小学奥数第48讲 和差积商的变化规律(含解题思路)
48、和差积商的变化规律
【和的变化规律】
（1）如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加（或减少）同一个数。用字母表达就是
如果a+b=c，那么（a+d）+b=c+d；
（a-d）+b=c-d。
（2）如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，那么它们的和不变。用字母表达就是
如果a+b=c，那么（a+d）+（b-d）=c。
【差的变化规律】
（1）如果被减数增加（或减少）一个数，减数不变，那么，它们的差也增加（或减少）同一个数。用字母表达，就是
如果a-b=c，那么（a+d）-b=c+d，
（a-d）-b=c-d。
（a＞d+b）
（2）如果减数增加（或减少）一个数，被减数不变，那么它们的差反而减少（或增加）同一个数。用字母表达，就是
如果a-b=c，那么a-（b+d）=c-d（a＞b+d），
a-（b-d）=c+d。
（3）如果被减数和减数都增加（或都减少）同一个数，那么，它们的差不变。用字母表达，就是
如果a-b=c，那么（a+d）-（b+d）=c，
（a-d）-（b-d）=c。
【积的变化规律】
（1）如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是
如果a×b=c，那么（a×n）×b=c×n，
（a÷n）×b=c÷n。
（2）如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变。用字母表达，就是
如果a×b=c，那么（a×n）×（b÷n）=c，
或（a÷n）×（b×n）=c。
【商或余数的变化规律】
（1）如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是
如果a÷b=q，那么（a×n）÷b=q×n，
（a÷n）÷b=q÷n。
（2）如果除数扩大（或缩小）若干倍，被除数不变，那么它们的商反而缩小（或扩大）同样的倍数。用字母表达，就是
如果a÷b=q，那么a÷（b×n）=q÷n，
a÷（b÷n）=q×n。
（3）被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，那么它们的商不变。用字母表达，就是
如果a÷b=q，那么（a×n）÷（b×n）=q，
（a÷n）÷（b÷n）=q。
（4）在有余数的除法中，如果被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，不完全商虽然不变，但余数却会跟着扩大（或缩小）同样的倍数。
这一变化规律用字母表示，就是
如果a÷b=q（余r），
那么（a×n）÷（b×n）=q（余r×n），
（a÷n）÷（b÷n）=q（余r÷n）。
例如，84÷9=9……3，
而（84×2）÷（9×2）=9……6（3×2），（84÷3）÷（9÷3）=9……1（3÷3）。
小学奥数解题方法例举(学生版)
1.小学奥数解题方法1——分类 有长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(单位：厘米)的木棒足够多，选其中三根作为三条边围成三角形。如果所围成的三角形的一条边长为11厘米，那么，共可围成多少个不同的三角形? 提示：要围成的三角形已经有一条边长度确定了，只需确定另外两条边的长度。设这两条边长度分别为a，b，那么a，b的取值必须受到两条限制： ①a、b只能取1～11的自然数; ②三角形任意两边之和大于第三边。 1、11 一种 2、11 2、10 二种 3、11 3、10 3、9 三种 4、11 4、10 4、9 4、8 四种 5、11 5、10 5、9 5、8 5、7 五种 6、11 6、10 6、9 6、8 6、7 6、6 六种 7、11 7、10 7、9 7、8 7、7 五种 8、11 8、10 8、9 8、8 四种 9、11 9、10 9、9 三种 10、11 10、10 二种 11、11 一种 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36种 小学奥数解题方法2——化大为小找规律 10条直线最多可把一个长方形分成多少块? ( 56 ) 小学奥数解题方法3——把未知量具体化 幼儿园把一筐苹果平均分给大班和小班的小朋友，每个小朋友可分得6个。如果全部分给大班小朋友，那么平均每人可分10个。如果全部分给小班的小朋友，平均每人可分几个? (15)
将一根长为374厘米的铝合金管截成若干根长36厘米和24厘米的短管。 问剩余部分的管子最少是多少厘米?(2) 小学奥数解题方法5——移多补少 新光机器厂装配拖拉机，第一天装配50台，第二天比第一天多装配5台，第三、第四两天装配台数是第一天的2倍多3台，平均每天装配多少台?(52) 小学奥数解题方法6——等量代换 百货商店运来300双球鞋，分别装在2个木箱、6个纸箱里。如果2个纸箱同1个木箱装的球鞋一样多，每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋? 用两台水泵抽水，小水泵抽6小时，大水泵抽8小时，一共抽水312立方米。小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量，两种水泵每小时各抽水多少立方米?(12,30) 小学奥数解题方法7——画图 A、B、C、D与小青五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，A已经赛了4盘，B 赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘。问小青已经赛了几盘?(2) 小学奥数解题方法8——反过来想 用淘汰制比赛从200名乒乓球选手中产生一名冠军，问应进行多少场比赛?(199) 小学奥数解题方法9——分析因果关系 用一个杯子向一个空瓶里倒水。如果倒进3杯水，连瓶共重440克。如果倒进5杯水，连瓶共重600克。一杯水和一个空瓶各重多少?(80,200)
小学五年级奥数精讲等积变形求面积(含答案)
小学奥数精讲：等积变形求面积 “三角形的面积等于底与高的积的一半”这个结论是大家熟知的，据此我们立刻就可以知道： 等底等高的两个三角形面积相等． 这就是说两个三角形的形状可以不同，但只要底与高分别相等，它们的面积就相等，当然这个问题不能反过来说成是“面积相等的两个三角形底与高一定分别相等”． 另一类是两个三角形有一条公共的底边，而这条底边上的高相等，即这条底边的所对的顶点在一条与底边平 行的直线上，如右图中的三角形A 1BC 与A 2BC 、A 3BC 的面积都相等。 图形割补是求图形面积的重要方法，利用割补可以把—些形状不规则 的图形转换成与之面积相等但形状规则的图形，或把不易求面积的图形转 换成易求面积的图形． 利用添平行线或添垂线的办法，常常是进行面积割补的有效方法，利 用等底等高的三角形面积相等这个性质则是面积割补的重要依据，抓住具体的图形的特点进行分析以确定正确的割补方法则是面积割补的关键． 进行图形切拼时，应该有意识地进行计算，算好了再动手寻找切拼的方案．不要盲目 地乱动手．本讲中．的几个例子都是经过仔细计算才切拼成功的。 例1、已知三角形ABC 的面积为1，BE ＝ 2AB ，BC ＝CD ，求三角形BDE 的面积? 例2、如下图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=3 1 CD ，若△ABC(阴影部分)面积为5平方厘米，求△ABD 及△ACE 的面积． 例3、 2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下图所示，它是由四个相同的直角 基本概念 例题分析
三角形拼成(直角边长为2和3)，问：大正方形面积是多少? 例4、下图中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的直角边长等于9厘米的等腰直角三角形，求阴影部分的面积． 1、如图，已知平行四边形ABCD的面积是60平方分米，E、F分别是AB、AD边上的中点，图中阴影部分的面积是多少平方分米? 2、右图中的长方形ABCD的长是20厘米，宽是12厘米，AF=BE，图中阴影部分的面积是多少 平方厘米？ 练习提高
四年级数学上册积和商的变化规律练习题
第16周周练积的变化规律 一、填空题。 1.写得数并发现规律。 16×17= 32×17= 16×34= 48×17= 16×51= 64×17= 我发现了：一个因数相同，另一个因数（），积也（）。请在上面的横线上举一个例子验证你的发现。 20×18= 20×18= 10×18= 20×9= 5×18= 20×3 = 我发现了：一个因数相同，另一个因数（），积也（）。请在上面的横线上举一个例子验证你的发现。 2.根据以上的发现填空。 （1）42×56=2352 42×112=（）21×56=（） 42×28=（）7×56=（） （2）5×14=70 5×28=（）5×42=（） 5×56=（）5×70=（） 3.一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也（）。 4.两个因数的积是360，如果一个因数除以3，另一个因数不变，积变为（）。 5.两个因数相乘，一个因数乘6，另一个因数不变，那么积（）。 6.两个因数相乘的积是5600，如果一个因数不变，另外一个因数除以10，那么积是（）。 7.两个数相乘是75，如果一个因数乘7，另一个因数除以7，积是（）。 8.已知A×B=400，如果A乘3，则积是（），如果B除以5，则积是（）。 9.两数相乘，如果一个因数缩小5倍，另一个因数扩大5倍，积( )。 10.两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积( )。 11.两个数相乘，一个因数乘10，另一个因数也乘10，积（）。 12.两个因数的积是420，如果一个因数不变，另一个因数乘8，积是（）。 13.两个数相乘的积是160，如果一个因数除以2，另一个因数也除以2，积是（）。 14.芳芳在计算乘法时，把一个因数末尾多写了1个0，结果得到800，正确的积是应该是（）。 二、判断题。（把错的地方圈出来） 1.一个因数变小，另一个因数变大，积不变。（） 2.一个数乘6再除以6，结果还是这个数。（） 3.一个因数乘8，要想使积不变，另一个因数也要乘8. （） 三、实际应用 一块长方形草坪宽是8米，面积是200m2。如果长方形的长不变，宽增加到24米，扩大后的绿地面积是多少？
《小学奥数解题方法大全》
第一讲观察法 观察法，是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点，条件与结论之间的关系，题目的结构特点及图形的特征，从而发现题目中的数量关系，把题目解答出来的一种解题方法。 观察要有次序，要看得仔细、看得真切，在观察中要动脑，要想出道理、找出规律。 第二册，第11页中的一道思考题。书中除图1-1的图形外没有文字说明。这道题旨在引导儿童观察、思考，初步培养他们的观察能力。这时儿童已经学过20以内的加减法，基于他们已有的知识，能够判断本题的意思是：在右边大正方形内的小方格中填入数字后，使大正方形中的每一横行，每一竖列，以及两条对角线上三个数字的和，都等于左边小正方形中的数字18。实质上，这是一种幻方，或者说是一种方阵。 解：现在通过观察、思考，看小方格中应填入什么数字。从横中行10+6+□=18从竖右列7+2+□=18（图1-2）会想到，18-7-2=9，在竖右列下面的小方格中应填入9（图1-3）。 从正方形对角线上的9+6+□=18（图1-3）会想到，18-9-6=3，在大正方形左上角的小方格中应填入3（图1-4）。 从正方形对角线上的7+6+□=18（图1-3）会想到，18-7-6=5，在大正方形左下角的小方格中应填入5（图1-4）。
从横上行3+□+7=18（图1-4）会想到，18-3-7=8，在横上行中间的小方格中应填入8（图1-5）。 又从横下行5+□+9=18（图1-4）会想到，18-5-9=4，在横下行中间的小方格中应填入4（图1-5）。 图1-5是填完数字后的幻方。 例2看每一行的前三个数，想一想接下去应该填什么数。（适于二年级程度） 6、16、26、____、____、____、____。 9、18、27、____、____、____、____。 80、73、66、____、____、____、____。 解：观察6、16、26这三个数可发现，6、16、26的排列规律是：16比6 大10，26比16大10，即后面的每一个数都比它前面的那个数大10。 观察9、18、27这三个数可发现，9、18、27的排列规律是：18比9大9，27比18大9，即后面的每一个数都比它前面的那个数大9。 观察80、73、66这三个数可发现，80、73、66的排列规律是：73比80小7，66比73小7，即后面的每一个数都比它前面的那个数小7。 这样可得到本题的答案是： 6、16、26、36、46、56、66。 9、18、27、36、45、54、63。 80、73、66、59、52、45、38。 例3将1～9这九个数字填入图1-6的方框中，使图中所有的不等号均成立。（适于三年级程度）
小学五年级奥数 等积变形
奥数拓展：等积变形 （一）故事导入： 有一个富翁留了一块三角形的土地给两个儿子，两个儿子要求平分这块地，这可伤透了他们的脑筋，因为他们不知道怎样去测量、平分。同学们，你们能想出多少种方法将这块土地平分成2个面积相等的三角形吗 根据这个问题，你能得出什么结论 结论一：。 （二）即学即练： 1.你有什么方法将任意一个三角形分成3个面积相等的三角形 2.如图，把△ABC的底边BC四等分，那么甲、乙两个三角形的面积谁大，为什么 如图．三角形ABC中．D是AB的中点．点E、F．G、H把BC平均分成五份．阴影部分的面积占三角形ABC面积的几分之几？ （三）思维探索： （平行线间的等积变形）如下图，△ACD和△BCD夹在一组平行线之间，且有公共底边，那么△ACD和△BCD的面积关系是怎样的为什么
（四）即学即练： 1.如图，在梯形ABCD中共有8个三角形，其中面积相等的三角形有哪几对 （五）结论总结： 一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化。同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状。为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论： （1）等底等高的两个三角形面积相等； （2）底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等； （3）若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （六）例题梳理 【例 1】等积变形的等分点应用 1.如图，在直角三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，如果△AED的面积是30平方厘米．求△ABC的面积 结论2：夹在间的一组同底三角形面积相等
(完整)四年级上册_积与商的变化规律_练习题
因数与积的变化规律 一、填空 1、一个因数不变，另一个因数乘6，则积（） 2、一个因数不变，另一个因数除以8，则积（） 3、两个数相乘的积是25，一个因数不变，另一个因数乘,9，则积是（） 4、两个数相乘的积是65，其中一个因数不变，另一个因数除以5，则积是（） 5、两个数相乘，其中一个因数乘2，另一个因数乘,3，则积（） 6、两个数相乘，其中一个因数乘3，另一个因数除以,3，则积（） 7、两个因数的积是360，如果一个因数除以3，另一个因数不变，积变为（）。 8、两个因数相乘，一个因数乘6，另一个因数不变，那么积（）。 9、两个因数相乘的积是5600，如果一个因数不变，另外一个因数除以10，那么积是（）。 10、两个数相乘是75，如果一个因数乘7，另一个因数除以7，积是（）。 11、已知A×B=400，如果A乘3，则积是（），如果B除以5，则积是（）。 12、两个数相乘，一个因数乘10，另一个因数也乘10，积（）。 13、两个因数的积是420，如果一个因数不变，另一个因数乘8，积是（）。 14、两个数相乘的积是160，如果一个因数除以2，另一个因数也除以2，积是（）。
15、两数相除的商是15，如果被除数、除数同时扩大10倍，商是（）。如果被除数不变，只把除数扩大5倍，商是（）。 16、150÷30，如果被除数增加300，要使商不变，除数应该（）。 17、两数相除，如果被除数扩大5倍，要使商不变，除数应该（）。 18、1400÷70，如果除数不变，被除数除以10，那么商应该（）。 19、被除数不变，除数乘3，商应当（）。 20、两个数的商是6，如果被除数与除数都除以2，商是（）。 21、两数相除，商是80，如果去掉除数个位上的0，商是（）。 22、两个数的商是12，如果被除数除以3，除数不变，则商是（）。 23、被除数和除数同时乘6，商（）。 24、在一个除法算式里，除数除以5，要使商不变，被除数应该（）。 25、在一道除法算式里，如果被除数除以20，除数（），商不变。 26、两数相乘，如果一个因数缩小5倍，另一个因数扩大5倍，积( )。 27、两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积( )。 28、两数相除，如果被除数扩大4倍，除数扩大4倍，商( )。 29、两数相除，如果被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商( )。 30、两数相除，如果被除数缩小2倍，除数扩大4倍，商( )。 31、两数相除，被除数缩小12倍，除数缩小2倍，商（）。 32、小科在计算除法时，把除数末尾的0漏写了，结果得到的商是70，正确的商应该是（）。
小学奥数解题技巧——线段图解题(含有练习题)
线段图解题 主要内容：1、线段图解题的方法和技巧；2、常见的可以用线段图来表示的数量关系；3、用线段图解题。 重难点：1、常见的可以用线段图来表示的数量关系；2、较复杂的线段图问题。 意义：利用线段图解决应用题是数学中常见的一种解题方法。相比于传统的文字分析方法，线段图可以直观清晰地将题中的复杂数量关系展现在我们的眼前，对于理解题意和解决问题有十分重要的作用。 一、线段图解题方法和技巧： 什么是线段？那就是一条直线上的两个点和它们之间的部分就叫做线段，线段的长度是有限的，所以我们常用来表示有限的量，帮助我们分析题目中隐藏的数量关系，达到轻松解题的目的。 1、用线段的长短来表示量的大小，并对应的标上数据； 2、根据题意，有的可能只需要一条线段，有的可能需要多条线段； 3、画多条线段时，要一端对齐，方便比较大小； 4、画多条线段时，一般先画最小的量。 5、虚实结合。“比……多”时，多的部分画实线；“比……少”时，少的部分画虚线，且立即标上数据； 二、常见的可以用线段图来表示的数量关系 1、和的关系：用一条较长线段来表示“和”，将组成“和”的各分量依次标在该线段上。当出现多种数量关系时，和关系还可以用大括号来表示。 例如：甲的文具数量为5个，乙的文具数量为2个，那么甲乙的和是多少？ 2、差的关系：从小到大依次画出各个量，并保持一端对齐后，另一端多出的部分线段即可表示量与量之间的差。 例如：数学考试后小明的得分为100分，小强的得分为95分，那么小强比 甲的5个 乙的2个 7个文具
小明少几分？ 小强的得分： 小明的得分： 3、倍的关系：先画出最小的量，再画跟它成倍数关系的量，是它的几倍就画几段线段。可将最小的量看作1份，则其它的量是它的几倍，就是几份。 例如：甲的年龄为5岁，乙的年龄为甲的3倍，那么乙的年龄为几岁？ 甲的年龄： 乙的年龄： 注意：在同一个问题中，一条线段只能代表一个数量（若两个数量相等，则可用等长的线段来表示），与这个数量有大小或倍数关系的其它数量应该在这条线段的长度上分别延长（或缩短或等长延长）来表示。 练习：用线段图表示下列数量关系。 1、妈妈的年龄是小明的4倍。 2、王强的得分比李军的得分少3分。 3、甲乙的弹珠总数为17颗。 三、用线段图解一般题 例题1：甲乙两人今年共有27岁，其中甲比乙大了3岁，求甲乙今年各多少岁？ 示意图： 乙的年龄： 甲的年龄： 分析：题目中既出现了“和”关系，又出现了“差”关系，那么我们画图时，就要先表示出“差”关系，再用大括号来表示“和”关系。 计算过程：甲：（27+3）÷2=15岁 乙：27-15=12岁 拓展：已知两个数的和、差，求这两个数分别是多少？（可进行推导） （和+差）÷2=较大数 （和-差）÷2=较小数 练习： 3岁 27岁 小明比小强多的5分 甲的3倍，即甲的线段长度的3倍
五年级奥数等积变换
第二十一讲等积变换 一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。 例题1：两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。 解：因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形 OEFC 面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面 积。 直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）× 2 ÷ 2=17（厘米2）。 答：阴影部分的面积是17厘米2。 例题2：在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10 厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8 厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10 厘米2，求平行四边形ABCD的面积。 解：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10 厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10 厘米 2，所以平行四边形ABCD的面积等于 10× 8÷2+10=50（厘米2）。
答：平行四边形ABCD的面积是50cm.
例题 3：在右图中， AB=8厘米， CD=4厘米， BC=6厘米，三角形 AFB 比三角形 EFD 的面积大 18厘米 2 。求 ED 的长。 解：因为三角形 AFB 比三角形 EFD 的面积大 18 厘 米 2 三角形都加上四边形 FDCB 后，其差不变，所以梯形 ABCD 比三角形 ECB 的面积大 18 厘米 2。 梯形 ABCD 面积 =（8+4）× 6÷2=36（厘米 2）， 三角形 ECB 面积 =36-18=18（厘米 2 ）， EC=18÷6×2=6（厘 米）， ED=6-4=2（厘米）。 答： ED 的长 2 厘米。 例 4：下页上图中， ABCD 是 7× 4 的长方 形， 长方形，求三角形 BCO 与三角形 EFO 的 面积之差。 解法一 ：连结 B ，E （见左下图）。三角形 BCO 与三角形 EFO 都 加上三角形 BEO ，则原来的问题转化为求三角形 BEC 与三角形 BEF 的面积之差。所求为 4×（ 10-7 ）÷ 2-2 ×（ 10-7 ）÷ 2=3。 ：连结 C ，F （见右上图）。三角形 BCO 与三角形 EFO 都 CFO ，则原来的问题转化为求三角形 BCF 与三角形 ECF 所求为 4×（ 10-7 ）÷ 2-2 ×（ 10-7 ）÷ 2=3。 答：三角形 BCO 与三角形 EFO 的面积之差是 3. 解法二 加上三角形 的面积之
积的变化规律和商的变化规律
一、积的变化规律 1、一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以几。 2、两个数相乘，一个因数乘或除以几（0除外），另一个因数除以或乘相同的数，则它们的乘积不变。 （1）42×5= （2）48×16=768 42×15= （48×4）×（16÷4）= 420×15= （48÷8）×（16×8）= 840×15= （48×5）×（16○□）=768 （3）7本作业本摞起来高25毫米，全班56本作业本摞起来有多高？ （4）一个宽为9米的长方形菜地，面积是252平方米，如果把这块长方形菜地的宽增加到36米，长不变，扩建后的面积是多少？ 二、商的变化规律 1、除数不变，被除数乘几或除以几（0除外），商也乘几或除以几。 2、被除数不变，除数乘几或除以几（0除外），商反而除以几或乘几。 3、被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。 （1）80÷16=（80○□）÷（16÷4） 200÷40=（200÷20）÷（40○□） 180÷15=（180×3）÷（15○□） （2）1400÷70，如果除数不变，被除数除以10，那么商应当（）。 被除数不变，除数乘3，商应当（）。 两个数的商是8，如果被除数不变，除数乘4，商就变成（）。 一个除法算式，被除数乘15，要使商不变，除数也要（）。 两个数相除的商是6，如果被除数和除数都除以12，商是（）。 一个除法算式的被除数、除数都除以3后，商是20，那么原来的商是（）。
《除数是两位数的除法》 1、商店里卖衣服，29元/件，49元/2件，王阿姨有185元，最多可以买多少件？还剩多少元？ 2、小李家距离学校520米，小李每分钟走65米，小红每分钟走60米，从家到学校小红比小李多走5分钟，小红家离学校多少米？ 3、每条裤子75元，商店推出优惠活动，买4条送一条，900元钱最多可以买几条这样的裤子？ 4、12箱蜜蜂一年可以酿900千克蜂蜜，林叔叔家养了8箱这样蜜蜂，一年可以酿多少千克蜂蜜？ 5、学校组织四年级的540名学生去植树，要分成9个植树点，每个植树点分成4个小组，平均每个小组有多少人？ 6、从山顶到山脚共998米，王林爬了14分钟，距山顶还有260米，他平均每分钟爬多少米？
小学四年级奥数(和倍与差倍问题)
小学四年级奥数 第13讲和倍与差倍问题 知识方法………………………………………………… 已知两个数的和与它们的倍数关系，求这两个数的问题叫和倍问题。已知两个数的差与它们的倍数关系，求这两个数的问题叫差倍问题。这一讲我们主要把和倍与差倍问题的相关知识结合起来，重点是准确理解题意，找到其中的等量关系进行解答。 重点点拨………………………………………………… 【例1】甲、乙、丙三个数的和是120，甲数是丙数的3倍，乙数是丙数的2倍。甲、乙、丙三个数各是多少? 分析我们可以把丙看作1倍数，甲就是3倍数，乙是2倍数，一共可以看成1+2+3=6倍数。6倍数所对应的数量是120，这样我们就可以求出1倍数，也就是求出了丙是多少。 解答120÷(3+2+1)=20 20×2=40 20×3=60 答:甲是60、乙是40、丙是20。 【例2】有两堆棋子，第一堆有67个，第二堆有53个，问:从第二堆中拿出多少个棋子放入第一堆，就能使第一堆的棋子是第二堆的5倍? 分析不管两堆棋子怎样移动，棋子的总数是不变的。我们可以从问题入手，移动棋子以后，我们可以把第二堆棋子数看作1倍数，第一堆棋子数是5倍数，一共是5+1=6倍数。6倍数所对应的具体数量是67+53=120(个)，这样我们可以求出1倍数是120÷6=20(个)，也
就是移动后的第二堆棋子的数量。再用原来第二堆棋子的数量减去现在第二堆棋子的数量就得到移动的棋子数量。 解答(67+53)÷(1+5)=20(个) 53-20=33(个) 答:从第二堆中拿出33个棋子放人第一堆，就能使第一堆的棋子是第二堆的5倍。 【例3】用中国象棋的车、马、炮分别表示不同的自然数。如果“车÷马=2，炮÷车=4，炮一马=56”，那么“车十马+炮”等于多少? 分析从“车÷马=2，炮÷车=4”这两个条件可以看出，车是马的2倍，炮是车的4倍。我们把马看作1倍数，车就是2倍数，炮就是4×2=8倍数。炮比马多8-1=7倍数，7倍数所对应的具体数量是56，这样我们就可以求出1倍数是56÷7=8，也就是马所代表的数。车代表的数是8×2=16，炮所代表的数是8X8=64。 解答56÷(4×2-1)=8 8×(1+2+8)=88 答:“车十马十炮”等于88。 【例4】甲、乙两人原来的存款数相等。后来甲取出180元后，乙又存入420元，这时乙的存款是甲的3倍。甲、乙两人原来各存款多少元? 分析原来甲、乙的钱数是相等的，后来甲取出180元后，乙又存入420元，说明現在甲、乙的钱数相差180+420=600(元)，而现在他们的倍数相差3-1=2倍。由此我们可以求出现在的1倍是600÷2=300(元)，也就是现在甲的存款数。再用现在的钱数加上取出的钱数就是原来甲的存款数。
【小学奥数】小学奥数最全解题思路,超详细解析!(下)
【小学奥数】小学奥数最全解题思路，超详细解析！（下） 还有上篇哦，需要的在历史消息找下。六、消去思路 对于要求两个或两个以上未知数的数学题，我们可以想办法将其中一个未知数进行转化，进而消去一个未知数，使数量关系化繁为简，这种思路叫消去思路，运用消去思路解题的方法叫消去法。二元一次方程组的解法，就是沿着这条思路考虑的。例1 师徒两人合做一批零件，徒弟做了6小时，师傅做了8小时，一共做了312个零件，徒弟5小时的工作量等于师傅2小时的工作量，师徒每小时各做多少个零件？分析（用消去思路考虑）： 这里有师、徒每小时各做多少个零件两个未知量。如果以徒弟每小时工作量为1份，把师傅的工作量用徒弟的工作量来代替，那么师傅8小时的工作量相当于这样的几份呢？很明显，师傅2小时的工作量相当于徒弟5小时的工作量，那么8小时里有几个2小时就是几个5小时工作量，这样就把师傅的工作量换成了徒弟的工作量，题目里就消去了师傅工作量这个未知数。 然后再看312个零件里包含了多少个徒弟单位时间里的工作量，就是徒弟应做多少个。求出了徒弟的工作量，根据题中师博工作量与徒弟工作量的倍数关系，也就能求出师傅的工作量了。
例2 小明买2本练习本、2枝铅笔、2块橡皮，共用0.36元，小军买4本练习本、3枝铅笔、2块橡皮，共用去0.60元，小庆买5本练习本、4枝铅笔、2块橡皮，共用去0.75元，问练习本、铅笔、橡皮的单价各是多少钱？ 分析（用消去法思考）： 这里有三个未知数，即练习本、铅笔、橡皮的单价各是多少钱？我们要同时求出三个未知数是有困难的。应该考虑从三个未知数中先去掉两个未知数，只留下一个未知数就好了。 如何消去一个未知数或两个未知数？一般能直接消去的就直接消去，不能直接消去，就通过扩大或缩小若干倍，使它们之间有两个相同的数量，再用加减法即可消去，本题把小明小军、小庆所购买的物品排列如下： 小明2本2枝2块0.36元小军4本3枝2块0.60元小庆5本4枝2块0.75元 现在把小明的各数分别除以2，可得到1本练习本、1枝铅笔、1块橡皮共0.18元。接着用小庆的各数减去小军的各数，得1本练习本、1枝铅笔为0.15元。再把小明各数除以2所得的各数减去上数，就消去了练习本、铅笔两个未知数，得到1块橡皮0.03元，采用类似的方法可求出练习本和铅笔的单价。七、转化思路解题时，如果用一般方法暂时解答不出来，就可以变换一种方式去思考，或改
小学奥数差倍问题
第14讲差倍问题 已知两个数的差与两个数的倍数关系，求两个数各是多少，这一类题，我们叫做差倍问题。差倍问题的解题思路与和倍问题类似，要先找出两个数的差，以及与差相对应的倍数差，求出1倍数, 再来求出几倍数。此外，还要充分利用线段图，帮助分析数量关系。 两数差÷（倍数-1）=小数（1倍数）小数×倍数=大数（几倍数） 光明小学体育组篮球的个数比排球多18个，篮球个数是排球的3倍，共有篮球、排球各多少个？ 解析：根据题意，画出线段图。 排球 篮球 多18个 如图：篮球比排球多3-1=2倍，排球的2倍是18个，所以排球有18÷2=9个 进而得出篮球的个数。 解答：排球：18÷（3-1）=9个 篮球：9×3=27个 答：。 总结：先找到1倍数，接着根据条件找到几倍数，然后找到差所对应的倍数差。 在一道没有余数的除法算式中，除数比被除数少96，商是7，被除数和除数各是几？ 解析：根据商是7可以推出被除数是除数的7倍，把除数看做1倍数，被除数就是7倍数。画出线段图： 解答：除数：96÷（7-1）=16 被除数：16+96=112 答：。 总结：在商是几的条件中，其实也蕴含着被除数和除数的倍数关系。 哥哥和弟弟存款若干元，哥哥存款数是弟弟的3倍，如果哥哥取出200元，弟弟再存入40元，二人存款正好相等，哥哥、弟弟各存款多少元。 解析：根据题意，请同学们画出线段。 解答：哥哥比弟弟多200+40=240元 弟弟：240÷（3-1）=120元 哥哥：120×3=360元 答：。
三5班有两个书架，第一个书架上的存书比第二个书架的5倍还多38本，第二个书架比第一个书架少278本。两个书架各有多少本书？ 解析：根据题意，请同学们画出线段。 解答：第二个书架（278-38）÷（5-1）=60本 第一个书架：60×5+38=338本 答：。 合唱队有女生90名，男生30名，为了节目需要，这次排练去掉同样多的男生和女生，结果剩下的人数正好是男生人数的4倍。合唱队各去掉了多少名男生、女生？ 解析：根基题意，请同学们画出线段。 原来女生比男生人数多90-30=60人，去掉同样多的男生、女生，可以得出女生和男生的人数差不变，仍然是60人，这时剩下的女生人数是男生的4倍，此时女生比男生多4-1=3倍。用60÷3=20，求出现在剩下的男生人数，再根据题意求出去掉的人数。 解答：男生剩下的人数：（90-30）÷（4-1）=20名 男生去掉的人数：30-20=10名 答：。 有两袋面粉，从第一袋中取8千克放入第二袋，两袋质量相等。如果从第二袋中取10千克放入第一袋，则第一袋的质量是第二袋的2倍。两袋面粉各有多少千克？ 解析：根据题请同学们意画出线段图。 根据从第一袋中取出8千克放入第二袋，两袋质量相等，可以得出两袋的质量差是8+8=16千克。如果从第二袋取出10千克放入第一袋，后，第一袋比第二袋多16+10×2=36千克，这时第一袋的质量是第二袋的2倍，也就是第一袋比第二袋多2-1=1倍，第二袋有36÷（2-1）=36千克，最后求出第二袋和第一袋的重量。 解答：第二袋：（8×2+10×2）÷（2-1）+10=46千克 第一袋：46+8×2=62千克 答：。 1.学校合唱组的女同学人数是男同学的4倍，女同学比男同学多42人，合唱组男生、女 生各有多少人？ 2.被除数比商大144，除数是7，被除数、商各是多少？
小学四年级奥数解题技巧：逻辑推理
小学四年级奥数解题技巧：逻辑推理 专题简析： 解答推理问题常用的方法有：排除法、假设法、反证法。一般能 够从以下几方面考虑： 1，选准突破口，分析时综合几个条件实行判断; 2，根据题中条件，在推理过程中，持续排除不可能的情况，从而 得出要求的结论; 3，对可能出现的情况作出假设，然后再根据条件推理，如果得到 的结论和条件不矛盾，说明假设是准确的; 4，遇到比较复杂的推理问题，能够借助图表实行分析。 例1：有三个小朋友们在谈论谁做的好事多。冬冬说：“兰兰做的比静静多。”兰兰说：“冬冬做的比静静多。”静静说：“兰兰做的 比冬冬少。”这三位小朋友中，谁做的好事最多?谁做的好事最少? 分析与解答：我们用“>”来表示每个小朋友之间做好事多少的关系。 兰兰>静静冬冬>静静冬冬>兰兰 所以，冬冬>兰兰>静静，冬冬做的好事最多，静静做的最少。 练习一 1，卢刚、丁飞和陈瑜一位是工程师，一位是医生，一位是飞行员。现在只知道： 卢刚和医生不同岁;医生比丁飞年龄小，陈瑜比飞行员年龄大。问：谁是工程师、谁是医生、谁是飞行员?
2，小李、小徐和小张是同学，大学毕业后分别当了教师、数学家 和工程师。 小张年龄比工程师大;小李和数学家不同岁;数学家比小徐年龄小。谁是教师、谁是数学家、谁是工程师? 3，江波、刘晓、吴萌三个老师，其中一位教语文，一位教数学， 一位教英语。已知： 江波和语文老师是邻居;吴萌和语文老师不是邻居;吴萌和数学老 师是同学。请问：三个老师分别教什么科目? 练习三 1，已知甲、乙、丙三人中，只有一人会开汽车。甲说：“我会开 汽车。”乙说：“我不会开。”丙说：“甲不会开汽车。”如果三人 中只有一人讲的是真话，那么谁会开汽车? 2，某学校为表扬好人好事核实一件事，老师找了A、B、C三个学生。A说：“是B做的。”B说：“不是我做的。”C说：“不是我做的。”这三个学生中只有一人说了实话，这件好事是谁做的? 3，A、B、C、D四个孩子踢球打碎了玻璃。A说：“是C或D打碎的。”B说：“是D打碎的。”C说：“我没有打碎玻璃。”D说： “不是我打碎的。”他们中只有一个人说了谎，到底是谁打碎了玻璃? 例4：甲、乙、丙、丁四个人同时参加数学竞赛。最后： 甲说：“丙是第一名，我是第三名。”乙说：“我是第一名，丁 是第四名。”丙说：“丁是第一名，我是第三名。”丁没有说话。成 绩揭晓时，大家发现甲、乙、丙三个人各说对了一半。你能说出他们 的名次吗? 分析与解答：推理时，必须以“他们都只说对了一半”为前提。 为了协助分析，我们能够借助图表实行分析。
2 积与商的变化规律
嗨!同学们经过上一讲的学习对火星教育沙龙数学讲义的形式有所了解，认识了新朋友或新同学，体验不同风格的老师的教学理念，在新环境上课。似乎一切都在悄悄的改变，而我们也在慢慢的适应，为新五年级做准备，更为小升初打基础，我们要赢在起跑线上! 大家都有这样的认知，在乘法计算中只要一个因数变化积就发生变化，在除法中被除数除数变化一个商就发生变化。想知道具体怎么变化的请看下面的例题。 【典型例题】 例1、两个因数相乘，积是126．如果一个因数扩大2倍，另一个因数缩小3倍，那么这时的两数之积是多少？ 例2、两个数相除，商是84．如果被除数扩大2倍，除数缩小3倍，那么这时的商是多少？ 例3、小明在计算除法时，把除数540末尾的“0 例4、一个学生做两个整数相乘的乘法时，把其中一个因数个位上的4误写为1，得出的乘积是525；另一个学生也做这道乘法，他把这个因数个位上的4误写为8，得出的乘积是700．这道乘法计算的正确结果应该是多少？ 例5、计算两个两位数相乘的积，小马把其中一个因数个位上的2看成了7，而小虎把这个数十位上的5看成了3，结果小马算出的得数比小虎多475．正确的得数应该是多少？
例6、某同学在计算有余数的除法时，把被除数137错写成173，这样商比原来多了3，但余数正好相同．求原来的商和余数各是多少？ 【考点讲解】 在近几年的小升初考试中像上面例题这样的没有出过，但有涉及有余数的除法的有关被除数、除数、商和余数的和差倍问题。在这里主要让同学们熟悉a ÷b ＝c ……d ，a ＝bc ＋d ，a －d=bc 有余数除法的关系式。 【方法小结】 在乘法运算中，因数的变化引起积的变化有如下规律： 1、如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么它们的积也扩大（或缩小）同样的倍数． 2、如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变． 在除法运算中，被除数、除数的变化引起商的变化有如下规律： 1、如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或缩小）同样的倍数． 2、如果除数扩大（或缩小）若干倍，被除数不变，那么商反而缩小（或扩大）同样的倍数． 3、如果被除数和除数都扩大（或缩小）同样的倍数，那么它们的商不变． 4、在有余数的除法里，如果被除数和除数都扩大（或缩小）同样的倍数，那么它们的商不变，但余数扩大（或缩小）了同样的倍数． 【练习题】 1
小学奥数和差倍问题完整版
小学奥数和差倍问题 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
和差倍问题 【专题知识点概述】 和差倍问题：已知两个数的和、差、倍三个量中的两个，求这两个数分别是多少的问题。 解题小窍门：妈妈的感觉是首先准确画出图来，一遍不行再重新画 哦，然后重点找出单位“1倍”，再找到“几倍”，使出浑身解数找出整倍对应的具体数，最后推算出“1倍”对应具体数后，你会发现一切问题都迎刃而解了！！！（田田你在做完这些题后有什么感想吗） 一、和倍问题（给了总数和倍数关系） （1）和倍 例1、纺织厂有职工480人，其中女职工人数是男职工人数的3倍。请问：男、女职工各多少人（★） 分析： 女职工人数是男职工人数的3倍，选男职工人数为“1”，用一条小线段表示，那么女职工人数就用三条小线段表示，如图： 那么每一小段表示：()48031120÷+=（人） 即男职工人数为120人，那么女职工人数为：1203360?=人 小试牛刀： 1、甲班和乙班一共有60人。如果从甲班调6个人到乙班，那么甲班的人数就是乙班人数的2倍。求甲、乙两班原来的人数。（★★） 2、甲水库有43亿立方米水，乙水库有37亿立方米水。问：需要从甲水库调多少亿立方米水道乙水库，才能使乙水库的水比甲水库多两倍（ ★★） （2）和倍多（给了总和、倍数关系，但不是整倍哦） 例1、甲、乙两堆货物共有160件，已知甲堆货物比乙堆的3倍还多40件。甲、乙两堆各有多少件货物（
★★） 分析： 选取乙堆的货物数量为“1倍”，用一条小线段表示，如图： 四条小线段总共为：16040120-=件 每条小线段为：120430÷=件 即乙堆货物有30件，那么甲堆货物有：16030130-=件 例2、两个自然数相除，商是4，余数是1。如果被除数、除数、商及余数的和是56，那么被除数等于多少（ ★★★） 分析：被除数＝除数×商＋余数，根据题意知被除数比除数的4倍还多1，且被除数与除数的和为：564151--=，画出线段图： 5条小线段共为：51150-= 每条小线段表示：50510÷= 即除数为10，那么被除数为：511041-= 小试牛刀： 1、某交通协管员七月份开出78张罚单，这些罚单分为两种：一种是违章停车，另一种是闯红灯。违章停车的罚单比较多，比闯红灯罚单数量的4倍还多3张。违章停车的罚单有多少张（ ★★） 2、果园里一共种340棵桃树和杏树，其中桃树的棵数比杏树的3倍多20棵，两棵树各种了多少棵（★★） （3）和倍综合 例1、三堆糖果共有105颗，其中第一堆糖果的数量是第二堆的3倍，而第三堆糖果的数量又比第二堆的2倍少3颗。第三堆糖果有多少颗（ ★★★） 分析： 因为题目中第一堆和第三堆的糖果都与第二堆的倍数有关，那么设第二堆的糖果为“1”，用一条小线段表示： 通过线段图可以看出，1326++=条小线段表示的共有：105+3=108颗 那么每条小线段表示：1086=18÷颗 即第二堆有18颗，则第一堆有183=54?颗，第三堆有182333?-=颗 小试牛刀： 1、有3条绳子，共长95米，第一条比第二条长7米，第二条比第三条长8米，问3条绳子各长多少米（ ★★★）
(完整word版)小学奥数解题方法大全
第一讲观察法 在解答数学题时，第一步是观察。观察是基础，是发现问题、解决问题的首要步骤。 小学数学教材，特别重视培养观察力，把培养观察力作为开发与培养学生智力的第一步。 观察法，是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点，条件与结论之间的关系，题 目的结构特点及图形的特征，从而发现题目中的数量关系，把题目解答出来的一种解题方 法。 观察要有次序，要看得仔细、看得真切，在观察中要动脑，要想出道理、找出规律。 *例1（适于一年级程度）此题是九年义务教育六年制小学教科书数学 第二册，第11页中的一道思考题。书中除图1-1的图形外没有文字说明。这道题旨 在引导儿童观察、思考，初步培养他们的观察能力。这时儿童已经学过20以内的加减法，基于他们已有的知识，能够判断本题的意思是：在右边大正方形内的小方格中填入数字后，使大正方形中的每一横行，每一竖列，以及两条对角线上三个数字的和，都等于左边小正 方形中的数字18。实质上，这是一种幻方，或者说是一种方阵。 解：现在通过观察、思考，看小方格中应填入什么数字。从横中行10+6+□=18会想到，18-10-6=2，在横中行右面的小方格中应填入2（图1-2）。 从竖右列7+2+□=18（图1-2）会想到，18-7-2=9，在竖右列下面的小方格中应填入9（图1-3）。 从正方形对角线上的9+6+□=18（图1-3）会想到，18-9-6=3，在大正方形左上角的小方格中应填入3（图1-4）。
从正方形对角线上的7+6+□=18（图1-3）会想到，18-7-6=5，在大正方形左下角的小方格中应填入5（图1-4）。 从横上行3+□+7=18（图1-4）会想到，18-3-7=8，在横上行中间的小方格中应填入8（图1-5）。 又从横下行5+□+9=18（图1-4）会想到，18-5-9=4，在横下行中间的小方格中应填 入4（图1-5）。 图1-5是填完数字后的幻方。 例2看每一行的前三个数，想一想接下去应该填什么数。（适于二年级程度） 6、16、26、____、____、____、____。 9、18、27、____、____、____、____。 80、73、66、____、____、____、____。 解：观察6、16、26这三个数可发现，6、16、26的排列规律是：16比6大10，26比16大10，即后面的每一个数都比它前面的那个数大10。 观察9、18、27这三个数可发现，9、18、27的排列规律是：18比9大9，27比18大9，即后面的每一个数都比它前面的那个数大9。 观察80、73、66这三个数可发现，80、73、66的排列规律是：73比80小7，66比73小7，即后面的每一个数都比它前面的那个数小7。 这样可得到本题的答案是： 6、16、26、36、46、56、66。 9、18、27、36、45、54、63。 80、73、66、59、52、45、38。 例3将1～9这九个数字填入图1-6的方框中，使图中所有的不等号均成立。（适于 三年级程度）
四年级 积和商的变化规律
第1讲计算与规律 1. 掌握乘法中积的位数快速确定方法和积的变化规律； 2. 掌握除法中商的位数快速确定方法和商的变化规律。 一. 积的变化规律 1. 积的变化规律：两个数相乘，一个因数不变，另一个因数扩大或缩小若干倍（0除外），积也扩大或缩小相同的倍数。 2. 积不变的规律：两个数相乘，一个因数乘（或除以）一个数（0除外），另一个因数同时乘（或除以）相同的数，它们的积不变。 判断对错 两个因数（均不为0)相乘，一个因数乘2，另一个因数除以2，积不变。（） 1.如果让“48052 ?”的第一因数除以5，第二个因数不变，则积() A．不变B．乘以5 C．除以5 2.两个数相乘（非零数），把这两个数同时扩大到它们原来的10倍，积() A．不变B．扩大到原来的100倍 C．不确定D．扩大到原来的10倍 3.在一个乘法算式中，要使积不变，一个乘数扩大10倍，另一个乘数() A．扩大10倍B．缩小10倍C．扩大100倍D．不变 4.在1508012000 ?=中，其中一个因数扩大到原来的10倍，另一个因数缩小10倍，积不变。（判断对错）
5.几个数相乘，改变它们原来的运算顺序，它们的积不变。（判断对错） 6. 两个数相乘（非零数），一个乘数扩大10倍，另一个乘数缩小5倍，积（） 7. 两个数相乘（非零数），一个乘数扩大3倍，另一个乘数缩小12倍，积（） 二．商的变化规律 1. 没有余数 （1）在除法算式中，被除数不变，除数乘以（或除以）几（0除外），商反而要除以（或乘以）相同的数。 （2）在除法算式中，除数不变，被除数乘以（或除以）几（0除外），商也要乘以（或除以）相同的数。 简便记法：商与除数的变化方向相反，商与被除数的变化相同。 2. 有余数 有余数的除法里，被除数和除数都缩小（或都扩大）相同的倍数(0除外），商不变，但余数也随着缩小（或扩大）相同的倍数。 已知30 ÷=，如果A除以6，B不变，则商是；如果A不变，B乘6，则 A B 商是。 1. 32040 ÷的结果与算式()的结果相等。 A．(3205)(402) ?÷?B．(32010)(4040) ÷÷÷ C．(3208)(408) ?÷? ÷÷?D．(32020)(4020) 2.a÷b=8······5，如果a和b都乘100那么商是，余数是。 A.8 B. 800 C. 5 D. 500