不规则磁体的磁场分布分析研究

2018届毕业生

毕业论文

题目:不规则磁体的磁场分布研究

院系名称：理学院专业班级：应用物理学1001

学生姓名：学号：

指导教师：教师职称：讲师

2018年 5 月 16 日

Title Theory research on the distribution of magnetic field of the irregular permanent magnet

Abstract

With the development of science and technology, more and more application of permanent magnetic materials widely, and now has become an essential part of our daily life, permanent magnetic material and usually used mainly the alloy permanent magnetic materials and permanent magnetic ferrite material two categories, according to the different nature and multi classification. Permanent magnetic material widely used in various fields of electronics, electrical, machinery, transportation, medical treatment and daily necessities, such as permanent magnet loudspeaker, telephone receiver。 magnetic system of magnetoelectric ammeter。generator, permanent magnet motor pole。the machine manufacturing industry with permanent magnet device (permanent magnetic chuck as surface grinding machine etc.> and maglev system, magnetic bearing。magnetic separation system, magnetic separation, magnetic mineral water purification system, a magnetron, a proton accelerator magnetic system etc.This paper introduces the basic conceptsfirstly , the main use of permanent magnet, the elements and choices of these materials as the permanent magnet, and analyzes their advantages and disadvantages. However, there are many parameters need to be considered for the permanent magnet, to study how to control and maintain the magnet, magnetic field distribution of irregular magnet circumstances, is of great help for the production and use of everyday, focuses on the analysis of the microscopic mechanism of magnetic field generation. Next, we selected three kinds of shape rectangular type, U type and triangle type permanent magnets of the three magnets using linear simulation COMSOL Multiphysics simulation software.Finally draws the conclusion: have a great relationship with the magnet field distribution of shape, material, boundary conditions and external temperature, pressure, medium, but with the distance gradually far, magnetic field produced by the magnet correspondingly weaker.

Keywords：Permanent magnetic materials, magnetic field, parameter ,the magnetic field distribution , COMSOL

目次

1、引言1

2、磁性材料的特性1

2.1永磁材料的基本介绍1

2.1.1简介1

2.1.2分类2

2.1.3应用2

2.2磁铁的相关参数2

2.3铁磁质的微观结构和磁化机理3

3、 COMSOL仿真5

3.1、COMSOL Multiphysics仿真软件简介5

3.1.1 COMSOL仿真的优势5

3.1.2“磁场，无电流

3.2、长条形磁体磁力线分布模拟6

3.2.1模型建立6

3.2.2模型求解6

3.3、U型磁铁7

3.3.1模型建立7

3.3.2模型求解8

3.4、三角形磁铁9

3.4.1模型建立9

3.4.2 模型求解9

4、结论10

1、引言

我们所说的永磁材料一般指具有高矫顽力、宽磁滞回线、高剩磁的磁性材料，一旦被磁化就能保持恒定磁性的材料，也有称硬磁材料。通常包括天然的磁石(磁铁矿>和人造磁钢<铁镍钴磁钢>等。永磁体也称硬磁体，不容易失去磁性，也不太容易被磁化。但是作为电磁铁和导磁体的材料大都是软磁体。永磁体的极性正常情况下不会变化，而软磁体极性是随着所加磁场极性而改变的，他们都能够吸引铁质性物体，我们把永磁体的这种性质叫磁性。钢或其他材料能成为永磁体，是因为它们经过有效的处理和加工后，内部的不均匀性处于最佳状态，矫顽力达到最大。而铁的晶体结构、内应力等的不均匀性非常小，矫顽力自然也很小，使其磁化或者去磁都不需要太强的磁场，因此，它不能变为永磁体。通常把磁化和去磁都很容易的材料称为软磁性材料。软磁性材料不能作永磁体，比如铁就属于这种材料。

2、磁性材料的特性

2.1永磁材料的基本介绍

2.1.1简介

通常用的永磁材料分为铁铬钴系永磁合金、铝镍钴系永磁合金、永磁铁氧体、复合永磁材料和稀土永磁材料。

①铝镍钴系永磁合金。以铁、铝、镍等元素为主要成分，一般还含有铜、钛、钴等元素。具有比较高的剩磁和低温度系数，磁性比较稳定。分粉末烧结合金和铸造合金两种。在20世纪30-60年代应用较多，现在多用于仪表工业中制造磁电系仪表、流量计、继电器、微特电机等。

②铁铬钴系永磁合金。以铁、钴、铬元素为主要成分，还含有钼和钛、硅等元素。其加工性能非常好，可以进行冷热塑性变形，其磁性类似于铝镍钴系永磁合金，并且可通过热处理和塑性变形提高磁性能。可用于制造各种形状复杂、截面小的中、小型磁体元件。

③永磁铁氧体。主要有锶铁氧体和钡铁氧体，其矫顽力大、电阻率高，能够有效地应用在大气隙磁路中，特别适用作电动机和小型发电机的永磁体。永磁铁氧体不含贵金属钴、镍等，原材料来源丰富，成本低，工艺简单，可用于代替铝镍钴永磁体制造磁推轴承、磁分离器、微波器件、扬声器等。但是其最大磁能积较低，温度稳定性差，易碎、

质地较脆，不耐冲击振动，也不宜作为测量仪表以及有精密要求的磁性器件。

④稀土永磁材料。主要包括钕铁硼永磁材料和稀土钴永磁材料。前者是稀土元素镨、铈、钕、镧等和钴形成的金属间化合物，其磁能积可达铝镍钴永磁材料的3～5倍，永磁铁氧体的8～10倍，碳钢的150倍。此类永磁材料的磁性稳定，温度系数低，矫顽力高达800kA／m。主要用作启动电动机、低速转矩电动机、磁推轴承、传感器等的磁系统。钕铁硼永磁材料是第三代稀土永磁材料，其剩磁、矫顽力和最大磁能积比前者高，不容易碎，合金密度低，有较好的机械性能，有利于磁性元件的薄型化、轻型化、小型和超小型化。但由于其磁性温度系数较高，限制了它的应用和推广。

⑤复合永磁材料。一般由永磁性物质和作为粘结剂的塑性物质复合而成。但由于其含有一定比例的粘结剂，故其磁性能比相应的没有粘结剂的磁性材料降低许多。除金属复合永磁材料外，其他复合永磁材料由于受粘结剂耐热性的限制，使用温度要求不能太高，一般不会超过150℃。但复合永磁材料机械性能好，尺寸精度高，磁体各部分性能均匀性好，易于进行多极充磁和磁体径向取向。主要用于制造通信设备、仪器仪表、磁疗器械、旋转机械等。

2.1.2分类

错误!第一大类是合金永磁材料。包括钐钴(SmCo>、稀土永磁材料<钕铁硼Nd2Fe14B）、铝镍钴

错误!第二大类是铁氧体永磁材料。按生产工艺的不同分为：烧结铁氧体、注塑铁氧体、粘结铁氧体，这三种材料的工艺依据磁晶的取向不同又各自分为等方性和异方性磁体。

这些是目前应用的主要永磁材料，还有一些因生产工艺原或成本原因，不能大范围应用而淘汰，如Fe-Co-V<铁钴钒）、Cu-Ni-Fe<铜镍铁）、MnBi<锰铋）、Fe-Co-Mo<铁钴钼）等。

2.1.3应用

永磁材料广泛用干电子、机械、电气、医疗、运输以及生活用品等各个领域中。如磁电系电表的磁系统；扬声器、电话受话器的永磁体；机械制造业所用的永磁器件<如平面磨床的永磁吸盘等）以及磁悬浮系统、磁性轴承；磁分离系统、磁净化水系统；磁控管、质子加速器的磁系统等。

2.2磁铁的相关参数

剩磁

矫顽力

磁能积

磁场:对磁极产生磁作用的空间为磁场

2.3铁磁质的微观结构和磁化机理

近代的科学实践证明，铁磁质的磁性主要是来源于电子的自旋磁矩。在没有外加磁场的情况下，铁磁质中电子自旋磁矩会在很小的范围内“自发地”排列起来，形成一个个小的“自发磁化区”。这种自发磁化区被称做磁畴。至于电子的自旋磁矩为什么会形成这样一个个自发磁化区，早年的解释是说因为存在“分子场”的原因。按照这种理论，在铁磁物质中实际上存在某种内部磁场，即分子场，在它的作用下电子自旋磁矩会定向地排列起来。分子场理论实际上是一种维象理论，并不能清楚的解释形成磁畴的微观本质。但是自从二十世纪初期量子力学建立以后，才真正有了自发磁化的微观理论。按照量子力学理论的解释，电子之间存在着一种“交换作用”，它会使电子自旋在平行排列的时候能量最低。交换作用是一种纯量子效应，在经典理论中没有与它相对应的观念。

通常在未磁化的铁磁质中，各磁畴范围内的自发磁化方向都不相同，在宏观上根本不显示出磁性来<上图a）。在加外磁场后将会显示出宏观的磁性，这过程通常称为技术磁

化。当外加磁化场不断加大时，起初的磁化方向与磁化场方向接近的那些磁畴将会扩大自己的范围，把邻近的磁化方向与磁化场方向相反的磁畴领域吞并过来一下<上图a-c），继而磁畴的磁化方向在不同程度上会进而转向磁化场的方向<上图d），介质就会显示出宏观的磁性来。当所有的磁畴都按照磁化场的方向排列好，磁质的磁化就达到饱和<上图e）。可见，饱和磁化强度Ms实际上就等于每个磁畴中原有的磁化强度。由于在每个磁畴中的元磁矩已经完全排列起来，所以它的磁化强度会非常之大。这也就是为什么铁磁质的磁性会比顺磁质强得多的原因。磁质里的掺杂和内应力在磁化场去掉之后仍然阻碍着磁畴恢复到原来的退磁状态，这就是造成磁滞现象最主要原因。

磁畴的形状和大小，在各种材料中很不相同。其几何线度可以从μm量级到mm量级，形状并不像示意图4-47中那样规则简单。磁畴结构可用多种方法观察到。粉纹法是将样品表面抛光后撒上铁粉，使磁畴边界显现出来的；磁光法是利用偏振光的克尔效应来观察磁畴的。图4-48是磁畴的照片，照片中各磁畴的磁化方向用箭头标出。

铁磁质的磁畴中磁化方向的变化会引起介质中晶格间距发生改变，从而伴随着磁化，铁磁体会发生长度和体积的改变，这种现象称为磁致伸缩。对于大多数铁磁质来说，磁致伸缩的长度形变会很小，只有大概10^-5的数量级<而某些材料在低温下的磁致伸缩形变可大到百分之几十），磁致伸缩可用于超声波换能器和微小机械振动的检测。

铁磁性是与磁畴结构分不开的。当铁磁体在高温下由于剧烈热运动的影响或者受到强烈的震动，磁畴将会瓦解，这时与磁畴相联系的相当一部分铁磁性质<如磁滞、高温磁导率、磁致伸缩等）全部消失。对于任何铁磁物质都有这样一个临界温度，一旦高过这个温度铁磁性就会消失，变为顺磁性的这个临界温度叫做铁磁质的居里点。

以铁磁性为代表的强磁性的特点，是以自旋交换作用为基础形成磁有序的磁畴。然而具有这种特点的磁性不仅有铁磁性，还有反铁磁性、亚铁磁性等不同的类型。如图所示，自旋交换作用不仅可以驱使原子的自旋磁矩平行排列，也可以驱使它们反平行排列。如图a那样，自旋平行排列的情形，是铁磁性。自旋反平行排列可以有两种情况，即相邻原子的磁矩相等<如图b）和不等<如图c）。前者物质内磁矩在整体上完全抵消，这种情况叫反铁磁性；后者磁矩未完全抵消，这种情况叫亚铁磁性。我们知道，过渡族元素铁、钴、镍属铁磁质，他们的二价氧化物

3、COMSOL仿真

3.1、COMSOL Multiphysics仿真软件简介

3.1.1 COMSOL仿真的优势

在所学过的电磁学中，我们知道通电直导线、环形线圈<如亥姆赫兹线圈）以及通电螺线管这些物理元件可以定量地计算出他们的周围空间的磁场大小及分布，并且有十分形象的图形表示。但特殊形状磁体的静磁场分布的定量计算是比较复杂的，因此我们也无法准确而形象地描绘出磁场分布图。在实际的研究中，通常要构造一些特殊形状的永磁体达到科学研究实验和工业应用所需磁场分布要求，比如科学史上著名的原子空间取向量子化实验-----史特恩-盖拉赫实验、工业应用较为广泛的磁悬浮陀螺。尽管工程电磁场计算提供了各种数值计算方法，方便程度和功能与目前计算机的有限元模拟软件如ANSOFTMaxwell、COMSOL等仍无法比拟。因为COMSOL Multiphysics具有优秀的多物理场耦合功能，所以可用来进行模拟不规则永磁体周围空间磁场分布。在Comsol软件中，是利用数值求解的微磁学方法来求解磁场的特征参数的，下面我们简答介绍下其理论依

据

数值求解微磁学方法

道在微磁学研究的铁磁体材料中，由于短程的交换作用很强，磁化方向在交换长度上可以近似的看作磁化方向是一致的。通过这种近似，我们就可以将规则的矩形研究对象在交换长度附近进行划分来满足数值求解的数学要求，每一个交换长度上的分块都表征该块的性质，成为微磁模拟的最小单元[43,44,50,51]。一般材料的交换长度都在几个纳M，所以比较常用的微磁学模拟的分块模型其长度都在5-10nm的大小，这比按照原子尺度(~0.1nm>进行的计算在计算机工作量和计算效率上要提高了百万倍，在一定范围内的问题的处理上，结果都是合理的。

本文运用的Comsol程序，允许我们可以建立满足有限差分条件的简单几何形状的模型。根据研究对象的几何形状的不同，我们可以才用不同的划分方法。例如规则对象，我们可以将其划分为矩形；不规则的对象，我们可以将其划分为一定大小的四面体结构。这里我们以矩形的薄膜材料模型为例，来解释微磁学的处理方法。在本文中，我们主要使用四面体结构的划分方法。

如图2.2所示，设此矩形薄膜体积，按照微分单元的尺度被分成个小单元，每个小单元的磁化强度可以被表示为：

(2.38> 其中，，。

磁化强度可以写作：

(2.39> 这里是磁化强度的单位矢量，为饱和磁化强度，其对于特定的材料来说，也是一个常数。

有了对研究对象的数值离散模型，下面的工作就是如何来求解上面介绍的LLG磁化方程，而求解方程的最关键的步骤就是找到各项能量及其对应的有效场。

图2.2 铁磁体薄膜模型示意图

求解铁磁体内相互作用能

1)数值求解外磁场能：

在我们已经定了的不连续的离散空间，外磁场能表达式(2.1>可以表示为：

(2.40>

如果外加场是均匀的加在材料上，那么上式可简化为：

(2.41>

从(2.41>可以看出，外磁场能的计算只需要累加各个单元格的磁化矢量即可，其计算量与单元格的数目N成正比。

2)数值求解交换能

对于连续介质，通过对(2.7>式进行有限差分，可以求得交换能的数值近似解：

<2.42）

同样，对(2.22>式进行差分，可以得到交换能对应的场的数值近似解：

(2.43>

从(2.42>和(2.43>式中可以看出，对交换能和交换能场的计算量与单元格点数N成正比例。

3)数值求解各向异性能

根据微磁学原理，将(2.9>式进行简单的离散，得到上述模型下的各向异性能表达式：

(2.44>

式中，是易轴方向的单位矢量。再由(2.22>式，同样可以得到相应的各向异性场的表达式：

(2.45> 类似于前两项能量和相应场的计算量，各项异性的计算量仍为正比于格点数N。

4)数值求解退磁场能

上述的外磁场能、交换能和各向异性能的计算是比较快的，而模拟过程中耗费的大部分时间是数值求解退磁场能。与前面两项不同的是，根据退磁场能的表达式(2.10>式求解退磁能时，其离散形式为:

(2.46>

其中退磁场的计算需根据(2.14>式求静磁势的梯度得到。根据上一节的讨论，静磁势

分别来源于体电荷密度和面电荷密度。如果将磁体的磁化强度扩展到磁体外并赋值为0，使用有限差分方法可以同时求得磁荷体密度和面密度。例如在一维情况下，在边界j处的磁荷：

(2.47>

这里，因为的边界为j，所以已经在磁体外了。因此，根据(2.17>式给出的

静磁势的表达式，我们可以得到：

(2.48>

对于(2.47>式最大的问题在于它的计算量正比于，因为如果我们求解N个单元的每一个的静磁势，就必须考虑其他N-1个格点的磁化状态，这是微磁学模拟中限制运算效率的主要原因，当然也有很多数学相关的工作在致力于减小这一运算量。

在我们的程序中，采用了有限差分方法求解Poisson方程：

(2.49> 这里为有限差分拉普拉斯算子，展开得到：

(2.50>

对于这样一个偏微分方程，需要用松弛迭代法求解，但首先要解决的是求解Poisson 方程时的边值条件。一种称为磁多极子方法，是样品重新分成更大的单元以减小计算量，在这些单元中计算磁单极子、偶极子和四极子分布，这样，边界处的静磁势则决定于这些多极子之和。然后通过扩大积分体积使得面积分远离样品以保证多极子展开收敛，如图2.3所示。

图2.3 样品被重新划分成更大的单元ab并扩展

3.1.2“磁场，无电流

接下来的三个模型中都是在COMSOL的“磁场，无电流

磁场中是没有电流存在的，因此可以定义标量磁位

，。并且有磁化的本构

关系,再由，这样变形上式变形本构关系可以得出：

，此式就给出了标量磁位和磁化强度的关系。所以“磁场，无电流

3.2、长条形磁体磁力线分布模拟

3.2.1模型建立

设定长条形磁体的长、宽、高分别为2cm、0.5cm和0.2cm，材质是相对磁导率

=4000的铁磁材料，电导率=1.12e7[S/m]，杨氏模量E=200e9,泊松比nu=0.29。外部边界是长、宽、高分别为31cm、10cm和1cm的矩形，将其理想化为长条形磁铁的外部空间，磁体外部、边界以内的所有材料均是空气，整个模型内部磁通量守恒。如图1为所要求解模型的几何图。

图1

3.2.2模型求解

由于长条形磁铁的磁场分布与磁化形状有关，随着距离越远其产生的磁场越弱。我们可以采用有限元法进行分割，忽略次要因素，得出最终模拟数据。在满足设定的边界条件

和初始值的条件下求解稳态方程：

、。最终得出求解结果。图2为xoy面的二维视图。

图2

3.3、U型磁铁

3.3.1模型建立

同样，设定磁体的相对磁导率

=4000，高度H=4cm，外部边界的长宽高分别为15cm、

6cm、4cm。同样的，磁体外部、边界以内是相对磁导率=1的空气。建立三维模型，如图3所示。

图3

3.3.2模型求解

同样在COMSOL中设定边界条件和初始值，求解稳态方程

最终得出U型磁铁的磁力线分布二维分布图，如图4

图4

3.4、三角形磁铁

3.4.1模型建立

将模型变为任意角度的三角形磁铁，设定长宽高分别为：5cm、1cm、0.2cm。外部

边界的长宽高分别为20cm、8cm、4cm。同样的，磁体外部、边界以内是相对磁导率

角度，可以推广到任意厚度和任意角度的三角形磁铁。

图5

3.4.2 模型求解

设置模型的边界条件和初始值，同上，解稳态方程，最终得到求解结果。由图中可以直观的看出截面磁场的分布，图中用磁感应线描述磁场的分布，磁感应线的密度也表征了磁感应强度的大小，箭头方向表示磁感应线从磁体的N极出发回到S极。

图6

4、结论

通过COMSOL中“磁场，无电流

本次模拟中模型的建立过程中我们用到了一些猜想和理想化处理。为了分析三角形磁铁我们先分析了常见的长条形磁铁和U型磁铁的磁场分布，对比分析理想状态和实际情况下的磁力线分布可知，COMSOL能够很好的模拟磁铁的磁场分布。但是其刻画的磁铁磁场分布并非真实情况，因为要考虑磁铁内部的均匀状况和外部的因素，因此在此仿真仅作一种理想的求解介绍。用COMSOL来分析不规则磁体的磁场分布而无法实际切割成特定形状的磁体，我们是考虑到在切割过程中发热会改变磁铁的磁场分布，因此为了更精确的模拟出实际不规则磁体的磁场分布，我们需要不断改进分析方法，来更好的刻画磁场分布。

参考文献

[1] 赵凯华，陈熙谋．电磁学<第二版）高等教育出版社 2006年12月

[2] 郭硕鸿．电动力学<第三版）高等教育出版社 2008年2月

[3] 冯慈璋，马西奎．工程电磁场导论高等教育出版社 2000年11月

[4] 谢处方，饶克谨．电磁场与电磁波<第四版）高等教育出版社 2005年7月

[5] 王明达，王季江．电动力学[M].吉林大学出版社,1987年

[6] 于敏，于轮元．磁粉探伤的理论和应注意的问题，无损检测，1995月8日

[7] 王家素，王素玉．超导技术应用[M].成都:成都科技大学出版社,1995年

[3]张永，徐善纲.高温超导磁悬浮模型车[J].低温与超导,1998年

[8] 彭会清，陈志新．稀土水磁磁场分布研究方法的评述[J].稀土，2005年

[9] 王明勇，郎志坚．方形磁体的空间磁场分布〔Jl.磁性材料及器件，2001年〕

[10]荀晓凡，杨勇，郑晓静．矩形永磁体磁场分布的解读表达式［J］，应用力学和力学，2004年，25(3>:271一278

[11] 王贵荣，杨展华.永磁直线阵列摇摆器的磁场计算与场形分析[J].强激光于离子束，1994年4月:557一565.

[12]杨娟明.大学物理学，成都科技大学出版社，1987年

[13] 刘雅洁，朱宁·圆线圈及亥姆霍兹线圈的磁场分布.嘉兴学院学报,2004年， 47~50·

[14] COMSOL Multiphysics工程实践与理论仿真：多物理场数值分析技术/王刚，安琳编著。-北京：电子工业出版社，2018.10

[15]盛剑霓.工程电磁场数值分析.西安:西安交通大学出版社,1991年，264~265