八年级数学压轴题 期末复习试卷测试与练习(word解析版)

八年级数学压轴题期末复习试卷测试与练习（word解析版）

一、压轴题

1．如图，已知等腰△ABC 中，AB=AC，∠A＜90°，CD 是△ABC 的高，BE 是△ABC 的角平分线，CD 与BE 交于点P．当∠A 的大小变化时，△EPC 的形状也随之改变．

（1）当∠A=44°时，求∠BPD 的度数；

（2）设∠A=x°，∠EPC=y°，求变量y 与x 的关系式；

（3）当△EPC 是等腰三角形时，请直接写出∠A 的度数．

2．问题背景：（1）如图1，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE＝BD＋CE．

拓展延伸：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC．请写出DE、BD、CE三条线段的数量关系．（不需要证明）

实际应用：（3）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为(－2，0)，点A的坐标为(－6，3)，请直接写出B点的坐标．

3．在平面直角坐标系中点A（m?3，3m+3），点 B（m，m+4）和 D（0，?5），且点 B 在第二象限．

（1）点 B 向 平移 单位，再向下平移 （用含 m 的式子表达）单位可以与点 A 重合； （2）若点 B 向下移动 3 个单位，则移动后的点 B 和点 A 的纵坐标相等，且有点 C （m ?2，0）．

①则此时点 A 、B 、C 坐标分别为 、 、 ．

②将线段 AB 沿 y 轴负方向平移 n 个单位，若平移后的线段 AB 与线段 CD 有公共点，求 n 的取值范围．

③当 m

4．已知在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，直线l 经过点A （不经过点B 或点C ），点C 关于直线l 的对称点为点D ，连接BD ，CD ．

（1）如图1，

①求证：点B ，C ，D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上； ②直接写出∠BDC 的度数（用含α的式子表示）为 ；

（2）如图2，当α=60°时，过点D 作BD 的垂线与直线l 交于点E ，求证：AE =BD ； （3）如图3，当α=90°时，记直线l 与CD 的交点为F ，连接BF ．将直线l 绕点A 旋转的过程中，在什么情况下线段BF 的长取得最大值？若AC 2a ，试写出此时BF 的值． 5．已知：ABC 中，过B 点作BE ⊥AD ，=90=，∠?ACB AC BC ．

(1)如图1，点D 在BC 的延长线上，连AD ，作BE AD ⊥于E ，交AC 于点F ．求证：

=AD BF ；

(2)如图2，点D 在线段BC 上，连AD ，过A 作AE AD ⊥，且=AE AD ，连BE 交AC 于F ，连DE ，问BD 与CF 有何数量关系，并加以证明；

(3)如图3，点D 在CB 延长线上，=AE AD 且AE AD ⊥，连接BE 、AC 的延长线交BE

于点M ，若=3AC MC ，请直接写出

DB

BC

的值．

6．如图，以直角△AOC 的直角顶点O 为原点，以OC ，OA 所在直线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，点A （0，a ），C （b ，0）满足280a b b -++-=．

（1）点A 的坐标为________；点C 的坐标为________．

（2）已知坐标轴上有两动点P ，Q 同时出发，P 点从C 点出发沿x 轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q 点从O 点出发沿y 轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P 到达O 点整个运动随之结束．AC 的中点D 的坐标是（4，3），设运动时间为t 秒．问：是否存在这样的t ，使得△ODP 与△ODQ 的面积相等？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．

（3）在（2）的条件下，若∠DOC=∠DCO ，点G 是第二象限中一点，并且y 轴平分∠GOD ．点E 是线段OA 上一动点，连接接CE 交OD 于点H ，当点E 在线段OA 上运动的过程中，探究∠GOA ，∠OHC ，∠ACE 之间的数量关系，并证明你的结论（三角形的内角和为180°可以直接使用）．

7．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为AC 边上一动点，且不与点A 点C 重合，连接BD 并延长，在BD 延长线上取一点E ，使AE ＝AB ，连接CE ．

（1）若∠AED ＝20°，则∠DEC ＝ 度；

（2）若∠AED ＝a ，试探索∠AED 与∠AEC 有怎样的数量关系？并证明你的猜想； （3）如图2，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，AF 的延长线与EC 的延长线交于点H ，求证：EH 2+CH 2＝2AE 2．

8．问题情景：数学课上，老师布置了这样一道题目，如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是BC 的中点，且满足∠ADE ＝60°，DE 交等边三角形外角平分线于点E ．试探究AD 与DE

的数量关系．

操作发现：（1）小明同学过点D作DF∥AC交AB于F，通过构造全等三角形经过推理论证就可以解决问题，请您按照小明同学的方法确定AD与DE的数量关系，并进行证明．

类比探究：（2）如图2，当点D是线段BC上任意一点(除B、C外)，其他条件不变，试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论．

拓展应用：（3）当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC，在图3中补全图形，直接判断△ADE的形状(不要求证明)．

9．（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，

如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则△ABD≌△ACE．

（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．

（深入探究）（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正确的有．(将所有正确的序号填在横线上)．

（延伸应用）（3）如图3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，试探究∠A与∠C的数量关系．

10．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满足x ＝

3+a c ，y ＝3

+b d

，那么称点T 是点A 和B 的融合点．例如：M （﹣1，8），N （4，﹣2），则点T （1，2）是点M 和N 的融合点．如图，已知点D （3，0），点E 是直线y ＝x +2上任意一点，点T （x ，y ）是点D 和E 的融合点．

（1）若点E 的纵坐标是6，则点T 的坐标为 ； （2）求点T （x ，y ）的纵坐标y 与横坐标x 的函数关系式：

（3）若直线ET 交x 轴于点H ，当△DTH 为直角三角形时，求点E 的坐标．

11．如图，已知直线l 1：y 1＝2x +1与坐标轴交于A 、C 两点，直线l 2：y 2＝﹣x ﹣2与坐标轴交于B 、D 两点，两直线的交点为P 点． (1)求P 点的坐标； (2)求△APB 的面积；

(3)x 轴上存在点T ，使得S △ATP ＝S △APB ，求出此时点T 的坐标．

12．如图已知ABC 中，,8B C AB AC ∠=∠==厘米，6BC =厘来，点D 为AB 的中

点．如果点P 在线段BC 上以每秒2厘米的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段

CA 上由C 点向A 点运动，设运动时间为t (秒)． （1）用含t 的代数式表示线段PC 的长度；

（2）若点,P Q 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP 是否全等，请说明理由； （3）若点,P Q 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与

CQP 全等？

（4）若点Q 以（3）中的运动速度从点C 出发，点v 以原来的运动速度从点B 同时出发，都顺时针沿三边运动，求经过多长时间，点P 与点Q 第一次在ABC 的哪条边上相遇？

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、压轴题

1．（1）56°；（2）y=454x +；（3）36°或

180

7

°. 【解析】 【分析】

（1）根据等边对等角求出等腰△ABC 的底角度数，再根据角平分线的定义得到∠ABE 的度数，再根据高的定义得到∠BDC=90°，从而可得∠BPD ；

（2）按照（1）中计算过程，即可得到∠A 与∠EPC 的关系，即可得到结果； （3）分①若EP=EC ，②若PC=PE ，③若CP=CE ，三种情况，利用∠ABC+∠BCD=90°，以及

y=454x

+

解出x 即可. 【详解】

解：（1）∵AB=AC ，∠A=44°， ∴∠ABC=∠ACB=（180-44）÷2=68°， ∵CD ⊥AB ， ∴∠BDC=90°， ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABE=∠CBE=34°， ∴∠BPD =90-34=56°； （2）∵∠A =x °，

∴∠ABC=（180°-x°）÷2=（902

x

-）°， 由（1）可得：∠ABP=

1

2∠ABC=（454

x -）°，∠BDC=90°， ∴∠EPC =y °=∠BPD=90°-（454x -）°=（454

x

+）°， 即y 与 x 的关系式为y=454

x +； （3）①若EP=EC ， 则∠ECP=∠EPC=y ，

而∠ABC=∠ACB=902

x

-

，∠ABC+∠BCD=90°， 则有：902x -+（902x --y ）=90°，又y=454x

+，

∴902x -+902x --（454x

+）=90°，

解得：x=36°； ②若PC=PE ，

则∠PCE=∠PEC=（180-y ）÷2=902

y

-，

由①得：∠ABC+∠BCD=90°，

∴902x -+[902x --（902y

-）]=90，又y=454

x +，

解得：x=

180

7

°； ③若CP=CE ，

则∠EPC=∠PEC=y ，∠PCE=180-2y ， 由①得：∠ABC+∠BCD=90°，

∴902x -

+902x --（180-2y ）=90，又y=454x +， 解得：x=0，不符合，

综上：当△EPC 是等腰三角形时，∠A 的度数为36°或180

7

°. 【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，二元一次方程组的应用，高与角平分线的定义，有一定难度，关键是找到角之间的等量关系.

2．（1）证明见解析；（2）DE ＝BD ＋CE ；（3）B(1，4) 【解析】 【分析】

（1）证明△ABD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；

（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明∠ABD=∠CAE ，证明△ABD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；

（3）根据△AEC ≌△CFB ，得到CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，根据坐标与图形性质解答． 【详解】

（1）证明：∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ， ∴∠ADB ＝∠CEA ＝90° ∵∠BAC ＝90° ∴∠BAD ＋∠CAE ＝90° ∵∠BAD ＋∠ABD ＝90° ∴∠CAE ＝∠ABD ∵在△ADB 和△CEA 中

ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠??

∠=∠??=?

∴△ADB ≌△CEA （AAS ） ∴AE ＝BD ，AD ＝CE ∴DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE 即：DE ＝BD ＋CE

（2）解：数量关系：DE ＝BD ＋CE

理由如下：在△ABD 中，∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD ， ∵∠CAE=180°-∠BAC-∠BAD ，∠BDA=∠AEC ， ∴∠ABD=∠CAE ， 在△ABD 和△CAE 中，

ABD CAE BDA AEC AB CA ∠∠??

∠∠???

＝＝＝ ∴△ABD ≌△CAE （AAS ） ∴AE=BD ，AD=CE ，

∴DE=AD+AE=BD+CE ；

（3）解：如图，作AE ⊥x 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ， 由（1）可知，△AEC ≌△CFB ， ∴CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4， ∴OF=CF-OC=1，

∴点B 的坐标为B （1，4）．

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

3．（1）左；3；(1-2m )；（2）①（-4，0）；（-1，0）（-3，0）； ②当平移后的线段 AB 与线段 CD 有公共点时，1913n ≤≤；③ F 9

(

,2)12m

--． 【解析】 【分析】

(1)根据平面直角坐标系中点的平移计算方法即可得解

(2)①根据B 点向下平移后，点B 和点A 的纵坐标相等得到等量关系，可求出m 的值，从而求出A 、B 、C 三点坐标；②过 C 作 CK 垂直 x 轴交 AB 于 K 点过 B 做 BM 垂直 x 轴于 M 点，设出K 点坐标，作 KH ⊥BM 与 H 点，表示出H 点坐标，然后利用面积关系

ABM AKM BKM S S S ???=+求出距离；当 B '在线段 CD 上时，BB '交 x 轴于 M 点，过 B '做

B 'E ⊥OD ，利用S △COD = S △OB'

C + S △OB'

D ，求出n 的值，从而求出n 的取值范围；③通过坐标平移法用m 表示出

E 点的坐标，利用D 、E 两点坐标表示出直线DE 的函数关系式，令y=﹣2，求出x 的值即可求出

F 点坐标． 【详解】

解：（1）根据平移规律可得：B 向左平移； m －（m －1）=3，所以平移3个单位；

m+4－（3m+3）=1－2m ，所以再向下平移(1-2m )个单位； 故答案为：左；3；(1-2m )

（2）①点 B 向下移动 3 个单位得：B （m ，m+1） ∵移动后的点 B 和点 A 的纵坐标相等 ∴m+1=3m+3 ∴m=﹣1

∴A （-4,0）；B （-1,0）；C （-3,0）；

②如图 1，过 C 作 CK 垂直 x 轴交 AB 于 K 点过 B 做 BM 垂直 x 轴于 M 点，

设 K 点坐标为（-3，a ） M 点坐标为（-1,0）

作 KH ⊥BM 与 H 点，H 点坐标为（-1，a ） AM=3,BM=3,KC=a,KH=2 ∵ABM AKM BKM S S S ???=+ ∴222

AM BM KC AM KH BM

???=+ ∴

33323222a ???=+ 解得：1a =，

∴当线段 AB 向下平移 1 个单位时，线段 AB 和 CD 开始有交点， ∴ n ≥ 1，

当 B'在线段 CD 上时，如图 2

BB'交 x 轴于 M 点，过 B'做 B'E ⊥OD,B'M=n-3,B'E=1,OD=5,OC=3 ∵ S △COD = S △OB'C + S △OB'D ∴''222

CO OD CO B M OD B E

???=+ ∴

353(3)51222

n ??-?=+ 解得：19

3

n =，

综上所述，当平移后的线段 AB 与线段 CD 有公共点时，

19

1

3

n

≤≤．

③∵A（m?3，3m+3）， B（m，m+4） D（0，?5）且AD 沿直线 AB 方向平移得到线段BE，

∴E点横坐标为：3

E点纵坐标为：﹣5+m+4－（3m+3）=﹣4－2m

∴E（3，﹣4－2m），

设DE：y=kx+b，把D（0，﹣5），E（3，﹣4－2m）代入y=kx+b

∴

3k+b=42m

b=5

?

?

?

﹣－

﹣

∴

1-2m

k=

3

b=-5

?

?

?

??

，

∴y=

12m

x5

3

－

－，

把y=﹣2代入解析式得：﹣2=

12m

x5

3

－

－，

x=

9

12m

－

，

∴F

9

(,2)

12m

-

-

．

【点睛】

本题考查平面直角坐标系中点的平移计算及一次函数解析式求法，解题关键在于理解掌握平面直角坐标系中点平移计算方法以及用待定系数法求函数解析式方法的应用． 4．（1）①详见解析；②1

2

α；（2）详见解析；（3）当B 、O 、F 三点共线时BF 最长，(10+2)a 【解析】 【分析】

（1）①由线段垂直平分线的性质可得AD=AC=AB ，即可证点B ，C ，D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上；

②由等腰三角形的性质可得∠BAC=2∠BDC ，可求∠BDC 的度数； （2）连接CE ，由题意可证△ABC ，△DCE 是等边三角形，可得AC=BC ，∠DCE=60°=∠ACB ，CD=CE ，根据“SAS”可证△BCD ≌△ACE ，可得AE=BD ；

（3）取AC 的中点O ，连接OB ，OF ，BF ，由三角形的三边关系可得，当点O ，点B ，点F 三点共线时，BF 最长，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求10BO a =，

2OF OC a ==，即可求得BF

【详解】

（1）①连接AD ，如图1．

∵点C与点D关于直线l对称，

∴AC = AD．

∵AB= AC，

∴AB= AC = AD．

∴点B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上．②∵AD=AB=AC，

∴∠ADB=∠ABD，∠ADC=∠ACD，

∵∠BAM=∠ADB+∠ABD，∠MAC=∠ADC+∠ACD，∴∠BAM=2∠ADB，∠MAC=2∠ADC，

∴∠BAC=∠BAM+∠MAC=2∠ADB+2∠ADC=2∠BDC=α∴∠BDC=1

2

α

故答案为：1

2α．

（2连接CE，如图2．

∵∠BAC=60°，AB=AC，

∴△ABC是等边三角形，

∴BC=AC，∠ACB=60°，

∵∠BDC=1

2

α，

∴∠BDC=30°，

∵BD⊥DE，

∴∠CDE=60°，

∵点C关于直线l的对称点为点D，

∴DE=CE，且∠CDE=60°

∴△CDE是等边三角形，

∴CD=CE=DE，∠DCE=60°=∠ACB，

∴∠BCD=∠ACE，且AC=BC，CD=CE，

∴△BCD≌△ACE（SAS）

∴BD=AE，

（3）如图3，取AC的中点O，连接OB，OF，BF，

，

F 是以AC 为直径的圆上一点，设AC 中点为O ， ∵在△BOF 中，BO+OF≥BF ， 当B 、O 、F 三点共线时BF 最长； 如图，过点O 作OH ⊥BC ，

∵∠BAC=90°，2a ， ∴24BC AC a =

=，∠ACB=45°，且OH ⊥BC ，

∴∠COH=∠HCO=45°， ∴OH=HC ， ∴2OC HC =， ∵点O 是AC 中点，AC 2a ， ∴2OC a =

，

∴OH HC a ==， ∴BH=3a ， ∴10BO a =，

∵点C 关于直线l 的对称点为点D ， ∴∠AFC=90°， ∵点O 是AC 中点， ∴2OF OC a ==，

∴102BF a =

，

∴当B 、O 、F 三点共线时BF 最长；最大值为102)a ． 【点睛】

本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键． 5．（1）见详解，（2）2BD CF =，证明见详解，（3）23

． 【解析】 【分析】

（1）欲证明BF AD =，只要证明BCF ACD ???即可；

（2）结论：2BD CF =．如图2中，作EH AC ⊥于H ．只要证明ACD EHA ???，推出CD AH =，EH AC BC ==，由EHF BCF ???，推出CH CF =即可解决问题；

（3）利用（2）中结论即可解决问题； 【详解】

（1）证明：如图1中，

BE AD ⊥于E ，

90AEF BCF ∴∠=∠=?， AFE CFB ∠=∠， DAC CBF ∴∠=∠，

BC AC =，

BCF ACD ∴???(AAS )，

BF AD ∴=．

（2）结论：2BD CF =．

理由：如图2中，作EH AC ⊥于H ． 90AHE ACD DAE ∠=∠=∠=?，

90DAC ADC ∴∠+∠=?，90DAC EAH ∠+∠=?，

ADC EAH ∴∠=∠，AD AE =，

ACD EHA ∴???，

CD AH ∴=，EH AC BC ==，

CB CA =， BD CH ∴=，

90EHF BCF ∠=∠=?，EFH BFC ∠=∠，EH BC =， EHF BCF ∴???，

FH FC ∴=，

2BD CH CF ∴==．

（3）如图3中，作EH AC ⊥于交AC 延长线于H ． 90AHE ACD DAE ∠=∠=∠=?，

90DAC ADC ∴∠+∠=?，90DAC EAH ∠+∠=?，

ADC EAH ∴∠=∠， AD AE =，

ACD EHA ∴???，

CD AH ∴=，EH AC BC ==，

CB CA =， BD CH ∴=，

90EHM BCM ∠=∠=?，EMH BMC ∠=∠，EH BC =，

EHM BCM ∴???， MH MC ∴=，

2BD CH CM ∴==．

3AC CM =，设CM a =，则3AC CB a ==，2BD a =，

∴

22

33

DB a BC a ==．

【点睛】

本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．另外对于类似连续几步的综合题，一般前一步为后一步提供解题的条件或方法．

6．（1）（0，6），（8，0）；（2）存在t=2.4时，使得△ODP 与△ODQ 的面积相等；（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC ，理由见解析． 【解析】 【分析】

（1）根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性即可求解；

（2）根据运动速度得到OQ=t ，OP=8-2t ，根据△ODP 与△ODQ 的面积相等列方程求解即可；

（3）由∠AOC=90°，y 轴平分∠GOD 证得OG ∥AC ，过点H 作HF ∥OG 交x 轴于F ，得到∠FHC=∠ACE ，∠FHO=∠GOD ，从而∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC ，即可证得2∠GOA+∠ACE=∠OHC. 【详解】

（180

b-=，

∴a-b+2=0，b-8=0，

∴a=6，b=8，

∴A（0，6），C（8，0）；

故答案为：（0，6），（8，0）；

（2）由（1）知，A（0，6），C（8，0），∴OA=6，OB=8，

由运动知，OQ=t，PC=2t，

∴OP=8-2t，

∵D（4，3），

∴

11

42

22

ODQ D

S OQ x t t

=?=?=

△

，

11

823123 22

ODP D

S OP y t t

=?=-?=-△

（），

∵△ODP与△ODQ的面积相等，

∴2t=12-3t，

∴t=2.4，

∴存在t=2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由如下：

∵x轴⊥y轴，

∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°，

∴∠OAC+∠ACO=90°.

又∵∠DOC=∠DCO，

∴∠OAC=∠AOD.

∵x轴平分∠GOD，

∴∠GOA=∠AOD.

∴∠GOA=∠OAC.

∴OG∥AC，

如图，过点H作HF∥OG交x轴于F，

∴HF∥AC，

∴∠FHC=∠ACE.

∵OG∥FH，

∴∠GOD=∠FHO，

∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，

即∠GOD+∠ACE=∠OHC，

∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．

【点睛】

此题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性，坐标系中的动点问题，平行线的判定及性质定理，是一道较为综合的题型.

7．（1）45度；（2）∠AEC﹣∠AED＝45°，理由见解析；（3）见解析

【解析】

【分析】

（1）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝140°，可得∠CAE＝50°，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝65°，即可求解；

（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝180°﹣2α，可得∠CAE＝90°﹣2α，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝45°+α，可得结论；

（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，由等腰直角三角形的性质可得EH2EF，CH＝

2CG，由“AAS”可证△AFB≌△CGA，可得AF＝CG，由勾股定理可得结论．

【详解】

解：（1）∵AB＝AC，AE＝AB，

∴AB＝AC＝AE，

∴∠ABE＝∠AEB，∠ACE＝∠AEC，

∵∠AED＝20°，

∴∠ABE＝∠AED＝20°，

∴∠BAE＝140°，且∠BAC＝90°

∴∠CAE＝50°，

∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，

∴∠AEC＝∠ACE＝65°，

∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，

故答案为：45；

（2）猜想：∠AEC﹣∠AED＝45°，

理由如下：∵∠AED＝∠ABE＝α，

∴∠BAE＝180°﹣2α，

∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣2α，

∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，

∴∠AEC＝45°+α，

∴∠AEC﹣∠AED＝45°；

（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，

∵∠AEC ﹣∠AED ＝45°， ∴∠FEH ＝45°， ∵AH ⊥BE ，

∴∠FHE ＝∠FEH ＝45°， ∴EF ＝FH ，且∠EFH ＝90°， ∴EH 2EF ， ∵∠FHE ＝45°，CG ⊥FH ， ∴∠GCH ＝∠FHE ＝45°， ∴GC ＝GH ， ∴CH 2CG ， ∵∠BAC ＝∠CGA ＝90°，

∴∠BAF +∠CAG ＝90°，∠CAG +∠ACG ＝90°， ∴∠BAF ＝∠ACG ，且AB ＝AC ，∠AFB ＝∠AGC ， ∴△AFB ≌△CGA （AAS ） ∴AF ＝CG ， ∴CH 2AF ，

∵在Rt △AEF 中，AE 2＝AF 2+EF 2， 2AF ）2+2EF ）2＝2AE 2， ∴EH 2+CH 2＝2AE 2． 【点睛】

本题是综合了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定的动点问题，三个问题由易到难，在熟练掌握各个相关知识的基础上找到问题之间的内部联系，层层推进去解答是关键.

8．（1）AD ＝DE ，见解析；（2）AD ＝DE ，见解析；（3）见解析，△ADE 是等边三角形， 【解析】 【分析】

（1）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明ADF EDC ??≌即可得解； （2）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明AFD DCE ??≌即可得解； （3）根据垂直平分线的性质及等边三角形的判定定理进行证明即可. 【详解】

（1）如下图，数量关系：AD ＝DE .

证明：∵ABC ?是等边三角形 ∴AB ＝BC ，60B BAC BCA ∠∠∠?＝＝＝ ∵DF ∥AC

∴BFD BAC ∠∠＝，∠BDF ＝∠BCA ∴60B BFD BDF ∠∠∠?＝＝＝ ∴BDF ?是等边三角形，120AFD ∠?＝ ∴DF ＝BD

∵点D 是BC 的中点 ∴BD ＝CD ∴DF ＝CD

∵CE 是等边ABC ?的外角平分线 ∴120DCE AFD ∠?∠＝＝

∵ABC ?是等边三角形，点D 是BC 的中点 ∴AD ⊥BC ∴90ADC ∠?＝ ∵60BDF ADE ∠∠?＝＝ ∴30ADF EDC ∠∠?＝＝ 在ADF ?与EDC ?中

AFD ECD DF CD

ADF EDC ∠∠??

??∠∠?

＝＝＝ ∴()ADF EDC ASA ??≌ ∴AD ＝DE ； （2）结论：AD ＝DE .

证明：如下图，过点D 作DF ∥AC ，交AB

于F

∵ABC ?是等边三角形

∴AB ＝BC ，60B BAC BCA ∠∠∠?＝＝＝