华农-2012-2013下概率论与数理统计答案3
2012学年第一学期概率论与数理统计试题解答参考
一、1.B ；2. A ；3. C ； 4. B ；5. B ；6.B ；7. C 二、1. 1 ； 2. 0，0.5；3.
3
7
；4. 0.4； 5. 0.6； 6. 22,X X αα
-?? ???
； 7. 2
(,)10N σμ
三、1.解：解：,1,)1(lim )(1=∴=-=+∞=-∞
→A A e A F x x
P{1≤X ≤3} =F(3)-F(1)=e -1-e -3,
2.解： X 的概率密度为
)()(x F x f '=???
??<≥=，a x a x x a ,0,,343
?
?∞
+∞
+∞-==a
dx x
a dx x xf X E 33
3)()( 2
3a
=
3.解：解：设事件12,A A 分别为任取一件产品，产品是甲、乙厂生产的，事件B 为任取的一件产品为次品，则由已知条件可知
1()0.6P A = ，2()0.4P A =，1(|)0.01P B A =，2(|)0.02P B A =
由贝叶斯公式可得
10.60.013(|)0.60.010.40.027P A B ?=
=?+?，20.40.024
(|)0.60.010.40.027
P A B ?==?+?，
由上两式知，任取一件为次品，该产品是乙厂生产的可能性较大。 4.解：
解： 由题设可知(,)X Y 的概率密度为 ()2,01,01
,0,y x x f x y ≤≤-≤≤?=??其他
于是关于X 的边缘分布密度为
()()()10
221,01,0,
x X dy x x f x f x y dy -+∞
-∞
?=-≤≤?
==?????
其他
关于Y 的边缘分布密度为
()()()10221,01
,0,
y Y dx y y f y f x y dx -+∞
-∞
?=-≤≤?==?
????
其他
5.解：由于总体差已知，因此用U 检验法，设
0:53H μ= ，1:53H μ≠
由已知条件可知，51.3x =，3σ=
，|| 1.7 1.96U =
=< ， 所以在05.0=α不能拒绝0H 。故认为该动物的体重平均值为53公斤。
四、1. 解法1：已知X 的概率密度函数为1,01,
()0,.X x f x <
则21Y X =+的分布函数F Y (y )为
11(){}{21}{}22Y X y y F y P Y y P X y P X F --??=≤=+≤=≤
= ???
因此Y 的概率密度函数为
1
,13,
11()()2
220,
.Y Y X y y f y F y f ?<
?其它 解法2：因为函数21y x =+为单调递增函数，且其反函数为1
2
y x -=， 故21Y X =+的密度函数为
1,13,
11()2
220,
.Y X y y y f y f ?'<<-?-?
???==? ?
????
??
?其它
2. 解:（1）,1
)()(1
+θθ
=
θ==??θ+∞
∞
-dx x dx x f x X E 由
,111
X X n n
i i ==+θθ∑= 得θ的矩估计量 ,1?X
X
-=θ
（2）似然函数1
1
1
()(;)()n
n
n
i i
i i L f x x θ
θθθ
-====∏∏
取 1
ln ()ln (1)
ln n
i
i L n x
θθθ==+-∑
令
1
ln ()ln 0n
i i d L n x d θθθ==+=∑ 得1
ln n
i
i n
x
θ==-
∑，
故θ的极大似然估计量为1
?ln n
i
i n
X
θ
==-∑
3. 解：由)1,(~μN X ，即
)1,0(~1N X μ-且2
2
21
)(x e x -
=Φπ
，可知
)10()10()10(μμμ-Φ=-<-= )10()12()1210()1210(μμμμμ-Φ--Φ=-≤-≤-=≤≤X P X P (12)(12)1(12)1(12)P X P X P X μμμμμ>=->-=--≤-=-Φ- 由?? ? ??>-≤≤<-=125121020101 X X X L ，得 ()[][]1(10)20(12)(10)51(12)25(12)21(10)5 E L μμμμμμ=-?Φ-+Φ--Φ---Φ-=Φ--Φ-- 因为 () 25(12)21(10)25(12)21(10)dE L d μμ?μ?μμ ''=-Φ-+Φ-=--+- 令()0dE L d μ=，即 021******* 2)10(21 )12(21=?+?-----μμππe e )11(2)10(21 )12(21 222521--+--==μμμe e ，25 21ln )11(2=-μ， 所以 9.1025 21 ln 21 11≈+=μ 答：平均内径 取10.9时，销售一个零件的平均利润最大。