第五章 运筹学 线性规划在管理中的应用案例

第五章线性规划在管理中的应用

5.1 某企业停止了生产一些已经不再获利的产品，这样就产生了一部分剩余生产力。管理层考虑将这些剩余生产力用于新产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的生产。可用的机器设备是限制新产品产

机器设备类型每周可用机器台时数

铣床500

车床350

磨床150

每生产一件各种新产品需要的机器台时数如下表：

机器设备类型新产品Ⅰ新产品Ⅱ新产品Ⅲ

铣床8 4 6

车床 4 3 0

磨床 3 0 1

三种新产品的单位利润分别为0.5元、0.2元、0.25元。目标是要确定每种新产品的产量，使得公司的利润最大化。

1、判别问题的线性规划数学模型类型。

2、描述该问题要作出决策的目标、决策的限制条件以及决策的总绩效测度。

3、建立该问题的线性规划数学模型。

4、用线性规划求解模型进行求解。

5、对求得的结果进行灵敏度分析（分别对最优解、最优值、相差值、松驰/剩余量、对偶价格、目标函数变量系数和常数项的变化范围进行详细分析）。

6、若销售部门表示，新产品Ⅰ、Ⅱ生产多少就能销售多少，而产品Ⅲ最少销售18件，请重新完成本题的1-5。

解：

1、本问题是资源分配型的线性规划数学模型。

2、该问题的决策目标是公司总的利润最大化，总利润为：

0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3

决策的限制条件：

8x1+ 4x2+ 6x3≤500 铣床限制条件

4x1+ 3x2≤350 车床限制条件

3x1+ x3≤150 磨床限制条件

即总绩效测试（目标函数）为：

max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3

3、本问题的线性规划数学模型

max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3

S．T．8x1+ 4x2+ 6x3≤500

4x1+ 3x2≤350

3x1+ x3≤150

x1≥0、x2≥0、x3≥0

4、用Excel线性规划求解模板求解结果：最优解（50，25，0），最优值：30元。

5、灵敏度分析

目标函数最优值为 : 30

变量最优解相差值

x1 50 0

x2 25 0

x3 0 .083

约束松弛/剩余变量对偶价格

1 0 .05

2 75 0

3 0 .033

目标函数系数范围 :

变量下限当前值上限

x1 .4 .5 无上限

x2 .1 .2 .25

x3 无下限 .25 .333

常数项数范围 :

约束下限当前值上限

1 400 500 600

2 275 350 无上限

3 37.5 150 187.5

（1）最优生产方案：

新产品Ⅰ生产50件、新产品Ⅱ生产25件、新产品Ⅲ不安排。最大利润值为30元。

（2）x3 的相差值是0.083意味着，目前新产品Ⅲ不安排生产，是因为新产品Ⅲ的利润太低，若要使新产品Ⅲ值得生产，需要将当前新产品Ⅲ利润0.25元/件，提高到0.333元/件。

（3）三个约束的松弛/剩余变量0，75，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，而车床的可用工时还剩余75个工时；

三个对偶价格0.05，0，0.033表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额。

（4）目标函数系数范围

表明新产品Ⅰ的利润在0.4元/件以上，新产品Ⅱ的利润在0.1到0.25之间，新产品Ⅲ的利润在0.333以下，上述的最佳方案不变。

（5）常数项范围

表明铣床的可用条件在400到600工时之间、车铣床的可用条件在275工时以上、磨铣床的可用条件在37.5到187.5工时之间。各自每增加一个工时对总利润的贡献0.05元，0元，0.033元不变。

6、若产品Ⅲ最少销售18件，修改后的的数学模型是：

max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3