历年四川南充中考数学试题及重点解析

2018年四川省南充市初中毕业、升学考试

数学

（满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内． 1．（2018四川省南充市，第1题，3分）下列实数中，最小的数是（ ）

A ．

B ．0

C ．1

D 【答案】A

【解析】解：∵0＜1 A.

【知识点】实数的比较；立方根 2．（2018四川省南充市，第2题，3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ．扇形 B ．正五边形 C ．菱形 D ．平行四边形 【答案】C

【解析】解：A 、扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 选项不符合题意；B 、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B 选项不符合题意；C 、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C 选项符合题意；D 、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故D 选项不符合题意；故选C. 【知识点】轴对称图形；中心对称图形 3．（2018四川省南充市，第3题，3分）下列说法正确的是（ ） A ．调查某班学生的身高情况，适宜采用全面调查

B ．篮球队员在罚球线上投篮两次都未投中，这是不可能事件

C ．天气预报说明天的降水概率为95%，意味着明天一定下雨

D ．小南抛掷两次硬币都是正面向上，说明抛掷硬币正面向上的概率是1 【答案】A

【解析】解：A 、调查某班学生的身高情况，适合采用全面调查，说法正确；B 、篮球队员在罚球线上投篮两次都未投中，是随机事件，说法错误；C 、天气预报说明天的降水概率为95%，意味着明天下雨第可能性很大，说法错误；D 、小南抛掷两次硬币都是正面向上，不能说明抛掷硬币正面向上的概率为1，说法错误；故选A. 【知识点】全面调查；随机事件；概率 4．（2018四川省南充市，第4题，3分）下列计算正确的是（ ） A ．422a b a b a b -÷=- B ．222()a b a b -=- C ．236a a a ?= D ．22232a a a -+=-

【答案】D

【解析】解：A 、－a 4b ÷a 2b =－a 2，故A 选项计算错误；B 、（a －b ）2=a 2－b 2，故B 选项计算错误；C 、a 2?a 3=a 6，故C 选项计算错误；D 、－3a 2+2a 2=－a 2，故B 选项计算正确；，故选D.

【知识点】单项式除以单项式；完全平方公式；单项式乘以单项式；合并同类项 5．（2018四川省南充市，第5题，3分）如图，BC 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上的一点，∠OAC=32°，则∠B 的

度数是（ ）

A ．58°

B ．60°

C ．64°

D ．68°

【答案】A

【解析】解：∵BC 是⊙O 的直径，∴∠CAB =90°，∵OA =OC ，∠OAC =32°，∴∠C =∠OAC =32°，∴∠B =90° －32°=58°，故选A.

【知识点】直径所对圆周角是直角；等腰三角形的性质；直角三角形的两锐角互余 6．（2018四川省南充市，第6题，3分）不等式121x x +≥-的解集在数轴上表示为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 【答案】B

【解析】解：x +1≥2x －1，x －2x ≥－1－1，－x ≥－2，x ≤2，故选B. 【知识点】解一元一次不等式

7．（2018四川省南充市，第7题，3分）直线2y x =向下平移2个单位长度得到的直线是（ ） A ．2(2)y x =+ B ．2(2)y x =- C ．22y x =- D ．22y x =+ 【答案】C

【解析】直线y =2x 向下平移2个单位长度得到直线的解析式是y =2x －2，故选C. 【知识点】一次函数的平移

8．（2018四川省南充市，第8题，3分）如图，在Rt ABC ?中，90ACB ∠=，30A ∠=，D ，E ，F 分别

为AB ，AC ，AD 的中点，若2BC =，则EF 的长度为（ ）

A ．

12 B ．1 C ．3

2

D 3 【答案】B

【思路分析】1.由∠ACB =90°，∠A =30°，BC 的长度，可求得AB 的长度，2.利用直角三角形斜边的中线等于斜边第一半，求得CD 的长度；3.利用中位线定理，即可求得EF 的长.

【解题过程】解：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，BC =2，，∴AB =4，CD =

12AB ，∴CD =1

2

×4=2，∵E ，F 分别为AC ，AD 的中点，∴EF =

12CD =1

2

×2=1，故选B. 【知识点】30°所对直角边是斜边的一半；直角三角形斜边的中线等于斜边第一半；中位线定理

9．（2018四川省南充市，第9题，3分）已知113x y -=，则代数式232x xy y

x xy y

+---的值是（ ） A ．72-

B ．112-

C ．92

D ．3

4

【答案】D 【思路分析】将11

x y

-=3变形，用含xy 的式子表示x －y ，再将代数式中的x －y 用含xy 的式子代替，最后计算化简即可得解. 【解题过程】解：

11x y -=3，y －x =3xy ，∴x －y =－3xy ，∴原式=

2()3()x y xy x y xy -+--=633xy xy xy xy -+--=34xy xy --=3

4

，故选D. 【知识点】化简求值

10．（2018四川省南充市，第10题，3分）如图，正方形ABCD 的边长为2，P 为CD 的中点，连结AP ，过

点B 作BE AP ⊥于点E ，延长CE 交AD 于点F ，过点C 作CH BE ⊥于点G ，交AB 于点H ，连接HF .下列结论正确的是（ ）

A ．5CE =

B ．22

EF =

C ．5

cos CEP ∠=

D ．2HF EF CF =? 【答案】D

【思路分析】1.利用平行四边形的判定和性质，求得AH 的值，再利用平行线分线段成比例，得到BG =EG ，利用垂直平分线的性质，可得CE =BC ；2.根据角之间的关系，推出AE =EF ，设AB =EF =x ，进而利用勾股定理求出EF 的长度；3.利用∠7=∠1，易得cos ∠CEP =cos ∠1，在Rt △BDP 中，求得cos ∠CEP ；4.在Rt △F AH 中，利用勾股定理求出HF 2，在Rt △CDF 中，求得CF 的长度，即可得证.

【解题过程】解：由BE ⊥AP ，BE ⊥CH ，可证AP ∥CH ，又∵CP ∥AH ，∴四边形CP AH 是平行四边形，

∴AH =CP =

1

2

CD =1，∴BH =1，又∵BH =AH ，GH ∥AP ，∴BG =EG ，∴BC =CE =2，故A 错误；∵CH ∥AP ，∴∠2=∠4，∵∠2+∠1=90°，∠4+∠5=90°，∴∠1=∠5，由BC =CE ，BG ⊥CG ，可知∠5=∠6，又∵CH ∥AP ，

∴∠6=∠7=∠8，∴∠1=∠8，∴AF =EF ，设AF =EF =x ，则由勾股定理，可知CD 2+DF 2=CF 2，即22+(2－x)2=(2+x)2，解得：x =

12，即EF =AF =1

2

，故B 错误；在Rt △ADP 中，AP =22AD DP +=5,由∠7=∠1，可得：cos ∠CEP =cos ∠1=

AD AP =5

=25，故C 错误；在Rt △F AH 中，AH =1，AF =1

2，

∴HF 2=AH 2+AF 2=1+14=54，在Rt △CDF 中，CD =2，DF =3

2

，∴CF =22CD DP +=944+

=5

2

，∴CF ?EF =

52×12=5

4

=HF 2.故D 选项正确.故选D.

【知识点】平行线的性质和判定；平行四边形的判定；平行线分线段成比例；勾股定理；三角函数

二、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上． 11．（2018四川省南充市，第11题，3分）某地某天的最高气温是6°C ，最低气温是－4°C ，则某天当地的温差为_________°C. 【答案】10

【解析】解：∵温差=最高温度－最低温度，∴温差=6－（－4）=10.故答案为：10. 【知识点】有理数的减法 . 甲 7 8 9 8 8 乙

6

10

9

7

8

比较甲、乙这5次射击成绩的方差2s 甲，2s 乙，结果为：2

s 甲 2s 乙（选填“>”、“=”或“<”）．

【答案】<

【解析】解：∵588987++++=

甲x =8，∴()()()()()[]

5

28-88-88-98-88-7512

22222=++++=甲S

∵85879106=++++=

乙x ，∴()()()()()[]

28-88-78-98-108-65

12

22222=++++=甲S ，∴2甲S <2乙S .故答案为：＜.

【知识点】方差 13．（2018四川省南充市，第13题，3分）如图，在△ABC 中，AF 平分BAC ∠，AC 的垂直平分线交BC 于

点E ，70B ∠=，19FAE ∠=，则C ∠= 度．

【答案】24

【解析】解：设∠C 的度数为x

∵DE 垂直平分AC ，∴EA =EC ，∴∠EAC =∠C =x ，∵∠F AE =19°，∴∠AFB =∠F AC +∠C =( x +19°)+x =2x +19°，∵AF 平分∠ABC ，∴∠BAF =∠F AC = x +19°，∵∠BAF +∠AFB +∠B =180°，即70°+（2x +19°）+(x +19°)=180° ，解得：x =24°.故答案为：24.

【知识点】角平分线的定义；垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形两锐角互余

14．（2018四川省南充市，第14题，3分）若2(0)n n ≠是关于x 的方程2

220x mx n -+=的根，则m n -的值

为 ． 【答案】

1

2

【解析】解：∵若()02≠n n 是关于x 的方程0222=+-n mx x 的根，∴()022222

=+?-n n m n ，原方程整理得：02442=+-n mn n ，∴()01222=+-m n n ，∵n ≠0，∴0122=+-m n 即122-=-m n ，∴2

1

=-n m .故答案为：

12

. 【知识点】一元二次方程的概念；因式分解 15．（2018四川省南充市，第15题，3分）如图，在ABC ?中，//DE BC ，BF 平分ABC ∠，交DE 的延长线于点F ，若1AD =，2BD =，4BC =，则EF = ．

【答案】

23

【解析】解：∵DE ∥BC , AD =1，BD =2，BC =4，∴

BC DE AB AD =即431DE =，解得：DE =4

3

，∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABF =∠FBC ，又∵DE ∥BC ，∴∠FBC =∠F ，∴∠ABF =∠F ，∴BD =DF =2，∵DF =DE +EF ，∴EF =3

2

342=-.

故答案为：2

3

.

【知识点】平行线分线段成比例；平行线的性质；等腰三角形的判定

16．（2018四川省南充市，第16题，3分）如图，抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）与x 轴

交于A ，B 两点，顶点(,)P m n .给出下列结论：①20a c +<；②若13,2y ??-

???，21,2y ??- ???，31,2y ??

???

在抛物线上，则123y y y >>；③关于x 的方程20ax bx k ++=有实数解，则k c n >-；④当1

n a

=-时，ABP ?为等腰直角三角形，其中正确结论是 （填写序号）．

【答案】②④

【思路分析】①根据抛物线的对称轴＜

1

2

，得到a ，b 之间的关系，再根据当x =－1时的函数值大于0，得到关于a ，b ，c 的关系式，两式相加即可；②结合图象，根据抛物线的增减性，直接判断即可；③根据题意，易得抛物线y=2ax bx k ++的顶点坐标，从而可得k bm am ++2≤0，利用抛物线的顶点坐标，用含m 的式子表示n ，然后将其代入k bm am ++2≤0即可；④利用顶点坐标公式，表示出n 的值，又根据a

n 1

-

=，可得a 1-=a

b a

c 442-，整理得到442=-ac b ，利用根与系数的关系，求出AB 的长度，在利用等腰直角三角形的判定证明即可.

【解题过程】解：①∵抛物线2

y ax bx c =++的开口向上，∴a >0，∵a b 2-

<2

1

，∴b a +>0，由函数图像知（－1，c b a +-）在抛物线2y ax bx c =++上，∴c b a +->0，∴（b a +）+（c b a +-）>0即c a +2>0，∴①错误；②∵a >0，x <21，y 随x 增到而减小，23-<21-，∴1y >2y ，从图象可以看出x=2

1

到对称轴的距离小于x=2

1-

到对称轴的距离，∴2y >3y ，∴1y >2y >3y ，∴②正确；③∵若关于x 的方程02

=++k bx ax 有实数解，∴抛物线=y k bx ax ++2

与x 轴有交点，抛物线=y k bx ax ++2

是抛物线2

y ax bx c =++向上或向

下平移得到的.∴抛物线=y k bx ax ++2的顶点坐标为(

)

k bm am m ++2

，，∴k bm am ++2

≤0，∵抛物线2y ax bx c =++的顶点为()n m P ,，∴c bm am n ++=2，∵()k c n --＝()2

k c am bm c ??--++??＝

k bm am ++2≤0，∴0)(≤--n c k ，∴n c k -≤，∴③错误；④∵抛物线2y ax bx c =++的对称轴为

a b x 2-

=，∴顶点的纵坐标为a b ac 442-，∵抛物线2y ax bx c =++的顶点为()n m P ,，a

n 1

-=，∴a

1-=a b ac 442-整理得：442

=-ac b ，设抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，()01，x A ，()02，x B ,

对称轴x =a

b

2-

与x 轴交于D 点，如下图：

∴1x ，2x 是一元二次方程02

=++c bx ax 两根，1x +2x =a

b

-

，1x 2x =

a

c

，∵AB =21x x -，∴AB =()

()

a ac

b x x x x x x x x 442212

212

2121-=

-+=

-=

-=a

2，∵对称轴PD =x =a b

2-与x 轴交于D 点，∴BD =

21AB =a

1

，∵AD =a 1-=a 1，∴BD = AD ，∵PD ⊥AB ，∴∠PBD =45°，∵P A =PB ，∴∠PBA =90°，∴△ABP

为等腰直角三角形，∴④正确.综上所述：正确的结论②④.

【知识点】二次函数图像性质与二次函数系数的正负关系，二次函数的在区间内的单调性，二次函数图像的平移，二次函数与一元二次方程的思想，二次函数最值

三、解答题：本大题共9个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（2018四川省南充市，第17题，6分）0

1

2

21(12)1sin 4522-???--++ ? ???

?. 【思路分析】根据二次根式的化简、0指数幂、三角函数、负整数指数幂化简，再合并即可. 【解题过程】解：原式2 －1－2

+2 ---------------------------------------------------- 5分 3

22

---------------------------------------------------------------------- 6分 【知识点】二次根式的化简；0指数幂；三角函数；负整数指数幂 18．（2018四川省南充市，第18题，6分）如图，已知AB AD =，AC AE =，BAE DAC ∠=∠. 求证：C E ∠=∠.

【思路分析】根据等式的基本性质，求得∠BAC =∠DAE ，再利用SAS 证明三角形全等，最后利用全等三角形的性质即可得证.

【解题过程】证明：∵∠BAE =∠DAC ，∴∠BAE －∠CAE =∠DAC －∠CAE .

∴∠BAC =∠DAE . ----------------------------------------------------------- 2分 在△ABC 与△ADE 中，

AB AD BAC DAE AC AE =??

∠=∠??=?

，∴△ABC ≌△ADE (SAS).

--------------------------------- 5分 ∴∠C =∠E . ---------------------------------------------------------------------------- 6分

【知识点】全等三角形的判定 19．（2018四川省南充市，第19题，6分）“每天锻炼一小时，健康生活一辈子”.为了选拔“阳光大课间”领操员，学校组织初中三个年级推选出来的15名领操员进行比赛，成绩如下表： 成绩/分 7 8 9 10 人数/人

2

5

4

4

（1）这组数据的众数是 ，中位数是 .

（2）已知获得10分的选手中，七、八、九年级分别有1人、2人、1人，学校准备从中随机抽取两人领操，求恰好抽到八年级两名领操员的概率.

【思路分析】(1)1.找出这一组数据中，出现次数最多的数就是这组数的众数；2. 首先要先排序（从小到大）.如果总数个数是奇数的话，按从小到大的顺序,取中间的那个数；如果总数个数是偶数个的话,按从小到大的顺序,取中间那两个数的平均数.

(2) 首先列出可能产生的所有的结果，在根据概率公式计算即可.

【解题过程】解：(1)这组数据的众数是8；中位数是9. ------------------------------------- 2分

(2) 设获得10分的四名选手分别为七、八1、八2、九，列举抽取两名领操员所能产生的全部结果，他们是：七

八1、七八1、七九、八1八2、八1，九、八2九， ------------------------------------- 4分

所有可能出现第结果共有6种，它们出现第可能性相等，其中恰好抽到八年级两名领操员的结果有1种，

∴恰好抽到八年级两名领操员的概率为P=

1

6

. -------------------------------------------- 6分 (如果用列表法或树状图解答，结论正确类似给分)

【知识点】中位数；众数；用列举（列表或画树状图）法计算概率

20．（2018四川省南充市，第20题，8分）已知关于x 的一元二次方程22

(22)(2)0x m x m m --+-=.

（1）求证：方程有两个不相等的实数根.

（2）如果方程的两实数根为1x ，2x ，且22

1210x x +=，求m 的值.

【思路分析】(1)根据题意，利用根的判别式公式可得代数式，整理化简即可.

(2) 根据一元二次方程根与系数的关系，用含m 的式子表示出x 1+x 2和x 1x 2的值，再代入22

12

10x x +=，化简整理

即可.

【解题过程】解：(1)根据题意，得：?=[－(2m －2)]2－4(m 2－2m)＝4＞0， --------- 3分 ∴方程有两个不相等第实数根. ---------------------------------------------------------------------- 4分 (2) 由一元二次方程根与系数的关系，得：

x 1+x 2=2m －2，x 1x 2=m 2－2m ， ------------------------------------------------------------------------ 5分

∵

221210x x +=，∴()2

1212210x x x x +-=. --------------------------------------------------------- 6分 ∴(2m －2)2－2(m 2－2m )=10.化简，得m 2－2m －3=0，解得：m 1=3，m 2=－1. ∴m 的值为3或－1. ------------------------------------------------------------------------------------- 8分 【知识点】一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数第关系；完全平方公式

21．（2018四川省南充市，第21题，8分）如图，直线(0)y kx b k =+≠与双曲线(

0)m y m x =

≠交于点1

(,2)2

A -，(,1)

B n -.

（1）求直线与双曲线的解析式；

（2）点P 在x 轴上，如果3ABP S ?=，求点P 的坐标.

【思路分析】(1)根据点A 在反比例函数图象上，求出反比例函数解析式，再根据反比例；函数解析式求出点B

的坐标，最后利用待定系数法求出直线解析式即可.

(2) 利用直线解析式求出点C 的坐标，再利用△ABP 等于两个三角形的面积和，列出方程，最后求出点P 的坐标. 【解题过程】解：(1)∵点A(12-，2)在y=m x 上，∴2=12

m

-，∴m=－1，∴y=1

x -. - 1分

∴B(1，－1). ---------------------------------------------------------------------------------------------- 2分 又∵y=kx+b 经过点A 、B 两点，∴1

2,

2

1.k b k b ?-+=???+=-? --------------------------------------------- 3分 解得2,

1.k b =-??

=?

∴y=－2x+1. ----------------------------------------------------------------------------- 4分 (2) y =－2x +1与x 轴交点C (1

2

，0)，

--------------------------------------------------------------- 5分 S △ABP = S △ACP + S △BCP =12×2?CP +1

2

×1?CP =3，解得：CP =2. --------------------------------- 6分 ∴P (

52，0)或(3

2

-，0). --------------------------------------------------------------------------------- 8分 【知识点】待定系数法求函数解析式；一次函数与坐标轴的交点坐标

22．（2018四川省南充市，第22题，8分）如图，C 是

O 上一点，点P 在直径AB 的延长线上，O 的半径

为3，2PB =，4PC =.

（1）求证：PC 是O 的切线. （2）求tan CAB ∠的值.

【思路分析】(1)欲证PC 与⊙O 相切，只需证明OC ⊥PC ，题中给出线段的长，可以利用勾股定律的逆定理，从而得到∠OCP=90°.

(2)利用相似三角形的判定定理，先证明△OCD ∽△OPC ，在利用相似三角形的性质，证得OC 、OD 、OP 之间的关系，即可求得CD 和AD 的长，最后直接利用三角函数计算即可.

【解题过程】(1)证明：连接OC . -------------------------------------------------------------------- 1分

∵⊙O 的半径为3，∴OC =OB =3.又∵BP =2，∴OP =5.在△OCP 中，OC 2+PC 2=32+42=52=OP 2，∴△OCP 为直角三

角形，∠OCP =90°. -------------------------------------------------------------------------------- 3分 ∴OC ⊥PC ，故PC 为⊙O 的切线. ------------------------------------------------------------------ 4分 (2)解：过点C 作CD ⊥OP 于点D ，∠ODC =∠OCP =90°. ∵∠COD =∠POC ，∴△OCD ∽△OPC . ----------------------------------------------------------- 5分

∴OC OP PC OD OC CD ==，∴OC 2=OD ?OP ，∴OD =295

OC OP =，453DC =， ∴CD =125.又∵AD =OA +OD =24

5， ----------------------------------------------------------------- 7分

∴在Rt △CAD 中，tan ∠CAB =

1

2

CD AD =. ----------------------------------------------------------- 8分

【知识点】圆的切线的判定定理；勾股定理逆定理；相似三角形的性质和判定；锐角三角函数 23．（2018四川省南充市，第23题，10分）某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10000元采购A 型

丝绸的件数与用8000元采购B 型丝绸的件数相等，一件A 型丝绸进价比一件B 型丝绸进价多100元. （1）求一件A 型、B 型丝绸的进价分别为多少元？

（2）若销售商购进A 型、B 型丝绸共50件，其中A 型的件数不大于B 型的件数，且不少于16件，设购进A 型

丝绸m 件.

①求m 的取值范围.

②已知A 型的售价是800元/件，销售成本为2n 元/件；B 型的售价为600元/件，销售成本为n 元/件.如果

50150n ≤≤，求销售这批丝绸的最大利润w （元）与n （元）的函数关系式（每件销售利润=售价-进价-销售成本）. 【思路分析】(1)利用一件A 型丝绸进价比一件B 型丝绸进价多100元，设出未知数，再利用用10 000元采购A 型丝绸的件数与用8 000元采购B 型丝绸的件数相等，列出方程即可.

(2) ①根据A 型的件数不大于B 型的件数，且不少于16件，求出m 的取值范围；②先根据A 型的售价是800元/件，销售成本为2n 元/件；B 型的售价为600元/件，销售成本为n 元/件表示出利润，再根据50≤n ≤150，求出最大利润.

【解题过程】解：(1)设A 型丝绸进价为x 元，则B 型丝绸进价为(x －100)元，

根据题意，得：

100008000

100

x x =-. ------------------------------------------------------------------- 2分 解得：x =500. ---------------------------------------------------------------------------------------------- 3分 经检验，x =500是原方程的解.∴B 型丝绸进价为400元.

答：A 、B 两型丝绸的进价分别为500元、400元. -------------------------------------------- 4分 (2) ①∵16,

50.m m m ≥??≤-?

解得：16≤m ≤25. -------------------------------------------------------------- 6分

②w =(800－500－2n )m +(600－400－n )(50－m )=(100－n )m +(10000－50n ). -------------- 8分

当50≤n ≤150时，100－n ＞0，w 随m 的增大而增大.

故m =25时，w 最大=12500－75n . --------------------------------------------------------------------- 9分 当n =100时，w 最大=5000.

当100＜n ≤150时，100－n ＜0，w 随m 的增大而减小 故m =16时，. w 最大=11600－66n.

综上所述，w 最大=1250075, 50100,5000, 100,

1160066, 100150.n n n n n -≤

=??-<≤?

---------------------------------------------- 10分 【知识点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用 24．（2018四川省南充市，第24题，10分）如图，矩形ABCD 中，2AC AB =，将矩形ABCD 绕点A 旋转得

到矩形'''AB C D ，使点B 的对应点'B 落在AC 上，''B C 交AD 于点E ，

在''B C 上取点F ，使'B F AB =.

（1）求证：'AE C E =. （2）求'FBB ∠的度数.

（3）已知2AB =，求BF 的长.

【思路分析】(1)根据直角三角形直角边和斜边的关系，求出角的度数；根据角之间关系，利用等角对等边即可

得证.

(2)利用旋转前后对应角相等、对应边相等，从而得到等边三角形，进而求得角的度数，再利用三角形内角和是

180°计算即可.

(3)连接AF ，过点A 作AM ⊥BF 于点M.易证∠AFM 和∠ABM 的度数，然后利用三角函数求出BM 和MF 的长

即可.

【解题过程】解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴△ABC 为Rt △. 又∵AC =2AB ，cos ∠BAC =

1

=2

AB AC ，∴∠CAB =60°. ------------------------------------------- 1分

∴∠ACB =∠DAC =30°，∴∠B ′AC ′=60°.∴∠C ′AD =30°=∠AC ′B ′. --------------------------- 2分 ∴AE =C ′E . -------------------------------------------------------------------------------------------------- 3分 (2) ∵∠BAC =60°，又AB =AB ′，∴△ABB ′是等边三角形. ------------------------------------ 4分 ∴BB ′=AB ，∠AB ′B =60°，又∵∠AB′F=90°，∴BB ′F =150°

. --------------------------------- 5分 ∵B ′F =AB =BB ′，∴∠B ′BF =∠BFB ′=15°. ---------------------------------------------------------- 6分 (3)连接AF ，过点A 作AM ⊥BF 于点M . ---------------------------------------------------------- 7分 由(2)可知△AB ′F 是等腰直角三角形，△ABB ′是等边三角形. ∴∠AFB ′=45°，∴∠AFM =30°，∠ABF =45°. ---------------------------------------------------- 8分 在Rt △ABM 中，AM =BM =AB ?cos ∠ABM =2×2

=2. --------------------------------------- 9分 在Rt △AMF 中，MF

=26

tan 3AM

AFM

=

=∠.∴BF =2+6. ----------------------------- 10分

【知识点】锐角三角函数；等腰三角形的判定；直角三角形的两锐角互余；旋转的性质；等边三角形的性质和判定；三角形的内角和定理

25．（2018四川省南充市，第25题(1)，3分）如图，抛物线顶点(1,4)P ，与y 轴交于点(0,3)C ，与x 轴交于点

A ，

B .

（1）求抛物线的解析式.

（2）Q 是物线上除点P 外一点，BCQ ?与BCP ?的面积相等，求点Q 的坐标.

（3）若M ，N 为抛物线上两个动点，分别过点M ，N 作直线BC 的垂线段，垂足分别为D ，E .是否存在点M ，N 使四边形MNED 为正方形？如果存在，求正方形MNED 的边长；如果不存在，请说明理由. 【思路分析】(1)由已知顶点（1，4），设出抛物线顶点形式的解析式，再代入（0，3）即可. (2)△BCQ 和△BCP 共底BC ，故只要高相等即可.故P 、Q 两点可以在BC 同侧，也可在BC 两侧.通过构造平行线，可得平行线间的距离相等，再求出所做平行线的解析式即可.

(3)正方形可以分割成两个等腰直角三角形，故可以构造等腰直角三角形，再利用勾股定理表示出线段的长，结合根与系数的关系，就可以进行解答.

【解题过程】解：(1)设抛物线解析式为：y =a (x －1)2+4(a ≠0). ------------------------------ 1分

∵过点(0，3)，∴a +4=3，∴a =－1. ----------------------------------------------------------------- 2分 ∴y = －(x －1)2+4= －x 2+2x +3. ----------------------------------------------------------------------- 3分 (2)点B (3，0)，点C (0，3).直线BC 为y =－x +3.

∵S △PBC =S △QBC ，∴PQ ∥BC . ------------------------------------------------------------------------- 4分 ①过点P 作PQ ∥BC 交抛物线于点Q ， 又∵P (1，4)，∴直线PQ 为y =－x +5.

2

52 3.y x y x x =-+??=-++?

，

解得：1114x y =??=?，；2214.x y =??=?，∴Q 1(2，3). ----------------------------------------- 5分 ②设抛物线的对称轴交BC 于点G ，交x 轴于点H .G (1，2)，∴PG =GH =2.

过点H 作Q 2Q 3∥BC 交抛物线于点Q 2Q 3. -------------------------------------------------------- 6分 直线Q 2Q 3为y =－x +1.

∴2

12 3.y x y x x =-+??=-++?，解得：1

13+17117x y ?=?

??--?=??，；223-171+17x y ?=???-?=??，； ∴Q 2(

3+17，117--)，Q 3(317-，1+17

-). ------------------------------------------ 7分 ∴满足条件的点为Q 1(2，3)，Q 2(

3+17，117--)，Q 3(317-，1+17

-).

(3)存在满足条件的点M ，N .

如图，过M 作MF ∥y 轴，过N 作NF ∥x 轴交MF 于F ，过N 作NH ∥y 轴交BC 于H . 则△MNF 与△NEH 都是等腰直角三角形. -------------------------------------------------------- 8分 设M (x 1，y 1)，N (x 1，y 2)，直线MN 为y =－x +b . ∵2

2 3.

y x b y x x =-+??=-++?，∴x 2－3x +(b －3)=0. ∴NF 2=|x 1－x 2|2=(x 1+x 2)2－4x 1x 2=21－4b . △MNF 等腰Rt △，∴MN 2=2NF 2=42－8b .

又NH 2=(b －3)2，∴NE 2=1

2

(b －3)2. ----------------------------------------------------------------- 9分 如果四边形MNED 为正方形， NE 2=MN 2，∴42－8b =

12

(b 2

－6b +9).∴b 2+10b －75=0，∴b 1=－15，b 2=5. 正方形边长为MN 42-8b ∴MN =922. ---------------------------------------------- 10分

【知识点】待定系数法求抛物线解析式；二次函数的综合；函数图象的交点坐标；等腰直角三角形的性质