高中物理物理-分析物体的平衡问题

怎样分析物体的平衡问题

物体的平衡问题是力的基本概念及平行四边形定则的直接应用，也是进一步学习力和运动关系的基础．怎样学好这部分知识呢？

一、明确分析思路和解题步骤

解决物理问题必须有明确的分析思路．而分析思路应从物理问题所遵循的物理规律本身去探求．物体的平衡遵循的物理规律是共点力作用下物体的平衡条件：F合=0，要用该规律去分析平衡问题，首先应明确物体所受该力在何处“共点”，即明确研究对象．在分析出各个力的大小和方向后，还要正确选定研究方法，即合成法或分解法，利用平行四边形定则建立各力之间的联系，借助平衡条件和数学方法，确定结果．由上述分析思路知，解决平衡问题的基本解题步骤为：

1．明确研究对象．

在平衡问题中，研究对象常有三种情况：

①单个物体，若物体能看成质点，则物体受到的各个力的作用点全都画到物体的几何中心上；若物体不能看成质点，则各个力的作用点不能随便移动，应画在实际作用位置上．

②物体的组合，遇到这种问题时，应采用隔离法，将物体逐个隔离出去单独分析，其关键是找物体之间的联系，相互作用力是它们相互联系的纽带．

③几个物体的的结点，几根绳、绳和棒之间的结点常常是平衡问题的研究对象．

2．分析研究对象的受力情况

分析研究对象的受力情况需要做好两件事：

①确定物体受到哪些力的作用，不能添力，也不能漏力．常用的办法是首先确定重力，其次找接触面，一个接触面通常对应一对弹力和摩擦力，找到接触面后，判定这两个力是否在；第三是加上其它作用力，如拉力、推力等；

②准确画出受力示意图．力的示意图关键是力的方向的确定，要培养养成准确画图的习惯．在分析平衡问题时，很多同学常出错误，其重要原因就是画图不重视、不规范，将力的方向搞错，导致全题做错．

3．选取研究方法——合成法或分解法

合成法或分解法实际上都是平行四边形定则，采用这两种方法的实质是等效替代，即通过两个力的等效合成或某个力的两个等效分力建立已知力与被求力之间的联系，为利用平衡条件解问题做好铺垫．

在解题中采用合成法还是分解法应视问题而定，当受力较少时，两种方法求解都很方便．由于高中阶段在对力进行合成或分解时只要求会用直角三角形讨论计算，因此，对物体受力进行正交分解，利用正交分解法求解的平衡问题较为常见．在建立正交坐标系时，其基本原则是使尽可能多的力在坐标轴上，这样分解的力个数少，求解时方便．

4．利用平衡条件建立方程

利用合成法分析问题时，其平衡方程为：

F合=0

利用分解法特别是正交分解法分析平衡问题时，其平衡方程为：

F x=0 F y=0

5．数学方法求解

建立平衡方程后，利用数学方法即可得到结果．在平衡问题中，常用的数学方法有：代数法、三角函数法、相似三角形法、极值问题等，通过对学生选择数学方法解题过程的考查，可以鉴别其运用数学工具处理物理问题的能力．

例1、图中重物的质量为m，轻细线AO和BO的A、B端是固定的，平衡时AD是水平的，BO与水平面的夹角为θ．AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小是：

A、F1=mgcosθ；

B、F1=mgctgθ；

C、F2=mgsinθ；

D、F2=mg／sinθ．

析：如图1，三根细绳在O，点共点，取O点（结点）为研究对象，分析O点受力如图2．O点受到AO绳的拉力F1、BO绳的拉力F2以及重物对它的拉力T三个力的作用．

图2（a）选取合成法进行研究，将F1、F2合成，得到合力F，由平衡条件知：

F=T=mg

则： F1=Fctgθ=mgctgθ

F2=F／sinθ=mg／sinθ

图2（b）选取分解法进行研究，将F2分解成互相垂直的两个分力F x、F y，由平衡条件知：

F y=T=mg，F x=F1

则： F2=F y/sinθ=mg/sinθ

F1=F x=F y ctgθ=mgctgθ

二、掌握题型抓关键

明确分析思路和解题步骤后，各种各样的平衡问题均可按此步骤分析求解．但在实际解题过程中仍感到困难重重．原因何在？原因在于命题者为增加试题难度，在上述解题步骤的某个环节上设置障碍，造成学生分析思维受阻．若能找到这些障碍点，即关键之处，并加以突破，问题便迎刃而解了．

1．三力平衡问题

物体在三个力的作用下处于平衡状态，要求我们分析三力之间的相互关系的问题叫三力平衡问题，这是物体受力平衡中最重要、最典型也最基础的平衡问题．这种类型的问题有以下几种常见题型．

（1）三个力中，有两个力互相垂直，第三个力角度（方向）已知。

例1即属此类情况．这是一种最常见的三力平衡问题．通常利用上述解题步骤即可方便求解此类问题．若出现解题障碍的话，障碍就出在怎样确定研究对象上．

例2、如图3，质量为m的物块放在倾角为θ的斜面上，求：

①斜面对物块的支持力；

②假想把物块分成质量相等的a、b两部分（实际上仍为一整体），哪一部分对斜面的压力大？

析：求斜面对物块的支持力时，取物块为研究对象，并将其视为质点，作出其受力分析图如图4（a），将重力G沿斜面和垂直斜面方向分解，并利用平衡条件不难求出：

N=mgcosθ

分析a、b两部分谁对斜面压力大时，要明确此时物体不能再看成质点，因此物体受到的各力的作用点不能随意移动，而应画在实际作用点上．由于弹力和摩擦力的作用点都在接触面上，利用三力平衡必共点的特点（即物体在互相不平行的三个力作用下处于平衡状态时，这三个力必为共点力），得到物块的受力如图4（b）所示，弹力的作用点在a部分，说明a部分对斜面的压力大．

（2）三个力互相不垂直，但夹角（方向）已知《考试说明》中规定力的合成与分解的计算只限于两力之间能构成直角的情形．三个力互相不垂直时，无论是用合成法还是分解法，三力组成的三角形都不是直角三角形，造成求解困难．因而这种类型问题的解题障碍就在于怎样确定研究方法上．解决的办法是采用正交分解法，将三个不同方向的力分解到两个互相垂直的方向上，再利用平衡条件求解．

（3）三个力互相不垂直，且夹角（方向）未知

三力方向未知时，无论是用合成法还是分解法，都找不到合力与分力之间的定量联系，因而单从受力分析图去求解这类问题是很难找到答案的．要求解这类问题，必须变换数学分析的角度，从我们熟悉的三角函数法变换到空间几何关系上去考虑，因而这种问题的障碍点是如何正确选取数学分析的方法．

解决这种类型的问题的对策是：首先利用合成法或分解法作出三力之间的平行四边形关系和三角形关系，再根据力的三角形寻找与之相似的空间三角形，利用三角形的相似比求解．

例4、如图7，半径为R的光滑半球的正上方，离球面顶端距离为h 的O点，用一根长为l的细线悬挂质量为m的小球，小球靠在半球面上．试求小球对球面压力的大小．

析：取小球为研究对象，小球受到重力mg，绳的拉力T和半球面的支持力N三个力的作用，如图8所示．将T和N合成，得到合力F，由平衡条件知：F=mg．

由图8可以看出，力的三角形ACD与空间三角形OAB相似，则：

（4）三力的动态平衡问题

即三个力中，有一个力为恒力，另一个力方向不变，大小可变，第三个力大小方向均可变，分析第三个力的方向变化引起的物体受力的动态变化问题．

这种类型的问题不需要通过具体的运算来得出结论，因而障碍常出现在受力分析和画受力分析图上．在分析这类问题时，要注意物体“变中有不变”的平衡特点，在变中寻找不变量．即将两个发生变化的力进行合成，利用它们的合力为恒力的特点进行分析．在解决这类问题时，正确画出物体在不同状态时的受力图和平行四边形关系尤为重要．

例5、如图9所示，用竖直档板将小球夹在档板和光滑斜面之间，若缓慢转动挡板，使其由竖直转至水平的过程中，分析球对挡板的压力和对斜面的压力如何变化．

析：取小球为研究对象，小球受到重力G，档板给小球的支持力N1

和斜面给小球的支持力N2三个力作用，如图10所示，将N1和N2合成，得到合力F，由平衡条件知，F=G为一定值．由于N2总垂直接触面（斜面），方向不变，则N1方向改变时，其大小（箭头）只能沿PQ线变动，如图示．显然在档板移动过程中，N1先变小后变大，N2一直减小．由牛顿第三定律，小球对档板的压力先变小后变大，小球对斜面的压力逐渐减小．

2．多力平衡问题

巧解变动中的三力平衡问题

在中学阶段，力的平衡问题，多为三力平衡，按平衡条件，合力必为零，将三力首尾相联即围成一封闭三角形。一般来说，只要所给条件能满足解这个三角形的条件（如已知两边夹一角或两角夹一边）就能按解三角形的方法解出这力三角形中要求的物理量。

常遇到一类变动中的三力平衡问题。一般是其中一个力大小和方向确定；另一个力的方向确定，大小可变；第三个力大小和方向均变化。要依据所给条件，确定后两力的变化规律。为了帮助学生们很好地理解，采用力三角形来解答，现举几例如下：

[例题1]一个光滑的圆球搁在光滑的斜面和竖直的档板之间（图1），斜面和档板对圆球的弹力随斜面倾角α变化而变化的范围是：

A．斜面弹力N1变化范围是（mg，＋∞）

B．斜面弹力N1变化范围是（0，＋∞）

C．档板的弹力N2变化范围是（0， +∞）

D．档板的弹力N2变化范围是（mg，＋∞）

答：[A、C]

解：圆球受三个力，其中重力的大小和方向均为确定的，档板对圆球的弹力N2的方向始终是水平的，亦为确定的。而斜面对圆球的作用力的大小和方向均在变化中，但不论α如何变动，只要α取一个确定的值，圆球就在三力作用下处于平衡状态，则此三力就组成一个封闭的三角形，如图2所示：

由于0＜α＜90°，所以mg＜N1＜＋∞，0＜N2＜＋∞

解出。

[例题2]如图3所示,用两根绳子系住一重物,绳OA与天花板夹角θ不变,且θ＞45°,当用手拉住绳OB，使绳OB由水平慢慢转向OB′过程中，OB绳所受拉力将

A．始终减少 B．始终增大

C．先增大后减少 D．先减少后增大

答：[D]

解：重物受三个力，其中重力大小方向确定，OA方向不变，OB绳受力的大小方向变化。在变化过程中，重物所受三力平衡，可组成一个封闭三角形，现图示如下：

从图中可很直观地得出结论。由于θ＞45°,θ+α=90°所以α＜45°,此时T OB取得最小值。

[例题3]如图4所示，一重球用细线悬于O点，一光滑斜面将重球支持于A点，现将斜面沿水平面向右慢慢移动，那么细线对重球的拉力T 及斜面对重球的支持力N的变化情况是：

A．T逐渐增大，N逐渐减小；

B．T逐渐减小，N逐渐增大；

C．T先变小后变大，N逐渐减小；

D．T逐渐增大，N先变大后变小。

答：[C]

解：重球受三个力：重力的大小及方向均为确定，在重球由A运动到B的过程中，每一个位置上三力均围成一个封闭的三角形（图5）

由于物体在水平面上滑动，则f=μN，将f和N合成，得到合力F，由图知F与f的夹角：

不管拉力T方向如何变化，F与水平方向的夹角α不变，即F为一个方向不发生改变的变力．这显然属于三力平衡中的动态平衡问题，由前面讨论知，当T与F互相垂直时，T有最小值，即当拉力与水平方向的夹角θ=90°-arc ctgμ=arctgμ时，使物体做匀速运动的拉力T最小．

例7、一质量为50kg的均匀圆柱体，放在台阶旁，台阶高度（r

为柱体半径）。柱体最上方A处施一最小的力F，使柱体刚能开始以P轴向台阶上滚，求此最小力．