矩阵特征值与特征向量的几个问题的思考

矩阵特征值与特征向量的几个问题的思考

第1章引言

矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具.“矩阵”这个词是由西尔维斯特（J.Sylvester，英国,1814-1897）首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语.而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了.从行列式的大量工作中明显的表现出来，方阵本身可以用行列式的性质来研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的.在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反.

矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论.而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论.矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域.

现代行列式与矩阵的研究从形式上已推广到无限阶，从内容上已有了属于抽象域的元素的矩阵，这些理论都在继续发展之中.

现如今，矩阵在许多领域有所应用，一般只要是多维函数关系都能用到，如经济领域、矢量计算、流体流动、传热传质等等.这些领域的问题既是实际问题的应用，实质上也是数学理论的求解.对于数学的场论等方面理论问题，有时需要这一工具来求解.它在数学的发展史上

有一定地位与作用，它的产生主要源自于解决现实多元问题的需要，但是建立在数学理论发展到一定阶段的基础上. 第2章 矩阵特征值与特征向量的概念 2.1 矩阵特征值与特征向量

工程技术中的一些问题，如振动问题和稳定性问题，常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题.数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组等问题，也要用到特征值的理论. 2.1.1 矩阵的特征值与特征向量

定义1 设A 是n 阶矩阵，如果λ和n 维非零列向量x 使关系式 x x λA = （1） 成立，那么，这样的数λ称为矩阵A 的特征值，非零列向量x 称为A 的对应于特征值λ的特征向量.（1）式也可写成 ()0x λA -E =，

这是n 个未知数和n 个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是系数行列式0λA -E =，即

1112

1212221

2

-=0n

n n n nn a a a a a a a a a λλλλ

--A E =-

上式是以λ为未知数的一元n 次方程，称为矩阵A 的特征方程.其左端-λA E 是λ的n 次多项式，记作()f λ，称为矩阵A 的特征多项式.显然，A 的特征值就是特征方程的解.特征方程在复数范围恒有解，其个数为方程的次数（重数按重数计算）.因此，n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个特征值.

令i λλ=为矩阵A 的一个特征值，则由方程 ()0i x λA-E =

可求得非零解i x p =，即()0i x λA-E =的所有非零解都是A 的对应于特征值i λ的特征向量.（若i λ为实数，则i p 可取实向量；若i λ为复数，则i p 为复向量.）

2.2 特征值和特征向量的性质

根据上一节中的定义，我们可总结出一般矩阵和特殊矩阵的关于特征值和特征向量的相关性质.

2.2.1 一般矩阵的特征值与特征向量的性质

定理1 设A 为n 阶矩阵，则A 与T A 有相同的特征值；

定理2 设12,,,n λλλ为方阵()ij a A =的n 个特征值，则有下面结论成立： （1）()11

n

n

i ii i i a tr λ====A ∑∑（方阵A 的迹）；

（2）1

n

i i λ==A ∏.

由此定理可得下面的推论.

推论 n 阶方阵A 可逆的充要条件是0不为A 的特征值.

定理3 设12,,,m λλλ为方阵()ij a A =的m 个互异的特征值，12,,,m p p p 为与之依次对应的特征向量，则12,,,m p p p 线性无关.

例1 设1λ和2λ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为1p 和2p .证明：12p p +不是A 的特征向量. 证 按题设，有 111222,p p p p λλA =A =，故 ()112212p p p p λλA +=+，

用反证法， 假设12p p +是A 的特征向量，则应存在数λ，使

(

)()1212p p p p λA +=+，于是

()1

2

1

1

2

2

p p p p

λλλ+=+，即()()11220p p λλλλ-+-=，

由12λλ≠，则有1p ，2p 是线性无关的， 故 由上式得 120λλλλ-=-=，

即12λλ=，与题设矛盾，因此12p p +不是A 的特征向量.

定理4 若λ是矩阵A 的特征值，x 是A 的属于λ的特征向量，则 （1）m λ是m A 的特征值（m 是自然数）； （2）k λ是kA 的特征值()k R ∈；

（3）当A 为可逆时，1λ-A 是*A 的特征值.

按以上定理类推可知，若λ是矩阵A 的特征值，且

()01m m A a E a A a A ?=++

+是关于矩阵A 的多项式，那么有 ()01m m a a a ?λλλ=++

+是矩阵()A ?的特征值.

例 2 设三阶矩阵A 的特征值为1，-1,2，设矩阵32*B =A +A -E ， 试求 （1）B 的特征值；

（2）B .

解 因A 的特征值全部为0，所以A 可逆， 故 1111232λλλ*---A =A A =A =-A

∴ ()132232?*-A =B =A +A-E =-A +A-E ()2

32?λλλ

=-+-

可得 B 的特征值为()()()11,13,23???=--=-= ()()()1129???∴B =?-?=

总结

（1）属于不同特征值的特征向量是线性无关的；

（2）属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量；

（3）矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值的，一个特征值具有的特征向量不是惟一的；一个特征向量不能属于不同的特征值. 因为如果设x 同时是A 的属于特征值1λ和2λ（12λλ≠）的特征向量，即有 12,x x x x λλA =A =， 12x x λλ?= ()120x λλ?-=

由于 120λλ-≠，则0x =，与定义矛盾.

（4）从矩阵特征值和特征向量的定义和性质可以看出，方阵的特征值、特征向量问题与方阵行列式、齐次线性方程组及向量组中的线性相关（无关）等问题有关.

2.2.2 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质

实对称矩阵除了具有以上性质之外还有特殊的性质，下面就简单介绍几个常用的性质.

（1）实对称矩阵A 的特征值必为实数；

（2）实对称矩阵A 的不同特征值所对应的特征向量正交；

（3）λ是实对称矩阵A 的k 重特征值，则λ必有k 个线性无关的特征向量.

第3章 特征值与特征向量的求法

3.1 特征值与特征向量的一般求法

矩阵一般可分为数值矩阵和抽象矩阵，因此出题的类型也不同.为此，针对不同的类型可介绍不同的方法. 3.1.1 求实数值矩阵的特征值和特征向量

在实数域中，求数值矩阵特征值和特征向量的一般步骤：

1.计算矩阵A 的特征多项式，求出特征方程0A E λ-=的所有根，设矩阵A 有s 个不同的特征值，12s λλλ，，，；

2.对于矩阵A 的每个特征值()1,2,,i i s λ=，求解齐次方程组

()0i x λA-E =，

方程组的非零解即为矩阵A 的对应于i λ的全部特征向量. 例 3 已知 011101110??

?

A = ? ???

，求A 的特征值和特征向量. 解 A 的特征多项式为

()()2

11

1

1211

1

λ

λλλλλ

-A -E =-=-+-，

得 A 的特征值为 1232,1λλλ===. 当12λ=时，解方程组()20x A -E =，即

12321

1012101120x x x -?????? ??? ?

-= ??? ? ??? ?-??????

， 解之得基础解系为 ()11,1,1p T

=，

所以 11k p 是对应于12λ=的全部特征向量，1k 为任何非零实数； 当231λλ==时，解方程组()0x A +E =，即

123111*********x x x ??????

??? ?

= ??? ? ??? ???????

， 解之得基础解系为 ()()231,1,0,1,0,1p p T T

=-=-

所以 2233k p k p +是对应于231λλ==的全部特征向量，2k 和3k 为任意非零实数，且不同时为0. 3.1.2 求抽象矩阵的特征值和特征向量

抽象矩阵的特征值和特征向量的求法可依据特征值和特征向量的定义和给出的已知条件来计算.

例4 设()()1212,,,,,,,n n a a a b b b αβT T

==都是非零向量，且满足条件 0αβT

=（内积），记n 阶矩阵αβT

A =， 求（1）2A ；

（2）矩阵A 的特征值和特征向量. 解（1）由αβT

A =和0αβT

= 有 ()()()2

αβ

αβααββ

T

T

T

T

A =AA ===O

即 2A =O ；

（2）设λ为A 的任一特征值，A 的属于特征值λ的特征向量为

()

0x x ≠，则

,0x x x λA =≠ 于是 ()22x x x λλA =A = 因为 2A =O ，所以 20x λ= 由于 0x ≠，故有0λ=， 即 A 的特征值全为零；

不妨设向量,αβ中分量110,0a b ≠≠，对齐次线性方程组()00x A -E =的系数矩阵施行初等行变换：

1112112

2122212

00000

0n n n n n n n a b a b a b b b b a b a b a b a b a b a b ????

? ? ? ?A =→

? ?

?

???

?? 因此 可得该方程组的基础解系为

32111121100,,,010001n n b b b b b b ααα-????

??

--- ? ? ?

? ? ?

? ? ?

===

? ? ? ? ?

?

? ? ?

? ? ?

????

??

于是A 的属于特征值0λ=的全部特征向量为

112211n n k k k ααα--+++ ，其中121,,,n k k k -是不全为0的任意实数. 总结

（1）若()1?A =，则A 一定可分解为()1212,,,n n a a b b b a ??

? ?A = ? ???

，且

()()

()1122212121122,,,,,

,n n n n n n a a a a

b b b b b b a a a b a b a b ???? ? ? ? ?A =AA = ? ? ? ?????

=+++A

从而其特征值为1112223,0n n n a b a b a b λλλλ=+++==

==；

（2）若()1?A =，则A 一定可分解为,αβT

A =且m βαT

=，则 ()()()()()()k αβ

αβαβαβαβαβαβ

T

T

T

T

T

T

T

A ==

11k k m m αβT

--==A

3.2 特征值与特征向量的简易求法

介绍求矩阵的一般方法是求特征方程()0A f λλ=A-E =的在实数范围内的全部根12,,,r λλλ（互异），而求得的相应的特征向量则是对每个i λ求齐次线性方程组()0i x λA-E =的非零解，两者的计算是分离的，一个是计算行列式，另一个是解齐次线性方程组，计算量都较大. 本节介绍求矩阵的特征值与特征向量的两种简易方法，即列行互逆变换法和列初等变换法，这两种方法均只用一种元素—矩阵运算.列行互逆变换法是一种可同步求出特征值与特征向量的方法，而且不需要考虑带参数的特征矩阵.而矩阵的列初等变换法，在求出特征值的同时，有时碰巧已完成了求特征向量的全部运算.两种方法计算量少，且运算规范，不易出错. 3.2.1 列行互逆变换法

定义2 把矩阵的下列三种变化称为列行互逆变换： （1）互换,i j 两列（i j c c ?），同时互换,j i 两行（j i r r ?）；

（2）第i 列乘以非零数()i k kc ，同时第i 行乘以11i r k k

?? ??

?

； （3）第i 列的k 倍加到第j 列()j i c kc +，同时第j 行的k -倍加到第i 行

()i

j

r kr -.

定理5 复数域C 上任一n 阶矩阵A 都与一个Jordan 标准矩阵

()()(){

}

1212,,

,r k k k r J diag J J J λλλ=相似，其中

()10000

1

01,2,,000100

i i

i i k i

i k J i r λλλλ?? ? ?

?== ? ? ??

?

称为Jordan 块，12r k k k n ++=，并且这个Jordan 标准形矩阵除去其中Jordan 块的排列次序外被矩阵A 唯一确定，J 称为A 的Jordan 标准形.

定理 6 A 为任意n 阶方阵，若A J E P T ??

????????→ ? ?????一系列列行互逆变换，其中

()()(){

}

1212,,

,r k k k r J diag J J J λλλ=是Jordan 标准形矩阵，()1,

,r P P P =，

(

)

()1,

,1,2,

,,i

i i ik P i r ββT

==12r k k k n ++

=.则i λ为A 的特征值，i i ik αβ=为

A 的对应特征值i λ的特征向量.

证明 由定理5可知，任一矩阵必相似与一Jordan 矩阵，按定理5中化简方法，有矩阵A 的转置矩阵T A 相似于一Jordan 矩阵，即存在可逆

矩阵P ，使()

1

P P J -T T

T

A =，故P P

J T

A =，其中()1111,,,,,,r r P βαβα=，

1

000

000

1

010

0,00010

00000

00

1

i i i i

i

i i i k k i

i

i i k k J J λλλλλλλλT ????

? ? ? ?

? ?== ? ? ? ? ? ??

??

? 所以

(

)

1111,

,,,,,r r

A βαβα

(

)

11111,

,,,,

,k r r ki J A J βαβαT

T ?? ?=

? ??

?

故有 ()1,2,,i i i A i r αλα==

所以i λ为A 的特征值，i ik αβ=为A 的对应特征值i λ的特征向量.

例 5 求 211031213-??

?

A =- ? ???

的特征值与特征向量. 解 1321311221111103113121300410010001001000

1101c c c c r r r r A E --++--???? ? ?-- ? ?

?

???

? ? ?=???→???

→

? ? ? ? ?

???

? ? ? ?

? ?-?

???

132321123322220

02002001201211200040040041

11211011110101001121111111112c c c r r r -+?????? ?

? ? ?- ? ? ?

? ? ?

? ? ????→??→ ? ? ?- ? ? ?-- ? ? ?-- ? ? ? ? ? ?--???? ?

-??

所以特征值1232,4λλλ===，对应特征值122λλ==的一个特征向量

()11,1,1αT

=-，对应34λ=的一个特征向量()31,1,1αT

=-.

注

（1）解答过程中第一次变换中的1k =-是由方程()()2320k k k +++-=确定的，第二次变换中的1k =-是由方程()()130k k k -+++-=确定的，第三次变换中的1

2

k =-是由方程()1240k k -++-=确定的.

（2）矩阵A 在作列变换的同时，也作相应的行变换，矩阵E 只作相应的列变换.

3.2.2 列初等变换法

定理7 设A 是n 阶方阵，E 为n 阶单位矩阵，λ为待求特征值.若对矩

阵E A λ-施行一系列列初等变换，可得到下三角矩阵()M λ，则令()M λ的主对角线上元素乘积为零，求得λ值即为矩阵A 的特征值.

证明 设11121212221

2n n n n nn a a a a a a E A a a a λλλλ---??

?--- ?

-= ?

?---??

考察()E A λ-的第一行元素：若1i a 不全为零()1,2,,i n =，任取其一，

记为()1b λ，通过列初等变换化为()()110b C λλ?? ?*??

；若()101,2,

,i a i n ==，

则()E A λ-就具有这种形式，再对()1C λ进行相应的列初等变换，化为

()

()220b C λλ?? ?*?

?，再对()2C λ进行类似的计算，直至()E A λ-化为三角矩阵()()

()()()121

0000n n b b M b b λλλλλ-?? ?

?

?= ?

? ?*?

?

，由以上运算可知，()E A λ-与()M λ等价，则()E A λ-与()M λ有相同的初等因子，定理得证.

由定理7求出()1,2,,i i n λ=，将每个特征值i λ代入()M λ得()i M λ，再由定理8求出相应的特征向量.

定理8 对矩阵()i E A λ-施行一系列列初等变换，化为列阶梯形，同时对单位矩阵也施行相应的列初等变换即存在n 阶可逆矩阵,n n Q ，使

,,,,,i n r n n r n n n r n n r E A C Q Q

Q E λ---??

O ??

?

= ? ???

?

??

其中()i r r λE-A =，,n r C 为满秩矩阵，(),,,n n n r n n r Q Q Q -=，则分块矩阵,n n r Q -的n r -个n 维列向量即为矩阵A 的特征值i λ对应的特征向量.

证明 对矩阵()i λE -A ，经过有限次初等变换化为标准形，即存在n 阶可逆矩阵,n n P 及,n n Q ，使(),,,,,r r

r n r n n i nn n r r n r n r E P Q λ----O ??

E -A = ?O O ??

，于是 (),,1

,,,,r r

r n r i n n n n

n r r n r n r E Q P λ-----O ??

E -A =

?O O ??

，根据分块矩阵的运算 ()()()

,,,,,,,,r r r n r

i n n n n r n n n n r n r r

n r n r E Q Q P P λ------O ??

''E -A = ?O O ?? ()()()(),,,,i n r i n n r n r n n r Q Q C λλ--E -A E -A =O (),i n n r Q λ-E-A =O ,,n n r i n n r Q Q λ--A =

故,n n r Q -的n r -个n 维列向量即为矩阵A 的特征值i λ对应的特征向量.又因为,n n O 可逆，知这些特征向量线性无关.证毕. 由定理7、定理8可知计算特征值与特征向量的步骤：

（1）计算()()C E Q λλλE -A ????

? ???????→ ? ?

? ?????

一系列列初等变换，其中()C λ为含λ的下三角矩阵，()Q λ为E 经过初等列变换得到的矩阵；

（2）令()C λ主对角元素之积为零，求出根即为特征值()1,2,,i i n λ=； （3）将求出的()1,2,

,i i n λ=代入()()C Q λλ?? ?

? ?

??

中为()()i i C Q λλ??

? ? ???，再进行列初等变

换，当()i C λ化为列阶梯形，当非零列向量个数为λ时，()i Q λ中的n r -个列向量即为i λ对应的特征向量. 例6 重做例5

解 132111

120113021312100001010010001100c c E λλλλλλλ?----???? ? ?- ? ?

?

?E -A -----??

? ? ?=???→

? ? ? ? ? ??? ? ?

? ? ? ????? ()()()()()3121

3122100100

12212034543442001001010011102103c c c c c c C Q λλλλλλλλλλλλλλλλ-++---????

? ?

--- ? ?

? ???

---+---- ? ? ?????→???

→= ? ? ? ? ? ??

? ? ?- ? ?

? ?--???

?

令()C λ主对角线元素之积为零，即()()2

420λλ---=，特征值

1232,4λλλ===.

当122λλ==时，()()11100100120001011111C Q λλ-??

? ?

?

??--

? ?=

? ? ? ?

?? ?

- ? ?-??

()()12r C λ=，于是122λλ==对应的一个特征向量为()11,1,1αT

=--；

当34λ=时，()()331001

201000

0101111

1C Q λλ-?? ? ? ???

? ?=

? ? ? ???

?- ? ??

?

， ()()32r C λ=，于是34λ=对应的一个特征向量为()21,1,1αT

=-.

第4章 矩阵特征值与特征向量的应用

4.1 理论上的应用

4.1.1 方阵对角化的问题

定义3 设,A B 是n 阶方阵，若存在n 阶可逆矩阵P ，使 1P AP B -=

则称矩阵A 相似于矩阵B （或称A 与B 相似），记作A ～B . 相似矩阵具有如下性质：

（1）若A ～B ，则有 ()()r A r B =； （2）相似矩阵具有相同的特征值； （3）若n 阶方阵A 与对角矩阵

1

2

n λλλ??

?

?Λ= ? ??

?

相似，则12,,,n λλλ即为A 的n 个特征值，此时称矩阵A 可对角化. 4.1.2 矩阵可对角化的判定

定理 9 n 阶方阵A 与对角矩阵Λ相似（即A 可对角化）的充要条件是

A 有n 个线性无关的特征向量12,,

,n p p p ，且将矩阵A 化为对角矩阵的

矩阵为()12,,,n P p p p =；

推论 如果n 阶方阵有n 个不同的特征值，则A 与对角矩阵Λ相似，即矩阵A 可对角化.

例 7 判定矩阵211020413A -?? ?= ? ?-??，110430102B -??

?

=- ? ???

是否可对角化. 分析：由上面的判定方法可知，要想判断矩阵A 和B 是否可对角化，

只需看对应特征值的特征向量的个数.当特征方程有重根时，就不一定有n 个线性无关的特征向量，从而不一定可对角化. 解 （1）由矩阵A 的特征方程0A E λ-=可得

即 ()()2

2110201204

1

3A E λ

λλλλλ

---=

-=-+-=--

可得矩阵A 的特征值是1231,2λλλ=-==；

当11λ=-时，解方程()0A E x +=求得对应的一个特征向量是 ()11,0,1p T

=；

当232λλ==时，解方程()20A E x -=，求得对应的一个特征向量是 ()()230,1,1,1,0,4p p T

T

=-=； 由定理9可知，矩阵A 可对角化，且

()

123101,,010114P p p p ??

?

== ? ?-??

（2） 由矩阵B 的特征方程0B E λ-=可得

即 ()()2

1104

301201

2B E λ

λλλλλ

---=--=--=-

可得矩阵B 的特征值是1232,1λλλ===；

当12λ=时，解方程()20B E x -=，求得对应的一个特征向量是 ()10,0,1p T

=；

当231λλ==时，解方程()0B E x -=，求得对应的一个特征向量是 ()21,2,1p T =--

矩阵B 对应于特征值231λλ==的特征向量只有一个，由判定条件可

知，矩阵B 不可对角化.

对于实对称矩阵，由前面的性质可知，实对称矩阵必可对角化. 4.1.3 化二次型为标准形问题

记 1112112122

2212

,n n n n nn n a a a x a a

a x

A x a a a x ???? ? ? ? ?== ? ?

? ?????

则二次型可记为

f x Ax T

= （2） 其中A 为实对称矩阵.

定义4 称只含有平方项的二次型 2221122n n f y y y λλλ=++

()1

12

212,,

,n n n y y y y y y y y λλλT ????

???

???=Λ ??? ????

???

为二次型的标准形，其中

1122

,n n y y y y λλλ????

? ? ?

?=Λ= ? ? ? ????

?

. 下面用正交变换化二次型为标准形.

定理10 任给实二次型11n

n

ij i j i j f a x x x Ax T

====∑∑，总有正交变换x P y =，使

f 化为标准形

22

21122n n f y y y λλλ=++

其中12,,,n λλλ是f 的矩阵()ij A a =的特征值.

例8 求一个正交变换x P y =，把二次型

121314232434222222f x x x x x x x x x x x x =+--++化为标准形. 解 二次型f 的矩阵为

0111101111011110A -?? ?-

?= ?- ?-??

由0A E λ-=，求出A 的全部特征值.

1111111111

1

1

A E λ

λλλ

λ

-----=

----()()3

13λλ=-+

于是A 的特征值为12343,1λλλλ=-===. 当13λ=-时，解齐次线性方程组()30A E x +=， 得基础解系兵将其单位化，有 ()()111

1,1,1,1,1,1,1,12

p ξT

T

=--=--；

当2341λλλ===时，解齐次线性方程组()0A E x -=， 可找出一组已正交的基础解系

()()()2341,1,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1ξξξT

T

T

===--，

单位化，得

2341111,,,,,2222p p p T

T

T

????

===-- ?? ????

. 由1234,,,p p p p 作为列，构成正交矩阵

(

)

123411

02211022,,,1

1022110

22P p p p p ?? ? ?-- ? ?== ?- ? ?- ??

?

于是得 3111P AP T -??

?

?=Λ= ? ?

??

再作正交变换x P y =，便可将该二次型f 化为标准形 222212343f y y y y =-+++. 总结

综合上面的讨论，可以总结出用正交变换把二次型化成标准形的一般步骤：

（1）将二次型()11n

n

ij i j ij ji i j f a x x a a ====∑∑写成矩阵形式f x Ax T

=；

（2）由0A E λ-=，求出A 的特征值；

（3）对于A 不同的单特征值，由()0A E x λ-=求得的特征向量已经正交，只需把它们单位化；对于A 的k 重特征值k λ，由()0k A E x λ-=求得的k 个线性无关的特征向量，用施密特正交法将它们化成两两正交的单位特征向量；

（4）将上面求出的n 个两两正交的单位特征向量排成正交矩阵P ，再作正交变换x P y =；

（5）用此正交变换将f 化成标准形

()()f x Ax Py A Py y P APy y y T

T

T T T ====Λ

这里 ()12,,,n P AP diag λλλT Λ==. 4.1.4 在其他方面的应用

已知矩阵的特征值12,,,n λλλ（重根按重数计算）和对应的n 个线性无关的特征向量12,,,n p p p ，则构造可逆矩阵()12,,,n P p p p =，有

1P AP -=Λ，即有1A P P -=Λ，其中()12,,

,n diag λλλΛ=.

例 9 设3阶实对称矩阵A 的特征1231,2,λλλ===，()1,1,1αT

=-是A 的属于1λ的一个特征向量，求矩阵A .

解 设对应于矩阵A 的特征值232λλ==的特征向量分别为23,αα，

由对称矩阵的性质可得

()()

2

1310

0ααααT T

?=???=?

即可分别求出 ()()231,1,0,1,0,1ααT

T

T

T ==-

令 ()

123111,,110101P p p p -??

?

==- ? ???

， 则有1P AP -=Λ 可得1A PAP -=

即 51111513115A -?? ?=- ? ???

4.2 实际问题中的应用

随着科学的发展，数学理论在科技和实际经济生活中的应用越来越广泛，特别是矩阵理论应用，比如美国著名的经济学家瓦?列昂捷夫（W.Leontief ）的投入产出分析方法.而本章主要介绍与矩阵特征值和特征向量的实际问题.