教科版物理 必修一 第四章 物体的平衡7 应用正交分解法解平衡问题(讲义)

重点：利用正交分解法解决多力平衡问题。

的小球B 置于斜面上，整个系统处于静止状态。已知斜面倾角θ＝30°，轻绳与斜面平行且另一端固定在竖直墙面上，不计小球与斜面间的摩擦，则（ ）

A. 斜面体对小球的作用力大小为mg

B. 轻绳对小球的作用力大小为

2

1

mg C. 斜面体对水平面的压力大小为（M ＋m ）g D. 斜面体与水平面间的摩擦力大小为

4

3mg 思路分析：以小球为研究对象，对其受力分析如图所示。因小球保持静止，所以由共点力的平衡条件可得：

mg sin θ－F T ＝0

① F N －mg cos θ＝0

①

由①①两式可得

F T ＝mg sin θ＝

21mg F N ＝mg cos θ＝2

3

mg

即轻绳对小球的作用力（拉力）为2

1

mg ，斜面对小球的作用力（支持力）为23mg ，

故A 错误，B 正确。

把小球和斜面体作为一个整体进行研究，其受重力（M ＋m ）g ，水平面的支持力F N ′、摩擦力F f 以及轻绳的拉力F T 。

受力情况如图所示，

因为研究对象处于静止状态，所以由平衡条件可得： F f －F T cos θ＝0

① F N ′＋F T sin θ－（M ＋m ）g ＝0

①

联立①①①式可得：F N ′＝Mg ＋

4

3

mg ，F f ＝43mg

由牛顿第三定律可知，斜面体对水平面的压力为Mg ＋4

3

mg ，C 错误，D 正确。 答案：BD

例题2 重为G 的木块与水平地面间的动摩擦因数为μ，一人欲用最小的作用力F ，使木块做匀速运动，则此最小作用力的大小和方向应如何？

思路分析：木块在运动过程中受摩擦力作用，要减小摩擦力，应使作用力F 斜向上，设当F 斜向上与水平方向的夹角为α时，F 的值最小，木块受力分析如图所示，由平衡条件可知：

F cos α－μF N ＝0，F sin α＋F N －

G ＝0

解上述二式得：α

μαμsin cos +=

G

F

令tan φ＝μ，则2

211

cos ,1sin μ

?μμ?+=

+= 可得)

cos(1sin cos 2?αμμαμαμ-+=

+=G

G F 可见当α＝φ时，F 有最小值，即F min ＝2

1μ

μ+G

答案：

2

1μ

μ+G

与水平方向成α角且tan α＝μ。

【方法提炼】解决极值问题和临界问题的方法

（1）物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。

（2）数学方法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件，写出物理量之间的函数关系（或画出函数图象），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值）。但利用数学方法求出极值后，一定要依据物理原理，对该值的合理性及物理意义进行讨论或说明。

满分训练：物体A 的质量为2 kg ，两根轻细绳b 和c 的一端连接于竖直墙上，另一端

系于物体A 上，在物体A 上另施加一个方向与水平线成θ角的拉力F ，相关几何关系如下图所示，θ＝60°。若要使两绳都能伸直，求拉力F 的取值范围。（g 取10 m/s 2）

思路分析：作出物体A 的受力分析图如图所示，由平衡条件得 F sin θ＋F 1sin θ－mg ＝0 ① F cos θ－F 2－F 1cos θ＝0

①

由①式得 F ＝

θ

sin mg

－F 1

③

由②③式得 F ＝

θ

sin 2mg ＋θcos 22F ④ 要使两绳都伸直，则有F 1≥0，F 2≥0 所以由①式得 F max ＝

θ

sin mg ＝3340N

由①式得 F min ＝

θ

sin 2mg ＝3320N

综合得出F 的取值范围为

3320N≤F ≤3

3

40N 。