2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版

2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农

医类

、选择题：本大题共 （ 全国新课标卷 II ）

第Ⅰ卷

12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 2

1）已知集合 M ＝{x |（ x － 1） 2

< 4， x ∈ R} ，N ＝{－1,0,1,2,3} B ．{ －1,0,1,2} C ．{ －1,0,2,3} D 1． （2013 课标全国Ⅱ，理 A ．{0,1,2} 2． （2013 课标全国Ⅱ，理 2）设复数 z 满足（1 － i ） z ＝2i ，则 z ＝（ A ．－1＋i B ．－ 1－I C

3．（2013 课标全国Ⅱ，理 3）等比数列 { a n }的前 n 项和为 11

A ． 3

B ． 3

C 4．（2013 课标全国Ⅱ， 理 4） 已知 m ，n 为异面直线， m ⊥平面 l β，则 （ A ．α∥ β 且 l ∥α B

，则 M ∩N ＝( ) ． ．{0,1,2,3} )． ． 1＋i D ．1－i S n . 已知 S 3＝ a 2＋ 10a 1，a 5＝ 9， 1

． 9 D α ，n ⊥平面 β . 直线 l 满足 l )．

．α⊥β 且 l ⊥ β

则 a 1＝（ ） ．

⊥m ，l ⊥n ，l α， C ． α 与 β 相交，且交线垂直于 l D ． α 与 β 相交，且交线平行于 5．（2013 课标全国Ⅱ，理 5）已知（1 ＋ ax ）（1 ＋ x ） 5的展开式中 x 2

的系数为 5，则

a ＝（ ．－ 1 N ＝ 10，那么输出的 S A ．－4 B ．－ 3 C ．－ 2 D

6．（2013 课标全国Ⅱ，理 6） 执行下面的程序框图，如果输入的 ＝（

）．

A

． 2 3 10

1+ 1 1

1

B ．

2! 3!

10!

1+1 1

1

1

C ． 2 3

11

1+1 1 1 1

D 2! 3! 11 1+1 11 l )． 7．（2013 课标全国Ⅱ，理 7） 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 （0,1,1） ，（0,0,0） O － xyz 中的坐标分别是 (1,0,1) ，(1,1,0) ，

( ) ．

8．（2013 课标全国Ⅱ，理 8）设 a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则（ ）．

． a > c > b D ． a > b > c

x 1,

x y 3, 若 z ＝ 2x ＋y 的最小值为 1，则 y a x 3 .

A ．c >b > a

B ．b >c > a C

9． （2013 课标全国Ⅱ，理 9） 已知

a >0，

x ， y 满足约束条件 a ＝( 1 ．2

）． 1 A ． 4 ． 1 D ．2

10．(2013 课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x) ＝x 3＋ax2＋bx＋ c ，下列结论中错误的是( )．

A．x0∈R，f(x0) ＝0

B．函数y ＝f(x) 的图像是中心对称图形

C．若x0 是f(x) 的极小值点，则f(x) 在区间( －∞，x0) 单调递减

D．若x0 是f(x) 的极值点，则f′ (x0) ＝0

11．(2013 课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px( p> 0)的焦点为F，点M在C上，| MF| ＝5，若以

MF为

直径的圆过点(0,2) ，则C的方程为( ) ．

A．y2 ＝4x 或y2＝8x B ．y2＝2x 或y2＝8x

C．y2＝4x 或y2＝16x D ．y2＝2x 或y2＝16x

12．(2013 课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0) ，B(1,0) ，C(0,1) ，直线y＝ax＋b(a>0)将△ ABC分割为

面积相等的两部分，则 b 的取值范围是( ) ．

12 , 1

1,12 ,1

1,1,1 A．(0,1) B．2 2 C ． 2 3 D ．3,2

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第

22 题～第

24 题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5 分．

13．(2013 课标全国Ⅱ，理13) 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE BD ＝

14．(2013 课标全国Ⅱ，理14)从n个正整数1,2 ，?，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之

1

和等于 5 的概率为，则n＝__________ .

14

π1

15．(2013 课标全国Ⅱ，理15) 设θ 为第二象限角，若tan ，则sin θ ＋cos θ＝__________

42

16．(2013 课标全国Ⅱ，理16)等差数列{a n} 的前n项和为S n，已知S10＝0，S15＝25，则nS n的最小值

为______________________________________________ ．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(2013 课标全国Ⅱ，理17)( 本小题满分12 分) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a

＝b cos C＋c sin B.

(1) 求B；

(2) 若b＝2，求△ ABC面积的最大值．

阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精

培根

确。

18．（2013 课标全国Ⅱ，理18）（本小题满分12 分）如图，直三棱

柱中点，AA1＝AC＝CB＝2 AB.

2

（1）证明：BC1∥平面A1CD；

（2）求二面角D－A1C－E 的正弦值．

19．（2013 课标全国Ⅱ，理19）（本小题满分12 分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t 该产品获利润500 元，未售出的产品，每 1 t 亏损300 元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的

频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X（单位：t,100 ≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．

（1）将T表示为X 的函数；

（2）根据直方图估计利润T不少于57 000 元的概率；

（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代

表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需

求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量X∈

[100,110），则取X＝105，且X＝105 的概率等于需

求量落入[100,110）的频率），求T 的数学期望．

阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。 —— 培根

20．(2013 课标全国Ⅱ，理

22 20)( 本小题满分 12 分)平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M ：

x 2 y

2

=1( a >b

a 2

b 2

>0) 右焦点的直线

1

x y 3 0交M 于A ，B 两点，P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为

.

2 (1) 求 M

的方程；

(2) C ，D 为 M 上两点，若四边形 ACBD 的对角线 CD ⊥AB ，求四边形 ACBD 面积的最大值．

(2) 当 m ≤2时，证明 f (x ) > 0.

21． (2013 课标全国Ⅱ，理 21)( 本小题满分 (1) 设 x ＝0 是 f ( x )的极值点，求 12分)已知函数 f (x )＝e x －ln( x ＋

m )． m ，并讨论 f (x ) 的单调性；

阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

请考生在第22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．（2013 课标全国Ⅱ，理22）（本小题满分10 分）选修4—1：几何证明选讲

如图，CD为△ ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，

且BC·AE

＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．

（1）证明：CA是△ ABC外接圆的直径；

（2）若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ ABC外接圆面积的比值．

23．（2013 课标全国Ⅱ，理23）（本小题满分10 分）选修4—4：坐标系与参数方程

x 2cost ,

已知动点P，Q都在曲线C：（t 为参数）上，对应参数分别为t ＝α 与t ＝2α（0 < α<2π），

y 2sin t

M为PQ的中点．

（1）求M的轨迹的参数方程；

（2）将M到坐标原点的距离 d 表示为α 的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．

24．(2013 课标全国Ⅱ，理24)( 本小题满分10分) 选修4—5：不等式选讲

设a，b，c 均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：

1

(1) ab＋bc＋ac≤；

3

2 2 2

abc

(2) 1.

bca

阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。 —— 培根

2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类

（ 全国新课标卷 II ）

第Ⅰ卷

、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的．

1．

答案： A

解不等式 （x －1） 2< 4，得－ 1< x < 3，即 M ＝{x | －1

{0,1,2} ，故选 A.

2．

答案： A

2i 1 i

1i1i

3．

答案： C

q ＝1，则由 a 5＝ 9，得 a 1＝ 9，此时 S 3＝ 27，而 a 2＋10a 1＝99，不满足题 意，因此 q ≠ 1. 解析： 解析：

2i z= 1i

2 2i

＝－ 1＋i. 2

解析：

设数列 {a n } 的公比为 q ，若

∵q ≠1时， S 3＝ a 1（1 q ） ＝a 1

1q

1 q 3

∴ ＝q ＋ 10，整理得 1q q ＋ 10a 1， 2 q ＝ 9. 解析： ∵ a 5＝ a 1· q ＝9，即 81a 1＝ 9， 1 a 1＝

9 4． 答案： D 解析： 因为 m ⊥α，l ⊥m ，l α ，所以 l 又因为 m ，n 为异面直线，所以 α 与 β 相交，且 5． 答案： D 因为 （1 ＋x ） 5的二项展开式的通项为 C r 5x r （0≤r ≤5，r ∈Z ），则含 x 2的项为 C 52x 2 ＋ ax · C 15

x ＝ （10 ＋ 5a ）x ，所以 10＋ 5a ＝ 5， a ＝－ 1. 6． ∥α. 同理可得 l ∥β.

l 平行于它们的交线．故选 D.

答案： B

解析： 由程序框图知，当 k ＝1，S ＝0，T ＝1 时， T ＝ 1，S ＝1； 11 当k ＝2时，T ， S=1+ ； 22 1 1 1

当 k ＝ 3 时， T ， S 1+ ； 2 3 2 2 3 1 1 1 1 当 k ＝ 4 时， T ， S 1+ ；?；

2 3 4 2 2 3 2 3 4 1 1 1 1

当 k ＝10时， T ， S 1+

，k 增加 1 变为 11，满足 k >N ，输出 S ，

2 3 4 10 2! 3!

10!

所以 B 正确．

7． 答案： A

解析： 如图所示，该四面体在空间直角坐标系 O － xyz 的图像为下图：

阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。培根

则它在平面zOx 上的投影即正视图

为，8．

故选 A.

答案：D

解析：根据公式变形，a lg61lg 2，b lg101lg2，lg3 lg3 lg 5 lg 5 >lg 3 ，所以lg2 lg2 lg2，即c

lg7 lg5 lg3

9．

答案：B

x 1,

解析：由题意作出所表示的区域如图阴影部分所示，

xy3

作直线2x＋y＝1，因为直线2x＋y＝ 1 与直线x＝1 的交点坐标为（1，－1），结合题意知直线y＝a（x－3）过点（1 ，－1），代入得11

a ，所以a .

22

10．

答案：C

解析：∵x0是f（x）的极小值点，则y＝f （x）的图像大致如下图

所示，（－∞，x0）上不单调，故 C 不正确．

11．

答案：C

解析：设点M的坐标为（x0，y0），由抛物线的定义，得|MF| ＝x0＋c

lg14

1

lg 2

，因为lg 7 >lg 5

lg7 lg 7

又点 F 的坐标为

则x0＝5－p.

2

p,0 ，所以以MF为直径的圆的方程为

2 （

x－x0）x p＋（y－y0）y＝0.

2

2

将x＝0，y＝2 代入得px0＋8－4y0＝0，即y0－4y0＋8＝0，所以y0＝

4.

2

由y0 ＝2px0，得16 2p 5 p，解之得p＝2，或p＝8.

2

所以C的方程为y2＝4x 或y2＝16x. 故选 C.

12．

答案：B

第Ⅱ卷

阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。 —— 培根

本卷包括必考题和选考题两部分，第 13题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22题～第

24 题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．

13．答案： 2

解析： 以 AB 所在直线为 x 轴， AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，

如图所示，则点 A 的坐标为 (0,0) ，点 B 的坐标为 (2,0) ，点 D 的坐标为 (0,2) ，点 E 的坐标为 (1,2) ，则 AE ＝(1,2) ， BD ＝( －2,2) ，所以

AE BD 2.

14．答案： 8

解析： 从 1,2 ，?， n 中任取两个不同的数共有

解： (1) 由已知及正弦定理得 sin A ＝ sin B cos C ＋ sin C sin B ．①

又 A ＝π －(B ＋C ) ，故

sin A ＝ sin( B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ．②

由①，②和 C ∈(0，π) 得 sin B ＝cos B ，

C n

2 种取法，两数之和为

的有 (1,4) ， (2,3)2 种，所以 2

C

1

，即 14 15．答案：

2

n n 1 n n 1 2

10

1

，解得 n ＝ 8.

14

1 tan

π

解析： 由 tan 4 1 tan 1

，得

2 tan 将其代入 sin 2θ 2 ＋

cos θ ＝1， 因为 θ 为第二象限角，所以 cos θ ＝ 3 10 10

16．答

案：

sin 1 θ＝ ，即

sin

3

10 2 得 cos 2

1. 9

10

θ ＝ ， sin

10 1 cos θ .

3

＋cos θ＝

10

5

－49

解析： 设数列 { a n } 的首项为 a 1，公差为 d ，则

S 10＝ 10a 1＋ 10 9

d ＝ 10 a 1＋ 45d ＝ 0，①

2 15 14

S 15＝15a 1 152

14d ＝15a 1＋105d ＝25.②

联立①②，得 a 1＝－ 3 ，

所以 S n ＝ 3n n(n 1) 2

23 1 3 10 2 令 f ( n ) ＝ nS n ，则 f (n) n 3

n 2

，

33

2 d ，

3 1 2 10 n n .

33

f '(n) n

2

20

n .

3

令 f ′(n ) ＝ 0，得 n ＝ 0 或 n

20

n

20

.

3

.

20

时

，f

( n )

取最小值20 时，f ′(n ) > 0, 0

而 n ∈ N ＋

，则 f (6)

π又B∈(0 ，π ) ，所以B .

12

(2) △ ABC 的面积 S acsin B

ac .

24

由已知及余弦定理得 4＝ a 2＋ c 2－ 2accos π. 4

2 2

4

又 a ＋c ≥2ac ，故 ac

，当且仅当 a ＝ c 时，等号成立．

22

因此△ ABC 面积的最大值为 2+1 .

18．

解：(1) 连结 AC 1交 A 1C 于点 F ，则 F 为 AC 1中点．

又 D 是 AB 中点，连结 DF ，则 BC 1∥ DF . 因为 DF ? 平面 A 1CD ， BC 1 平面 A 1CD ，

所以 BC 1∥平面 A 1CD .

即二面角 D －A 1C －E 的正弦值为

19．

解：(1) 当 X ∈[100,130) 时， T ＝ 500X － 300(130 －X ) ＝ 800X － 39 000，

当 X ∈[130,150] 时，T ＝500×130＝ 65 000.

800X 39000,100 X 130, 所以 T

65000,130 X 150.

(2) 由(1) 知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤ X ≤150.

由直方图知需求量 X ∈[120,150] 的频率为 0.7 ，所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率

的估计值为 0.7.

T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4

所以 ET ＝45 000 ×0.1 ＋53 000 0.2 61 0000.365 000 0.4 59 400.

20．

解： (1) 设 A (x 1，y 1) ，B ( x 2，y 2) ， P ( x 0， y 0) ，

(2) 由 AC ＝ CB ＝ AB 得， AC ⊥BC .

以 C 为坐标原点， CA 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 C －xyz .

设 CA ＝ 2，则 D (1,1,0) ， E (0,2,1) ， A 1(2,0,2)

CD ＝ (1,1,0)

CE ＝(0,2,1)

CA 1 ＝(2,0,2)

设 n ＝(x 1，y 1，z 1) 是平面 A 1CD 的法向

量， n CD 0, x 1 y 1 0,

即 1 1

n CA 1 0,

2x 1 2z 1 0.

可取 n ＝(1 ，－ 1，－ 1)．

同理，设 m 是平面 A 1CE 的法向量，

m CE 0,

则 可取 m ＝(2,1 ，－ 2) ． m CA 0,

从而 cos 〈 n ，

故 sin m 〉

n

n ·m 3 | n ||m | 3

6

m 〉＝ .

3

设

C (x 3， y x n, 由

x y

6

y 3) ， D ( x 4，y 4) ．

3

因为直线 CD 的斜率为 1， 所以 | CD | ＝ 2 | x 4 x 3 | 4 9 n 2

4 3 3

由已知，四边形 ACBD 的面积 S 1 |CD | | AB| 8 6 9 n 2

29

当n ＝0时， S 取得最大值，最大值为 8 6 .

3 所以四边形

ACBD 面积的最大值为 8 6 .

3

21．

1

解：(1) f ′(x ) ＝ e x

1

.

xm

阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。 —— 2

2

2

2

则x 122

y

122 =1

，

x

222

y

222 =1

， y 2 y 1=

1

，

a 2

b 2

a 2

b 2

x2 x1

由此可得 b 22 x 2 x 1 y 2 y 1

a 2

y 2 y 1

x 2 x 1

因为 x 1＋ x 2＝ 2x 0， y 1＋y 2＝2y 0， y 0

x

培根

=1.

1

， 2，

所以 a 2＝ 2b 2.

又由题意知， M 的右焦点为 ( 3 ，0) ，故 a 2－b 2＝3.

因此 a ＝6， b ＝ 3.

22

所以 M 的方程为 x

y

=1.

63 x y 3 0,

2 xy

1, 3

解得

(2) 由 2

6 43 x, 3

y

3

y

3 0, 3.

4 6 .

3.

由题意可设直线 CD 的方程为

5 3

n

n

3

因此| AB | ＝ 22

1

3

2n 2 9 n 2

x 3,4＝

22

得 3x 2＋ 4nx ＋ 2n 2－ 6

阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。

是 f ( x ) ＝e －ln( x ＋ 1) ，定义域为 培根 x 1 (－1，＋∞)， f ′(x )＝e x

1 函数 f ′(x )

＝ e x 在(－1， x1 因此当

x ∈( －1,0) 当

x ∈(0 ，＋∞ )时， f ′(x ) >0.

所以 f ( x ) 在( －1,0) 单调递减，在 (0 ，＋∞ )单调递增．

(2) 当 m ≤2， x ∈ ( － m ，＋∞ )时， ln( x ＋m )≤ln( x ＋ 2) ，故只需证明当 m ＝2 时，f (x )>0.

1

当 m ＝2 时，函数 f ′(x )＝ e x

1

在(－ 2，＋∞ )单调递增．

x2

又 f ′(－1)<0，f ′(0) >0，

故 f ′(x )＝0在( － 2，＋∞ )有唯一实根 x 0，且 x 0∈( －1,0) ．

当 x ∈(－2，x 0)时，f ′(x ) < 0；

当 x ∈ ( x 0，＋∞ )时， f ′(x ) > 0，从而当 x ＝x 0时，f ( x ) 取得最小值．

1

由 f ′(x 0) ＝ 0 得 e x0 ＝ ， ln( x 0＋ 2) ＝－ x 0，

x 0 2

故 f (x )≥f ( x 0)＝ 1 ＋x 0＝ x 0 1 >0.

x 0 2 x 0 2

综上，当 m ≤2 时， f ( x ) >0.

请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．

22．

解： (1) 因为 CD 为△ ABC 外接圆的切线， 所以∠ DCB ＝∠ A ，由题设知 BC DC ，

FA EA

故△ CDB ∽△ AEF ，所以∠ DBC ＝∠ EFA .

因为 B ，E ，F ， C 四点共圆， 所以∠ CFE ＝∠ DBC ， 故∠ EFA ＝∠ CFE ＝90°.

所以∠ CBA ＝90°，因此 CA 是△ ABC 外接圆的直径．

(2) 连结 CE ，因为∠ CBE ＝90°，所以过 B ，E ， F ，C 四点的圆的直径为 CE ，由 DB ＝BE ，有 CE ＝

DC ，又 BC 2

＝DB ·BA ＝ 2DB 2，所以 CA 2＝4DB 2＋

BC 2＝ 6DB 2.

1

ABC 外接圆面积的比值为 1

2

23．

α ，2sin α ) ， Q (2cos 2 α ， 2sin 2 α)， ＋

cos 2 α，sin α＋sin 2 α) ．

x cos

cos2 ,

M 的轨迹的参数方程为

(α 为参数， 0<α<2π) ．

y sin sin2

(2) M 点到坐标原点的距离

d

x 2

y 2

2 2cos (0 <α<2π) ．

x1 ＋∞ )单调递增，且 f ′(0) ＝ 0.

时， f ′(x ) <0； 解： (1) 依题意有 P (2cos 因此 M (cos α 而 DC 2＝ DB ·DA ＝ 3DB 2，

当α ＝π 时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．

24．

阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。 阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。 —— 培根

2 2 2 2 2 2 解： (1) 由 a 2＋ b 2≥2ab ， b 2＋ c 2≥2bc ， c 2＋ a 2≥2ca ， 得 a

2

＋ b 2＋ c 2≥ ab ＋ bc ＋ ca .

2 2 2 2

由题设得 (a ＋b ＋c ) 2＝1，即 a 2＋ b 2＋ c 2＋2ab ＋ 2bc ＋ 2ca ＝ 1.

1

所以 3( ab ＋ bc ＋ca ) ≤1，即 ab ＋ bc ＋ ca ≤ .

3

2 2 2

a

b c

(2) 因为 b 2a ， c 2b ， a 2c ， b c a

222

abc

故

(a b c) ≥ 2(a ＋b ＋c ) ， bca

2 2 2 abc 即

≥ a ＋ b ＋ c .

bca

a 2

b 2

所以

a b

bca

2

c

≥

1.

阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。培根

卖炭翁白居易(唐) 字乐天号香山居士卖炭翁，伐薪烧炭南山中。满面尘灰烟火色，两鬓苍苍十指黑。卖炭得钱何所营?身上衣裳口中食。可怜身上衣正单，心忧炭贱愿天寒。夜来城外一尺雪，晓驾炭车碾冰辙。牛困人饥日以高，市南门外泥中歇。

翩翩两骑(j ì)来是谁?黄衣使者白衫儿。手把文书口称敕，回车叱牛牵向北。一车炭，千余斤，宫使驱将(ji āng) 惜不得。半匹红绡一丈绫，系(jì)向牛头充炭直(值)。