2015大学物理竞赛答案

2015年“拓普杯”天津市大学生物理竞赛参考答案及评分标准

一、

解：卫星轨道长轴：公里875523846371r 1=+= 短轴：公里68104396371r 1=+= 其椭圆面积：21r r S π=

由开普勒第二定律可知，卫星单位时间扫过的面积为：m

L dt dS 2=

上式中，L 为卫星轨道角动量，而卫星运动周期T ：

L

r mr m L r r dt dS S

T 212122//ππ===

由角动量守恒得，远、近地点角动量有

2211r m v r m v L ==

代入上式求远地点和近地点的速度分别为：

公里36.6601126810

14.32221=???==

T r v π 公里8.1860

1128755

14.32212=???==

T r v π 二

解：设氢气质量为m1气球的容积为V ，球囊德质量为m2。 气球的总重量：g 6m g m g m 121== 气球的浮力：g m ρρ

ρρρf 11

2112

2g m Vg === 2分 由气球状态方程：RT M M

pV mol

=

2分 求得密度：RT

pM V M ρmol == 2分

氢气密度： RT

M p ρmol 111

=

空气密度：RT

M p ρmol 222

=

由于氢气压力为大气压力的1.8倍，即21 1.8P p =，29M 2,M 2mol 1mol ==，可得

068P P 112221.M M ρρmol mol

==

代入求浮力：g m .g m ρρf 111

2

068==

依牛顿第二定律：a m g m f 2166=-

三、

解：（1）最终温度为 2

21T T + 3分

（2）移去热源时，棒内温度分布 x L

T T )x (121

T T -+= 2分

x 到x+dx 段温度改变dT ，熵变

T dT Adx ρC dS ?=?==

T dT Cdm T dQ

?

?

+=

20

2

1T T )

x (T L

T

dT Adx ρC 1 2 3分

又由于x L T T )x (121

T T -+=，微分：dx L

T T )x (12dT -=

)

x (dT T 1

2T 2

dx -=

代入上式： )x (dT T )x (T T T ln

AL

ρC S L

1

20

21T 22-?+=?

dT T

T T ln

T AL ρC T

T

?+-=

?

2T 2

11

2 ??

????-+-=??dT T ln dT T T ln T AL ρC T T T T 2T 2112

()

2

11114331

6606866s /m .m g

m g m .m g m f a =-=-=

∴

()()??

????--+--=

212T T 211

212T T T T ln T T T ln T T AL ρC

()()()??

????----+--=

121122211

2122T T T T T ln T T ln T T T ln T T AL ρC

??

?

??

????? ??

+-+-+=1211

221222T 2T T 11T T T ln T T T ln T AL ρC 2分

四、

解：设柱形电容器充电后带电量为q ，单位长度带电量L

q

λ=

。由介质中高斯定理求得电位移矢量大小r

2πλ

D =

3分 由E εD =，求得介质中电场为

La πq

r a πL q πελE 2r 2r

2=

??

?

??==

1分 介质中为一均匀电场。 电容器两极电势差

()1212a

22

1

R R L πq

dr E V V R R -=

?=

-?

3分 由电容定义12V V q

C -=

，求得圆柱形电容器的电容为

12122V R R La

πV q C -=

-=

（2分）

五、在两正交偏振片M 、N 之间，放置一厚度为0.5mm 的石英晶片（n e 主 =1.5534，n o =1.5443），其光轴Z 与M 、N 之间夹角均为450，垂直入射到M 的自然光的波长为0.5μm ，设所有元件对光没有散射和吸收，问：(1) 在偏振片N 后能看见多少条等厚干涉条纹？(2) 如果所放置的石英晶片为如图所示的劈尖形状（其劈背厚度a=0.5mm ，光轴不变），则在偏振片N 后A 处（对应于劈尖最顶端处）观测到的光强度为多少？

解：.折射定律的普遍形式：光在折射率连续变化的介质内 αsin n 等于常数（等于初始值00sin αn ），本题初

M

A

始值190sin 1sin 00=?=

αn

图中所示的角为该点光线的切线与x 轴夹角，即光线在x 分界面自左侧进入右侧是时的折射角，也是切线的倾角。

介质内设光线的轨道方程为：)(x f y =，x 处的切线斜率：αtg y dx

dy

='= 依上述道理：1sin )(=?αx n 即：x

x n +==

11)(1sin α 由三角关系求得：

α

α

αααααα21sec cos cos sin sin tg tg tg +=== 可得：

x y y +=

'+'

1112

两边平方化简：x

y 1

2

=' 得：x

dx dy y 1==

' 积分：C x y +=2 由0=x 时0=y 得：0=C 求得介质中的光线方程：x y 2=

六、空气折射率n 约为1.0003。用下列给定装置：一台迈克尔逊干涉仪；扩展钠光灯面光

源（平均波长为λ）；两个完全相同的长度为L 的玻璃管，侧面带有阀门都是打开的，其内为一个大气压的空气；一台高精度真空泵及真空管、阀等配件；若干个可升降光学支架。设计一个可行方案，要求：（1）画出实验设计光路图；（2）简略写出主要操作步骤；（3）推算出空气折射率n 的数学表达式。 解：（1）光的偏振态可分为三类七种，依题意可知本题光是由自然光和椭圆偏振光混合而成的，设自然光光强为自I

椭圆的长、短轴之比x y A A :为360=

tg

依题意可知，最大光强：2y 0A 21

+=

自I I 最大光强：2

x 0A 2

132+=自I I

可解出???

?

??

???

===020206121I I A I A I x y 自

得椭偏光强：02

2

32

A I A I x y =+=椭 原光强为：0003

532I I I I I =+=+椭

自

此种光为部分偏振光：自然光占60%，椭圆偏振光占40%。

（2）此光通过透振方向与铅直成θ角度，出射点光强为：

()()2

2

sin cos 2

θθx y A A I I ++=

自

θθ20200sin 6

cos 22I I

I ++=

θ20

0sin 3

I I -

= 七、

解：在固定在玻璃块上的参考系中，玻璃块中的光速度：

n

c u =

' 依相对论的速度变换式，将u '变换到实验室参考系中：

c v n nv c c

v v

n c c v u v u u n c ++=

++='++'=2

211 上式为玻璃块中的光在实验室参考系的速度。

八、

解：碰撞前，两粒子静质量均为0m ，一个运动的粒子相对论质量为m ，即

m

碰撞过程中动量守恒，设复合粒子质量为M ，速度为V ，有： MV mv =+0

20

2

2035

8011m c c .m c

v m m =?

?

?

??-=-=

系统碰撞前后能量守恒，则有：

2

220Mc mc c m =+

所以：

00003835m m m m m M =+

=+=

代入， c

.m c

.m M mv V 503

88035

00

=?== 又由于()

2

01c V M M -=

1分

2

02

0501381???

??-=??? ??-=c c .m c V M M

4

1

1380-=

m 03

3

4m =

九、

解：设左球质量为m ，中间球为2/m ，右球为4/m 。

第一个物理过程，是左球与中间球碰撞瞬间，碰后左球速度为1v ，中间球速度为2v '，则由动量守恒与能量守恒（完全弹性碰撞，无能量损耗）

??????

?'?+='+=2

221221221212

12v m mv mu v m mv mu ???

???

?

'+='+=?)

(v v u )(v v u 221122

2121

以（1）2

1v u v '

+

=代入（2）得： 22222141v v v u u u '+'+

'-=2

043=??

?

??-''?u v v

???

????=='?u v u v 313412

第二个物理过程，是中间球以2v '撞击右球，碰后中间球速度为2v ，右球的速度为3v ，同理

可得

??????

??+=''+='2

322223

224212212

21422v m v m v m v m v m v m 整理得

???

???

?+='+='?)

(v v v )(v v v 421322

32222322

以（3）23

22v v v -

'=代入（4）得： 3322

22243v v v v v '+

'-'='

得043233=??

?

??'-v v v ???

????

=='=∴u u v u v v 39

1634223

答：右边小球以速度

u 9

16

摆开。 十、

解：（1）因漏电使板上带电量逐渐减少，，设时刻带电量为)t (q ，设板面积2R πS =，由高斯定理求得电位移矢量：

S

q σD =

=

板间电场： S

εεq

εεD E r r 00==

漏电电流密度与电场关系：S

ρεεq ρE E σj r 0==

= 电流强度：ρ

εεq dt dq I r 0=-

= 又因为：

ρ

εεdy dt dq r 0-= 积分解板上电量随时间变化规律： ρ

εεt

r Qe

)t (q 0-=

当2Q q =时，即ρ

εεt

r Qe Q 02

-=

求解时间：20ln ρεεt r =

（2）板间的传导电流密度：S

ρεεQ

ρεεS

Q

ρεεσεεD ρE ρj r r r r 00002211=====

位移电流密度：???? ????-=??? ????-=??-=??-=-ρεεt

D r e

S Q t S q t t σt D j 0 S ρεεQ e S ρεεQ r ln εεt ρεεt

r r r 02

0200=???? ??==- D j 与j 方向相反。

（2）由全电流环路定理：

磁场强度为H ，有解()22r πj j r πH d ?+=?

0=∴H

磁感应强度为B ，00==H μμB r

另：本题实际是介质电容器通过一电阻放电，电阻S d

ρR =，电容d

S εεC 0=，代入电容器放电公式：

ρ

εεt RC

t r Qe

Qe

)t (q 0-

-

==

也可得到同样的结果。 十一、 解：（1）垂直向上发射，子弹所能达到最大高度称射高：

25108

9210022

2

0..g v H =?==米 3分

水平方向所能达到的最大距离为射程： 410208

91100224520..g

θsin v x θmax

=?==

=

米 3分

（2）以不同仰角射击时，子弹轨迹造成一抛物线族，包络线为开口向下抛物线（如图中虚线所示），顶点在y 轴的2510.H =米，与x 轴交点41020.x =米，此抛物线方程：

2kx H y -= 2分

即，0=y 时，()

202202

0222v g

g

/v g v x H k m === 2分 包络线方程： 2

2x v g H y -

= 当700=x 米时，对应包络线上的高度

1270700100289251022

700

20...x v g H y x =??-=-

==米 结论：子弹打不中此目标。

十二、

解：（1）由环路定理求得板外为均匀磁场：

I

μdl B 0=??

求解得：2

0j μB =

带电粒子在板外受的洛仑兹力：

qvj μj μqv

B qv f 002

1

2==?= 受测向力作圆周运动： qvj μR

v

m f 02

2

1

=

= 求得半径：qj

μmv

R 02=

（2）作圆周运动周期T:

qj

μm

πv R πT 042==

最小时间：qj

μm

πT t 04==