线面 线线面面平行垂直方法总结
线线平行
1.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。（一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.）
2.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
3.【定义】同一平面内，两直线无公共点，称两直线平行
3.【公理】平行于同一直线的两条直线互相平行.（空间平行线传递性）
4.【定理】同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行.
5.平行线分线段成比例定理的逆定理
线面平行
1.面外一条线与面内一条线平行，或两面有交线强调面外与面内（如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。）
2.面外一直线上不同两点到面的距离相等，强调面外
3.如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行
4.证明线面无交点
5.反证法（线与面相交，再推翻）
6.空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量（x1x2-y1y2=0）
7.【定义】直线与平面无公共点，称直线与平面平行
8.X7【定理】如果两个平面平行，那么其中一平面内的任一直线平行于另一平面.
面面平行
1.如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
2.若两个平面所夹的平行线段相等，则这两个平面平行.
3.【定理】一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行.
4.【定义】两平面无公共点，称两平面平行.
5.【公理】平行于同一平面的两个平面互相平行.（空间平行面传递性）
6.【定理】一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
线线垂直
1如果一条直线垂直于一个平面，则这个平面上的任意一条直线都与这条直线垂直。
. 2.三垂线定理：如果平面内的一条直线垂直于平面的血现在平面内的射影，则这条直线垂直于斜线。
线面垂直
1.如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
2.如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
面面垂直
1.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
2.【性质】X2逆定理、X4、X6及垂直关系性质
主要性质
1.X1【定理】空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.（等角定理）
1.X2【定理】三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例.（平行线分线段成比例定理）
直线在平面内判定方法
1.【定义】直线与平面有无数个公共点，称直线在平面内.
2.【公理】如果一条直线上两点在一平面内，那么这条直线在此平面内.
3.【公理】任意两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面；两相交直线、两平行直线确定一平面.
4.【性质】X3及垂直关系性质
5.X3【定理】过平面内一点的直线平行于此平面的一条平行线，则此直线在这个平面内.
直线在平面外判定方法
1.【定理】平面外一直线与平面内一直线平行，则该直线与此平面平行.
2.【性质】X5、X7及垂直关系性质
主要性质
3.X4【定理】一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
4.X5【定理】平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面.
【性质】
1.【性质】X8逆定理、X9及垂直关系性质
2.X8【定理】夹在两个平行平面间的平行线段相等.
3.X9【结论】经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.（存在性与唯一性）
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理 一、线面平行。 1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平 面平行。符合表示： β ββ////a b a b a ???????? 2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////??? ? ????=??βαβαα I 二、面面平行。 1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 符号表示： β α//////????? ?????==N n m M b a a m b n I I 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。 符号表示： d l d l ////??? ???==γβγαβαI I （更加实用的性质：一个平 面内的任一直线平行另一平面） 三、线面垂直。 1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直 线垂直这个平面。 符号表示： α⊥?????? ??????=⊥⊥a M c b b a c a I ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示： PA a A oA a po oA a ⊥??? ? ????=⊥⊥??αα α 2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。） 四、面面垂直。 1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。 βααβ⊥??⊥a a , 2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。βαβαβα⊥?⊥?=?⊥a b a a b ,,，
线面平行与垂直的证明题
线面平行与垂直的证明1：如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中. （1）求证：AC⊥平面B1BDD1； （2）求三棱锥B-ACB1体积． 2：如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点． 求证：（1）PA∥平面BDE；（2）平面PAC⊥平面BDE． D1 C1 B1 A1 C D B A
3：如图：在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中， ∠ABC = 90°，SA ⊥面ABCD ，SA = AB = BC = 1，2 1 AD ． （Ⅰ）求四棱锥S —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明：平面SBC ⊥平面SCD . 4：已知多面体ABCDFE 中， 四边形ABCD 为矩形，AB ∥EF ，AF ⊥BF ，平面ABEF ⊥平面ABCD ， O 、M 分别为AB 、FC 的中点，且AB = 2，AD = EF = 1. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面FBC ； （Ⅱ）求证：OM ∥平面DAF .
5：．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是P C的中点，作EF⊥PB交PB于点F． （1）证明PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD； 6：已知正方形ABCD和正方形ABEF所在的平面相交于AB，点M，N分别在AC和BF上，且 AM=FN. C
求证：MN ‖平面BCE. 7：如图，正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为a （1）求证：直线//1B A 平面1ACD （2）求证：平面1ACD ⊥平面D BD 1；
8：如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点， 求证：(1) FD∥平面ABC (2) AF⊥平面EDB. 9：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点， （1）求证：平面A B1D1∥平面EFG; （2）求证：平面AA1C⊥面EFG.
线线平行线面平行面面平行的练习题
线线平行、线面平行、面面平行部分的练习题 1．如图2-3-3所示,已知α∩β=CD,α∩γ=EF,β∩γ=AB,AB ∥α.求证：ＣＤ∥EF. 2.已知直线a ∥平面α，直线a ∥平面β，平面αI 平面β=b ， 求证//a b ． 3. 正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB （如图所示）M 、N 在对角线AC 、FB 上且AM= FN 。求证：MN //平面BCE 4．如图2-3-7所示，正三棱柱ABC —A1B1C1中，D 是BC 的中点，试判断A1B 与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论. 5．、已知⊥PA 矩形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点， 求证：MN//平面PAD. 6.在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、C 1D 1、B 1C 1的中点.求证：(1)E 、F 、B 、D 四点共面；（2）面AMN ∥面EFBD. 7．已知在正方体ABCD －1111D C B A 中，M 、N 分别是11D A 、11B A 的中点，在该正方体中作出与平面AMN 平行的平面，并证 明你的结论。
8．已知点 是△ 所在平面外一点，点 ， ， 分 别是△ ，△ ，△ 的重心，求证：平面 平 面 ． 9. 已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B ′C ′是△PBC,△PCA,△PAB 的重心. (1)求证：面Ａ′Ｂ′Ｃ′∥面ＡＢＣ； (2)求S △A ′B ′C ′： S △ABC . . 10. 如图所示11 1 ABC A B C -中，平面ABC//平面A 1B 1C 1 ， 若D 是棱1 CC 的中点，在棱AB 上是否存在一点E ，使 11//C AB DE 证明你的结论 答案与提示： 1.证明：∵AB β,AB α,又∵AB ∥α,α∩β =CD,∴AB ∥CD,同理ＡＢ∥ＥＦ，∴ＣＤ∥ＥＦ. 2. 证明：经过a 作两个平面γ和δ，与平面α和β分别相交于直线c 和d ， ∵a ∥平面α，a ∥平面β， ∴a ∥c ，a ∥d ，∴c ∥d ， 又∵d ?平面β，c ?平面β， ∴c ∥平面β， d c b a δ γ β α
立体几何大题线面平行与垂直的证明题
线面平行与垂直的证明 1：如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中. （1）求证：AC ⊥平面B 1BDD 1； （2）求三棱锥B-ACB 1体积． 2：如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心， PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点． 求证：（1）PA∥平面BDE ； （2）平面PAC ⊥平面BDE ． 3：如图：在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中， ∠ABC = 90°，SA ⊥面ABCD ，SA = AB = BC = 1，2 1=AD ． （Ⅰ）求四棱锥S —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明：平面SBC ⊥平面SCD . 4：已知多面体ABCDFE 中， 四边形ABCD 为矩形，AB ∥EF ，AF ⊥BF ，平面ABEF ⊥平面ABCD ， O 、M 分别为AB 、FC 的中点，且AB = 2，AD = EF = 1. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面FBC ； （Ⅱ）求证：OM ∥平面DAF . 5：．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形， 侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，E 是P C 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F ． （1）证明 P A //平面EDB ； （2）证明PB ⊥平面EFD ； D 1 C 1 B 1 A 1 C D B A D A B C O E P A B C D P E F
6：已知正方形ABCD 和正方形ABEF 所在的平面相交于AB ，点M ，N 分别在AC 和BF 上，且AM=FN. 求证：MN ‖平面BCE. 7：如图，正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为a （1）求证：直线//1B A 平面1ACD （2）求证：平面1ACD ⊥平面D BD 1； 8： 如图，已知△ABC 是正三角形，EA 、CD 都垂直于平面ABC ，且EA=AB=2a,DC=a,F 是BE 的中点， 求证：(1) FD ∥平面ABC (2) AF ⊥平面EDB. 9：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是CB 、CD 、CC 1的中点， （1） 求证：平面A B 1D 1∥平面EFG; （2） 求证：平面AA 1C ⊥面EFG. B C D E F N M F G E C1D1 A1 B1 D C B F E D C A M
线面、面面平行练习题
一、选择题 1、直线和平面平行是指该直线与平面内的（ ） (A)一条直线不相交 (B)两条直线不相交 (C)无数条直线不相交 (D)任意一条直线都不相交 2、已知a b ||,αα?，则必有（ ） ()||(),A a b B a b 异面 (),C a b 相交 (),D a b 平行或异面 3、若直线a,b 都与平面α平行，则a 和b 的位置关系是（ ） (A)平行 (B)相交 (C)异面 (D)平行或相交或是异面直线 4、下列四个命题中，正确命题的个数是（ ）个 (1)过直线外一点，只能作一条直线与这条直线平行； (2)过平面外一点，只能作一条直线与这个平面平行； (3)过直线外一点，只能作一个平面与这条直线平行； (4)过两条异面直线中的一条直线，只能作一个平面与另一条直线平行。 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 5、下列命题中，错误的命题是（ ） (A)如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个 平面相交； (B)一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行； (C)经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行； (D)空间四边形相邻两边的中点的连线，平行于经过另外两边的平面。 6.一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线( ) A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．不确定 7.已知平面α、β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ?α；④α⊥β；⑤α∥β.为使m ∥β，应选择下面四个选项中的 ( ) A ．①④ B ．①⑤ C ．②⑤ D ．③⑤ 8．下列命题正确的是 （ ） A 一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行 B 一直线与平面平行，则平面内有且只有一个直线与已知直线平行
线面平行与面面平行
线面平行与面面平行专题复习 【知识梳理】 儍线线平行线面平行 面面平行 1、,,//l a b a l αβαβ=??I 已知：平面平面，求证： 归纳
D B 1B 1 A 1 C B A D E C 2、在正方体中，O 为面ABC D 的中心， 求证：1 11//.AO B CD 平面 归纳： 3、已知：点是平行四边形ABCD 所在平面外一点， Q 是PA 的中点, 求证：PC//平面BQD. 归纳： 4、如图，两个正方形ABCD 和ABEF 所在的平面相交于AB,M,N 分别是对角线AC,BF 上的点，AM=FN ，求证：MN//平面BCE. 小结1：证明线面平行的方法常常转化为面外线与面内线平行，而证明两线平行的方法常有： ， ， ，
B 1 D B A C 1C B 题型二、面面平行的判定与性质 1、1111111//.ABCD A B C D AB D C BC -在正方体中，求证：平面平面 归纳： 11111111111,,:(1)//;(2)//. ABC A B C D AC BC AB D D AC B DA BC D -2、如图已知正三棱柱中，点为的中点求证平面为的中点，求证：平面平面 归纳： 3//,,,,,,////AB CD A C B D E F AB CD EF αβααββαβ ∈∈∈∈、已知平面平面，是异面直线，分别为，的中点，求证： 归纳：
练习： 1． 如图，E D ,分别是正三棱柱111ABC A B C -的棱1AA 、11B C 的中点， 求证：1//A E 平面1BDC ； 2．在直三棱柱111C B A ABC -中， E 、F 分别为 11A C 、11B C 的中点,D 为棱1CC 上任一点. 求证：直线EF ∥平面ABD ； 3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱 BC ，11C D 的中点，求证：EF //平面11BB D D ． 4. 如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点． 求证：MN //平面PAD ． C 1 A B C D E F A 1 B 1 第2题 1A 1B 1D 1C F E A B C D A P D M N B C
线面线线面面平行垂直方法总结
线面线线面面平行垂直方 法总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
线线平行 1.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。（一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.） 2.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 3.【定义】同一平面内，两直线无公共点，称两直线平行 3.【公理】平行于同一直线的两条直线互相平行.（空间平行线传递性） 4.【定理】同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行. 5.平行线分线段成比例定理的逆定理 线面平行 1.面外一条线与面内一条线平行，或两面有交线强调面外与面内（如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。） 2.面外一直线上不同两点到面的距离相等，强调面外 3.如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行 4.证明线面无交点 5.反证法（线与面相交，再推翻） 6.空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量（x1x2-y1y2=0） 7.【定义】直线与平面无公共点，称直线与平面平行 8.X7【定理】如果两个平面平行，那么其中一平面内的任一直线平行于另一平面. 面面平行 1.如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 2.若两个平面所夹的平行线段相等，则这两个平面平行. 3.【定理】一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行. 4.【定义】两平面无公共点，称两平面平行. 5.【公理】平行于同一平面的两个平面互相平行.（空间平行面传递性） 6.【定理】一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 线线垂直 1如果一条直线垂直于一个平面，则这个平面上的任意一条直线都与这条直线垂直。 2
线线,线面平行与垂直专项练习
线面、面面平行 1、已知m、n、l1、l2表示不同直线，α、β表示不同平面．若m?α，n?α， l1?βl2?β，l1∩l2＝M，则能得到结论α∥β的选项是( ) A．m∥β且l1∥αB．m∥β且n∥β C．m∥β且n∥l1 D．m∥l1且n∥l2 2、a，b是两条直线，α，β是两个平面，则能使a⊥b成立的条件是( ) A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥β C．a?α，b⊥β，α∥βD．a?α，b∥β，α⊥β 3、若有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是( ) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β C．若α⊥β，m?α，则m⊥β D．若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α 4、能使平面α∥平面β成立的条件是( ) A．存在一条直线a，a∥α，a∥β B．存在一条直线a，a?α，a∥β C．存在两条平行直线a、b，a?α、b?β、a∥β、b∥α D．存在两条异面直线a、b，a?α、b?β、a∥β、b∥α 5、已知平面α∩β＝l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误的( ) A．若m∥β，则m∥l B．若m∥l，则m∥β C．若m⊥β，则m⊥l D．若m⊥l，则m⊥β 6、设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列命题中正确的是( ) A．若m∥α，m∥n，则n∥α B．若m?α，n?β，m∥β，n∥α，则α∥β C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β D．若α∥β，m∥α，n∥m，n?β，则n∥β 7、设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题 是( ) A．若m?α，n?α，且m∥β，n∥β，则α∥β B．若m∥α，m∥n，则n∥α
高中数学立体几何专题线面垂直典型例题的判定与性质
线面垂直 ●知识点 1.直线和平面垂直定义 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直. 2.线面垂直判定定理和性质定理 判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面. 判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面. 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 3.三垂线定理和它的逆定理. 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直. 逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直. ●题型示例 【例1】如图所示，已知点S是平面ABC外一点， ∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在直线SB和SC上的 射影分别为点E、F，求证：EF⊥SC. 【解前点津】用分析法寻找解决问题的途径，假设 EF⊥SC成立，结合AF⊥SC可推证SC⊥平面AEF，这样 SC⊥AE，结合AE⊥SB，可推证AE⊥平面SBC，因此证明 AE⊥平面SBC是解决本题的关键环节.由题设SA⊥平面ABC， ∠ABC=90°，可以推证BC⊥AE，结合AE⊥SB完成AE⊥平 例1题图 面SBC的证明. 【规范解答】 【解后归纳】题设中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解决问题的关键.
【例2】已知：M∩N=AB,PQ⊥M于Q，PO⊥N于O，OR⊥M于R，求证：QR⊥AB. 【解前点津】由求证想判定，欲证线线垂直，方法有（1）a∥b,a⊥c?b⊥c;(2)a⊥α,b?α?a ⊥b;(3)三垂线定理及其逆定理. 由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行. 【解后归纳】处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线”. 所谓“一个面”：就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上. 所谓“四条线”：就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线，牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线. 【例3】已知如图(1)所示，矩形纸片AA′A′1A1,B、C、B1、C1分别为AA′,A1A′的三等分点，将矩形纸片沿BB1,CC1折成如图(2)形状（正三棱柱），若面对角线AB1⊥BC1，求证:A1C⊥AB1. 例3题图解(1)
线面 线线面面平行垂直方法总结
线线平行 1.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。（一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.） 2.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 3.【定义】同一平面内，两直线无公共点，称两直线平行 3.【公理】平行于同一直线的两条直线互相平行.（空间平行线传递性） 4.【定理】同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行. 5.平行线分线段成比例定理的逆定理 线面平行 1.面外一条线与面内一条线平行，或两面有交线强调面外与面内（如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。） 2.面外一直线上不同两点到面的距离相等，强调面外 3.如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行 4.证明线面无交点 5.反证法（线与面相交，再推翻） 6.空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量（x1x2-y1y2=0） 7.【定义】直线与平面无公共点，称直线与平面平行 8.X7【定理】如果两个平面平行，那么其中一平面内的任一直线平行于另一平面. 面面平行 1.如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 2.若两个平面所夹的平行线段相等，则这两个平面平行. 3.【定理】一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行. 4.【定义】两平面无公共点，称两平面平行. 5.【公理】平行于同一平面的两个平面互相平行.（空间平行面传递性） 6.【定理】一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 线线垂直 1如果一条直线垂直于一个平面，则这个平面上的任意一条直线都与这条直线垂直。 . 2.三垂线定理：如果平面内的一条直线垂直于平面的血现在平面内的射影，则这条直线垂直于斜线。
线线平行、线面平行、面面平行的判定方法(本人原创)
在空间“线线平行、线面平行、面面平行”的判定方法 一、两条直线平行的判定方法 （1）在同一平面内没有公共点的两条直线平行（定义） （2）先证在同一平面内，再用平面几何中的平行线的判定理或者相关图形的性质进行证明。 如①在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同位角或内错角相等，或同旁内角 互补，则两直线平行。 ②三角形、梯形中位线定理。 ③平行四边形、矩形、菱形、正方形性质(对边平行)。 ④在同一个平面内，同垂直于一条直线的两条直线平行（注意：此结论在空间不适合）。 （3）（线面平行的性质）如果一条直线和一个平面平行，则经过这条直线的一个平面与这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 （4）如果两直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行（平行的传递性）。 （5）（面面平行的性质）如果两个平行平面分别和第三个平面相交，则它们的交线平行。 （6）（线面垂直的性质之一）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。 （7）用向量证明。 二、一条直线和一个平面平行的判定 （1）如果一直线和一平面没有公共点，那么这条直线就和这个平面平行（定义） （2）平面外的一条直线，如果和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行(线面平行的判定定理)。 （3）如果两个平面相互平行，那么在一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面. （线面平行的性质）。 （4）向量法。 三、两个平面平行的判定 （1）如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行（定义） （2）如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面平行，那么这两个平面平行。 （3）如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 （4）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面平行。 （5）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
【素材】第一章第五节_证明线面垂直的四种方法
证明线面垂直的四种方法 直线与平面垂直是空间元素中最重要的关系之一，是建立空间概念的主要支柱，而直线与平面垂直的证明也常有以下四种方法，下面分类举例解析，供参考。 一、运用直线与平面垂直的判定定理若一条直线与平面 内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面。 例1 如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2， D为CC1的中点，求证AB1⊥平面A1BD。 证明：由题意知，四边行ABB1A1是正方形，则AB1⊥ A1B；取BC中点E，连AE，EB ，则AE⊥BC，在正三棱柱中，侧面BB1C1C⊥底面ABC，故AE⊥面BB1C1C，又BD?面BB1C1C，所以AE⊥BD，在正方形BB1C1C中又D为CC1中点，易证△BC D≌△BB1E，得∠EB1B=∠DBC，而∠DBC+∠DBB1=90°，则∠EB1B+∠DBB1=90°，故EB⊥BD，又AE∩EB=E，∴BD⊥平面AEB1，∴BD⊥AB1，又A1B∩BD=B，故AB1⊥平面A1BD。 点评：在本题的证明中，多次证明了直线与平面垂直，其中直线与平面垂直的判定定理是常用判定方法，必须深刻理解这个定理的内涵与实质。 二、运用直线与平面垂直的第二判定定理若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。 例2 已知α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，求证：l⊥γ。 证明：如图，要证l⊥γ，则由线面垂直第二判定定理知，只 需证l平行于γ的一条垂线即可。设α∩γ=c，β∩γ=d，在α 内任取一点A，作AQ⊥c于Q，则AQ⊥γ。同理，在β内任取一点B，作BR⊥d于R，则BR⊥γ，且AQ∥BR。又 AQ?β，BR?β，故AQ∥β，由α∩β=l，得AQ∥l，而AQ⊥γ，故l⊥γ。 点评：此证法可能不是此题的最简证法，但说明了一个道理，每一条路都可能是成功之路，只是对问题的理解角度不同罢了。 三、运用课本中的已证命题：如果一条直线垂直于两个平行平面的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。 例3 如图，已知ABC—A 1B1C1为正三棱柱，D、E分别为AC、 A1C1的中点，CF⊥C1D于F，求证：CF⊥平面B1EA。
线面平行与垂直的证明题精选
线面平行和垂直的证明 1：如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中. （1）求证：AC ⊥平面B 1BDD 1； （2）求三棱锥B-ACB 1体积． 2：如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心， PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点． 求证：（1）PA∥平面BDE ； （2）平面PAC ⊥平面BDE ． 3：如图：在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中， ∠ABC = 90°，SA ⊥面ABCD ，SA = AB = BC = 1， 2 1 = AD ． （Ⅰ）求四棱锥S —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明：平面SBC ⊥平面SCD . 4：已知多面体ABCDFE 中， 四边形ABCD 为矩形，AB ∥EF ，AF ⊥BF ，平面ABEF ⊥平面ABCD ， O 、M 分别为AB 、FC 的中点，且AB = 2，AD = EF = 1. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面FBC ； （Ⅱ）求证：OM ∥平面DAF . 5：．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形， 侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，E 是P C 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F ． （1）证明 P A //平面EDB ； （2）证明PB ⊥平面EFD ； 6：已知正方形ABCD 和正方形ABEF 所在的平面相 交于AB ，点M ，N 分别在AC 和BF 上，且AM=FN. 求证：MN ‖平面BCE. 7：如图，正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为a （1）求证：直线//1B A 平面1ACD （2）求证：平面1ACD ⊥平面D BD 1； 8： 如图，已知△ABC 是正三角形，EA 、CD 都垂直于平面ABC ，且EA=AB=2a,DC=a,F 是BE 的中点， D 1 C 1 B 1 A 1 C D B A D A B C O E P A B C D P E F B C D E F N M F E D C A M
《线面垂直判定定理》教学设计
《直线与平面垂直的判定》教学设计 一、学习内容分析 本节课内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修2（人教A版）》第二章节。本节课主要学习直线与平面垂直的定义、判定定理及其初步运用。 本节课中的线面垂直定义是探究线面垂直判定定理的基础；线面垂直的判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化，它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带。学好这部分内容，对于学生建立空间观念，实现从认识平面图形到认识立体图形的飞跃，是非常重要的。 二、学习者分析 本节课的学生是高一的学生，在学习本节课之前，学生已经学习了掌握了线线垂直的证明，并且学习了空间内直线与平面位置关系以及直线与平面平行的知识，因此学生对于线面垂直的判定定理的学习有良好的认知基础。但是学生对于理解线面垂直的定义有一定的困难，受线面平行的影响，很容易由一直线垂直于一平面内一直线得出线面垂直，由于平面内看不到直线，要让学生去体会“与平面内所有直线垂直”就有一定困难；同时，线面垂直判定定理的发现具有一定的隐蔽性，学生不易想到。 三、教学重点、难点 重点：直线与平面垂直的判定定理。 【 难点：探究得出出直线与平面垂直的判定定理及初步运用． 四、教学目标 （1）知识与技能目标： 1.描述直线与平面垂直的定义； 2.运用直线与平面垂直的判定定理证明简单的的空间位置关系问题. （2）过程与方法目标： 1.通过对实例、图片的观察，概括定义，正确理解定义，增强观察能力； 2.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想. ' （3）情感态度与价值观目标： 1.通过对空间中直线与平面垂直定义的归纳，感受生活中的数学美； 2.通过经历直线与平面垂直判定定理的探究，体验探索的乐趣 五、教学过程 1．复习回顾，引入新课
关于线线、线面、面面平行练习题(含答案)
直线、平面平行的判定及其性质 测试题 A 一、选择题 1．下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 2．E ，F ，G 分别是四面体ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体中与过E ，F ， G 的截面平行的棱的条数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3． 直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（ ） A ．//,a b αα? B ．//,//a b αα C ．//,//a c b c D ．//,a b ααβ=I 4．若直线m 不平行于平面α，且m ?α，则下列结论成立的是（ ） A ．α内的所有直线与m 异面 B ．α内不存在与m 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与m 平行 D ．α内的直线与m 都相交 5．下列命题中，假命题的个数是（ ） ① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与α平行 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 6．已知空间四边形ABCD 中，,M N 分别是,AB CD 的中点，则下列判断正确的是（ ） A ．()12 MN AC BD ≥+ B ．()12 MN AC BD ≤+ C ．()12 MN AC BD =+ D ．()12 MN AC BD <+ 二、填空题 7．在四面体ABCD 中，M ，N 分别是面△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________. 8．如下图所示，四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP 的图形的序号的是 ①②③④ 9．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1中点，则BD 1和平面ACE 位置关系是 ．
(完整版)直线、平面平行与垂直的综合问题
第六节 直线、平面平行与垂直的综合问题 考点一 立体几何中的探索性问题 [典例] (2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧?CD 所在平面垂直，M 是?CD 上异于C ，D 的点． (1)证明：平面AMD ⊥平面BMC . (2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由． [解] (1)证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD .因为BC ⊥CD ，BC ?平面ABCD ， 所以BC ⊥平面CMD ，所以BC ⊥DM . 因为M 为?CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径， 所以DM ⊥CM . 又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC . 因为DM ?平面AMD ，所以平面AMD ⊥平面BMC . (2)当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD . 证明如下： 连接AC 交BD 于O . 因为四边形ABCD 为矩形， 所以O 为AC 的中点． 连接OP ，因为P 为AM 的中点， 所以MC ∥OP . 又MC ?平面PBD ，OP ?平面PBD ， 所以MC ∥平面PBD . [题组训练] 1.如图，三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°. (1)求三棱锥P -ABC 的体积； (2)在线段PC 上是否存在点M ，使得AC ⊥BM ，若存在，请说明理由，并求PM MC 的值． 解：(1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝3 2 . 由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P -ABC 的高， 又P A ＝1， 所以三棱锥P -ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝3 6 .
线面垂直习题精选
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 线面垂直的证明中的找线技巧 ◆ 通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直 1 如图1，在正方体 1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点， AC 交BD 于点O ，求证：1A O ⊥平面MBD ． 证明：连结MO ，1A M ，∵DB ⊥ 1A A ，DB ⊥AC ，1A A AC A =， ∴DB ⊥平面 11A ACC ，而1 AO ?平面11A ACC ∴DB ⊥1A O ． 设正方体棱长为a ，则22132A O a =，2 234MO a =． 在Rt △11A C M 中，2 21 94 A M a =．∵22211A O MO A M +=，∴1 AO OM ⊥． ∵OM ∩DB =O ，∴ 1A O ⊥平面MBD ． 评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明． ◆ 利用面面垂直寻求线面垂直 2 如图2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥平面PAC ． 证明：在平面PAC 内作AD ⊥PC 交PC 于D ． 因为平面PAC ⊥平面PBC ，且两平面交于PC ， AD ?平面PAC ，且AD ⊥PC ， 由面面垂直的性质，得AD ⊥平面PBC ． 又∵BC ? 平面PBC ，∴AD ⊥BC ． ∵PA ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ，∴PA ⊥BC ． ∵AD ∩PA =A ，∴BC ⊥平面PAC ． （另外还可证BC 分别与相交直线AD ，AC 垂直，从而得到BC ⊥平面PAC ）． 评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直?线面垂直?线线垂直． 一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直 ???→←???判定性质线面垂直???→←???判定性质 面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明． 3 如图１所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，．求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．
线面平行与垂直的证明题
线面平行与垂直的证明 1：如图,在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中. (1）求证:AC ⊥平面B １ＢＤD １; （２）求三棱锥B-ACB 1体积. 2：如图,ＡBC Ｄ是正方形,O 是正方形的中心, PO ⊥底面ABCD ，E 是ＰＣ的中点. 求证:（１）ＰＡ∥平面BD Ｅ； （2)平面P ＡC ⊥平面BDE ． ３：如图:在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中， ∠AB Ｃ = 90°,SA ⊥面ABCD,SA = AB ＝ BC = 1,2 1 = AD ． (Ⅰ）求四棱锥S —A ＢＣD 的体积; （Ⅱ）证明:平面SBC ⊥平面SCD . D 1 C 1 B 1 A 1 C D B A D A B C O E P
4:已知多面体ABCDFE中, 四边形ABCD为矩形,AB ∥EF,AＦ⊥BF,平面AＢＥＦ⊥平面AＢCＤ, Ｏ、M 分别为AＢ、FC的中点,且ＡB= 2，AD = ＥF= １. （Ⅰ)求证:AＦ⊥平面FBC; (Ⅱ）求证:ＯM∥平面ＤＡF. 5:．如图,在四棱锥P-ABCD中，底面ＡＢCD是正方形，侧棱PD⊥底面AＢCD，PＤ=DＣ,E是P C的中点，作EF ⊥PB交PB于点Ｆ. (１)证明ＰA//平面EDB；（2)证明PB⊥平面EFＤ; 6:已知正方形AＢCＤ和正方形ABＥF所在的平面相交于AＢ,点M,N分别在AC和BF上,且AM=FN．求证：ＭＮ‖平面ＢCE. A B C D P E F B C D E F N M
７：如图,正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为a （1）求证:直线//1B A 平面1ACD （2)求证：平面1ACD ⊥平面D BD 1; 8: 如图,已知△ABC 是正三角形,EA 、ＣD 都垂直于平面AB Ｃ，且EA=AB ＝2a,DC=a,F 是BE 的中点, 求证：(１) FD ∥平面ＡＢC (2) A Ｆ⊥平面ＥDB ． 9:如图,在正方体ＡBCD-A １Ｂ1C 1D 1中,E 、F 、G 分别是CB 、ＣD 、ＣC 1的中点， （1） 求证：平面Ａ B １D 1∥平面ＥFG; (２) 求证:平面AA 1C ⊥面EFG ． F E C1D1 A1 B1 D B F E D C A M
线线、线面、面面平行练习题(含答案)
D C A B B 1A 1 C 1 直线、平面平行的判定及其性质 测试题 A 一、选择题 1．下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 2．E ，F ，G 分别是四面体ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体中与过E ，F ，G 的截面平行的棱的条数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3． 直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（ ） A ．//,a b αα? B ．//,//a b αα C ．//,//a c b c D ．//,a b ααβ= 4．若直线m 不平行于平面α，且m ?α，则下列结论成立的是（ ） A ．α内的所有直线与m 异面 B ．α内不存在与m 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与m 平行 D ．α内的直线与m 都相交 5．下列命题中，假命题的个数是（ ） ① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与α平行 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 6．已知空间四边形ABCD 中，,M N 分别是,AB CD 的中点，则下列判断正确的是（ ） A ．()12 MN AC BD ≥+ B ．()12 MN AC BD ≤+ C ．()12 MN AC BD =+ D ．()12 MN AC BD <+ 二、填空题 7．在四面体ABCD 中，M ，N 分别是面△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________. 8．如下图所示，四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP 的图形的序号的是 ①②③④ 9．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1中点，则BD 1和平面ACE 位置关系是 ． 三、解答题 10.如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点.求证：//1C B 平面BD A 1. 11.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M ，N ，G 分别是AA 1，CD ，CB ，CC 1的中点， 求证：（1）MN //B 1D 1 ；（2）AC 1//平面EB 1D 1 ；（3）平面EB 1D 1//平面BDG .
线面垂直面面垂直知识点地总结经典例的题目及解析汇报高考的题目练习及问题详解
直线、平面垂直的判定与性质 【考纲说明】 1、能够认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理。 2、能够运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。 【知识梳理】 一、直线与平面垂直的判定与性质 1、直线与平面垂直 （1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。 （2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，记作. //a b b a αα? ?⊥?⊥? （3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。即,//a b a b αα⊥⊥?. 由定义知：直线垂直于平面内的任意直线。 2、直线与平面所成的角
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，该直线与平面所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，则此直线与平面所成的角是00的角。 3、二面角的平面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。如果记棱为l ，那么两个面分别为αβ、的二面角记作 l αβ--.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。其作用是衡量二面角的大小；范围： 000180θ<<. 二、平面与平面垂直的判定与性质 1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直. 2、判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。简述为“线面垂直，则面面垂直”，记作 l l βαβα⊥? ?⊥??? . 3、性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，记作 l m m m l αβαββα⊥??=? ?⊥??? ?⊥? I .