数学-高二福建省莆田一中2012届高二上学期期末考试(数学理)
．1
5
二项式x x ?
+
其中正确命题的个数为（
二、填空题(本大题共
．已知随机变量ξ服从正态分布
17．（本小题满分13分）
在一个盒子中，放有标号分别为2，3，4的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为ｘ，ｙ，记x y x -+-=3ξ． (I)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
(Ⅱ)求随机变量ξ的分布列和数学期望．
18．（本小题满分13分）
银河科技有限公司遇到一个技术难题，隧紧急成立甲、乙两个攻关小组，按要求各自独
立进行为期一月的技术攻关，同时决定在攻关期满对攻克难题的小组给予奖励，已知这
些技术难题在攻关期满时被甲小组攻克的概率为
23，被乙小组攻克的概率为3
4
（I ）设ξ为攻关期满时获奖小组的个数，求ξ的分布列；
（Ⅱ）设η为攻关期满时获奖小组数与没有获奖的攻关小组数之差的平方，记“函数
7
()||2
x f x η=-在定义域内单调递减“为事件C ，求事件C 发生的概率
19．（本题满分14分）
已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>，A （2，0）为椭圆与X 轴的一个交点，过原点O 的直线交
椭圆于B 、C 两点，且0AC BC ?=，2BC AC =
（1） 求此椭圆的方程；
（2） 若P(x,y)为椭圆上的点且P 的横坐标X ≠±1，试判断PB PC
k k ?是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理
由
20．（本小题满分13分）
已知m,n 表示先后抛掷一个骰子所得到正面向上的点数，方程C ：22
221x y m n
+=
（1）求共可以组成多少个不同的方程C ；
（2）求能组成落在区域{(,)|5,4}B x y x y =<<且焦点在X 轴的椭圆的概率； （3）在已知方程C 为落在区域{(,)|5,4}B x y x y =<<且焦点在X 轴的椭圆的情况下，
求离心率为3
2的概率
“p 或q ”是真命题，“非q ”是真命题
∴命题p 真,q 假…………（10分）
602a a ≥≤?∴?≠≠?
a 或a -1
且
6∴≥≤a 或a -1
则a 的取值范围为6∴≥≤a 或a -1………………………（13分）
17．（本小题满分13分）
解(I)∵x ，y 可能的取值为2、3、4，
∴13≤-x ，2≤-x y
∴3≤ξ，且当x=2，y=4，或x=4，y=2时，3=ξ．…………………… (4分) 因此，随机变量ξ的最大值为3．
∵有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3=9种， ∴9
2)3(=
=ξP ． 答：随机变量的最大值为3，事件“ξ取得最大值”的概率为
9
2
． ……………(6分) (II) ξ的所有取值为0，1，2，3．…………………… (7分)
∵ξ=0时，只有x=3，y=3这一种情况，
ξ=1时，有x=2,y=2或x=3，y=2或x=3，y=4或x=4，y=4四种情况， ξ=3时，有x=2,y=3或x=4，y=3两种情况.
∴91)0(=
=ξP ,94)1(==ξP ,9
2
)2(==ξP ………………………………(11分) 则随机变量ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
P 91
94 92 9
2
因此，数学期望9
14
92392294191
0=?+?+?+?=ξE ．……………………．(13分) 18．（本小题满分13分）
解：记“甲攻关小组获将”为事件，A ，则2
()3P A =
记“乙攻关小组获奖”为事件B ，则3
()4
P B =
（I ）由题意，ξ的所有可能取值为0，1，2，
231
(0)()(1)(1)3412
23235
(1)()()(1)(1)343412
231
(2)()342
P P A B P P A B P A B P P A B ξξξ==?=--=
==?+?=-?+-===?=?=
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
1/12 5/12 1/2
……………………（7分）
（Ⅱ）因为获奖攻关小组数的可能取值为0，1，2，相应没有获奖的攻关小组数的取值为2，1，0，所以η的可能取值为0，4
当0η=时，77()||()22x x
f x η=-=在定义域内是增函数 当4η=时，71
()||()22
x x f x η=-=在定义域内是减函数
所以117
()(4)()()21212
P C P P A B P A B η===?+?=+=（13分）
19．（本题满分14分）
解：（1）221443
x y +=……（7分）（2）PB PC k k ?=1
3-……（7分）
20．（本小题满分13分）
解：（1）6 x 6=36个……………………(2分)
（2）符合要求的(m,n)应取 (4,1)，(4,2)，(4,3)，(3,1)，(3,2)，(2,1)共6个，所以所求概率为
61
366
=……………………(8分) （3）由（2）知(m,n)取 (4,1)，(4,2)，(4,3)，(3,1)，(3,2)，(2,1)共6个，而其中离心
率为3
2只有(4,2) ，(2,1)两个，故所求概率为21
63
=……(13分)
所以甲盒中白球增加了的概率是21
41058354=
+，所以甲盒中白球没有增加的概率是2117
.