第2步：参与人2 选择L'；

第1步：参与人1 选择L

逆向归纳解: L(在第一个阶段结束)。

如果博弈在第一个阶段中不结束，可能原因是什么?

甲在开采一价值4万元的金矿时缺1万元资金，而乙正好有1万元资金可以投资。甲希望乙能将1万元资金借给自己用于开矿，并许诺在采到金子后与乙对半分成，乙是否该将钱借给甲呢？

关于逆向归纳法的理性假定：所有参与人是理性的是所有参与人的共同知识

2.1.B Stackelberg 模型（1934）

二个企业，生产产量: q1, q2

市场需求: P = a–Q, 其中Q = q1 + q2

成本: C i (q i) = cq i, i = 1, 2.

利润：πi (q1, q2) = Pq i–C i (q i) = (a– (q1 + q2))q i–cq i，

博弈的顺序：

(1) 企业1 选择q1≥ 0；

(2) 企业2 观察q1然后选择q2≥ 0；

(3) 收益: πi(q i, q j) = q i [P(Q) –c]，其中P(Q) = a–Q, Q = q1 + q2

求逆向归纳解

(1)阶段2，企业2在观察q1后选择q2满足

2max ≥q q 2 (a – (q 1 + q 2) – c )

解出q 2 = R 2 (q 1) = 2

1c

q a --

(2)阶段1，企业 1预测到R 2 (q 1)，求q 1

1max ≥q q 1 (a – (q 1 + R 2 (q 1))– c )

=0

1max ≥q q 1

2

1c

q a -- 解出

q 1* =2c a -, q 2* =4c a -，π1*=2()8a c -π2*= 2

()16

a c -

与 Cournot 模型比较

q 1* = q 2* =3c

a -，π1*=π2*= 9

)(2c a -

结果：先进入市场者有更多的利润。即所谓的先动优势（first-mover advantage ），如果企业选择的是价格而不是产量，得到的将是后动优势（second-mover advantage ）。

同时，该例还说明，拥有信息优势可能使局中人处于劣势（后动者拥有更多信息），而这在单人决策论中是不可能的。企业2处于劣势是因为它在行动前已知企业1的产量，而企业1在开始行动时也知如此。但若企业2不知企业1的产量且企业1也知如此，则即使企业1先行动，博弈也是古诺均衡的而非Stackelberg 均衡的，企业2反而获益，企业1的先动优势就不存在了。

企业1先生产产量就是一种承诺行动，生产出来的产量是沉淀成本，从而使企业2不得不认为它的威胁是可置信的。如果企业1只是宣布它将生产*12

a c

q -=。企业2不会相信它的威胁，因若企业2相信它的威胁而选42c a q -=

，给定此2q ，企业1的最优选择是8

)

(31c a q -=而

不是2

1c

a q -=

1q

Stackelberg 均衡与古诺均衡的比较

承诺行动：

一个博弈模型的均衡与博弈模型中各个局中人的战略空间或行动空间有关，当我们改变博弈模型中一些局中人的战略空间或行动空间时，也就改变了博弈的均衡。在一个博弈中，倘若某局中人希望一个本属含有不可置信威胁或承诺的行动的非精炼均衡能真正发生，他可以通过改变其行动空间（通常是减小其行动空间或战略空间）使其威胁或承诺变得可置信，从而将原本非精炼的均衡变成精炼的均衡，这类局中人改变其行动或战略空间的行为被称为“承诺行动”（Commitment action ）。

破釜沉舟 完全承诺 不完全承诺

(-3,-3) (1,-4) (0,1) (0,-4)

2.1.C 工会与企业的工资和就业

经济学家Leontief 于1946年提出的工会模型描写了工会与厂商就工资进行谈判的机理，并就均衡的非帕累托最优性和谈判结果的不稳定性作出解释，它解释了人们所观察到的工会与厂商就工资水平所进行的经常性谈判是如何发生的（Leonfief, 1946）。

一个企业和一个工会，关于工资w 和就业数量L 的决定。 局中人1—工会：战略空间为{}w 提出工资水平 局中人2—厂商：战略空间为{}L 决定工人雇用量

工会收益: U (w , L ); 假设

0>??w U ，0>??L

U

， 企业收益: π(w , L ) = R (L ) – wL ，R '(0) = ∞ ，R '(∞) = 0，假设)(L R 是L 的增函数且为凹函数

博弈的顺序:

(1) 工会选择工资w ; (2) 企业观察 w 且选择 L .

w

L 工会的无差异曲线

求逆向归纳解 (1) 阶段 2

企业对w ，选择L 求

max [R (L ) – wL ] 一阶条件

R '(L ) – w = 0，因为，R '(0) = ∞ ，R '(∞) = 0，即),0[)(∞∈'L R ，解出**()L L w = '()0L W <

R

R (L ) wL

L (w ) L

利用等利润曲线 π = R (L ) – wL 分析：

1. w = (R (L ) – π)/L ，等利润线的位置越高，利润越小，因它对应同样的L 却付出更高的工资。

2. dw /dL = [R '(L ) – w ]/L ，随L 增加，等利润曲线先是正斜率，然后是负斜率。等利润线是凹的

3. 企业的选择在等利润线的顶点上。因为R '(L ) – w = 0

w L (w )

L

(2) 阶段 1

工会选*w 使))(,(***w L w U 达到最大化，即工会在第一阶段的问题

是：))(,(max *0

w L w U w ≥ 一阶条件：U w + U L L ′(w)=0 或 ()w

L

U L w U '-

= w

*

w E

工会无差异曲线

)(*w L

)(w L L

)(*w L 曲线与无差异曲线的切点决定均衡点

逆向归纳解 (w *, L (w *))

w L (w )

L

此结果是非最优的(inefficient)。 帕累托最优的条件：

() -w

L W L

U R L w L U ππ'=-

此条件是下列最优化问题的解：(,)(())

..0,0

MaxU w L R L wL s t L w -≥≥

2.1.D 序贯谈判：讨价还价博弈

假设两人就如何分配1万元现金进行谈判，规则是这样，首先由甲提出一个分割比例，对甲提出的比例乙可以接受也可以不接受；如果乙不接受则他应提出另一个方案，让甲选择接受与否……。假设该博弈为三阶段讨价还价博弈，即第三回合甲的方案具有强制约束力。

第三回合、甲的方案是自己得S ＝10000。第二回合，乙出价S 2满足：

222,S S S S

δδδ==甲：即222210000100001000010000S S S S δδδδδδδ=>-乙：（－）（－）=－

第一回合，甲出价S1满足：211000010000S S δδ-满足乙：－＝

211000010000S S δδ=-+即甲的得益：

0.51δδ<<当时，越大，甲的得益越大，乙的得益越小 00.5δδ<<当时，越大，甲的得益越小，乙的得益越大

三期的谈判模型

参与人 1 和参与人 2 谈判分配一元钱 (s , 1 – s ). (1a) 参与人 1 提议分配方案：(s 1, 1 – s 1 )；

(1b) 参与人 2接受提议或拒绝提议。如果参与人2拒绝，进入第2阶段;

(2a) 参与人2提议 (s 2, 1 – s 2 )

(2b) 参与人 1接受提议或拒绝提议。如果参与人1拒绝，进入第3阶段；

(3) 按外生方案分配，参与人 1 分得s ，参与人2分得1–s 。 贴现率: δ

求逆向归纳解 (1) 在阶段 2

如果s 2 ≥ δs 参与人 1 将会接受s 2。 取s 2 = δs ，则1 – s 2 ≥ δ(1 – s )。

结果: 参与人 2 将会提议 s *2 = δs ，参与人 1 将会接受。 (2) 在阶段 1

如果 1 – s 1 ≥ δ(1 – s *2) 即 s 1 ≤ 1 – δ(1 – s *2 ) , 参与人 2 将会接受 s 1

当 s 1 = 1 – δ(1 – s *2 )， s 1 ≥ δs *2

结果: 参与人 1 将会提出

s *1 = 1 – δ(1 – s *2 ) = 1 – δ(1 –δs ) 参与人 2 将会接受 1 – s *1. 逆向递归解为[1 – δ(1 –δs )， δs ]

讨价还价模型与Rubinstein 定理

当讨价还价博弈是无限次进行时，逆向归纳法不能直接使用，但我们可以运用逆向归纳法的思想以及博弈树在自身结构上的自相似性（即每一个子博弈在结构上相似于原博弈）解出其唯一的子博弈精炼均衡，这就是著名的Rubinstein （1982）定理。

若∞=T ，则轮流出价的讨价还价博弈有唯一的子博弈精炼纳什均衡，其均衡结果为

2

12

*11δδδ--=

x 当δδδ==21时，δ

+=

11*x 假定在3≥t 由1出价且1能得到的最大份额为M 。 1在t 得到的M 对1来说等价于他在1-t 得到M 1δ

故2在1-t 出价M x 12δ≥时，1必接受，而2不会出比M 1δ更多的给1，故2在1-t 出价M x 12δ=对2是最优的，2获得M 11δ-。

在2-t ，2的最大支付贴现值为)1(12M δδ-，1在2-t 出价

)1(1121M x δδ-≥-时，2会接受，而1不会出比此更多的给2，故1出

价)1(1121M x δδ-=-，1的最大获取为211(1)M δδ--。

因为从2-t 开始的博弈与从t 开始的博弈完全相同，故1在2-t 能得到的最大份额一定与其在t 能得到的最大份额相同，所以

)1(112M M δδ--= 得 2

12

11δδδ--=

M 再设1在t 能得到的最小份额为m ，类似推理可得 M m =--=

2

12

11δδδ

因总有M x m ≤≤，而M m =，故必有2

12

11δδδ--===M m x 。 当δδδ==21时，δ

+=11*x

2.1.D 货币政策的动态不一致性

模型中的局中人有两个，一是公众，其战略空间为所选择的各种预期通胀率；二是政府，其战略空间为在给定公众预期通胀率下所能选择的实际通胀率（货币政策）。

博弈行动顺序为：公众先动，政府在观察到公众的选择后行动。 支付函数：政府同时关心通胀与失业问题（宏观经济政策的两大目标），故设政府的单阶段效用函数为

22(,)()M y c y ky ππ=---，1,0>>k c