期末复习题三及答案

鄂尔多斯市第一中学伊金霍洛校区高一数学

期末复习试卷（三）

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．设{

}

21x

A x

=>∣，{22}B x x =-≤≤∣，则A B =（ ）

A ．[]0,2

B ．(]

0,2 C ．()0,∞+ D ．[)2,-+∞

2．已知0.302a =.，20.3b =，0.3log 0.2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c b a >>B ． c a b >>C ．b a c >>

D ．a c b >>

3．已知直线l 过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程是（ ） A ．3210x y +-= B ．3270x y ++= C ．2350x y -+= D ．2380x y -+= 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ） A ．483π+ B ．

16

3

π C ．283π

D ．12π

5．函数()f x 是定义在R 上的偶函数且在[)0,+∞上减函数，(2)1f -=，则不等式()11f x -<的解集（ ）

A ．{3}x

x >∣B ．{1}x x <-∣C ．{13}x x -<<∣ D ．{3x x >∣或1}x <- 6．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若,,,E F G H 分别是棱

111111,,,A B BB CC C D 的中点，则必有（ ）

A ．1//BD GH

B ．//BD EF

C ．平面//EFGH 平面ABC

D D ．平面//EFGH 平面11A BCD

7．若点()1,a 到直线10x y -+=的距离是32

2

，则实数a 为（ ） A ．1- B ．5

C ．1-或5

D ．3-或3

8．函数ln x

y x

=

的图象大致为（ ） A ． B ．C ． D ．

9．函数2

21()2

x x y -+=的值域是（ ）

A ．R

B ．1

[,)2

+∞ C ．(2,)+∞ D ．(0,)+∞

10．若()f x 是偶函数，且对任意12,x x ∈(0,)+∞且12x x ≠，都有

()()

2121

0-f x f x x x -<，则下列关系式中成立的是（ ）

A ．123()()()234f f f >->

B ．132

()()()243f f f >->

C ．312()()()423

f f f >->

D ．321

()()()432

f f f ->>

11．设函数3

y x =与2

12x y -??= ?

??

的图象的交点为

00

,x y ，则0x 所在的区间是（ ）

A ．

0,1

B ．

1,2

C ．

()2,3 D ．()3,4

12．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若AB ＝2，AA 1＝1，则点A 到平面A 1BC 的距离为( )

A ．

34 B ．32 C ．334

D ．3 二、填空题（每小题5分，共20分）

13．已知平面α，β和直线m ，若α∥β，则满足下列条件中的________(填序号)能使m ⊥β成立．

①m ∥α；②m ⊥α；③m ?α.

14．已知l 1，l 2是分别经过点A (1,1)，B (0，－1)的两条平行直线，则当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是____________________．

15．已知两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，则a ＝________. 16．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，有以下结论：① //BD 平面11CB D ；②1AC BD ⊥；③1AC ⊥平面11CB D ；④直线11B D 与BC 所成的角为45?，其中正确的结论为________.

答案部分

一、选择题（每题5分，共60分）

二、填空题（每题5分，共20分）

13. ② 14. 032=-+y x

15. 3-1或 16. ①②③④ 三、解答题（每小题12分，共60分）

17．已知直线l ：240x y -+=在x 轴上的截距为m ，在y 轴上的截距为n . （1）求实数m ，n 的值；（2）求点(),m n 到直线l 的距离. 答案：(1)2m =-,4n =

【解析】

分析：（1（在直线方程中，令0x =可得在y 轴上的截距n （令0y =可得x 轴上的截距m ．（2（由（1）可得点(),m n 的坐标，然后根据点到直线的距离公式可得结果（ 详解：（1）在方程240x y -+=中， 令0y =，得2x =-，所以2m =-； 令0x =，得4y =，所以4n =． （2）由（1）得点(),m n 即为()2,4-， 所以点(),m n 到直线l

的距离为d ==

18．△ABC 中，已知A （-1，2），B （3，4），C （-2，5） （1）求BC 边所在的直线的一般式方程； （2）求BC 边上的高AH 所在的直线的一般式方程. 答案：（1）5230x y +-=； （2）570x y -+=.

【解析】

（1）由题意，根据直线的斜率公式，可得541

235

BC k -=

=---，

又由直线的点斜式方程，可得1

4(3)5

y x -=--， 即BC 边所在的直线的一般式方程5230x y +-=. （2）由（1）可得1

5

BC k =-

，所以5AH k =, 由直线的点斜式方程，可得25(1)y x -=+，

即BC 边上的高AH 所在的直线的一般式方程为570x y -+=.

19．已知函数()121

x

a

f x =

+-是奇函数，其中a 是常数. （1）求函数()f x 的定义域和a 的值；（2）若()3f x >，求实数x 的取值范围.

答案：（1）定义域为{x x R ∈∣且0}x ≠，2a =；（2）(0,1).

【解析】（1）由210x -≠，解得0x ≠，

所以函数()f x 的定义域为{,0}x

x R x ∈≠∣且， 又因为()f x 是奇函数， 所以

112121

x x

a a

-+=----， 解得2a =.

（2）由（1）知2

()121

x f x =+-， 由()3f x >，即

1

121

x

-> 当0x <时，21,210x

x

<-<，

1

121

x

->不成立， 当0x >时，211x -<，解得1x <， 所以实数x 的取值范围是(0,1).

20．如图，空间四边形ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD △是直角三角形，点E 、F 分别是BD 、AC 的中点，且ABD CBD ∠=∠，AB BD =. （1）求证：BF ⊥平面ACD ； （2）求AE 与平面BCD 所成角的正弦值. 答案：（1）证明见解析（2）

42

【解析】解：（1）因为ABD CBD AB CB BD BD ∠∠＝，＝，＝，所以ABD CBD ≌△△，

又因为AD CD ＝，所以90ADC ∠?＝，

连接DF ，正ABC ，不妨设边长为2,2,,3a AD CD a DF a BF a ==

==，

又因为AB BD ＝，所以222DF BF BD BF DF +⊥＝，，

BF AC DF AC F ⊥?，＝，

BF ⊥平面ACD .

（2）不妨设AE x ＝，在ABD △中222cos ADB 222a a

∠=??，

在ADE 中，

222

cos ADE cos 22ADB a a

∠==∠，可得2x a AE ==，

在CBD 中，27CBD S a =

，27CED S a =，2ACD S a =， 由A CED E ACD V V --＝中可得，点A 到平面CBD 距离为221h 7

a

=

， 42

sin h AE θ=

=

.

21．已知定义在[1,1]-上的奇函数()f x ，当(0,1]x ∈时，2

()41

x x f x =+.

（1）求函数()f x 在[1,1]-上的解析式；（2）用函数单调性的定义证明()f x 在(0,1]上是单调减函数；（3）若()f x x b =+在[1,1]-上有解，求b 的取值范围.

答案：（1）2,0141()0,0,2,1041x

x x

x x f x x x ?<≤?+??

==???--≤

；（2）证明见解析（3）33,55b ??∈-????.

【解析】

（1）设10x -≤<，则01x <-≤，22()4141x x

x x

f x --∴-==++. ()f x 在[1,1]-上为奇函数，2()()41

x

x f x f x ∴=--=-+.

而(0)0f =，2,0141()0,0,

2,1041

x

x

x x x f x x x ?<≤?+??

∴==???--≤

2121222(21)(22)

()()4141(41)(41)

x x x x x x x x x x f x f x +---=-=++++. 1201x x <<≤，12210x x +∴->，21220x x ->，又12(41)(41)0x x ++>. 12()()0f x f x ∴->，即12()()f x f x >.

()f x ∴在(0,1]上是单调减函数.

（3）问题可转化为()b f x x =-在[1,1]-上恒有实数解，设()()g x f x x =-， 则()g x 为(0,1]上的单调减函数，(0,1]x ∴∈时，31(),

52g x ??

∈-????

. 易知()g x 为[1,1]-上的奇函数，故当[1,0)x ∈-时，13(),25g x ??∈- ???

.

而(0)0g =，33(),55g x ??∴∈-????，即33,55

b ??

∈-????

.

22．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，侧面ADEF 为梯形，//AF DE ，DE AD ⊥，

DC DE =. （Ⅰ）求证：AD CE ⊥；

（Ⅱ）求证：//BF 平面CDE ； （Ⅲ）判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面ADQ ⊥平面BCE ？并说明理由．

【解析】

（Ⅰ）由底面ABCD 为矩形，知AD CD ⊥. 又因为DE AD ⊥，DE CD D ?=， 所以AD ⊥平面CDE . 又因为CE ?平面CDE ， 所以AD CE ⊥.

（Ⅱ）由底面ABCD 为矩形，知//AB CD ， 又因为AB ?平面CDE ，CD ?平面CDE ， 所以//AB 平面CDE . 同理//AF 平面CDE ， 又因为AB AF A ?=， 所以平面//ABF 平面CDE . 又因为BF ?平面ABF ，

所以//BF 平面CDE .

（Ⅲ）结论：线段BE 上存在点Q （即BE 的中点），使得平面ADQ ⊥平面BCE .证明如下： 取CE 的中点P ，BE 的中点Q ，连接,,AQ DP PQ ，则//PQ BC . 由//AD BC ，得//PQ AD . 所以,,,A D P Q 四点共面.

由（Ⅰ），知AD ⊥平面CDE ， 所以AD DP ⊥，故BC DP ⊥.

在△CDE 中，由DC DE =，可得DP CE ⊥. 又因为BC CE C ?=， 所以DP ⊥平面BCE . 又因为DP ?平面ADPQ

所以平面ADPQ ⊥平面BCE （即平面ADQ ⊥平面BCE ）.

即线段BE上存在点Q（即BE中点），使得平面ADQ 平面BCE