变化率与导数课件

人教版高中数学全套教案导学案111变化率问题

1. 1.1变化率问题课前预习学案。知道平均变化率的定义。，课本中的问题1,2 预习目标：“变化率问题”预习内容：气球膨胀率问题1 气球,,随着气球内空气容量的增加我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现 ,如何描 述这种现象呢？的半径增加越来越慢.从数学角度43?r?r)V(dmVL r)气球的体积:(单位:之间的函数关系是)与半径(单位33V?)r(V V r,如果将半径那么表示为体积的函数3?4在吹气球问题中，当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率为__________ 当空气容量V从1L增加到2L时，气球的平均膨胀率为__________________ 当空气容量从V增加到V时,气球的平均膨胀率为_____________21问题2 高台跳水 h 与起跳后)单位：m在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(2如何用运动+10. +6.5-4.9tt 的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= v? 粗略地描述其运动状态员在某些时间段内的平均速度v5t.?00?=_________________ 这段 时间里，在v2?t?1=_________________ 这段时间里，在ot 问题3 平均变化率????xffxx到从已知函数，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数1x?xx看做是相表示=___________,可把，即习惯上用 ___________.x??x?x122x?xx__________________,代替对于类似有的一个“增量”，可用，?x)?f(x?211_______________________ 于是，平均变化率可以表示为提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 课内探究学案 1.学习目标理解平均变化率的概念; 2.了解平均变化率的几何意义; .

变化率与导数、导数的计算学案(高考一轮复习)

20XX 年高中数学一轮复习教学案 第二章 函数、导数及其应用 第11节 变化率与导数、导数的计算 一．学习目标： 1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义； 2．能根据导数定义，求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1 x 的导数； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 二．学习重、难点： 1．学习重点：能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数； 2．学习难点：理解导数的几何意义. 三．学习方法：讲练结合 四．自主复习： 1．导数的概念 (1)函数在x ＝x 0处的导数 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是__________________________＝lim Δx →0 Δy Δx ， 称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0 . (2)导函数：当上式中的x 0看作变量x 时，函数f ′(x )为f (x )的________． (3)导数的几何意义：f ′(x 0)是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的________，相应的切线方程是_____________________．

2．基本初等函数的导数公式 3.运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝_________________； (2)[f(x)·g(x)]′＝________________________； (3)[f(x) g(x) ]′＝_______________________ (g(x)≠0)．五．复习前测： 1．已知函数f(x)＝sin x＋ln x，则f′(1)的值为() A．1－cos1 B．1＋cos1 C．cos1－1 D．－1－cos1

(完整版)变化率与导数、导数的计算知识点与题型归纳

1 ●高考明方向 1.了解导数概念的实际背景． 2.理解导数的几何意义． 3.能根据导数定义求函数 y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1 x 的导数． 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则 求简单函数的导数. ★备考知考情 由近几年高考试题统计分析可知，单独考查导数运算的题目很少出现，主要是以导数运算为工具，考查导数的几何意义为主，最常见的问题就是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系，以平行或垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，以及与曲线的切线相关的计算题．考查题型以选择题、填空题为主，多为容易题和中等难度题，如2014广东理科10、文科11. 2014广东理科10 曲线52-=+x y e 在点()0,3处的切线方程为 ； 2014广东文科11 曲线53=-+x y e 在点()0,2-处的切线方程为 ；

一、知识梳理《名师一号》P39 知识点一导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化 率lim Δx→0Δy Δx＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x ＝x0 . (2)称函数f′(x)＝lim Δx→0f(x＋Δx)－f(x) Δx为f(x)的导函数. 注意:《名师一号》P40 问题探究问题1 f′(x)与f′(x0)有什么区别？ f′(x)是一个函数，f′(x0)是常数， f′(x0)是函数f′(x)在点x0处的函数值． 例.《名师一号》P39 对点自测1 1.判一判 (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．() (2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．() (3)f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．() 答案(1)×(2)×(3)√ 2

高中数学第三章.1变化率问题3.1.2导数的概念学案含解析新人教A版选修7.doc

3．1.1 & 3.1.2 变化率问题 导数的概念 [提出问题] 假设下图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示的平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示． 自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点 A 的坐标为(x 1，y 1)，点 B 的坐标为(x 2，y 2)． 问题1：若旅游者从点A 爬到点B ，且这段山路是平直的，自变量x 和函数值y 的改变量Δx ，Δy 分别是多少？ 提示：自变量x 的改变量为Δx ＝x 2－x 1，函数值的改变量为Δy ＝y 2－y 1. 问题2：Δy 的大小能否判断山路的陡峭程度？ 提示：不能． 问题3：怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？ 提示：对山坡AB 来说，Δy Δx ＝y 2－y 1 x 2－x 1可近似地刻画． 问题4：能用Δy Δx 刻画山路陡峭程度的原因是什么？ 提示：因Δy Δx 表示A ，B 两点所在直线的斜率k ，显然，“线段”所在直线的斜率越大， 山路越陡．这就是说，竖直位移与水平位移之比Δy Δx 越大，山路越陡；反之，山路越缓． 问题5：从点A 到点B 和从点A 到点C ，两者的Δy Δx 相同吗？ 提示：不相同．

[导入新知] 函数的平均变化率 对于函数y ＝f (x )，给定自变量的两个值x 1，x 2，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从 f (x 1)变为f (x 2)，我们把式子f x 2－f x 1 x 2－x 1 称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率． 习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1 的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2.类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．于是，平均变化率可表示为 Δy Δx . [化解疑难] 1．正确理解增量Δx 与Δy Δx 是自变量x 在x 0处的改变量，不是Δ与x 的乘积，Δx 的值可正，可负，但不能为0.Δy 是函数值的改变量，可正，可负，也可以是0.函数的平均变化率为0，并不一定说明函数f (x )没有变化． 2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．利用平均变化率的大小可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度. [提出问题] 一质点的运动方程为s ＝8－3t 2 ，其中s 表示位移，t 表示时间． 问题1：试求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度． 提示：Δs Δt ＝ 8－＋Δt 2 －8＋3×1 2 Δt ＝－6－3Δt . 问题2：当Δt 趋近于0时，“问题1”中的平均速度趋近于什么？如何理解这一速度？ 提示：当Δt 趋近于0时，Δs Δt 趋近于－6.这时的平均速度即为t ＝1时的瞬时速度． [导入新知] 1．瞬时速度的概念 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度： 设物体运动的路程与时间的关系是s ＝s (t )，当Δt 趋近于0时，函数s (t )在t 0到t 0 ＋Δt 之间的平均变化率s t 0＋Δt －s t 0 Δt 趋近于一个常数，把这个常数称为瞬时速 度． 2．导数的定义

变化率与导数、导数的计算

第十一节变化率与导数、导数的计算 [备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解导数概念的实际背景． 2.理解导数的几何意义． 3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常 数)，y＝x，y＝x2，y＝x3， y＝ 1 x的导数． 4.能利用基本初等函数的导数公式和 导数的四则运算法则求简单函数的导 数. 1.对于导数的几何意义，高考要求较高，主要以选择 题或填空题的形式考查曲线在某点处的切线问题， 如2012年广东T12，辽宁T12等． 2.导数的基本运算多涉及三次函数、指数函数与对数 函数、三角函数等，主要考查对基本初等函数的导 数及求导法则的正确利用. [归纳·知识整合] 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数： 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx＝lim Δx→0 Δy Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即 f′(x0)＝lim Δx→0 Δy Δx＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. (2)导数的几何意义： 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (3)函数f(x)的导函数：

称函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 为f (x )的导函数． [探究] 1.f ′(x )与f ′(x 0)有何区别与联系？ 提示：f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是常数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值． 2．曲线y ＝f (x )在点P 0(x 0，y 0)处的切线与过点P 0(x 0，y 0)的切线，两种说法有区别吗？ 提示：(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 3．过圆上一点P 的切线与圆只有公共点P ，过函数y ＝f (x )图象上一点P 的切线与图象也只有公共点P 吗？ 提示：不一定，它们可能有2个或3个或无数多个公共点． 2．几种常见函数的导数 3．导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．

课时跟踪检测(十七) 变化率与导数、导数的运算

课时跟踪检测（十七） 变化率与导数、导数的运算 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(－1,3) C ．(1,3)和(－1,3) D ．(1，－3) 解析：选C f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C. 2．曲线f (x )＝2x －e x 与y 轴的交点为P ，则曲线在点P 处的切线方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x －y －1＝0 D ．x ＋y －1＝0 解析：选C 曲线f (x )＝2x －e x 与y 轴的交点为(0，－1)． 且f ′(x )＝2－e x ，∴f ′(0)＝1. 所以所求切线方程为y ＋1＝x ， 即x －y －1＝0. 3．(2018·温州模拟)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(2 017)＝( ) A ．1 B ．2 C ．12 017 D ．2 0182 017 解析：选D 令e x ＝t ，则x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ＋t ，故f (x )＝ln x ＋x .求导得f ′(x )＝1x ＋1，故f ′(2 017)＝12 017＋1＝2 0182 017 .故选D. 4．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2 处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0 相互垂直，则实数a ＝________. 解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，所以f ′????π2＝sin π2＋π2cos π2 ＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a 2 ，所以1×????－a 2＝－1，解得a ＝2. 答案：2 5．(2018·杭州模拟)已知函数f (x )＝x 33－b 2 x 2＋ax ＋1(a ＞0，b ＞0)，则函数g (x )＝a ln x ＋f ′(x )a 在点(b ，g (b ))处切线的斜率的最小值是________． 解析：因为a ＞0，b ＞0，f ′(x )＝x 2－bx ＋a ，所以g ′(x )＝a x ＋2x －b a ，则g ′(b )＝a b ＋2b －b a ＝a b ＋b a ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，所以斜率的最小值为2.

第1讲 变化率与导数、导数的计算

第1讲变化率与导数、导数的计算 [学生用书P39] 一、知识梳理 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 lim Δx→0f（x0＋Δx）－f（x0） Δx＝lim Δx→0 Δy Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝ x0，即f′(x0)＝lim Δx→0Δy Δx ＝lim Δx→0 f（x0＋Δx）－f（x0） Δx ． (2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (3)函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝lim Δx→0f（x＋Δx）－f（x） Δx 为f(x)的导函数． 2．基本初等函数的导数公式 原函数导函数 f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0 f(x)＝x n(n∈Q*)f′(x)＝nx n－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x

3.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)?? ?? ??f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）](g (x )≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 常用结论 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )． 3．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 二、习题改编 1．(选修2-2P65A 组T2(1)改编)函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos x D ．－x cos x 解析：选B.y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 2．(选修2-2P18A 组T6改编)曲线y ＝1－2 x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________． 解析：因为y ′＝ 2 （x ＋2） 2，所以y ′|x ＝－1＝2. 故所求切线方程为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝0 3．(选修2-2P7例2改编)有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3 t (t 是时间，s 是位移)，则该 机器人在t ＝2时的瞬时速度为________．

(完整版)变化率与导数、导数的运算

让青春之光闪耀在为梦想奋斗的道路上。 1 第十节变化率与导数、导数的运算 1．导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数： 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即 f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . (2)导数的几何意义： 函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． (3)函数f (x )的导函数： 称函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 为f (x )的导函数． 2.基本初等函数的导数公式 3．导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)?? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) [g (x )](g (x )≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．

变化率问题 导数的概念

1.1变化率与导数 1.1.1变化率问题 1.1.2导数的概念 1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景． 2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点) 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点) 4．理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念．(易混点) [基础·初探] 教材整理1函数的平均变化率 阅读教材P2～P4“思考”以上部分，完成下列问题． 1．函数的平均变化率 (1)对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1，x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子____________称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率． (2)习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝________，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝________.于是，平均变化率可表示为________．

2．平均变化率的几何意义 设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1) Δx 为割线AB 的______，如图1-1-1 所示． 图1-1-1 【答案】 1.(1)f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 (2)x 2－x 1 f (x 2)－f (x 1) Δy Δx 2.斜率 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由Δx ＝x 2－x 1，知Δx 可以为0.( ) (2)Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是Δx ＝x 2－x 1相应的改变量，Δy 的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率可正，可负，可为零．( ) (3)对山坡的上、下两点A ，B 中，Δy Δx ＝y 2－y 1 x 2－x 1可以近似刻画山坡的陡峭程 度．( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ 教材整理2 瞬时速度、导数的概念 阅读教材P 4～P 6“例1”以上部分，完成下列问题． 1．瞬时速度 (1)物体在__________的速度称为瞬时速度． (2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时， Δs Δt 无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 趋向于0时，Δs Δt 的________是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .

高中数学-变化率与导数、导数的计算

高中数学-变化率与导数、导数的计算 一、选择题(每小题5分,共35分) 1.f′(x)是函数f(x)=x3+2x+1的导函数,则f′(-1)的值为( ) A.0 B.3 C.4 D.- 【解析】选B.因为f(x)=x3+2x+1, 所以f′(x)=x2+2. 所以f′(-1)=3. 2.已知函数f(x)=cos x,则f(π)+f′= ( ) A.- B.- C.- D.- 【解析】选C.因为f′(x)=-cos x+(-sin x), 所以f(π)+f′=-+·(-1)=-. 3.(·吉林模拟)已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率 为( ) A.e B.-e C. D.- 【解析】选C.y=ln x的定义域为(0,+∞),且y′=,设切点为(x0,ln x0),则y′=,切线方程为 y-ln x0=(x-x0),因为切线过点(0,0),所以-ln x0=-1,解得x0=e,故此切线的斜率为. 【变式备选】曲线y=e x在点A(0,1)处的切线斜率为( )

A.1 B.2 C.e D. 【解析】选A.由题意知y′=e x,故所求切线斜率k=e x=e0=1. 4.(·沈阳模拟)若曲线y=x3+ax在坐标原点处的切线方程是2x-y=0,则实数a= ( ) A.1 B.-1 C.2 D.-1 【解析】选C.导数的几何意义即为切线的斜率,由y′=3x2+a得在x=0处的切线斜率为a,所以a=2. 【变式备选】直线y=x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则实数b的值 为( ) A.2 B.ln 2+1 C.ln 2-1 D.ln 2 【解析】选C.y=ln x的导数为y′=,由=,解得x=2,所以切点为(2,ln 2).将其代入直线方程y=x+b,可得b=ln 2-1. 5.已知f(x)=2e x sin x,则曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为( ) A.y=0 B.y=2x C.y=x D.y=-2x 【解析】选B.因为f(x)=2e x sin x,所以f(0)=0,f′(x)=2e x·(sin x+cos x),所以f′(0)=2,所以曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x. 6.设曲线y=在点处的切线与直线x-ay+1=0平行,则实数a等 于( ) A.-1 B. C.-2 D.2 【解析】选A.因为y′=,所以y′=-1, 由条件知=-1,所以a=-1. 7.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于 ( ) A.2 B.-1 C.1 D.-2 【解析】选C.依题意知,y′=3x2+a, 则由此解得 所以2a+b=1. 二、填空题(每小题5分,共15分) 8.若曲线y=2x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则切线l的方程为________________.

河北省唐山市开滦第二中学高中数学 322导数的运算法则导学案 新人教A版选修111

3.2.2导数的运算法则导学案河北省唐山市开滦第二中学高中数学1-1 A版选修新人教 【学习目标】．熟练掌握基本初等函数的导数公式；1 2．掌握导数的四则运算法则； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。【重点难点】基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 【学习内容】1.复习：基本初等函数的导数公式表 基本初等函数的导数公式 c?(x)f ?*?Q?)?xf(x（）x?sin f(x) x?x)cos f( x a?f(x) x e?(fx) ??x?log fx a??xx ln?f （二）导数的运算法则导数运算法则 1 ??''')(x?cf(cfx))xgx)(?f(x)?)f(x?g(推论：．1 （常数与函数的积的导数，等于常'??' 数乘函数的导数）'??'')(xx)?f(x))f(x)?g(xg?f(x)g(．2 典例分析3.根据基本初等函数的导

数公式和导数运算法则，求下例1．'''??)gx(x)?f(xf(x))f(x)g(?0x)?(g(．3 列函数的导??)x(g)(xg??33?xy??2x 1（） 数．??2 x y）（2 ＝；x4 x ln1?y ）＝．3（x ln1? x 2ex yx）2 ＋－5 4（）1 ＝ （ x cos?x sin x y 5（）＝xx sin x cos? 2b??x?axy)b(0,处的切线方程是）若曲线在点（例2.2010年高考全国卷Ⅱ文科7 01??y?x( ) ，则1?1,bab?1??a?1, (B) ）（A1????1,baa?1,b??1 (D) (C) tp5%（单，物价3例．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为（单位：元）与时间 t5%)(1??(t)ppp0?t时的物价．假定某种商品的为位：年）有如下函数关系，其中00 1?p）？10第个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01，那么在0 分析：商品的价格上涨的速度就是： 2

1.1变化率与导数-教学设计-教案

教学准备 1. 教学目标 （1）理解平均变化率的概念. （2）了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念. （3）理解导数的概念 （4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率. 2. 教学重点/难点 教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成和理解 教学难点：会求简单函数y＝f（x）在x＝x0处的导数 3. 教学用具 多媒体、板书 4. 标签 教学过程 一、创设情景、引入课题 【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。 【板演/PPT】 【师】人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 【板演/PPT】

让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。 【设计意图】自然进入课题内容。 二、新知探究 [1]变化率问题 【合作探究】 探究1 气球膨胀率 【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 【板演/PPT】 【活动】 【分析】 当V从0增加到1时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 （1）当V从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 0.62>0.16 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 解析： 探究2 高台跳水

2020秋高中数学1.1变化率与导数1.1.2导数的概念达标练习含解析新人教A版选修2_2

第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.2 导数的概念 A 级 基础巩固 一、选择题 1．已知f (x )在x ＝x 0处可导，则lim Δx →0 f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx 的值( ) A ．与x 0，Δx 有关 B ．仅与x 0有关，而与Δx 无关 C ．仅与Δx 有关，而与x 0无关 D ．与x 0，Δx 均无关 解析：f (x )在x ＝x 0处的导数与x 0有关，与Δx 无关． 答案：B 2．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是：m ，t 的单位是：s ，那么物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为( ) A ．7 m/s B ．6 m/s C ．5 m/s D ．8 m/s 解析：因为Δs Δt ＝1－（3＋Δt ）＋（3＋Δt ）2－（1－3＋32）Δt ＝5＋Δt ， 所以 Δs Δt ＝ (5＋Δt )＝5(m/s)． 答案：C 3．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2，(a ，b 为常数)，则( ) A ．f ′(x )＝a B ．f ′(x )＝b C ．f ′(x 0)＝a D ．f ′(x 0)＝b 解析：因为f ′(x 0)＝ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝ a Δx ＋b （Δx ）2 Δx ＝ (a ＋b Δx )＝a ，所以f ′(x 0)＝a . 答案：C 4．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝( )

A ．2 B ．－2 C ．3 D ．不确定 解析：因为f ′(1)＝ f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝ a Δx Δx ＝a ＝2，所以a ＝2，故选A. 答案：A 5.物体的运动方程是S ＝－4t 2＋16t ，在某一时刻的速度为零，则相应时刻为( ) A ．t ＝1 B ．t ＝2 C ．t ＝3 D ．t ＝4 解析： S （t ＋Δt ）－S （t ）Δt ＝－8t ＋16，令－8t ＋16＝0，得t ＝2. 答案：B 二、填空题 6．函数f (x )＝x 2＋1在x ＝1处可导，在求f ′(1)的过程中，设自变量的增量为Δx ，则函数的增量Δy ＝________． 解析：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[(1＋Δx )2＋1]－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2. 答案：2Δx ＋(Δx )2 7．一做直线运动的物体，其位移s (m)与时间t (s)的关系是s ＝3t －t 2，则该物体的初速度是________． 解析：V 初＝ 3（0＋Δt ）－（0＋Δt ）2－3×0＋02Δt ＝ (3－Δt )＝3 m/s ，故物体的初速度为3 m/s. 答案：3 m/s 8．设函数f (x )满足 f （1）－f （1－x ）x ＝－1，则f ′(1)＝________． 解析： f （1）－f （1－x ）x ＝ f （1－x ）－f （1）－x ＝f ′(1)＝－1. 答案：－1 三、解答题 9．若一物体运动的位移s 与时间t 的关系如下(位移单位：m ，时间单位：s)： s ＝?????3t 2 ＋2，t ≥3，29＋3（t －3）2，0≤t <3. 求：(1)物体在t ∈[3，5]上的平均速度； (2)物体的初速度v 0； (3)物体在t ＝1时的瞬时速度．

变化率与导数导数的计算知识点与题型归纳

●高考明方向 1.了解导数概念的实际背景． 2.理解导数的几何意义． 3.能根据导数定义求函数 y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1 x 的导数． 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则 求简单函数的导数. ★备考知考情 由近几年高考试题统计分析可知，单独考查导数运算的题目很少出现，主要是以导数运算为工具，考查导数的几何意义为主，最常见的问题就是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系，以平行或垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，以及与曲线的切线相关的计算题．考查题型以选择题、填空题为主，多为容易题和中等难度题，如2014广东理科10、文科11. 2014广东理科10 曲线52-=+x y e 在点()0,3处的切线方程为 ； 2014广东文科11 曲线53=-+x y e 在点()0,2-处的切线方程为 ；

一、知识梳理《名师一号》P39 知识点一导数的概念 (1)函数y ＝f(x)在x＝x0处的导数 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化 率lim Δx→0Δy Δx ＝lim Δx→0 f x ＋Δx－f x0 Δx 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x . (2)称函数f′(x)＝lim Δx→0f x＋Δx－f x Δx 为f(x)的导 函数. 注意:《名师一号》P40 问题探究问题1 f′(x)与f′(x )有什么区别？ f′(x)是一个函数，f′(x )是常数， f′(x )是函数f′(x)在点x0处的函数值． 例.《名师一号》P39 对点自测1 1.判一判 (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( ) (2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( ) (3)f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．( ) 答案(1)×(2)×(3)√

变化率与导数的概念

变化率与导数的概念（新授课学案） 学生姓名 ________________ 班级__________________ 学号__________________ 教学内容 通过实例探究与分析，引导学生经历思考、讨论、探究、理解瞬时速度的含 义、感受逼近的思想. 体验提出问题，寻求想法，实施想法，发现规律，给出定义的数学探究过程. 了解导数概念的背景，理解导数的定义和内涵. 教学目的 1. 了解导数概念的背景，会区分平均速度、瞬时速度、平均变化率、瞬时变 化率. 2. 理解导数与函数平均变化率、瞬时变化率的关系. 3. 会求简单函数y=f(x)在x=x 0 处的导数 4. 体会用已知探究未知的思考方法和从特殊到一般的探究思想. 5. 培养小组合作学习的习惯. 教学重点 1. 导数（瞬时变化率）概念的形成. 2. 体会用已知探究未知的思考方法、从特殊到一般的探究思想. 3. 感受无限逼近的思维方法. 教学难点 1. 体会由平均变化率到瞬时变化率的过渡. 2. 导数的思想及其内涵的理解 教学过程 一、自主学习——对一种生活的数学解释 问题1 气球膨胀率 问题2 高台跳水 我们都吹过气球回忆一下吹气 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的 球的过程,可以发现,随着气球内空 高度h(单位：米)与起跳后的时间t （单位: 气容量的增加,气球的半径增加越 秒）存在函数关系h(t)=-4.9t 2+6.5t+10. 来越慢.从数学角度,如何描述这种 如何用运动员在某些时间段内的平均速 现象呢? 度粗略地描述其运动状态? 我来算算看：（可用计算器） 当气球体积v=0时，半径 当时间t=0时，运动员相对于水面的高度 h （0）=__________________ r(0）=______________ 当时间t=0.5时，运动员相对于水面的高度 当气球体积v=1时，半径 h （0.5）=__________________ 当时间t=1时，运动员相对于水面的高度 r(1）=______________ h （1）=__________________ 当气球体积v=2时，半径 当时间t=2时，运动员相对于水面的高度 h （2）=__________________ r(2）=______________ 比较以上数据，思考变量间的变化情况. 1、当气球空气容量V 从0增加到1时，气球半径的平均增长率为____________ 当气球空气容量V 从1增加到2时，气球半径的平均增长率为____________ 2、当时间t 从0到0.5这段时间里，运动员高度的平均增长率为____________ 当时间t 从0.5到1这段时间里，运动员高度的平均增长率为____________ 当时间t 从1到2这段时间里，运动员高度的平均增长率为____________ 我的身边也有这样的数学解释：______________________________________ __________________________________________(列举1-2个同类的生活实例） 热 爱 生 活

(完整版)变化率与导数及导数的计算

第十一节 变化率与导数、导数的计算 一、导数的概念 1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义： 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . (2)几何意义： 函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 2．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 为f (x )的导函数． 二、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n － 1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1 x ln a f (x )＝ln x f ′(x )＝1 x 三、导数的运算法则 1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；

201x-201X学年高中数学第三章变化率与导数4导数的四则运算法则学案北师大版选修1

§4 导数的四则运算法则 [对应学生用书P41] 导数的加法与减法法则 已知函数f (x )＝1x ，g (x )＝x ，那么f ′(x )＝－1 x 2，g ′(x )＝1. 问题1：如何求h (x )＝f (x )＋g (x )的导数？ 提示：用定义，由h (x )＝1 x ＋x ，得h (x ＋Δx )－h (x )＝1x ＋Δx ＋x ＋Δx －1 x －x ＝Δx － Δx x x ＋Δx . 则f ′(x )＝lim Δx →0 h x ＋Δx －h x Δx ＝lim Δx →0 ? ???? 1－1x x ＋Δx ＝1－1x 2. 问题2：[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )成立吗？ 提示：成立． 问题3：[f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )成立吗？ 提示：成立． 问题4：运用上面的结论你能求出(3x 2＋tan x －e x )′吗？ 提示：可以，(3x 2＋tan x －e x )′＝6x ＋1 cos 2x －e x . 导数的加法与减法法则 两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即 [f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )， [f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )．

导数的乘法与除法法则

已知函数f (x )＝x 3，g (x )＝x 2，则f ′(x )＝3x 2，g ′(x )＝2x . 问题1：[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g ′(x )成立吗？ 提示：因为[f (x )·g (x )]′＝(x 5)′＝5x 4， f ′(x ) g ′(x )＝3x 2·2x ＝6x 3，所以上式不成立． 问题2：[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )成立吗？ 提示：成立． 问题3：?? ?? ? ?f x g x ′＝f ′x g ′x 成立吗？ 提示：不成立． 问题4：???? ?? f x g x ′＝ f ′x g x －f x g ′x [g x ]2成立吗？ 提示：成立． 导数的乘法与除法法则 (1)若两个函数f (x )和g (x )的导数分别是f ′(x )和g ′(x )，则 [f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) ???? ?? f x g x ′＝ f ′x g x －f x g ′x g 2x . (2)[kf (x )]′＝kf ′(x )． 1．[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )≠f ′(x )g ′(x )，避免与[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )混淆． 2．若c 为常数，则[cf (x )]′＝cf ′(x )． 3．类比[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )记忆???? ?? f x g x ′＝ f ′x g x －f x g ′x [g x ]2 . [对应学生用书P42]