弹性力学答案

【1-4】应力和面力的符号规定有什么区别？试画出正坐标面和负坐标面上的正的应力和正的面力的方向。

【解答】应力的符号规定是：当作用面的外法线方向指向坐标轴方向时（即正面时），这个面上的应力（不论是正应力还是切应力）以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。当作用面的外法线指向坐标轴的负方向时（即负面时），该面上的应力以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。

面力的符号规定是：当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正，沿坐标轴的负方向为负。 由下图可以看出，正面上应力分量与面力分量同号，负面上应力分量与面力分量符号相反。

正的应力

正的面力

【2-1】试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中(图2-14)其应力状态接近于平面应力的情况。

【解答】在不受任何面力作用的空间表面附近的薄层中，可以认为在该薄层的上下表面都无面力，且在薄层内所有各点都有0===z xz yz σττ，只存在平面应力分量,,x y xy σστ，且它们不沿z 方向变化，仅为x ，y 的函数。可以认为此问题是平面应力问题。

【2-2】试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄片中（2-15），当板边上只受x ，y 向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状态接近于平面应变的情况。

【解答】板上处处受法向约束时0z ε=，且不受切向面力作用，则

0xz yz γγ==(相应0zx zy ττ==)板边上只受x ，y 向的面力或约束，所以仅存在,,x y xy εεγ，且不沿厚度变化，仅为x ，y 的函数，故其应变状态接近于平

面应变的情况。

O

z

y

【2-3】在图2-3的微分体中，若将对形心的力矩平很条件C

M

0=∑改为对角点的力矩平衡条

件，试问将导出什么形式的方程？

【解答】将对形心的力矩平衡条件

C

M

0=∑，

改为分别对四个角点A 、B 、D 、E 的平衡条件，为计算方便，在z 方向的尺寸取为单位1。

0A

M

=∑

1()1()11222()1()1110

222

xy x y x xy y y yx y yx x x dx dy dy

dx dx dy dx dy dx dy x x dx dy dx dy dx dy dx dy f dxdy f dxdy y y τσσστσστστ????++??-+??-??

????-+??++??+??-??=?? (a)

0B

M

=∑ ()1()1()122

111110

2222

yx y x x yx y xy x y x y dy dx

dx dy dy dx dy dy dx x y y dy dx dy dx

dy dx dy dx f dxdy f dxdy τσσστστσσ???+

??++??++?????-??-??-??+??+??= (b)

0D M =∑

()111122

1()1110

2222

y

y xy x yx x x x x y dx dy

dy dx dy dx dy dx dy

y dx dy dy dx

dx dx dy f dxdy f dxdy x σστστσσσ?+

??

-??+??+????-??-+??-??+??=? (c)

0E

M

=∑

()1111222

()1()1110

222y

y x yx y xy x x xy x y dx dy dx

dy dx dy dx dy dx y dy dy dx

dx dy dx dy dx f dxdy f dxdy x x σσστστσστ?-+

??

+??+??+??-

???+??-+??-??+??=?? (d)

略去(a)、(b)、(c)、(d)中的三阶小量（亦即令22

,d xdy dxd y 都趋于0），并将各式都除以dxdy 后合并同类项，分别得到xy yx ττ=。

【分析】由本题可得出结论：微分体对任一点取力矩平衡得到的结果都是验证了切应力互等定理。

【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。

x

M

图2-17

图2-18

【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。

【解答】图2-17：

上（y =0）

左(x =0) 右（x =b ）

l

0 -1 1 m

-1

() x f s

()

1g y h ρ+

()

1g y h ρ-+

() y

f

s

1gh ρ

代入公式（2-15）得

①在主要边界上x=0，x=b 上精确满足应力边界条件：

()()100(),0;

===-+=x xy x x g y h σρτ

()()1b b (),0;

===-+=x xy x x g y h σρτ

②在小边界0y =上，能精确满足下列应力边界条件：

()

()

,0y

xy y y gh σρτ===-=

③在小边界2y h =上，能精确满足下列位移边界条件：

()()2

2

0,0

====y h y h u v

这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1δ时，可求得固定端约束反力分别为：

10,,0s N F F gh b M ρ==-=

由于2y h =为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：

()()()22210000

0b y y h b

y y h b

xy y h dx gh b xdx dx σρστ===?=-???=???=??

??? ⑵图2-18

①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15）

l

m

x f (s) y f (s)

2h y =- 0 -1 0 q 2

h

y = 0 1 -1q 0

-/2

()y y h q σ==-，-/2()0yx y h τ==，/2()0y y h σ==，/21()yx y h q τ==-

②在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有

/20/2/2

0/2/20

/2()()()h xy x S

h h x x N h h x x h dx F

dx F ydx M τσσ=-=-=-?=-??=-???=-???? ③在x=l 的小边界上，可应用位移边界条件0,0====l x l x v u 这两个位移边界条件也可改用三个

积分的应力边界条件来代替。

首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力：

1

1

0,x

N

N

N

N

F F F q l F q l F ''=+=?=-∑ 0,0y

S

S

S

S

F F F ql F ql F ''=++=?=--∑

2

211110,'02222

A S S

q lh ql

M M M F l ql q lh M M F l =+++-=?=---∑ 由于x=l 为正面，应力分量与面力分量同号，故

/21/22/2

1/2/2/2

()()22()h x x l N N

h h x x l S h h xy x l S S

h dy F q l F

q lh ql ydy M M F l dy F ql F

σστ=-=-=-?'==-???'==

---??

?'==--?????

M

'

【2-19】试证明，如果体力虽然不是常量，但却是有势的力，

即体力分量可以表示为,x y V V f f x y

??=-=-??，其中V 是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示成为

22222=,=,x y xy V V y x x y

σστ?Φ?Φ?Φ++=-????，试导出相应的相容方

程。

【解答】（1）将,x y f f 带入平衡微分方程（2-2）

00 00

yx yx x x x y xy y xy y

V

f x y x

y x V f y x y

x y ττσσστστ???????++=+-=????????????

???????++=+-=????????? （a ） 将（a ）式变换为

()0()0

yx x xy y

V x

y V y

y τστσ???

-+=?

????

???-+=???? （b ） 为了满足式（b ），可以取

22222,,x y xy V V y x x y

σστ?Φ?Φ?Φ

-=-==-????

即22222,,x y xy V V y x x y

σστ?Φ?Φ?Φ

=+=+=-???? （2）对体力、应力分量,,,x y x y f f σσ求偏导数，得

222222424222222

422242422422

222

, , , y x x

x y

y f f V V

x x y y V V x x y x y y y V V x

x x y x y y σσσσ?????=-=-?

?????????Φ??Φ??=+=+?????????????Φ??Φ??=+=+????????? （c ） 将（c ）式代入公式（2-21）得平面应力情况下应力函数表示的相容方程

()2(1)y x x y f f x y σσμ???

??+=-++ ?????

（2-21）

424242422222

2424222222(1)V V V V

V V x y x y y x x x y y x

y μ???Φ??Φ??Φ??Φ???+++++++=++ ???????????????

整理得：

44422422422

2(1)V V x x y y x

y μ??

?Φ?Φ?Φ

??++=--+ ?????????

（d ） 即平面应力问题中的相容方程为

2

qb

212

qb 图2-19

42(1)V μ?Φ=--?

将（c ）式代入公式（2-22）或将（d ）式中的替换为1μ

μ

-，的平面应变情况下的相容方程：

444224

224221221V V

x x y y x y

μμ??

?Φ?Φ?Φ-??++=-+ ?????-????

（e ） 即 4

2

121V μμ

-?Φ=-?-。 证毕。

【3-4】试考察应力函数3

ay Φ=在图3-8所示的矩形板和坐

标系

中能解决什么问题(体力不计)?

【解答】⑴相容条件:

不论系数a 取何值，应力函数3

ay Φ=总能满足应力函数表

示的相容方程，式(2-25).

⑵求应力分量

当体力不计时，将应力函数Φ代入公式(2-24)，得

6,0,0x y xy yx ay σσττ====

⑶考察边界条件

上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力. 左右边界上；

当a>0时，考察x σ分布情况，注意到0xy τ=，故y 向无面力 左端:0()6x x x f ay σ=== ()0y h ≤≤ ()

0y xy x f τ==

=

右端:()6x x x l f ay σ=== (0)y h ≤≤ ()0y xy x l f τ===

应力分布如图所示，当l h ?时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩

y

x

f x

f

主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。 偏心距e ：

因为在A 点的应力为零。设板宽为b ，集中荷载p 的

偏心距e ： 2()0/6/6

x A p pe

e h bh bh σ=

-=?= 同理可知，当

a

<0

时，可以解决偏心压

缩问题。

【3-6】试考察应力函数22

3(34)2F

xy h y h

Φ=

-，能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在小边界上画出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数能解决的问题。

【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25）

4444224

20?Φ?Φ?Φ++=????x x y y ，显然满足 （2）将Φ错误!未找到引用源。代入式（2-24），得应力分量表达式

3

12,0,x y Fxy h σσ=-=2

234(1)2==--xy yx F y h h ττ （3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力： ①在主要边界上（上下边界）上，2

h

y =±，应精确满足应力边界条件式（2-15），应力()

()

/2

/2

0,0y

yx y h y h στ=±=±==

因此，在主要边界2h y =±

上，无任何面力，即0,022x y h h f y f y ???

?=±==±= ? ????

?

②在x=0，x=l 的次要边界上，面力分别为：

22340:0,1-2x y F y x f f h h ??

=== ???

3

221234:,12x y Fly F y x l f f h h h

??

==-

=-- ???

因此，各边界上的面力分布如图所示：

③在x=0，x=l 的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式：

x=0上 x=l 上

1212h/2

/2

/2/2h/2

/2

/2/2h/2/2

12-h/2

/2

=0, 0=, =0, h N x N x h h h S y S y h h h x x h x F f dy F f dy y F f dy F F f dy F M f ydy M f ydy Fl

-----======-===-????

?

?

向主矢：向主矢：主矩：

因此，可以画出主要边界上的面力，和次要边界上面力的主矢与主矩，如图：

(a) (b)

因此，该应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力F 作用的问题。

x

y

l

/2h /2

h ()

l h ?

【3-10】设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，体力可以不计，l h ?（图3-12），试用应力函数2

3

3

Axy By Cy Dxy Φ=+++求解应力分量。 【解答】采用半逆解法求解

（1）将应力函数代入相容方程（2-25），显然

满足

（2）由应力函数求应力分量，代入公式(2-24)

()226603x y xy yx B By Dxy A Dy σσττ??=++????=????==-+????

(a)

(3)考察边界条件

①主要边界/2y h =±上，应精确满足应力边界条件

()

/2

0y

y h σ=±=， 满足

()

/2

0,xy

y h τ=±= 得23

04

A Dh += （b ）

②在次要边界x=0上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件

()()/2

/2

0/2

/2

262h h N

x N N x h h F dy F B Cy dy F B h

σ=--=-?+=-?=-?? ()()/2/230/2/2

226h h x x h h M

ydy M B Cy ydy M C h

σ=--=-?+=-?=-?? ()()/2/22

30/2/2134

h h xy s s s x h h dy F A Dy dy F Ah Dh F τ=--??=-?-+=-?+=???? （c ） 联立方程（b ）（c ）得

332,2s s F F

A D h h

=

=- 最后一个次要边界()x l =上，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下是必然满足的，故不必在校核。

将系数A 、B 、C 、D 代入公式（a ），得应力分量

332212120

3142N s x y S xy F F M y xy h h h F y h h σστ?

?=---??

=????

?=-- ?????

x

y l

O

/2h 图3-9/2

h ()

l h ?

【3-11】设图3-13中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为ρ，试用纯三次式的应力函数求解。

【解答】采用半逆解法求解

(1) 检验应力函数是否满足相容方程（2-25）

设应力函数3

2

2

3

=Ax Bx y Cxy Dy Φ+++，不论上式中的系数如何取值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程（2-25）

(2) 由式（2-24）求应力分量

由体力分量0,x y f f g ρ==，将应力函数代入公式（2-24）得应力分量：

2226x x f x Cx Dy y σ?Φ

=-=+? （a ）

2262y y f y Ax By gy y

σρ?Φ

=-=+-? （b ）

222xy

Bx Cy x y

τ?Φ=-=--?? （c ）

（3）考察边界条件：由应力边界条件确定待定系数。 ①对于主要边界0y =，其应力边界条件为：

0()0

y y σ==，

0()0

yx y τ== （d ）

将式（d ）代入式（b ），（c ），可得

0=0A B =， （e ）

②对于主要边界tan y x α=（斜面上），应力边界条件：

在斜面上没有面力作用，即0x y f f ==，该斜面外法线方向余弦为，sin l α=-，

cos m α=.由公式（2-15），得应力边界条件

tan tan tan tan sin ()cos ()0sin ()cos ()0x y x yx y x xy y x y y x ααααασατατασ====-?+?=?

?-?+?=?

（f ）

将式（a ）、（b ）、（c ）、（e ）代入式（f ），可解得

2cot ,cot 2

3

g

g

C D ρραα=

=-

（g ）

将式（e ）、（g ）代入公式（a ）、（b ）、（c ），得应力分量表达式：

2cot 2cot cot x y xy gx gy gy

gy σραρασρτρα

?=-?

=-??

=-?

4-3在轴对称位移问题中，试导出按位移求解的基本方程。并证明ρ

ρρB

A u +=,0

=?u 可以满足此基本方程。

【解】（1）设，代入几何方程中，教材中式（4-2）得形变分量

,,0u u ρρ

ρ?ρ?εεγρ

ρ

?=

=

=? （a ）

将式（a ）代入物理方程，教材中式（4-3）得用位移表示的应力分量

22110u u E u u E ρρρρρ?ρ?σμμρρσμμρρτ????

=+? ?-???

?????

?

=+? ?-???

?

?=???

（b ） 将（b ）式代入平衡微分方程，教材中式（4-1），在轴对称问题中，平衡方程为

10210ρρ?ρ?

?ρ?ρ??σ?τσσ?ρρ??ρ?σ?ττρ??

?ρρ-?++=??

?

?++=?? （c ） 式（c ）中的第二式自然满足，第一式为

22222222221011011101u u d E d du u du u E E d d d u du du u du u u d d d d u d d u d d u d u u d ρρ?ρ?ρ

ρρρρρρρρ

ρρρρρρρρρ?σ?τσσμ?ρρ??ρρμρρ

μμρμρρμρρμμμμρρμμρρμμρρρρρρρ

ρρρρρ-???

??++=→+?? ?-?????

?-?

????++-+=→?? ? ?--???

?????+-++--=→ +++??-?222

2010u d u du u d du d d ρ

ρρρ

ρρ

ρρρρρρ

-=→+

-= 上式即为求的基本方程。

（2）将代入式（d ），很显然满足方程。